初二数学分段函数练习题.doc

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微专题20 分段函数问题(解析版)

微专题20 分段函数问题【题型归纳目录】题型一：函数三要素的应用题型二：函数性质与零点的应用题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]【解析】解：f （1）4=，f ∴（a ）()8f a --，当0a =时，满足条件；0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，整理得：8a ， (0a ∴∈，8]0a <时，222[()3]8a a a a ----，整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]【解析】解：22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩， ()f x ∴为偶函数，()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1），当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，11a ∴-，故选：D ．例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞2]D ．(2)+∞【解析】解：()y f x =的图象如图所示，(f f （a ）)2，f ∴（a ）2-，由函数图象可知2a ．故选：C ．变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266【解析】解：当1x 时，2()0f x x =；当1x >时，66()626266f x x x x x=+--=，当且仅当6x x=，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值为266，对应的x 6．故选：A ．变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )A ．{|21}x x-B ．{|12}x x +C ．{|12}x x <+D ．{|12}x x >【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)1]1x x x ++-++即21x -此时1x <-当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-解得1221x --此时121x--总之，不等式的解集为{|21}x x -故选：A ．变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．【解析】解：根据题意，23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=，则((1))f g f -=（2）431=-=-，故答案为：1．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1[()]9f f = ．【解析】解：3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，f ∴（9）3log 92==，[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311[()](log )(2)99f f f f f ==-=（1）3log 10==．故答案为：2；1；0变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是．【解析】解：由题意22&,1(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x-，故得021x-综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是．【解析】解：在坐标系中作出函数()21111x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩或的图象，观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数()g x ∴的值域是[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞．题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,)23D ．16(,]211【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪-<⎨⎪-+=⎩，即0113611a a a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩，即16311a <，故选：B ．例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是() A ．15(,)38B ．15(,]38C ．1(,1)3D ．16(,]311【解析】解：函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足13001681a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⎩，解得1538a <，故选：B ．例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200101(1)a a a a e >⎧⎪>⎨⎪+-⎩； 12a ∴<；②若()f x 在R 上单调递减，则： 01a a <⎧⎨>⎩； a ∴∈∅；a ∴的取值范围为(1，2]．故选：B ．变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩，则()y f x x =-的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-．画出函数()y f x =与y x =的图象如图：则()y f x x =-的零点有2个．故选：B ．变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为．【解析】解：作出()f x 的图象如图：当9x >时，由()40f x x ==，得16x =，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<，因为f （a ）f =（b ）f =（c ），所以由图象可知039a b <<<<，916c <<，由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-，即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =，则9ab =，所以9abc c =，因为916c <<，所以819144c <<，即81144abc <<，所以abc 的取值范围是(81,144)．故答案为：(81,144)．变式9．已知函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f=（c ），则abc 的取值范围为．【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩的图象如图，不妨设a b c <<，则3423c <<+由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，abc ∴的取值范围为(3,423)+．故答案为：(3,423)+．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式．【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-，又()f x 为奇函数，22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，∴当0x >时，2()f x x x =-+，又(0)0f =符合上式，综上得，22,0(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，当04x <时，2()4x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2），可得(||)h t h >（2），即为||2t <，且0t ≠，解得22t -<<，且0t ≠，则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)．题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12m， ∴正实数m 的最小值是12．故选：A ．例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈ ) A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-【解析】解：对于函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<；当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<；故实数k 一定在区间(0,1)之间，若2()()g x k g x -=；则可化为22()21g x x x k=-=+；显然有两个不同的根，若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+；故△2444log 0k =++>；即14k >；综上所述，实数1(,1)4k ∈；故选：B ．例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设()f x t =，可得 3()2()04f t t -+=，分别作出()y f x =和322y x =+的图象，可得它们有两个交点，即方程3()2()04f t t -+=有两根，一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈，由()0f x =，可得2x =；由2()f x t =，可得x 有3个解，综上可得方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4．故选：B ．变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是( )A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点；综上，选项BCD 正确．故选：BCD ．变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0B ．13C ．12D ．1【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根，当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+，由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数，由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数，即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-，作出()f x 的图象如图：要使()f x b =有三个根，则01b <，故选：BCD ．变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解【解析】解：因为该函数为奇函数，所以，222,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，该函数图象如下：对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确；对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ；3()2f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或317m =-，故D 错误；对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误．故选：AC ．变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是( )A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若2x <-，则2x ->，则2()()23f x f x x -==---，则2()23f x x =+，2x <-．若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-，即2()22f x x x =---，20x -<，当0x =，则(0)0f =．作出函数()f x 的图象如图：对于A ，联立222y kxy x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确；对于C ，当52x =时，52()152232f ==⨯-，则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3()2f x =的根与()f x m =根关于原点对称，则32m =-，但0x >时，方程3()2f x =有3个根，设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<，则有23232x =-，得136x =，即3136x =， 122x x +=，则三个根之和为1325266+=，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0，则()f x m =的根为256-，此时25263()2561682()36m f =-==-=-⨯-+，故D 错误，故选：AC ．变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是．【解析】解：①若2k =，则22,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，作函数()f x 的图象如下图所示，显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <，又0k ，则实数k 的取值范围为01k <．故答案为：1-；[0，1)．题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )A 35- B 35+ C 15+D 15-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 15152x-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --==，当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --=，当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535()(min f x f ++== 综上所述：35()min f x -= 故选：A ．例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是( )A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn gx sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-【解析】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，11()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，11(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，当0x >时，kx x >，11()()033kx x -<，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；当0x =时，0kx x ==，11()()033kx x -=，(())0sgn g x =，()0sgn x =；当0x <时，kx x <，11()()033kx x ->，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．(())()sgn g x sgn x ∴=-．故选：B ．例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若UA B =，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈，因为1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x Bf x x B∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 中的元素，但UB 中不可能有A 中的元素，所以()()A B f x f x ，即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立，故选项A 正确；对于B ，因为1,()0,()ABU x A Bf x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，当某个元素x 在A 中且在B 中，由于它在AB 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠+，故选项B 错误；对于C ，1,1,0,()0,()()ABU U U x A B x A Bf x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，1,1,1,()()0,0,0,()()A B U U U U x A x B x A Bf x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨∈∈∈⎪⎩⎩⎩，故选项C 正确；对于D ，因为1,()0,U U A x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩，所以()1()B A f x f x =-，即()()1A B f x f x +=，故选项D 正确．故选：B ．变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =【解析】解：由题意，可得对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x Bf x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 的元素，但UB 中不可能有A 的元素()()A B f x f x ∴，即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确；对于B ，因为1,0,U U C A x C Af x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确；对于C ，1,1,()0,()0,()()A BU U U x A B x A Bf x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩1,1,()()0,0,A B U U x Ax Bf x f x x C Ax C B ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩，故C 正确；对于D ，1,()0,()ABU x A B f x x C AB ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠由此可得D 不正确．故选：D ．变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是．【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2x x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，故当12x =时，()f x 有最小值13()22f =，故答案为：32．变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是．【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩，由()f x 的解析式可得，11()()22m m f x f x --+=-，即有()f x 的对称轴为12m x -=，则113()||222m m f -+==，解得2m =或4-，故答案为：2或4-．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是．【解析】解：画出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩和函数1()x g x k+=的图象，若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点，结合图象可得：1PA PC k k k<， 112(1)3PA k ==--，111(1)2PC k ==--，故11132k <，求得23k <，故答案为：23k <．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t的最大值为（） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】B【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以0124t t t >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为53，故选：B.2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-C ．[)1,2-D ．[)0,4【答案】D【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10xf x f =-<=；当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=；所以()f x 在R 上单调递增，又由()()21f ax f ax <+，则有21ax ax <+，由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解不等式组，得04a <<；综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）． A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得233a ≤<，即a 的取值范围是2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：C.4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，画出函数2123313,,4322y x y x y x x =-+=+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =，故选：D5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3【答案】A【解析】当0x >时，由基本不等式可得()114246f x x a x a a x x=+++≥⋅+=+，当且仅当=1x 时，等号成立；当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，由题意可得()()2min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭【答案】C【解析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩，解得2x =-. 故选：A ．8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（） A ．15[-- B ．15-+ C ．1515[---+ D ．15[-+ 【答案】B【解析】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2yx 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在R 上单调递增，因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()24()f x t f x +≤，所以()2(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()222110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，所以()()22201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得150t -+≤≤，所以实数t 的取值范围是15-+，故选：B9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪->⎩，∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，由图象可知()f x 无最小值，故选：AD.11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（）A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求，当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<，所以不等式①的解为13x ≤≤；由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >，所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或，令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12，令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74.故选：AD.12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称【答案】ABC【解析】由22113x x -++≥，解得：24x -≤≤，故23211,24()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩或，A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤；当42x x -或><时，3()3f x =，故值域为[3,12]，本选项符合题意；C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =，故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；D ．2312,33(1)3,33x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．故选：ABC ．13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（）A ．()1f x x x -=为“不动点”函数B ．()253f x x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -= 【答案】ABC【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭（有一个满足足矣），所以()1f x x x-=为“不动点”函数，故A 说法正确；对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；对于C ，当1x ≤时，()221f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12x =-或=1x ；当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）；综上：1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()22++f t t t t t t --=，整理得()2222f t t t t --+=+，所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________．【答案】)1,2⎡⎣【解析】由已知，函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数，则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，所以20021a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________. 【答案】1-【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--，所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-．故答案为：1-．16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.513- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥313x -≤ 则()()(){}23133132,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩，当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭， 313313x -+<<513- 513- 513- 四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩． 11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩且()2f a =，所以3+5=20a a ≤⎧⎨⎩，解得1a =-；或+5=20<<1a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）；或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩，解得=3a .综上：1a =-或=3a ．19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .所以()27f x x =+（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=2a （舍去）．故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围．【解析】（1）由题意可得，当()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+< ⎪⎝⎭，所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩当1a =时，()2213,2,211, 2.2x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1：由图可知()M x 的最小值为()512f -=．（2）()222212,2,212,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．①如图2，当21a -≤-，即12a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112a ≤<．②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．③如图4，当21a ->，即12a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112a -<<-．综上，a 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x xx x f x f x --=--=-=-++．由题意，知(0)0f =，又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，∴()()()2,1,0412,0,1410,1,0,1xx xx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎪⎩，（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21x kx k x kx k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。

分段函数求f(f(x))类型的题目

文章主题：分段函数求f(f(x))类型的题目一、概念介绍分段函数是指在定义域上被分成若干个部分，每个部分用一个不同的函数表达式来表示的函数。

而对于求解f(f(x))类型的题目，首先需要了解分段函数和复合函数的概念。

分段函数的定义域被分成若干个部分，每个部分用一个不同的函数表达式来表示。

复合函数是由一个函数和另一个函数构成的复合而成的新函数。

当要求f(f(x))时，即是对函数f(x)的输出再次进行f函数的操作。

二、分段函数求f(f(x))的具体步骤1. 根据题目给出的分段函数的各个部分的定义域和表达式，对每个部分进行逐一求解f(x)的值。

2. 将得到的f(x)值作为新的输入，再次代入原函数中，得到f(f(x))的值。

3. 根据题目要求，对f(f(x))的值进行进一步的化简或计算。

三、举例说明为了更好地理解分段函数求f(f(x))类型的题目，我们来举一个具体的例子：题目：已知分段函数f(x)为f(x) = {-2x, x < 0x^2, x >= 0}求f(f(x))的表达式和定义域。

解：根据题目给出的分段函数，我们分别对x < 0和x >= 0的情况进行求解。

当x < 0时，f(x) = -2x当x >= 0时，f(x) = x^2将求得的f(x)值作为新的输入代入原函数中，得到f(f(x))的值。

当x < 0时，f(f(x)) = f(-2x) = -2*(-2x) = 4x当x >= 0时，f(f(x)) = f(x^2) = (x^2)^2 = x^4得到f(f(x))的表达式为f(f(x)) = {4x, x < 0x^4, x >= 0}而f(f(x))的定义域为整个实数集。

四、总结回顾通过上面的例子，我们可以发现，分段函数求f(f(x))的过程其实就是先求出f(x)的值，然后再将f(x)的值作为新的输入代入原函数中，得到f(f(x))的值。

初中数学复习——分段函数习题

65150O y x 1.A 、B 两地相距630千米，客车、货车分别从A 、B 两地同时出发，匀速相向行驶．货车2小时可到达途中C 站，14小时到达A 地，客车需6小时到达C 站．已知客车、货车到．C ．站的距离．．．．与它们行驶时间x （小时）之间的函数关系如图1所示，A 、B 两地与C 站的位置如图2所示，则图中的a = ，b = ，客车的速度为千米/小时.2.甲、乙两车同时从A 地出发，以各自的速度匀速向B 地行驶.甲车先到达B 地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇.若甲、乙两车之间的距离y(千米)与两车行驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示，则A 、B 两地之间的距离为千米.3.有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进了技术，提高了工作效率.图①表示甲、乙合作完成的工作量y （件）与工作时间t （时）的函数图象.图②分别表示甲完成的工作量y 甲（件）、乙完成的工作量y 乙（件）与工作时间t （时）的函数图象，则甲每小时完成件，乙提高工作效率后，再工作个小时与甲完成的工作量相等.4.某市在实施“村村通”工程中，决定在A 、B 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A 、B 两村同时相向开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队所修道路的长度y(米)与修筑时间x(天)之间的函数图象，根据图象提供的信息，则该公路的总长度为．5.有甲，乙两个形状完全相同的容器都装有大小分别相同的一个进水管和一个出水管，两容器单位时间进、出的水量各自都是一定的.已知甲容器单开进水管第10分钟把空容器注满；y （吨）x （小时）126210然后同时打开进、出水管，第30分钟可把甲容器的水放完，甲容器中的水量Q （升）随时间t （分）变化的图象如图1所示.而乙容器内原有一部分水，先打开进水管5分钟，再打开出水管，进、出水管同时开放，第20分钟把容器中的水放完，乙容器中的水量Q （升）随时间t （分）变化的图象如图2所示，则乙容器内原有水升.6.一个生产、装箱流水线，生产前没有积压产品，开始的2小时只生产，2小时后安排装箱（生产没有停止），6小时后生产停止只安排装箱，第12小时时生产流水线上刚好又没有积压产品，已知流水线的生产、装箱的速度保持不变，流水线上积压产品（没有装箱产品）y 吨与流水线工作时间x （小时）之间的函数关系如图所示，则流水线上产品装箱的速度为吨/小时.7.某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费，每月收取水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系如图．按上述分段收费标准，小明家三、四月份分别交水费26和18元，则三月份比四月份节约用水_______吨．8.．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完。

分段函数培优经典题

分段函数培优经典题
问题描述
分段函数是数学中常见的一种函数形式，其定义域被划分为不同的区间，并对每个区间内的值进行不同的计算规则。

本文将介绍一些经典的分段函数题目，帮助学生更好地理解和应用分段函数。

题目一
已知函数 f(x) =
{
x^2 - 2 (x < 0),
3x + 1 (0 ≤ x ≤ 2),
4 - 2x (x > 2)
}
试回答以下问题：
1. 函数 f(x) 的定义域是什么？
2. 函数 f(x) 的值在哪些点上不连续？
3. 分别计算 f(-2), f(1), f(3) 的值。

题目二
函数 g(x) 的定义域为实数集，满足以下条件：
g(x) =
{
x^3 - 2x^2 + 3x (x < -1),
4x - 1 (-1 ≤ x < 0),
2 - x (x ≥ 0)
}
试回答以下问题：
1. 函数 g(x) 的定义域是什么？
2. 函数 g(x) 的值在哪些点上不连续？
3. 分别计算 g(-2), g(-1), g(0), g(1) 的值。

结论
通过解答以上题目，我们可以加深对分段函数的理解。

分段函
数在真实世界中有许多应用，例如模拟物理过程、描述市场需求等。

熟练掌握分段函数的特点和计算方法，对数学研究和实际问题求解
都具有重要意义。

希望本文能帮助您理解和应用分段函数，加强对该内容的学习
和掌握。

(完整版)分段函数练习题精选

分段函数练习题精选1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（） A.0 B.1 C.2 D.32、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则)3(f 的值为（）A ．1- B. 2- C. 1 D. 23、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （） A.823- B. 111 C. 191 D. 241 4、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（） A.1B.2- C.1，2- D.1,2 5、（2009天津卷）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞6、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞YD ．),1()1,(+∞--∞Y7、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1)（B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)78、（2010天津卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x x x f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（）A ．)1,0()0,1(Y -B ．),1()1,(+∞--∞YC ．),1()0,1(+∞-YD ．)1,0()1,(Y --∞9、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20(10、（2010天津卷）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（）A ．),1(]0,49[+∞-YB ．),0[+∞C ．),49[+∞-D ．),2(]0,49[+∞-Y 11、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（） A ．]2,1[ B ．()2,∞- C ．[)+∞,1 D ．(]1,∞-12、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．313.函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．114、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝。

分段函数初二数学练习题

分段函数初二数学练习题题目一：已知分段函数f(x)如下：f(x) = 3x + 1, x ≤ 1f(x) = 2x - 2, x > 1问题一：求f(-2)的值。

解答一：根据给定的分段函数，当x ≤ 1时，f(x) = 3x + 1。

因此，在问题一中，由于-2 ≤ 1，我们需要计算f(-2)的值。

代入x = -2到第一个分段函数中，得到f(-2) = 3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5。

因此，f(-2)的值为-5。

问题二：求f(2)的值。

解答二：根据给定的分段函数，当x > 1时，f(x) = 2x - 2。

因此，在问题二中，由于2 > 1，我们需要计算f(2)的值。

代入x = 2到第二个分段函数中，得到f(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2。

因此，f(2)的值为2。

题目二：已知分段函数g(x)如下：g(x) = x^2, x < 2g(x) = 2x + 1, x ≥ 2问题一：求g(0)的值。

解答一：根据给定的分段函数，当x < 2时，g(x) = x^2。

因此，在问题一中，由于0 < 2，我们需要计算g(0)的值。

代入x = 0到第一个分段函数中，得到g(0) = 0^2 = 0。

因此，g(0)的值为0。

问题二：求g(3)的值。

解答二：根据给定的分段函数，当x ≥ 2时，g(x) = 2x + 1。

因此，在问题二中，由于3 ≥ 2，我们需要计算g(3)的值。

代入x = 3到第二个分段函数中，得到g(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7。

因此，g(3)的值为7。

总结起来，通过以上两个问题的解答可以看出，在计算分段函数的值时，我们需要根据给定的条件来选择合适的分段函数进行代入计算。

只要根据给定的条件，正确选择对应的分段函数进行计算，就可以得到分段函数在给定点的值。

这样的练习题有助于我们熟悉和掌握分段函数的概念和计算方法。

初二分段函数练习题

初二分段函数练习题题目一：已知分段函数为：\[ \begin{cases}x+1 & (x\leqslant -2) \\-2x & (-2<x\leqslant 0) \\x^2-4 & (x>0) \\\end{cases} \]试求以下值：1. $ f(-3) $2. $ f(-1) $3. $ f(1) $4. $ f(2) $解答：1. $ f(-3) $：根据给定的分段函数，当 $ x\leqslant -2 $ 时， $ f(x) = x+1 $，代入 $ x = -3 $ ，得到：\[ f(-3) = (-3) + 1 = -2 \]2. $ f(-1) $：根据给定的分段函数，当 $ -2<x\leqslant 0 $ 时， $ f(x) = -2x $，代入 $ x = -1 $ ，得到：\[ f(-1) = -2(-1) = 2 \]3. $ f(1) $：根据给定的分段函数，当 $ x>0 $ 时， $ f(x) = x^2-4 $，代入 $ x = 1 $ ，得到：\[ f(1) = 1^2-4 = -3 \]4. $ f(2) $：根据给定的分段函数，当 $ x>0 $ 时， $ f(x) = x^2-4 $，代入 $ x = 2 $ ，得到：\[ f(2) = 2^2-4 = 0 \]综上所述，根据给定的分段函数，求得以下值：1. $ f(-3) = -2 $2. $ f(-1) = 2 $3. $ f(1) = -3 $4. $ f(2) = 0 $题目二：已知分段函数为：\[ \begin{cases}2x+1 & (x\leqslant 1) \\x^2-1 & (x>1) \\\end{cases} \]试求以下值：1. $ f(-2) $2. $ f(0) $3. $ f(1) $4. $ f(2) $解答：1. $ f(-2) $：根据给定的分段函数，当 $ x\leqslant 1 $ 时， $ f(x) =2x+1 $，代入 $ x = -2 $ ，得到：\[ f(-2) = 2(-2) + 1 = -3 \]2. $ f(0) $：根据给定的分段函数，当 $ x\leqslant 1 $ 时， $ f(x) =2x+1 $，代入 $ x = 0 $ ，得到：\[ f(0) = 2(0) + 1 = 1 \]3. $ f(1) $：根据给定的分段函数，当 $ x>1 $ 时， $ f(x) = x^2-1 $，代入 $ x = 1 $ ，得到：\[ f(1) = 1^2-1 = 0 \]4. $ f(2) $：根据给定的分段函数，当 $ x>1 $ 时， $ f(x) = x^2-1 $，代入 $ x = 2 $ ，得到：\[ f(2) = 2^2-1 = 3 \]综上所述，根据给定的分段函数，求得以下值：1. $ f(-2) = -3 $2. $ f(0) = 1 $3. $ f(1) = 0 $4. $ f(2) = 3 $题目三：已知分段函数为：\[ \begin{cases}-2x-3 & (x\leqslant -1) \\3 & (-1<x\leqslant 0) \\x^2-1 & (x>0) \\\end{cases} \]试求以下值：1. $ f(-2) $2. $ f(-1) $3. $ f(0) $4. $ f(1) $解答：1. $ f(-2) $：根据给定的分段函数，当 $ x\leqslant -1 $ 时， $ f(x) = -2x-3 $，代入 $ x = -2 $ ，得到：\[ f(-2) = -2(-2) - 3 = 1 \]2. $ f(-1) $：根据给定的分段函数，当 $ -1<x\leqslant 0 $ 时， $ f(x) = 3 $，代入 $ x = -1 $ ，得到：\[ f(-1) = 3 \]3. $ f(0) $：根据给定的分段函数，当 $ -1<x\leqslant 0 $ 时， $ f(x) = 3 $，代入 $ x = 0 $ ，得到：\[ f(0) = 3 \]4. $ f(1) $：根据给定的分段函数，当 $ x>0 $ 时， $ f(x) = x^2-1 $，代入 $ x = 1 $ ，得到：\[ f(1) = 1^2-1 = 0 \]综上所述，根据给定的分段函数，求得以下值：1. $ f(-2) = 1 $2. $ f(-1) = 3 $3. $ f(0) = 3 $4. $ f(1) = 0 $通过以上练习题，我们进一步熟悉了分段函数的求值方法，并学会了根据给定的函数表达式求取特定值的技巧。

分段函数(含答案)

22、（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是140元，小张应得的工资总额是2800元，此时，小李种植水果10亩，小李应得的报酬是1500元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据图象数据解答即可；（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．解答：解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，小张应得的工资总额是：140×20=2800元，此时，小李种植水果：30﹣20=10亩，小李应得的报酬是1500元；故答案为：140；2800；10；1500；（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），∴，解得，所以，z=120n+300（10＜n≤30）；（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，∵函数图象经过点（10，160），（30，120），S ∕海里 13 0 5 8 150 t ∕小时343 ∴，解得， ∴y=﹣2m+180，∵m+n=30，∴n=30﹣m ，∴①当10＜m ≤20时，10＜m ≤20，w=m （﹣2m+180）+120n+300，=m （﹣2m+180）+120（30﹣m ）+300，=﹣2m 2+60m+3900，②当20＜m ≤30时，0＜n ≤10，w=m （﹣2m+180）+150n ，=m （﹣2m+180）+150（30﹣m ），=﹣2m 2+30m+4500，所以，w 与m 之间的函数关系式为w=．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难点在于要分情况讨论并注意m 、n 的取值范围的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．19、（2013凤阳县县直义教教研中心）（本小题满分10分）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s 和它离开港口的时间t 的函数关系式.（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？解：（1）当0≤t ≤5时 s=30t ………………………………（1分）当5＜t ≤8时 s =150 …………………………………………… （2分）当8＜t ≤13时 s =－30t +390 ………………………………………（3分）（2）渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s =kt +b………………………………………………（4分）解得： k =45 b =－360∴s =45t －360 ………………………………………………（5分）解得 t =10 s =90渔船离黄岩岛距离为 150－90=60 （海里） ……………………………（6分）(3) S 渔=－30t +390S 渔政=45t －360分两种情况：① S 渔－S 渔政=30－30t +390－（45t －360）=30解得t =485（或9.6） -……………………………………………… （8分） ② S 渔政－S 渔=3045t －360－（－30t +390）=30解得 t =525（或10.4） ∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里. (10)17、（2013•徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价（元/m 3）不超出75m 3的部分2.5 超出75m 3不超出125m 3的部分a 超出125m 3的部分a+0.25 （1）若甲用户3月份的用气量为60m 3，则应缴费 150 元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y （元），每月的用气量为x （m 3），y 与x 之间的关系如图所示，求a 的值及y 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m 3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？B考点：一次函数的应用．分析：（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；（2）结合统计表的数据）根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况：x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以．解答：解：（1）由题意，得60×2.5=150（元）；（2）由题意，得a=（325﹣75×2.5）÷（125﹣75），a=2.75，∴a+0.25=3，设OA的解析式为y1=k1x，则有2.5×75=75k1，∴k1=2.5，∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）；设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得，解得：，∴线段AB的解析式为：y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）；（385﹣325）÷3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，由图象，得，解得：，∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125）（3）设乙用户2月份用气xm 3，则3月份用气（175﹣x ）m3，当x ＞125，175﹣x ≤75时，3x ﹣50+2.5（175﹣x ）=455，解得：x=135，175﹣135=40，符合题意；当75＜x ≤125，175﹣x ≤75时，2.75x ﹣18.75+2.5（175﹣x ）=455，解得：x=145，不符合题意，舍去；当75＜x ≤125，75＜175﹣x ≤125时，2.75x ﹣18.75+2.75（175﹣x ）=455，此方程无解．∴乙用户2、3月份的用气量各是135m 3，40m 3．点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．（2012湖北黄石，23，8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）⑴请写出每平方米售价y （元/米2）与楼层x （2≤x≤23，x 是正整数）之间的函数解析式． ⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．【答案】（1）①当2≤x ≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x ）×20＝20x ＋2840 (元／平方米)②当9≤x ≤23时，每平方米的售价应为：3000＋（x －8）·40＝40x ＋2680(元／平方米)∴{8)x (22840,20x 23)x (92680,40x ≤≤+≤≤+=y ， x 为正整数（2）由（1）知：①当2≤x≤8时，小张首付款为（20x ＋2840）·120·30%＝36（20x ＋2840）≤36（20·8＋2840）＝108000元＜120000元∴2～8层可任选②当9≤x≤23时，小张首付款为（40x ＋2680）·120·30%＝36（40x ＋2680）元36（40x ＋2680）≤120000，解得：x ≤3116349= ∵x 为正整数，∴9≤x ≤16综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y 1＝(40·16＋2680) ·120·92%－60a （元）若按老王的想法则要交房款为：y 2＝(40·16＋2680) ·120·91%（元）∵y1－y2＝3984－60a∴当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66．4，此时老王想法正确；当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66．4，此时老王想法不正确．。

初二分段函数试题及答案

初二分段函数试题及答案一、选择题1. 已知分段函数f(x)定义如下：f(x) = { 2x-1, x ≥ 0{ x+3, x < 0则f(-1)的值为（）A. 2B. 1C. -2D. 4答案：C2. 函数g(x) = { 3x, x > 0{ 2x-1, x ≤ 0下列哪个值不在g(x)的值域内？（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D3. 若分段函数h(x) = { x^2, x ≥ 0 { -x+1, x < 0则h(1) + h(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题4. 已知分段函数p(x) = { 4x+1, x ≥ 1 { 3x-2, x < 1当x=2时，p(x)的值为________。

答案：95. 函数q(x) = { 5-x, x ≥ 2{ x+1, x < 2当x=1.5时，q(x)的值为________。

答案：2.56. 给定分段函数r(x) = { x+4, x > 0{ 2x-3, x ≤ 0若r(x) = 5，求x的值。

答案：x=1 或 x=-1三、解答题7. 已知分段函数s(x) = { 2x+3, x ≥ 0{ -x+1, x < 0求s(x)在x=0处的值，并判断s(x)在x=0处是否连续。

答案：s(0) = 3，s(x)在x=0处连续。

8. 函数t(x) = { 3x+2, x ≥ -1{ -2x+4, x < -1求t(x)在x=-1处的值，并判断t(x)在x=-1处是否连续。

答案：t(-1) = 1，t(x)在x=-1处不连续。

9. 已知分段函数u(x) = { x^2-4x+3, x ≥ 1{ -x+2, x < 1求u(x)的值域。

答案：u(x)的值域为[-2, +∞)。

10. 函数v(x) = { 4x-1, x ≥ 2{ x^2+1, x < 2求v(x)在x=2处的左极限和右极限，并判断v(x)在x=2处是否连续。

八年级分段函数练习

分段函数的单调性
定义
分段函数在其定义域内某区间的单调性是指在该区间内，函数值随自变量的增大而增大或减小。
判断方法
分别检查各段函数在各自定义域内的单调性，并注意连接点处的
变化趋势。
举例
分段函数$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 x, & x > 0
end{cases}$在$(-infty, 0]$上单调递减，在$(0, +infty)$上单调
分段函数的计算方法
方法一
方法二
方法三
举例
分段处理：根据自变量所在的区间选择相应的函数表达式进行计算。
连续性处理：利用连续性，将分段函数视为一个整体进行计算。
极限和连续性处理：在连接点处利用极限和连续性的性质进行计算。
计算分段函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 2x, & x leq 1 x^2 + 2x, & x > 1 end{cases}$在$x=1$处的值，由于连续性，可以直接代入$x=1$得到结果1。
题目三解析与答案
根据题目三给出的分段函数，当$x = 0$时，属于$x < 2$的范围，所以应该使用第二个分段进行计算。代入得$f(0) = 0 + 1 = 1$。
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它根据不同的x值范围，有不同的函数表达式。
分段函数的特点
分段函数具有不连续性。在分段点上，分段函数可能不连续、不光滑或者不可微。
分段函数在定义域内可以有多个不同的函数表达式。
分段函数的应用场景
分段函数在现实生活中有着广泛的应用，例如气温变化、股票价格波动、人口统计等。

分段函数习题

分段函数习题(共12页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--分段函数解析式、求值一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数2,0()31,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则(1)(2)f f -+的值为（）A ．6B ．5C ．1D ．02．已知函数2log ,0,()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（） A ．27B ．9C ．127D ．193．已知函数21log (2),1()2,1xx x f x x +-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 6)f f -+=（） A ．3B ．6C ．9D ．124．已知函数()()()log 0 10a x x x f x b x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，且()92f =，()13f -=，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦（）A ．12B ．12-C ．2D ．-25．设函数3,10,()((5)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(7)f 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．86．函数4,0()(),0x t x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩为定义在R 上的奇函数，则21log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（） A ．23B ．-9C ．-8D ．13-7．设函数()()22,03,0x x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()9f 的值为（）A ．7-B ．1-C ．0D ．128．已知函数()()21log 4,4{12,4x x x f x x --<=+≥则()()20log 32f f +=（） A ．19B ．17C ．15D ．139．已知函数()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（）A ．32B ．74C ．2D ．9410．若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()()1,01cos ,12x x x f x x x π⎧-≤≤=⎨<≤⎩，则112223f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（） A ．49-B ．49C ．19-D ．29-11．已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，如果()2sin ,02016lg(),0x x f x x x ⎧≥⎪+=⎨-<⎪⎩，那么(2016)(7984)4f f π+⋅-=（）A ．2016B ．14C ．4D ．1201612．已知函数()f x 满足()()6f x f x =+，当(]0,6x ∈时，()2cos ,0335log ,362x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则32f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等于（） A ．12B ．12-C ．32-D ．32二．填空题13．若函数21,0()241,0xx f x x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≥⎩，则((2))f f =_______． 14．若函数lg ,0(),0x x x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩且(0)3f =，(1)4f -=，则((3))f f -=______15．如图所示，已知函数在区间(1,2]-上的图象，则此函数的解析式()f x =_____16．定义在R 上的函数()f x 满足()()6.f x f x +=当[)3,3x ∈-时，()()22,31,13x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，(1)(2)(3)(2018)(2019)f f f f f +++⋯++=_______三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，（1）求3(2),2f f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值；（2）若()3f x =，求x 的值.18．已知(2)(0),()(2)(0).x x x f x x x x -⎧=⎨+<⎩求(4),[(4)],(1)f f f f m -，并解不等式(1)0f x -<.19．已知函数()21,22,2221,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，（1）求()(55,,2f f f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）若()3f a ＝，求实数a 的值.20．已知cos (1)()(1)1(1)x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩，sin (0)()(1)1(0)x x g x g x x π<⎧=⎨-->⎩，求1411113366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f fg g 的值.21．已知()y f x =是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--. （1）用分段函数形式写出()y f x =的解析式；（2）写出()y f x =的单调区间；（3）求出函数的最值.《分段函数》（一）解析1.【解析】10-<,()()2111f ∴-=-=,20>,()23215f ∴=⨯-=,.(1)(2)=6f f ∴-+.故选:A.2.【解析】由函数2log ,0,()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()21239f --==，即1149f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D. 3.【解析】由21log (2),1()2,1x x x f x x +-<⎧=⎨≥⎩，所以()2log 622(2)(log 6)1log 2221269f f -+=+++=++=.故选：C4.【解析】由()92f =，即log 92a =，得3a =，由()13f -=，得113b -+=，得12b =，于是()()392f f f -==⎡⎤⎣⎦.故选：C . 5.【解析】由已知(7)((12))(9)((14))(11)8f f f f f f f =====．故选：D ．6.【解析】根据题意，()()4,0,0x m x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为定义在R 上的奇函数，则有()0040f t =+=，解可得：1t =-，则()24log 3log 92log 341418f =-=-=，则()()2221log log 3log 383f f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭；故选：C.7.【解析】()()()()()()()209936633330021f f f f f f f =-==-==-==-=-,故选：B.8.【解析】()()()()()51220log 3205log 40+12=211619.f f f f -+=+=-+++=选A.9.【解析】()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，222log 4log 7log 8<<，即()2log 72,3∈()()()22log 7log 72222227log 7log 71log 72224f f f -∴=-=-===，故选：B 10.【解析】因为()f x 的周期为4，且为奇函数，所以11333(4)()cos 02222f f f π⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，2210102222(4)()(4)()()3333339f f f f f f ⎛⎫=+==-+=-=-=- ⎪⎝⎭，所以112223f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29-.故选：D.11.【解析】(),02016lg(),0x x f x x x ≥+=-<⎪⎩，∴ (2016)(7984)(2016)(100002016)44f f f f ππ+⋅-=+⋅-+4lg10000lg1044π=⋅==.故选：C ．12.【解析】因为函数()f x 满足()()6f x f x =+，所以3362292f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为9(3,6]2∈，所以2295log log 212922f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1(0,3]∈，所以1(1)cos32f π==，所以31(1)2292f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A13.【解析】因为(2)4813f =-+=-，所以31((2))(3)82f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．14.【解析】根据条件可知0134a b a b -⎧+=⎨+=⎩，解得：12a =，2b =即()lg ,122xx f x ⎧⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 00x x >≤ ， ()310f -=，()()()310lg101f f f -===15.【解析】由图象可知，每一段都是一次函数，设(),0f x kx b k =+≠，当(1,0)x ∈-时，直线过点(1,0),(0,1)-，所以11b k =⎧⎨=⎩，所以()1f x x =+，当[]0,2x ∈时，直线过点(0,0),(2,1)-，所以210k b b +=-⎧⎨=⎩，解得120k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()12f x x =-，所以()1((1,0))1([0,2])2x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨-∈⎪⎩ 16.【解析】()()6f x f x +=故函数()f x 是6T =的周期函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)1210101f f f f f f +++++=+-+-+=故(1)(2)(3)(2018)(2019)3361(1)(2)(3)338f f f f f f f f +++⋯++=⨯+++=17.【解析】（1）(2)220f -=-+=；2339()()224f ==,399922442f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由题意123x x ≤-⎧⎨+=⎩，或2123x x -<<⎧⎨=⎩，或223x x ≥⎧⎨=⎩，解得x 18.【解析】()()()()()44248,4882848f f f f ⎡⎤=⨯-=-=-=--=⎣⎦ 当10,1m m -≥≤时2(1)(1)(21)1f m m m m -=--+=- 当10,1m m -<>时2(1)(1)(21)43f m m m m m -=-+-=-+所以221(1),(1)43(1);m m f m m m m ⎧--=⎨-+>⎩ (1)0f x -<∴2110x x ≤⎧⎨-<⎩或21430x x x >⎧⎨-+<⎩ 所以1x <-或13x <<，即不等式(1)0f x -<解集为(,1)(1,3)-∞-⋃19.【解析】（1）由](()](55,2,2,2,,22-∈-∞---∈-∞-，知2()(2((55143f f ⨯－＝－＋＝－，＋＝－5531222f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＋＝－，而3222<<－－，253339323222244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝＝＋＝－＝－. （2）当2a ≤－时，13a ＋＝，即22a >＝－，不合题意，舍去，当22a <<－时，223a a ＋＝，即2230a a ＋－＝，整理得：0(13)()a a －＋＝，解得1a ＝或3a ＝－， 2()()1222∈∉－，，-3－，，1a ∴＝符合题意，当2a ≥时，213a －＝，即2a ＝符合题意，综上可得，当()3f a ＝时，1a ＝或2a ＝. 20.【解析】1411111115cos 1sin 133663366f f g g f g ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111122226g ⎛⎫=+-++-- ⎪⎝⎭1sin 226π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭11222=--2=- 21.【解析】（1）()y f x =是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =--，∴当0x <时，设0x <，则0x ->， ∴22()()()2()323f x f x x x x x =-=----=+- 即0x <时，2()23f x x x =+-.故2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩. （2）如图所示：当0x ≥时，2()23f x x x =--，对称轴为1x =，∴增区间为[1,)+∞，减区间为[0,1]；当0x <时，2()23f x x x =+-，对称轴为1x =-，∴增区间为[1,0)-，减区间为(,1]-∞-.综上，()f x 的增区间为[1,0)-，[1,)+∞，减区间为(,1]-∞-，[0,1]. （3）由（2）知，当0x ≥时，2()23f x x x =--，min ()(1)1234f x f ==--=-，无最大值；当0x <时，2()23f x x x =+-，min ()(1)1234f x f =-=--=-，无最大值. 综上，函数的最小值为-4，无最大值.。

分段函数初二数学练习题

分段函数初二数学练习题题目一：求解分段函数的定义域与值域给定函数：$$f(x) =\begin{cases}2x+1, & x\leq2 \\x^2, & x>2 \\\end{cases}$$要求：1. 求解函数$f(x)$的定义域与值域；2. 绘制函数$f(x)$的图像。

解答：根据题目已给条件，我们可以得出下面的结论：1. 定义域的求解：首先考虑分段函数中第一段$2x+1$的定义域。

由于没有限制$x$的取值范围，所以该段函数$2x+1$在整个实数域上都有定义。

即第一段部分的定义域为$(-\infty, +\infty)$。

接下来考虑第二段$x^2$的定义域。

该函数要求$x$的取值必须大于2，因为$x^2$在$x\leq2$的时候没有实数解。

所以第二段部分的定义域为$(2, +\infty)$。

综合第一段和第二段的定义域，得到函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, +\infty)$。

2. 值域的求解：首先考虑第一段$2x+1$的值域。

根据该函数的定义，我们可以发现无论$x$取多大，函数值$2x+1$总是大于等于1的。

所以第一段部分的值域为$[1, +\infty)$。

接下来考虑第二段$x^2$的值域。

该函数要求$x$的取值必须大于2，所以$x^2$的值域也必须大于$2^2=4$。

即第二段部分的值域为$(4,+\infty)$。

综合第一段和第二段的值域，得到函数$f(x)$的值域为$(1, +\infty)$。

至此，我们已经求解出了函数$f(x)$的定义域和值域。

下面我们绘制函数$f(x)$的图像：【插入图像】图中蓝色的部分代表函数$f(x)=2x+1$，红色的部分代表函数$f(x)=x^2$。

可以看出两段函数在$x=2$处连接。

从图中可以清晰地看出函数$f(x)$的定义域和值域。

综上所述，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, +\infty)$，值域为$(1, +\infty)$。

分段函数练习题(打印版)

分段函数练习题（打印版）### 分段函数练习题（打印版）#### 一、选择题1. 下列分段函数中，哪一个是奇函数？- A. $ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x< 0 \end{cases} $- B. $ f(x) = \begin{cases} x^3, & x \geq 0 \\ -x^3, & x< 0 \end{cases} $- C. $ f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \geq 0 \\ -x^2 + 1, & x < 0 \end{cases} $- D. $ f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 0 \\ -x - 1,& x < 0 \end{cases} $2. 给定分段函数 $ f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 1 \\ 3x- 1, & x \geq 1 \end{cases} $，求 $ f(-1) $ 和 $ f(2) $。

3. 判断下列分段函数的连续性：- A. $ f(x) = \begin{cases} 2x, & x < 2 \\ 4 - x, & x\geq 2 \end{cases} $- B. $ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases} $#### 二、填空题1. 若分段函数 $ f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leq 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases} $，求 $ f(-2) $ 和 $ f(1) $。

人教版八年级数学下册19.2.5分段函数

把它误认为是几个函数.
7
引导探究
1、某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了
按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(
元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示. （1）分别写出当0≤x≤15,x＞15时，y与x的函数
关系式；
（2）若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
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跟踪练习
2、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是射线
分段函数的解析式应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况，分段函数是一个
函数，不要把它误认为是几个函数.
1、理解分段函数的概念； 2、会根据题意求出分段函数的解析式并画
（2）服药5时，血液中含药量为
出函数图象.
5千克种子是第一种收费标准，还是第二种？为什么？3千克呢？
则当 0≤x≤30 时，y 与 x 之间的函数解析式为____________；
（2）服药5时，血液中含药量为
3、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）
的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
2、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网
2、当0≤x≤2时，y关于x的关系式为 y=5x . 当x＞2时，超过的部分可表示为 x-2 ，y关于x 的关系式为_y_=_5_×__2_+_(_5_×__0_._8_)_(_x_-_2) ____. 3、思考中的购买1.5千克种子是第一种收费标准，还是第二种？为什么？3千克呢？
5分钟后比一比谁的效果好！

分段函数定义域练习题

分段函数定义域练习题知识点：1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；高一数学第二单元分段函数练习1、某产品的总成本y与产量x之间的函数关系式为y=3000+20x－0.1x，x∈，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为A.100台B.120台C.150台D.180台1x，则f?、给出函数f??22??f23111A.- B. C. D. 112419x24x6,x03、设函数f??，则不等式f?f的解集是 x6,x0x2x4、若f=?，则当x A. －xB. －xC.x D.x2A.?B.?C.?D.?5、下列各组函数表示同一函数的是?xx2?4①f=|x|，g=?②f=，g=x+2③f=x2，g=x+x?2??x④f=?x2?x2?1g=0 x∈{－1，1}A.①③B.① C.②④ D.①④2x1,x0,若f?1，则x0的取值范围是、设函数f??1 2?x?0?x,A． B．C．? D．?x2bxc7、设函数f??，若f?f,f??2，则关于x的方程f?x ?2的解的个数为A．1 B．C．D．4log2x8、设函数f??log，若f?f，则实数a的取值范围 1??2A．? B．? C．? D．?|x1|2,|x|119、设f=?1，则f[f]=，|x|?1?2?1?xA. 1B.1C. －D.24110、设函数g?x2?2，f??值域是A．[??g?x?4,x?g，则f的x?g?g?x,999,0]? B．[0,??) C．[?,??) D．[?,0]?443xa11、设f??，若f?x有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是fA．[1,2] B．,2?C．?1,D．,1?x22. 12、已知，若f=?x则x的取值范围是______ 2x1]?1，x?[0，13、f=?，使等式f[f]=1成立的x值的范围是_________. x?3,x?[0，1]?14、若方程2|x－1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k的取值范围是__________.15、设函数fx?3,，则f＝。

初二数学分段函数练习题

初二数学分段函数练习题1. 函数f(x)如下，求定义域：2x+1, x < 2f(x) =x-1, x ≥ 2答案：函数f(x)的定义域为(-∞, 2)∪[2, +∞)2. 函数g(x)如下，求解不等式g(x) ≤ 3：-x+3, x < -1g(x) =2x-5, x ≥ -1解答：首先确定不等式两边的取值范围。

当x < -1时，g(x) = -x + 3，不等式变为 -x + 3 ≤ 3，解得 -x ≤ 0，即x ≥ 0。

当x ≥ -1时，g(x) = 2x - 5，不等式不变，解得 2x - 5 ≤ 3，即x ≤ 4。

综合以上，解不等式g(x) ≤ 3得到定义域为x ≥ 0 且x ≤ 4。

3. 函数h(x)如下，求解方程h(x) = 1：3x+4, x < 2h(x) =解答：根据方程h(x) = 1，分别求解 x < 2 和x ≥ 2 两种情况下的方程。

当 x < 2 时，3x + 4 = 1，解得 x = -1。

当x ≥ 2 时，-2x + 7 = 1，解得 x = 3。

综合两组解，方程h(x) = 1的解为 x = -1, 3。

4. 函数k(x)如下，求解不等式k(x) > -2：-x+3, x < -1k(x) =2x-5, x ≥ -1解答：首先确定不等式两边的取值范围。

当x < -1时，k(x) = -x + 3，不等式变为 -x + 3 > -2，解得 -x > -5，即 x < 5。

当x ≥ -1时，k(x) = 2x - 5，不等式不变，解得 2x - 5 > -2，即 x > 1.5。

综合以上解集，不等式k(x) > -2的解为 x < 5 且 x > 1.5。

5. 函数m(x)如下，求解方程m(x) = -1：4x+1, x < 3m(x) =解答：根据方程m(x) = -1，分别求解 x < 3 和x ≥ 3 两种情况下的方程。

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初二数学分段函数练习题
初二数学分段函数练习题内容如下：
数学第19章分段函数（练习）
练1. 已知一次函数y=2x+4的图象上有两点A（3，a），B（4，b），则a与b的大小关系为_________
练2 一次函数y=(m2+3)x-2,y随x的增大而_________
练3 函数y=(m1)x+1是一次函数，且y随自变量x增大而减小，那么m的取值为______.
练4 如图，点A(x1,y2)与点B(x2,y2)都是直线y=kx+b上的点,且x1x2,试比较y1 y2
练1：为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.
（1）根据图象，请分别求出当0x50和x＞50时，y与x的函数解析式.
（2）请回答：
当每月用电量不超过50度时，收费标准是；
当每月用电量超过50度时，收费标准是
练2 小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分。

试写出这段时间里她的跑步速度y （米/分）随跑步时间x (分）变化的函数关系式，并画同函数图象.
练3 学校组织学生到距离6千米的展览馆参观，学生王军因故未能乘上学校的包车，于是在校门口乘出租车，出租车收费标准如下：
（1）写出费用y与行驶里程x之间的函数关系式，并画出函数图象
（2）王军仅有14元钱，他到展览馆的车费是否足够？
春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为霜冻．由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．
某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害，需采取预防措施．右图是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时～8时气温随时间变化情况，其中0时～5时，5时～8时的图象分别满足一次函数关系．请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．
以上是提供的初二数学分段函数练习题，更多内容请关注初二数学辅导栏目。