第2讲 推理与证明(文科答案版)

<教师备案>本板块共两道例题，例1是合情推理，包括归纳推理与类比推理两种；例2是演绎推理，

涉及到其中的三段论推理与完全归纳推理．

推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断．这种思维方式就是推理．

从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论． 推理一般分为合情推理与演绎推理．

1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理． 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．

⑴归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的

推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程． <教师备案>由归纳推理得到的结论是通过猜测得到的，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．

归纳推理的一般步骤：

第1步 通过观察个别情况发现某些相同的性质；

第2步 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．

⑵类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类

事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．

类比推理的一般步骤：

第1步 找出两类事物之间的相似性或一致性；

第2步 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． <教师备案>在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越有关，类比得出

的命题就越可靠．

2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理． 演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真．

<教师备案>因而演绎推理是数学中严格的证明工具． 几种数学中常用的演绎推理规则：

⑴假言推理：通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．符号语言：若p q ⇒，p 真，则q 真；

⑵三段论推理：如果b c a b ⇒⇒，

，则a c ⇒． 知识点睛

2.1合情推理与演绎推理

第2讲

推理与证明

“三段论”是演绎推理的一般模式；包括： ①大前提——已知的一般原理；（通常是已知的定义、定理、公式等） ②小前提——所研究的特殊情况；（通常是已知条件或前面推理的结论） ③结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．

⑶传递性关系推理：如果aRb bRc ，

，则aRc ，其中R 表示具有传递性的关系． ⑷完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则．

<教师备案>在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明，一道证明题，

往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的． ①归纳是由特殊到一般的推理； ②类比是由特殊到特殊的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理．

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确．不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理，文科现在不再学习数学归纳法，． 复式三段论

一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论．可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论．

考点：合情推理

【例1】 ⑴ 已知数列{}n a 的通项公式2

1

()(1)n a n n +=

∈+N ，记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过

计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n =_________．

⑵ 观察以下不等式

222222131,221151,233

111712344+<++<+++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅

可归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式222

111

1()23f n n +++<，则不等式右端 ()f n 的表达式应为_________

⑶ 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以

上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，1612

T

T 成等比数列．

⑷ 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”，直角三角形具有性质“两直角边长的平方和等于斜边边长的平方”．仿照此性质写出直角三棱锥所具有的性质：__________________________________． 【解析】 ⑴ 2

2(1)

n n ++

经典精讲

1231114916a a a ===，，，3(1)4

f =，3824(2)4936f =⨯==，2155(3)3168f =⨯=，

推测2

()2(1)

n f n n +=+．

⑵ ()212n n n

-≥

注意1n =时不成立． ⑶ 81248T T

T T ，．

⑷ 三个直角面的面积的平方和等于斜面的面积的平方；

证明过程如下：

如图，A 为三直角顶点，过A 作BC 的垂线AE ，交BC 于E ，连结DE ，则BC DE ⊥．

∵2222211

44

ABC S AB AC BC AE ∆=⋅=⋅，

22214DAB S AB DA ∆=⋅，222

14DAC S AC DA ∆=⋅，

22222211

()44DBC S BC DE BC AE DA ∆=⋅=+

2222211()44BC AE AB AC DA =⋅++ 222222111

444

BC AE AB DA AC AD =⋅+⋅+⋅， ∴2222ABC ACD ADB BCD S S S S ∆∆∆∆++=．

尖子班学案1

【拓1】 ⑴ 从222112343345675=++=++++=，，，2456789107++++++=这四个式子中，得

到的一般性结论是___________． ⑵ 下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质22||x x =类比得到复数z 的性质22||z z =；

③已知a b ∈R ，

，若0a b ->，则a b >类比得已知12z z ∈C ，，若120z z ->，则12z z >; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中推理结论正确．．

的是 【解析】 ⑴ 2(1)(32)(21)n n n n +++⋅⋅⋅+-=-． ⑵ ①④

目标班学案1

【拓2】 ⑴ 已知数列1212312341213214321，，，，，，，，，，，则8

9

是该数列的第 项．

⑵ 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则

2AG

GD

=”

．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD △的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO

OM

=（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】 ⑴ 128；

E

D C B A