集合-讲义版

集合

【知识点】 一、集合与元素

1．概念：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．集合通常用大写的拉丁字母表示，如 Q P C B A 、、、、元素通常用小写的拉丁字母表示，如 q p c b a 、、、、 例如：{}c b a A ,,=

2．元素对于集合的隶属关系：（1）属于：∈；（2）不属于：∉． 3．特定集合的表示 常用数集及其记法：

①非负整数集（即自然数集）记作：N ；②正整数集*

N 或+N ；③整数集Z ；④有理数集Q ；⑤实数集R ． 4．集合的分类：（1）有限集；（2）无限集．

5．集合中元素的特征：（1）互异性；（2）无序性；（3）确定性． 6．集合的表示方法： （1）自然语言法； （2）列举法；

注：元素不重复，不计次序，且元素之间用“，”隔开 （3）描述法；

①写清集合中代表的元素符号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素的性质，如方程、不等式等． 例如：{}(){}

1,,21=+>+y x y x x x （4）Venn 图法；

用平面上封闭曲线的内部表示集合．

二、集合间的基本关系

1．子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则说集合A 与集合B 有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）． （1）“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素 课程类型：☐ 1对1课程 Mini 课程 ☐ MVP 课程

B

A

2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果

B A ⊆，并且

B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B

或B

A ，读作A 真包含于

B （或B 真包含A ）．

3．集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时，集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，即：A 是B 的子集且B 是A 的子集，则集合A 与集合B 相等，记作：A =B ． 4．空集：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅． （1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集 5．有限集合的子集个数：

①一个元素的集合：子集共有2个、真子集有1个； ②两个元素的集合：子集共有4个、真子集有3个； ③三个元素的集合：子集共有8个、真子集有7个；

以此类推，n 个元素的集合有n

2个子集；有12-n 个非空子集；有12-n 个真子集；有22-n

个非空真子集．

三、集合之间的运算 1．并集

（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？

（2）观察集合{

}{4,3,2,3,2,1==B A 与集合4,3,2,1=C 之间的关系 在上述两个例子中，集合A ，B 与集合C 之间都具有这样的一种关系：集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的．

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ），记作：B A ，读作：“A 并B ”，即：{}A

B x x A x B =∈∈或，它的Venn 图表示如上图．

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．

2．交集

（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A ，集合B 有什么关系？

（2）观察集合{

}{}4,3,2,3,2,1==B A 与集合{}3,2=C 之间的关系． 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）．记作：B A ，读作：“A 交B ”即：{}

B x A x x B A ∈∈=且 ，交集的Venn 图表示如上图．

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合． 3．补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），简称为集合A 的补集， 记作：

U

A ，即：

{}U

A x x U x A =∈∉且，补集的Venn 图表示如下

A U

C U A

说明：补集的概念必须要有全集的限制，例如

U

A 与I A 不一定相等，因为全集可能不一样．

4．集合基本运算的结论：（可通过V enn 图来理解） （1）若A B A = ，则B A ⊆，反之也成立 （2）若B B A = ，则B A ⊆，反之也成立

【课堂演练】

题型一 集合与元素的关系 ➢ 集合的概念

例1 下面各组对象可以构成集合的是 ． （1）快乐学习期暑期班个子较高的学员； （2）和2007非常接近的数； （3）1，2，4，5，2，3； （4）暑期集训营所有带队老师．

练1 下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{}7,5,3,0

B ．“个子较高的人”不能构成集合

C ．方程0122=+-x x 的解集是{

}1,1 D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2|

练2 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数； （2）好心的人； （3）1，2，2，3，4，5．

➢ 元素与集合的关系 例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1）14.3_____Q ； （2）π_____Q ； （3）0_____+N ； （4）0)2(-_____N +； （5）32_____Q ；

（6）32_____R ．

练3 用符号“∈”或“∉”填空： （1）2_____N ； （2）0_____N ； （3）0_____Z ； （4）3_____Q ；

（5）2_____Q ； （6）1.5_____Z ．