西南交通大学计算流体力学

向量形式
欧拉平衡微分方程
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
向量形式
f
1

gradp 0
gradient 梯度（矢量）
欧拉运动微分方程
1 p dvx fx x dt 1 p dvy fy y dt 1 p dvz fz z dt
不可压缩流体的纳维-斯托克斯(N-S)方程
dvx 1 p 2 fx v x x dt dvy 1 p 2 fy v y y dt 1 p dvz 2 fz v z z dt 1 dv 2 f gradp v dt
令：
SMx f x
( vx ) p div (vx v) S Mx div (grad vx ) t x
得证。
(1-2)式为：
( v x ) p div ( v x v ) div ( grad v x ) S Mx t x
--N-S方程，压力速度耦合方程
vx vx vx div(vx v) vx vy vz x y z
vx vx vx vx 1 p fx div(gradvx ) vx vy vz x t x y z vx 1 p fx div(gradvx ) div(vx v) x t
如何学习计算流体力学？
弄清推导过程，必要时亲自推导
认真完成作业 及时复习高等数学、流体力学相关知识
经常使用matlab，用于推导和计ห้องสมุดไป่ตู้、绘图
计算流体力学的优点及局限性 数值实验的优点是可以任意改变试 验参数，但它同物理试验有相同的限制-它不能给出任何函数关系，因而不能代 替哪怕最简单的理论。 数值试验的研究结论最终要由实验 来验证，因而它不能完全代替实验。
d 2u 1 p 2 dy x
本问题有解析解。因流动为压差流动，可设压强梯度为常数,即
d 2u f 于是： 2 dy fl 2 y 2 y ( 2 ) 代入边界条件得： u 2 l l
p c x
--见陈卓如《工程流体力 学（第二版）》p245
d 2u f 2 dy
(1 35)
(1 5)
通用变量方程
( ) div ( u) div ( grad ) S (1 35) t 由通用变量方程可以得到计算流体力学研究的
瞬态扩散方程 稳态扩散方程 瞬态对流扩散方程 稳态对流扩散方程 压力速度耦合方程
几类模型方程： ( )
为什么要学习计算流体力学？
计算流体力学（Computational Fluid Dynamics）
是流体科学研究的三大手段之一，能起到理论 与实验起不到的作用。对CFD的研究甚至丰富 了计算数学的内容：在1999年华中科技大学出 版的《现代数学手册》丛书的《计算机数学卷》 中，计算流体力学中的差分法是专门的一章 采用计算手段已发现了一些理论上还解不出、 实验上还测不到的流动新现象。如： D.R.Campbell和T.J.Mueller(1968)首先在数值实 验中发现了亚声速斜坡的分离现象，以后在风 洞试验中得到了证明。
2
式中涉及的张量运算规则见下一页
i j k x y z
2
哈密顿算子 （矢量）
2 2 2 拉普拉斯算子 2 2 2 x y z (标量) v y v x v z d ivv v x y z 散度（标量） p p p g ra d p p i j k 梯度(矢量) x y z
t
div ( grad ) S
div( grad ) S 0 ( ) div ( u) div ( grad ) S
t
div( u) div( grad ) S ( ) p div ( v) div ( grad ) S
向量形式
dv f gradp dt
1
欧拉运动微分方程扩展形式
v x v x v x 1 p dvx v x fx vx vy vz x dt t x y z v y v y v y 1 p dvy v y fy vx vy vz y dt t x y z 1 p dvz v z v z v z v z fz vx vy vz z dt t x y z
本课程使用教材
西南交大李人宪编《有限体积法基础》，国防工 业出版社，2008年第二版。
参考教材
1.华中科大李万平编《计算流体力学》，华 中科技大学出版社，2004年10月第一版（有 限差分法和有限体积法，03级使用） 2.上海交大陈汉平编《计算流体力学》，水 利水电出版社，1990年？（有限元法和有限 体积法，02级使用） 3.西安交大陶文铨编《数值传热学》（有限 体积法，重点推荐）
向量形式
流体力学的基本方程的个数
1.
2. 3.
4.
连续性方程 欧拉平衡微分方程 欧拉运动微分方程 N-S方程
其中，4可以代替2、3，故基本方程只有1和4
连续性方程
1 d divv 0 dt
N-S方程（不可压缩流体）
dv v f gradp v （v ) v dt t 1
2 证明： div(grad v) v v
则x向的N-S方程可化为：
vx vx vx vx 1 p fx div(gradvx ) vx vy vz x t x y z
vx v y vz divv v x y z 而：div(v x v ) (v x v ) (v x ) v v x ( v )
非定常项 对流项 扩散项 源项
(1 35)
即使对于热传导过程中的控制方程， 以及可压缩流体的控制方程，通用变 量方程也是适用的 通用变量方程 ( ) div ( u) div ( grad ) S t 热传导方程
( i ) div ( iu) div ( grad ) p div (u) Si t
总之，数值模拟的局限性有
数值模拟要有准确的数学模型
数值试验不能代替物理试验或理论分析 计算方法存在稳定性和收敛性问题
数值模拟受到计算机条件的限制
计算流体力学的基本思想
物理规律往往可以用一些微分或偏微分
方程来表示，如：牛顿第二定律，欧拉 平衡方程，N-S方程等等，其它方程都可 由基本方程在一定的边界条件下导出 但是，这些微分方程只在比较简单的边 界条件下有理论解，而实际工程中的边 界条件往往十分复杂，这此种条件下只 能依赖于数值计算和实验。其中，实验 的成本较高。
t n
对物理问题进行数值计算的通常步骤： 1.划分离散网格 2.构造离散方程 3.引入边条件
4.求解离散方程组
5.得到物理问题的解 构造离散方程的方法有多种
CFD中常用的数值计算方法
有限差分法
有限元法 有限体积法
边界元法
有限差分法的特点
以差分方程代替微分方程来表示流 体流动及传热过程中的控制方程 举例说明如下： 流体在两固定平行平板间作层状流动，x方 向的流动速度为u，y方向的流速为0。由 N-S方程可得：
x向的N-S方程
vx vx vx vx 1 p 2 fx vx vx vy vz x t x y z
以下证明上式可化为教材p1中（1-2）式，即
( v x ) p div ( v x v ) div ( grad v x ) S Mx t x
(边界条件)
5 2 u1 u5 fl 72 1 2 u2 u4 fl 9 1 2 u3 fl 8
节点上的差分解与解析解相同。 但解析解是连续函数，而差分 解是离散值。
本问题也可用有限元法求解
目录
第一章 绪论 第二章 扩散问题的有限体积法 第三章 对流扩散问题的有限体积法
第四章 差分格式问题
第五章 压力--速度耦合问题的有限体积法 第六章 有限体积法离散方程的解法
第七章 非稳态流动问题的有限体积法
第八章 边界条件处理
第一章 绪论
• 为什么要学习计算流体力学？ • 计算流体力学有何特点？包括基础思想、 发展状况、研究方法等 • 本课课程主要内容如何？ • 如何学习计算流体力学？
本问题的差分法求解：1.划分网格，沿y方向将流场等分成6格， 各节点编号为0~6。2.在节点处将控制方程中的微分项用中心差 分代替，则对于每一节点都有： fl 2 ui 1 2ui ui 1 ， i 1~ 5 36
由此形成一个方程组，解此方程组可得 各节点处的流速为
u0 u6 0
div(gradv) v v
2
N-S方程
f
1

gradp 2 v
dv v （v ) v dt t
vx vx vx vx 1 p 2 vx vx vy vz x向的N-S f x x t x y z
v x v x v x ( i j k ) (vx i v y j vz k ) vx ( v) x y z v x v x vx vx vy vz vx divv x y z v x v x vx vx vy vz vx 0 x y z v x v x vx vx vy vz x y z vx vx vx div(vx v) vx vy vz (将此式移至下页) x y z
总结：
连续性方程
1 d divv 0 dt
不可压缩流体的N-S方程
( v x ) p div ( v x v ) div ( grad v x ) S Mx t x
引入通用变量 ,以上两类方程可以写成通用形式， 即通用变量（输运）方程： ( ) div ( u) div ( grad ) S t
流体力学中的基本方程有
连续性方程
欧拉平衡微分方程 欧拉运动微分方程
N-S方程
连续性方程(请写出）
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 t x y z
1 d divv 0 dt
divergence 散度（标量）， div有求和的含意
( vx ) p fx div(gradvx ) div(vx v) x t
( v x ) p f x div (grad v x ) div (v x v ) x t
(将此式移至下页)
( v x ) p f x div (grad v x ) div (v x v ) x t