《2013离散数学课程 》模拟题答案
《离散数学》试题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于等于（≤）B. 大于等于（≥）C. 整除（|）D. 模2同余（≡）答案：D2. 下列哪个图是完全图？（）A. 无向图B. 有向图C. 简单图D. n阶完全图答案：D3. 设A和B为集合，若A∪B=A，则下列哪个结论成立？（）A. A⊆BB. B⊆AC. A=BD. A∩B=∅答案：B4. 下列哪个命题是永真命题？（）A. (p→q)∧(q→p)B. (p∧q)→(p∨q)C. (p→q)∧(p→¬q)D. (p∧¬q)→(p→q)答案：B5. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的最小生成树的边数是（）。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，则A∩B=_________。
答案：{3,4,5}7. 设图G的顶点集V={a,b,c,d}，边集E={e1,e2,e3,e4,e5}，其中e1=(a,b)，e2=(a,c)，e3=(b,d)，e4=(c,d)，e5=(d,a)，则G的邻接矩阵为_________。
答案：[0 1 1 0 0; 1 0 0 1 0; 1 0 0 1 0; 0 1 1 0 1;0 0 0 1 0]8. 设p为真命题，q为假命题，则(p∧q)∨(¬p∧¬q)的值为_________。
答案：真9. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的度数序列为（3,3,3,3,3,3），则G的边数是_________。
答案：1510. 下列命题中，与“若p，则q”互为逆否命题的是_________。
《离散数学》试题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，则A∩B的结果是（）A. {1,2,3,4,5}B. {2,4}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5,6,8,10}答案：B2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. ≤B. ≠C. |D. ≠答案：A3. 设图G有5个顶点，每两个顶点之间都有一条边相连，则图G的边数是（）A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C4. 下列哪一个图是欧拉图？（）A. 无向图B. 有向图C. 树D. 环答案：D5. 下列哪一个命题是正确的？（）A. 若p→q为真，则p为真B. 若p∧q为假，则p为假C. 若p∨q为真，则q为真D. 若p→q为假，则p为假答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 设集合A={a,b,c,d}，B={c,d,e}，则A-B=________。
答案：{a,b}2. 设p是命题“今天是晴天”，q是命题“我去公园玩”，则命题“如果今天不是晴天，那么我不去公园玩”可以表示为________。
答案：¬p→¬q3. 设图G有n个顶点，e条边，则图G的度数之和为________。
答案：2e4. 一个连通图至少有________个顶点。
答案：25. 设图G的邻接矩阵为A，则A的转置矩阵表示________。
答案：图G的转置图三、判断题（每题5分，共25分）1. 离散数学是研究离散结构的数学分支。
（）答案：正确2. 两个集合的笛卡尔积是这两个集合的直积。
（）答案：正确3. 有向图中，顶点u和顶点v之间的长度为2的路径是指路径上有3条边。
（）答案：错误4. 树是一种无向图。
（）答案：正确5. 哈夫曼编码是一种贪心算法。
（）答案：正确四、应用题（每题25分，共50分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，C={3,6,9,12,15}，求A∪(B∩C)。
离散数学模拟题及答案
一、填空1．不能再分解的命题称为____________，至少包含一个联结词的命题称为____________。
2．一个命题公式A(P, Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100，则其主析取范式是__________________，其主合取范式是_________________。
3．设A={a,b,c}，B={b,c,d,e}，C={b,c}，则( A ⋃ ⊕＝____________。
4．幂集P(P(∅)) ＝________________。
5．设A为任意集合，请填入适当运算符，使式子A________A=∅；A________A’=∅成立。
6．设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y〉|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod 3)}，则D(R)=____________，R(R)=____________。
7．称集合S是给定非空集合A的覆盖：若S={S1，S2，…，S n}，其中S i⊆A，S i≠Ø，i=1，2，…，n，且______ _____；进一步若_____ _______，则S是集合A的划分。
8．两个重言式的析取是____ ____式，一个重言式和一个永假式的合取式是式。
9．公式┐(P∨Q) ←→(P∧Q)的主析取范式是。
10. 已知Π={{a}{b,c}}是A={a,b,c}的一个划分，由Π决定的A上的一个等价关系是。
二、证明及求解1．求命题公式（P→Q）→（Q∨P）的主析取范式。
2．推理证明题1）⌝P∨Q，⌝Q∨R，R→S⇒P→S。
2) (∀x)(P(x)→Q(y)∧R(x))，(∃x)P(x)⇒Q(y)∧(∃x)(P(x)∧R(x))x)}，S={〈x,y〉|x,y∈A∧（x=y+2）}。
3．设A={0，1，2，3}，R={〈x,y〉|x,y∈A∧(y=x+1∨y=2试求R S R。
4．证明：R是传递的⇔R*R⊆R。
5．设R是A上的二元关系，S={<a, b>| 存在c∈A，使<a, c>∈R，且<c, b>∈R}。
离散数学考试模拟试题及详细参考答案共四套
离散模拟答案11命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.一、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A⋃B）－C=(A-B) ⋃(A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)二、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→⌝F)→⌝C, B→(A∧⌝S)⇒B→Eb)∀x(P(x)→⌝Q(x)), ∀x(Q(x)∨R(x))，∃x⌝R(x) ⇒∃x⌝P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠∅且B≠∅，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
《离散数学》考试题库及答案
《离散数学》考试题库及答案一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：A BC* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。
4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
离散数学模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院《离散数学》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。
[A] 3[B] 8[C]9[D]272、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。
[A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,83、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。
[A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X4、下列关系中是等价关系的是（ ）。
[A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。
[A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。
[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。
[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个连通图G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点（）。
[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点[C] G有2个奇数度结点[D] G没有或有2个奇数度结点9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是（）。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
《离散数学课程》模拟题附标准答案
《离散数学课程》模拟题附标准答案离散数学课程模拟题附标准答案一、选择题1、在下列命题中，正确的是：（D） A. 一条直线和一点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面 C. 三条直线可能确定一个平面D. 两条平行直线确定一个平面2、若空间有四个点，则下列命题正确的是：（B） A. 若四点不共面，则这四点中至少有一个点在其它三点确定的平面内 B. 若四点中三点共线，则这四点必共面 C. 若四点中任意三点不共线，则这四点必共面 D. 以上都不正确3、设A、B、C是三个集合，A中含有1、2、3三个元素，B中含有1、2、3、4四个元素，C中含有1、2、3、4、5五个元素，则集合A在B中的补集和集合B在C中的补集的交集有几个元素？（C） A. 0 B.1 C.2 D. 3二、填空题1、已知A={1，2，3}，B={3，4}，则A和B的交集为__________，A 和B的并集为__________。
答案：{3}，{1，2，3，4}2、设空间有四个点A、B、C、D，其中任意三点不共线，则下列结论正确的是：（A） A. 必有一点在其它三点确定的平面内 B. 任意两点确定的直线与另外两点确定的直线异面 C. 都可以构成一个三角形D. 全部点都在同一个平面上3、若集合A和B都是C的子集，且A和B的交集为空集，则下列结论正确的是：（D） A. C一定是A和B的并集 B. A和B中没有公共元素 C. C中至少有一个元素不属于A也不属于B D. C中的元素个数大于或等于A和B中的元素个数之和三、解答题1、已知A={1，2，3}，B={2，4}，求A和B的交集、并集和补集。
解：A和B的交集为{2}，并集为{1，2，3，4}，补集为空集。
2、已知空间四个点A、B、C、D不在同一个平面上，求证：直线AB 与CD异面。
证明：∵ A、B、C、D不在同一个平面上，∴ AB和CD是异面直线。
∵ A、B、C、D共面时，AB和CD共面，与已知矛盾。
离散数学课程模拟题附标准答案
《离散数学》期末考试考点及模拟题答案一、考试题型及分值各种题型所占的比例：填空题10%,判断题10%,选择题20%,其它题型60%新出试卷按照如下各种题型所占的比例：填空题20%，判断题15%，选择题30%，其它题型35%二、考点1.命题逻辑熟练掌握命题及其表示；掌握常用联结词（「、八、V、f、）的使用；熟练掌握命题公式的符号化；熟练掌握使用真值表判别命题等价的方法；掌握使用等价公式判别命题等价的方法；掌握重言式与蕴含式的概念及其判别方法;了解其他联结词的使用；了解对偶的概念；掌握求命题范式的方法；熟练掌握命题演算推理的基本理论.2.谓词逻辑熟练掌握谓词的概念及其表示；熟练掌握量词的使用；掌握使用谓词公式翻译命题的方法；掌握变元的约束；掌握谓词演算中等价式与蕴含式的判别;了解前束范式的求法；熟练掌握谓词演算推理的基本理论.3.集合与关系熟练掌握集合的概念和表示法；掌握集合的基本运算；掌握序偶与笛卡尔积的概念；熟练掌握关系及其表示；掌握关系的基本性质；了解复合关系和逆关系的概念；掌握关系的闭包运算；了解集合的划分和覆盖；掌握等价关系与等价类的概念;了解相容关系的概念；掌握各种序关系的概念.4.函数熟练掌握函数的概念；掌握逆函数和复合函数的概念；了解基数的概念；了解可数集与不可数集；了解基数的比较.5.代数结构掌握代数系统的概念；掌握n元运算及其性质；掌握半群、群与子群的概念;了解阿贝尔群和循环群的概念；了解陪集与拉格朗日定理;了解同构与同态的概念；了解环与域的概念.6.图论掌握图的基本概念；掌握路与回路的概念；熟练掌握图的矩阵表示；掌握欧拉图和哈密顿图的概念；掌握平面图的概念；了解对偶图与着色；熟练掌握树与生成树的概念;了解根树及其应用.（一）参考教材与网上资料复习（二）随堂练习或作业题在在新出试卷里有较大比例提高三、模拟试卷附后（请参考学习资料，找到或者做出解答）一、考试对象计算机学科中计算机科学与技术、软件工程等专业本科生二、考试的性质、目的离散数学是随着计算机科学的发展而逐渐形成的一门学科，是近代数学的一个分支在计算机科学中，它主要应用于数据结构、操作系统、编译原理、数据库理论、形式语言与自动机、程序理论、编码理论、人工智能、数字系统逻辑设计等方面它是计算机科学各专业重要的专业基础课.本课程教学的目标是:①使学生掌握离散数学的基本理论和基本知识，为学习有关课程以及今后工作打好基础.②培养和提高学生的抽象思维与逻辑推理能力.四、考试方式及时间：考试方式：闭卷考试时间：120分钟五、课程综合评定办法1期末闭卷考试：占总成绩60%.2、平时成绩（作业、考勤情况等）：占总成绩40%3、试题难易程度：基础试题：中等难度试题：较难试题：难度较大的试题 =4： 3： 2： 1六、考试教材《离散数学》左孝凌、李为^、刘永才编著，上海科学技术文献出版社附：模拟试卷华南理工大学网络教育学院2012 - 2013学年度第一学期期末考试《离散数学》试卷(模拟卷)教学中心：专业层次：学号：姓名：座号：注意事项：1.本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟，闭卷;2.考前请将以上各项信息填写清楚；3.所有答案直接做在试卷上,做在草稿纸上无效；4.考试结束，试卷、草稿纸一并交回.一.判断题(每题2分，共10分)1、设A, B都是合式公式，则A A B F「B也是合式公式.(J)2. P f Q o「P v Q ,(v)3、对谓词公式(V x) (P (y) V Q (x,y)) △R (x,y)中的自由变元进行代入后得到公lllllll !lllll式(V x) (P (z) V Q (x,z)) △R (x,y) . (x)4.对任意集合 A、B、C,有(A—B) —C = (A—C) - (B—C). (j)5. 一个结点到另一个结点可达或相互可达. (X )二.单项选择题(每题2分，共20分)1.设：。
2012-2013离散数学试题答案
2012-2013离散数学试题答案2012-2013离散数学试题A 卷答案一填空题（每空3分）1.{}{}{}{}{}3,2,2,1,3,1；2. 6；3.42314321；4. 两个或零个奇数度结点；5. ()()x xB x xA ?→?；6. 偶数个；7.100111001；8.N 或阿列夫零 9. ()()y f x f ?二（本题10分）证明整数集合是可数的证：因为自然数集N 是可数的，所以只要证明N Z =即可，建立下面的一一对应关系：Λβββββββ-36352423-121100 -ZN （5分）即(),1,120,2≥-≤-=x x x x x f 其中Z x ∈. （3分）则有N Z =故整数集合是可数的（2分）三、（本题8分）求公式()P Q Q R →∧?→?)( 的主合取范式,并判断公式的类型.解()()P Q Q R P Q Q R ∨?∧?∨?→∧?→?)()( （2分）()()()()Q R P Q R P R Q P R Q P ?∨?∨∧?∨∨∧∨?∨?∧∨?∨?（4分）该公式是可满足式（2分）四、（每小题8分，共计16分）1.设图()m n G ,=是每个区域（面）至少由k 条边围成的连通平面图，证明 ()22--≤k n k m ，其中3≥k 证：1）因为 2=+-r m n ，m n r +-=2 （2分）2）又因为()r m r ri 32deg 1≥=∑= （2分）将1）代人2）整理得：()22--≤k n k m （4分） 2. 一个树T 有2个次数为2的结点，1个次数为3的结点， 3个次数为4的结点，问该树有几片叶？解设树T=()m n ,有x 片叶，因为 1=-m n （1）（1分）x x n +=+++=6312 （2）（1分） ()()122deg 1-==∑=n m v n i i（3）（2分） ()()x x n m v n i i+=+?++?=-==∑=1943322122deg 1（2分）即()x x +=+1952 （1分） x =9 （1分）五. （本题12分）设{}1-=Q S ,其中Q 为有理数集合，在S 上定义了二元运算“ο”，对于()y y x y x S y x +-=∈?1,,ο有. 证明: ()ο,S 是交换群. 证明：（1）结合律成立（略）（2分）（2）单位元素 =e 0 （3分）x e xe x e x S x =+-=∈?ο,，()01=-x e ，0=e（3）,S x ∈?有11-=-x x x （3分）因为 0111==+-=---e x xx x x x ο11-=-x x x 综上所述()ο,S 是群（1分）又()x y x yx y y x y x y y x y x S y x οο=+-=+-=+-=∈?1,,（2分）故()ο,S 是交换群. （1分）六、（本题8分）设()()*G ,, ,οS 是两个群，对于S a ∈?有e a f →:成立，其中e 是()*G ,的单位元素.1. 证明：()()*G , ,与οS 同态2. 求同态核 erf K1、证()()()b f a f e e e b a f S b a *=*==∈?ο,,，（4分）所以()()*G , ,与οS 同态（1分）2、因为e a f →:，即()e a f S a =∈?有,由同态核的定义知erf K =S （3分）七.（本题12分）设{}182,≤≤∈=x N x x A ，(){}y x A y x y x R 整除,,,∈=，{},6,4,2=B1、证明R 是A 上的次序关系（偏序关系）2、求集合B 的极大元素3、求 B sup 、B inf1、证 1）x ,能整除x A x ∈?，所以()R x x ∈,故R 是自反的（2分） 2）x ,y x y,,,不能整除时当能整除y x A y x ≠∈?，即如果(),,R y x ∈那么()R x y ?,,故R 是反对称的（3分）3）z x z,,y ,,,也能整除则能整除能整除如果y x A z y x ∈?即若(),,R y x ∈(),,y R z ∈则(),,R z x ∈故R 是传递的（3分）综上所述：R 是A 上的次序关系（偏序关系）2、集合B 的极大元素：4和6 （2分）3、 B sup =12B inf =2（2分）八.（本题7分）请用谓词推理理论证明()()()()()x xG x F x x G x F x ?→∨?证：1）()x F x ?? 附加前提（1分）2) ()c F ? T 1)ES （1分）3) ()()()x G x F x ∨? P （1分）（1分）4) ()()c G c F ∨ T 3)US （1分）5) ()c G T 2),4) 析取三段论（1分）6） ()x xG ? T 5)EG （1分）所以()()()()()x xG x F x x G x F x ?→∨? （1分）离散数学试题B 卷答案一、填空（每空3分，共27 分）1. φ ;2.｛（1，1），（2,2），（3，3）｝；3.000000100；4. 15 ； 5 . ??=1 3 4 24 3 2 1σ ; 6. R Q P ?∨∨? , R Q P ?∧∧? 7. 从结点i v 到结点j v 长度为l 的路径的数目8. ()x xB A ?→二、（本题6分）设集合N A =,N N B ?=.N 是自然数集合，证明 B A =.证明：建立A B 到的一一对应关系，即：()()()()()()ΛΛββββββ0,251,142,031,021.010,00 （3分）()()(),21n m,f m n m n m ++++=其中()B ∈n m , （2分）故B A = （1分）三、（本题8分）求命题公式()Q R P R ?→?∧?∨?)( 的主析取范式，并判断公式的类型.解()Q R P R ?→?∧?∨?)(()Q R R P ?∨∧?∨?)(()R Q R P ∨?∧?∨?)(()()()R Q P R Q P R Q P R Q P ∨?∨?∧∨?∨∧?∨?∨?∧?∨∨?)(110010111101M M M M ∧∧∧?()7,6,5,2∏?主合取范式，（3分）主析取范式()Q R P R ?→?∧?∨?)(()∑?4,3,1,04210m m m m ∨∨∨?∨?∧?∧??)(R Q P ∨∧?∧?)(R Q P ∨?∧∧?)(R Q P )(R Q P ?∧?∧（3分）在主析取范式中，仅含有4个最小项，故该公式是可满足式.（2分）四、（17分，其中1题9分）1. 对于图G（1）图G 是欧拉图还是哈密顿图，为什么？（2）图G 是否为平面图，为什么？图G（3）图G 是否为二部图，为什么？解（1）图G 是哈密顿图，不是欧拉图. 因为图G 的每个结点的度数都是奇数，由欧拉图的充要条件知：图G 不是欧拉图；图G 的不相邻结点的度数之和等于6，由哈密顿图的充分条件知：图G 是哈密顿图（3分）（2）不是平面图，由库拉拖夫斯基定理知：图G 不是平面图.（3分）（3）图G 是二部图，它是3,3k 图.（3分）2. 一颗无向树有7片树叶，其余的结点次数均为3，求T 的阶数，并画出两个不同构的树.解设()1,-=n n T ，（2分）()()122deg 1-==∑=n m v ni i（2分）分）()()373712-=-+=-n n n 12=n （1分）1分）五、（本题12分）在有理数集Q 上定义二元运算*, ,,Q y x ∈?有xy y x y x -+=*1. 求()52-*2. 问()* , Q 是独异点还是群？为什么. 解 1、()52-*=2+（-5）-2（-5）=-3+10=7 （2分） 2、()* , Q 是独异点，不是群（1）结合律成立（2分）（2）单位元素0=e （3分）由,1），（2）知：()* , Q 是独异点（3）Q x ∈，0111==-+=*---e xx x x x x （3分）即11-=-x x x ，当1=x 时，11-不存在故()* , Q 不是群（2分）六、（10分）设()ο , G 是9阶循环群，找出()ο , G 的所有的生成元素. 解：设{}8320,,,,,a a a a e a G Λ== （1分）因为()69=φ （2分）所以生成元素是：a ,87542,,,,a a a a a （1分）a 显然是生成元素（1分） ()()()()()()()()716825147231262105284263242221202,,,,,,,)(a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e a =============（1分）,)(04e a =，414)(a a =，824)(a a =，3391234)(a a a a a ===ο，71644)(a a a ==，()()()53284746246422054,,,)(a a a a a a a a a a a ======= （1分）同理可得：875,,a a a 都是生成元素，（3分）七、（本题12分）设A=｛121,≤≤∈i N i i ｝,定义A 上的关系R=｛()y x A y x y x 整除,,,∈｝，B=｛2，3，6｝（1）证明 R 是A 上的偏序关系（2）求B 的极大元素和最大元素（3）求B B inf ,sup .解（1）证明 R 是A 上的偏序关系证 1）x ,能整除x A x ∈?，所以()R x x ∈,故R 是自反的（2分）2）x ,y x y,,,不能整除时当能整除y x A y x ≠∈?，即如果(),,R y x ∈那么()R x y ?,,故R 是反对称的（3分） 3）z x z,,y ,,,也能整除则能整除能整除如果y x A z y x ∈?即若(),,R y x ∈(),,y R z ∈则(),,R z x ∈故R 是传递的（3分）综上所述：R 是A 上的次序关系（偏序关系）（2）集合B 的极大元素： 6 最大元素：6 （2分）（3）B sup =6，B inf =1 （2分）八、（本题8分）在命题逻辑中构造下面的推理证明：S R R Q Q P ?∧?∨?→ , ,P ??证明：1） P 结论的否定引入规则（1分）2） Q P ?→ P3) Q ? T 1),2) 假言推理（2分） 4）R Q ?∨ P5) R ? T 3),4)析取三段论理（2分） 6）S R ?∧ P7) R T 6) 化简（1分）8) R R ∧? T5),7)合取引入（1分）因为0 ?∧?R R 矛盾式，由归谬法知，推理正确（1分）离散数学试题C 卷答案一、填空（每空3分，共27 分）1. {}b a ,2. 13. 剩余类加群4. 725. ()B x xA →?6.100110011 ; =-1R ( ()()(){}2,3,1,2,1,1 ; ()()(){}1,3,1,2,1,1 7是可数集二（本题10分）设Z 为整数集，证明：整数集Z 是可数的.证明：建立N Z 到的一一对应关系，即φ：--ΛΛββββββ352423121100 （3分）()?∈≥-∈≤-=Z x x x Z x x x ,1,12x 0,2且φ （2分）故Z ～N ,即整数集Z 是可数的（1分）三、（本题8分）求命题公式()()P Q Q P P ?∨??∧→∨? 的主合取范式，并判断公式的类型.解：主合取范式:()()P Q Q P P ?∨??∧→∨?()Q P Q P P ∧∧∨?∨??)( ()()()()()()Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P ∨?∧∨∧?∨∧∨∧∨??∧∧∨??)( ()()()Q P Q P Q P ?∨∧∨∧∨??.（6分）该公式的主合取范式含有3个最大项，那么该公式有一个成真赋值，故该公式是可满足式. （2分）四、（每小题8分，共计16分）1. 设G 是n )3(≥n 阶无向简单连通平面图图，证明：63-≤n m 证：因为 2=+-r m n ，n m r -+=2 （2分）r m rr i i 32deg 1≥=∑=，（2分）m r 32≤，（1分） n m m -+≥232 （2分） 231-≤n m 即：63-≤n m （1分）2. 设无向图()12,n G =有12条边，3度与4度结点各2个，其余的结点度数不超过3，问G 至少有几个结点.解242deg 1==∑=m vn i i ,（2分） ;（3+4）×2+3（n-4）24≥（2分）; n 322≥,（2分）; n 8≥（2分）五. （本题12分）设{}d c b a S ,,,=，S 上的运算“ο”定义如下表ο d c b ad cb abb a d b a dc ad c b d c b a 1. 证明: ()ο,S 是循环群.2. 求()ο,S 的生成元素1、证明：1）显然是可结合的（1分）2）单位元素a e = （ 2分） 3）b d c c d b a a ====----1111,,, （2分）故()ο,S 是群，（1分） 2、a b d b c b b b ====4321,,, （4分） b 是()ο,S 的生成元素，（1分）同理d 也是()ο,S 的生成元素，（1分）六、（本题8分）设Z 为整数集，n Z 2为偶数集，证明群()+,Z 与群()+,2n Z 同态，并求同态核.证明：设n Z Z f 2:→，即()Z z z z f ∈=,2，（2分） ()()()Z z z z f z f z z z z z z f ∈+=+=+=+2121212121,,22)(2 （2分）即f 是Z 到z Z 2得同态变换，则群()+,Z 与群()+,2n Z 同态. （1分）群()+,2n Z 的单位元素02=e ，只有()Z f ∈=?=0,0020 （2分）所以{}0=Kerf （1分）七.（本题12分）设{}5,4,3,2,1=A ,{}4,3=B ，偏序集合()R A ,的哈塞图如下图（1）下列关系哪个是真？12,25,45,33,51R R R R R（2）求集合B 极大元、极小元、B sup 、B inf 解（1）,33,51R R （4分）（2）集合B 极大元：3,4 （2分）集合B 极小元：3,4 （2分）B sup =｛5｝（2分） B inf =｛2｝（2分）八.（本题7分）证明下面的推理前提：()()()x Q x P x ∨?结论：()()()x xQ x xP ?→?? 证明：1）()()x xP ?? 附加前提（1分）2) ()x P x ?? T 1) 置换（1分） 3) ()c P ? T 2) ES （1分） 4) ()()()x Q x P x ∨? P 5) ()()c Q c P ∨ T 4) US （1分） 6） ()c Q T 3),5) 析取三段论（1分） 7) ()x xQ ? T 6)EG （1分）所以()()()()()x xG x F x x G x F x ?→∨? （1分）。
《离散数学》模拟试卷A及答案
《离散数学》模拟试卷A 及答案一、选择1．设集合A={a ，b ，c ，d ，e}，偏序关系R 的哈斯图下图所示，假设A 的子集B={c ，d ，e}，则元素c 为B 的 （ ）A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对2．已知│A │=15，│B │=10，│A ∪B │=20，则│A ∩B │= （ ） A ．10 B ．5 C ．20 D ．133．下图中哪个是欧拉图 （ ）A B C D4．下列式子中正确的是 （ ）A ．∅=0B ．∅∈∅C ．∅∈{a ，b}D ．∅∈{∅}5．在下图所示的哈斯图中的偏序集不是格的是 （ ）dbeac6．下图中是一个从X 到Y 的映射f ，其中X={a ，b ，c ，d ，e}，Y={1，2，3，4}，则映射f 是 （ ）A 双射B 满射C 入射D 以上都不是7．已知集合A={∅，1，2}，则A 的幂集合ρ(A)=________ 8．设K6是有6个点的完全图，则K6共有____________条边。
9．设A ，B 是两集合，其中A={a ，b ，c}，B={a ，b}，则A-B=_______________，A ⋂B=_______________________________________10． 设A={a ，b}，B ＝｛1，2，3｝，则A ⨯B=二、计算或证明题1． 利用推理规则证明：┒（P ∧┒Q ），┒Q ∨R ，┒R ┒P （10分）2． 利用推理规则证明：（∀x ）（┒A （x ）→B （x ）），（∀x ）┒B （x ）（∃x ）A （x ）（10分）3． 如果关系R 和S 为X 上的等价关系，证明：R ⋂S 也是X 上的等价关系。
（10分）4． 设集合A={a ，b ，c ，d}，A 上的关系R={<a ，a>，<a ，b>，<b ，a>，<c ，d>，<b ，c>}（10分） 求：1）画出R 的关系图，并用作图法分别求出R 的自反闭包和对称闭包。
《离散数学》试卷及答案精选全文完整版
H(x)：x是身体健康的；
S(x)：x是科学家
C(x)：x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101，S ,且|S|为奇数，则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项，则mi的对偶式不一定是（填“是”/“不是”/“不一定是” ） G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}； (2) a=3； (3) 函数f(x)为f(2)=2，f(3)=3； (4) 谓词：F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时，G(i,j):=1；当i≠j时，G(i,j):=0；其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有（a+bi）R（u+vi）
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人。”（15分）
2.设A={1,2,3…10}，定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10}，试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由（5分）
解答：R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}
离散数学第1-3章_习题解答-简化
A C AC
2013-2014-2
鲁东大学
数学与统计科学学院
鲍永平
离散数学习题解答 12. 设 A B 且 A B可能吗？
可能
如： A＝{a}
B＝{a , b , {a} }
14. 对任意的集合 A B C，确定下列命题是真或假： （1）如果 A B 及 B C ，则 A C （3）如果 A B 及 B C ，则 A C （1）真 证：B C x ( xB xC ) AB AC AB （3）假 反例：A＝{a}
前提： P → Q ∨ R， S →
R， P∧S
结论：Q
步 骤
1 2 3 4 5 6 7
2013-2014-2
断 言（真）
P∧S
根
据
P P→Q∨R
Q∨R S S→ R
鲁东大学
P T, 1, I2 P T, 2,3, I3 T, 1, I2 P T, 5,6, I3 数学与统计科学学院 T, 4,7, I5
Q ) ∧(Q ∨ P )) Q ) ∧Q ) ∨( P ∨ Q ) ∧ P )) Q ∧Q ) ∨ P ∧ P ∨ Q ∧ P )) Q∧P)
P ∧Q ∨ P ∧Q )∨(
( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧Q )∨(P ∧ Q ) (1 , 2 , 3 ) ( 0 ) ( P ∨ 鲁东大学 Q) 2013-2014-2
2013-2014-2
Q1
A C
I3
B＝{a，b}
C＝{ {a，b}}
数学与统计科学学院 鲍永平
鲁东大学
离散数学习题解答
P69 习题2.2
18. 指出下列集合的幂集合: （3） 设 A＝｛a｝，求 A 和 （A）的幂集。 解： （A）＝｛ ，｛a｝｝
离散数学模拟试题参考答案
离散数学模拟试题参考答案一、单项选择题1.B2.A3.B4.C5.D6.D7.B8.C二、填空题1.1.2.0.3.2.4.(1/2)n(n-1)-m.5.{2,{2}}.6.9.7.回路.8.a.三、简答题1.由题设，p=1，q=0，r=1.(1) (p∧q)↔r⇔(1∧0)↔1⇔0↔1⇔0.(2) (p↔r)↔(q↔r)⇔(1↔1)↔(0↔1)⇔1↔0⇔0.(3) (p∨¬q)→(q→r)⇔(1∨¬0)→(0→1)⇔(1∨1)→(0→1)⇔1→1⇔1.(4) ¬q→(p↔r)⇔¬0→(1↔1)⇔1→1⇔1.(5) (p∨q)→(¬p∧¬q∧r)⇔(1∨0)→(¬1∧¬0∧1)⇔1→(0∧1∧1)⇔1→0⇔0.2.∀x(¬∃yF(x,y)→∃zG(x,z))⇔∀x(∀y¬F(x,y)→∃zG(x,z))⇔∀x∃y∃z(¬F(x,y)→ G(x,z))⇔∀x∃y∃z(F(x,y)∨G(x,z)).3.设4度顶点为x个，则根据握手定理，有2×12=1×2+2+3+5+4x，解得，x=3，即无向图G有3个4度顶点.4.n*=r=4，m*=m=8，r*=n=6.5. (1)A∩B={{a,{b}},c,{c},{a,b}}∩{{a,b},{b}}={{a,b}}.(2)A⊕B=A∪B-A∩B={{a,{b}},c,{c},{a,b},{b}}-{{a,b}}={{a,{b}},c,{c},{b}}.(3)P(B)={φ,{{a,b}},{{b}},{{a,b},{b}}}.6.对∀n1,n2∈N，当n1≠n2时，f(n1)=2n1+1≠f(n2)=2n2+1，所以f是单射的.ranf={2n+1|n∈N}⊂N，所以f不是满射的，从而不是双射的.7.(1) ⊗运算的运算表为:(2)由表可知，e=1为⊗运算的幺元，故e-1=e，即1-1=1. 又5⊗5=1，所以，5-1=5，Z6中其余元素皆无逆元.(3)由运算表知，对∀x,y∈Z6，有x⊗y∈Z6，所以，V是代数系统；对∀x,y,z∈Z6，有(x⊗y)⊗z=(xy)mod6⊗z=(((xy)mod6)z)mod6=(xyz)mod6=(x((yz)mod6))mod6=x⊗(yz)mod6=x⊗(y⊗z)，所以，运算⊗满足结合律，V是半群；由(1)知，e=1为运算⊗的幺元，所以，V是独异点(幺半群)；又由(1)知，Z6中的元素0,2,3,4无逆元，所以，V不是群.综上，V=<Z6,⊗>是独异点，而且是可交换独异点.8.(1)对3,6∈Z12，有f(3)=(3)mod3=f(6)=(6)mod3=0，所以f不是单同态的；ranf={0,1,2}=Z3，所以，f是满同态的.(2)对0,3,6,9∈Z12，有f(0)=(0)mod3=0，f(3)=(3)mod3=0，f(6)=(6)mod3=0，f(9)=(9)mod3=0，而对∀x∈Z12，当x≠0,3,6,9时，f(x)=(x)mod3≠0，故H={0,3,6,9}.四、证明题1.①¬s 前提引入②p→s 前提引入③¬p ①②拒取式④p∨q 前提引入⑤q ③④析取三段论⑥q→r 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理2.反证法. 设G中不存在度数相同的顶点，则由图G为简单图可知，G的顶点的度数列必为：0,1,2,…,n-1. 删去0度顶点后得到的图G’仍然是简单图，且其顶点度数列为：1,2,…,n-1，与G’是简单图矛盾. 故图G中至少有两个顶点的度数相同.3. A∩(B-C)=A∩(B∩~C)=A∩B∩~C∩~C=(A∩~C)∩(B∩~C)=(A-C)∩(B-C).4.显然，e∈C，C是G的非空子集.∀a,b∈C，对∀x∈G，有(ab-1)x=a(b-1x)=a(b-1(x-1) -1)=a(x-1b) -1=a(bx-1) -1=a(xb -1)=(ax)b -1=(xa)b -1=x(ab -1)，即ab -1∈C，由子群判定定理，C是G的子群.。
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《离散数学》期末考试考点及模拟题答案一、考试题型及分值各种题型所占的比例：填空题10%，判断题10%，选择题20%，其它题型60%新出试卷按照如下各种题型所占的比例：填空题20%，判断题15%，选择题30%，其它题型35%二、考点1．命题逻辑熟练掌握命题及其表示;掌握常用联结词(¬、∧、∨、→、 )的使用;熟练掌握命题公式的符号化;熟练掌握使用真值表判别命题等价的方法;掌握使用等价公式判别命题等价的方法;掌握重言式与蕴含式的概念及其判别方法;了解其他联结词的使用;了解对偶的概念;掌握求命题范式的方法;熟练掌握命题演算推理的基本理论。
2．谓词逻辑熟练掌握谓词的概念及其表示;熟练掌握量词的使用;掌握使用谓词公式翻译命题的方法;掌握变元的约束;掌握谓词演算中等价式与蕴含式的判别;了解前束范式的求法;熟练掌握谓词演算推理的基本理论。
3．集合与关系熟练掌握集合的概念和表示法;掌握集合的基本运算;掌握序偶与笛卡尔积的概念;熟练掌握关系及其表示;掌握关系的基本性质;了解复合关系和逆关系的概念;掌握关系的闭包运算; 了解集合的划分和覆盖;掌握等价关系与等价类的概念; 了解相容关系的概念;掌握各种序关系的概念。
4．函数熟练掌握函数的概念;掌握逆函数和复合函数的概念;了解基数的概念; 了解可数集与不可数集; 了解基数的比较。
5．代数结构掌握代数系统的概念;掌握n元运算及其性质;掌握半群、群与子群的概念; 了解阿贝尔群和循环群的概念; 了解陪集与拉格朗日定理; 了解同构与同态的概念; 了解环与域的概念。
6．图论掌握图的基本概念；掌握路与回路的概念；熟练掌握图的矩阵表示;掌握欧拉图和哈密顿图的概念；掌握平面图的概念；了解对偶图与着色;熟练掌握树与生成树的概念; 了解根树及其应用。
（一）参考教材与网上资料复习（二）随堂练习或作业题在在新出试卷里有较大比例提高三、模拟试卷附后（请参考学习资料，找到或者做出解答）一、考试对象计算机学科中计算机科学与技术、软件工程等专业本科生。
二、考试的性质、目的离散数学是随着计算机科学的发展而逐渐形成的一门学科，是近代数学的一个分支。
在计算机科学中，它主要应用于数据结构、操作系统、编译原理、数据库理论、形式语言与自动机、程序理论、编码理论、人工智能、数字系统逻辑设计等方面。
它是计算机科学各专业重要的专业基础课。
本课程教学的目标是:①使学生掌握离散数学的基本理论和基本知识，为学习有关课程以及今后工作打好基础。
②培养和提高学生的抽象思维与逻辑推理能力。
四、考试方式及时间：考试方式：闭卷考试时间：120分钟五、课程综合评定办法1期末闭卷考试：占总成绩60%。
2、平时成绩（作业、考勤情况等）：占总成绩40%3、试题难易程度：基础试题：中等难度试题：较难试题：难度较大的试题=4：3：2：1六、考试教材《离散数学》左孝凌、李为鑑、刘永才编著,上海科学技术文献出版社附：模拟试卷华南理工大学网络教育学院2012– 2013学年度第一学期期末考试《离散数学》试卷（模拟卷）教学中心：专业层次：学号：姓名：座号：注意事项：1. 本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟，闭卷；2. 考前请将以上各项信息填写清楚；3. 所有答案直接做在试卷上,做在草稿纸上无效；一. 判断题(每题2分，共10分)1、设A，B都是合式公式，则A∧B→⌝B也是合式公式。
（√）2. P →Q ⇔⌝P∨Q 。
（√）3、对谓词公式（∀x）（P（y）∨Q（x,y））∧ R（x,y）中的自由变元进行代入后得到公式（∀x）（P（z）∨Q（x, z））∧ R（x,y）。
（×）4．对任意集合A、B、C，有)A-C-B=-。
（√）--A)(C()B(C5. 一个结点到另一个结点可达或相互可达。
(× )二. 单项选择题(每题2分, 共20分)1. 设：p：刘平聪明。
q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：( A )A．P ∧Q B．⌝P∨QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q2. 对于命题公式A，B，当且仅当( B )是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A⇒B。
A．⌝A →⌝B B．A → BC． A →⌝B D．⌝A →B3．设Q（x）：x是有理数，R（x）：x是实数。
命题“每一个有理数是实数”在谓词逻辑中的符号化公式是( A )A．（∀x）（Q（x）→R（x））B．（∀x）（Q（x）∧R（x））C．（∃x）（Q（x）→ R（x）） D．（∃ x）（Q（x）∧ R（x））4．设[0，1]和（0，1）分别表示实数集上的闭区间和开区间，则下列命题中为假的是( D )A ．（0，1）⊆[0，1]B ．{0，1} ⊆ZC ．{0，1} ⊆[0，1]D ．[0，1] ⊆Q5. 设[a,b]和（c,d ）分别表示实数集上的闭区间和开区间，则([0,4] ∩[2,6])-(1,3)=( A )A ．[3，4]B ．(3,4)C ．{3,4}D ．[0，1] ∪[3,6]6. 对于集合{1, 2, 3}，下列关系中不等价的是( B )A ．R={<1,1>，<2,2>, <3,3>}B ．R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>}C ．R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3，2>,<2,3>}D ．R={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}7．设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9，10}，以下哪个关系是从A 到B 的单射函数( B )A ．f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<1，9>，<5，10>}B ．f ={<1，8>，<2，6>，<3，7>，<4，9>，<5，10>}C ．f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<4，6>}D ．f ={<1，10>，<2，6>，<3，7>，<4，8>，<5，10>}8．集合S 的幂集P (S )关于集合的并运算“∪”的零元为( B )A ．ΦB ．SC ．没有D ．P (S )9．下列为欧拉图的是( （4） )10．给定无孤立点无向图G 的边集：{（1，2），（1，3），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5）}，找出图G 的一棵生成树为( A )A ．{（1，2），（1，3），（2，4），（3，5）}B ．{（1，2），（1，3），（2，3），（2，4）}C ．{（1，2），（1，3），（3，5），（4，5）}D ．{（1，2），（3，4），（3，5），（4，5）}三. 填空题 (每题2分，共10分)1．如果二元运算运算*对集合A 封闭， 则意味着对任意的A b a ∈,有a b A *∈。
2．设非空集合A 的幂集为)(A ρ，则在代数系统中>< ,),(A ρ，对于∪运算的幺元是Φ，零元是A ；3．设G 是个具有5个结点的简单无向完全图，则G 有_10_条边。
4．设G 是个无自环的无向图，其中有2个结点的度数为4，其余结点的度为2，有6条边。
则G 中共有_ 4 个结点。
因此，G 是个 欧拉 图。
5、仅当n ≤ 4 时，n K 为平面图。
四、证明推理题(每小题10分，共20分)1、(本题10分)用推理规则证明Q → P ，Q ↔S ， S ↔t ，t ∧ R ⇒P ∧ Q ∧ S ∧ R证 （1）S ↔t 前提引入（2）（S →t ）∧（t →S ) （1）等价转换（3）t →S （2）化简（4）t ∧ R P（5）t （4）化简（6）S （3）（5）假言推理（7）Q ↔S P（8）（Q →S ）∧（S → Q ) （7）等价转换（9）S → Q （8）化简（10）Q （6）（9）假言推理（11）Q → P P（12）P （10）（11）假言推理（13）R （4）化简（14）P ∧ Q ∧ S ∧ R （6）（10）（12）（13）合取2、用(本题10分)推理规则证明∀x （P （x ）→ Q （x ））⇒∀x P （x ）→ ∀x Q （x ）证 （1）∀x （P （x ）→ Q （x ）） 前提引入（2）P （Y ）→ Q （Y ） （1） US（3）∀x P （x ） 附加前提引入（4）P （Y ） （3） US（5）Q （Y ） （2）（4）假言推理（6）∀x Q （x ） （5）UG五、解答题(每小题10分，共40分)1、(本题10分)求下面公式的主析取范式与主合取范式，并写出相应的成真赋值()()()()()P Q R P R Q P ⌝→∧→∨⌝→⌝→⌝解 ()()()()()P Q R P R Q P ⌝→∧→∨⌝→⌝→⌝ ()()()()()P Q R P R Q P ⇔⌝⌝∨∧⌝∨∨⌝⌝⌝∨⌝∨⌝()()()()P Q P R R Q P ⇔∧⌝∨⌝∧∨⌝∨⌝∧()()()()()P Q P R R P Q P ⇔∧⌝∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧()()P Q R P Q R ⇔∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨ ()()()()()()P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧∧⌝ 001011100101110m m m m m ⇔∨∨∨∨，主析取范式，成真赋值为001，011，100，101，110 主合取范式为()()()000010111P Q R P Q R P Q R M M M ⇔∨∨∧∨⌝∨∧⌝∨⌝∨⌝⇔∧∧2、(本题10分)求带权为1，1，2，3，3，4，5，6，7，8的最优三元树解 0 1 1 2 3 3 4 5 6 7 8(2) 2 3 3 4 5 6 7 8(7) (12) (21)(40)()()()3(11)223345678623884W T =⨯++⨯+++++++=+⨯=⎡⎤⎣⎦（作图略）3、(本题10分)求下列最小生成树的权值解 最小树权4+5+6+7=224、(本题10分)设{2,3,4,8,9,10,11},,|A A =<>。