第三章第4节 单自由度系统的强迫振动
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第三章(第4节) 单自由度系统的强迫振动
3.4 工程中的振动问题
2 电线在风中唱歌 ◆共振的另一个例子是电线在风中歌唱。想像一根 悬挂在风中的绷紧的电线。绕着线的横截面流动的空气 如图(a)所示。
如果风速足够大，那么电线周围平滑的空气流就变 得不稳定了。风试图绕着电线运动以防止形成真空。如 果速度太高，风就不能以平滑的流动来做到这一点，而 会在两侧形成涡流，如图(b)所示。
3.4 工程中的振动问题
生活和工程中的共振问题
1807年冬和1808年春，拿 破仑率领法国军队入侵西班牙。 据说，在战争中部队行军经过 一座铁链悬索桥，随着军官雄 壮的口令，队伍迈着整齐的步 伐逐渐接近对岸时，轰隆一声 巨响，大桥塌毁了，士兵、军 官纷纷坠水。几十年后，俄国 圣彼得堡卡坦卡河上，一支部 队过桥时，也发生了同样的惨 剧。从此，世界各国的军队过 桥时，都不允许齐步走，必须 用凌乱无序的碎步通过。
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
计算机模拟图
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
10年以后，在同一地方重新修建Tacoma桥。仍采用悬 索桥型式，新桥总长较旧桥长12 m，但加劲梁改为桁架式。 于1950年10月14日建成通车。
新桥是根据冯卡门的建议修改后建造的。主要的改变是 把桥修成四车道宽，使用侧面开放的桁架，并且在车道之间 放通风的铁栅格以平衡桥面上下的风压。在大风天，人们还 是紧张地望着它，但它一直纹丝不动。
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
美国华盛顿州Tacoma悬索桥
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏 Tacoma 桥 破 坏 时 ， 当 地 Tacoma 报 社 的 编 辑 Leonard Costsworth恰好路过，并用摄影机记录下一段 珍贵的胶片。
单自由度强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和 激振下的强迫振动
所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。
设激励为 F(t)=F0sinwt ，这 里 w为激振频率，利用牛顿定 律并引入阻尼比x 可得到
F0 x 2wnx x w x sin wt m
2 n
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
xwnt
上述解的第一部分代表由初始条件引
起的自由振动;
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
7
第二部分
X 0e
xwnt
xwn sin w cos sin wd t sin cos wd t wd
代表由干扰力引起的自由振动。 这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消
失，称为瞬态响应或暂态响应；
最后只剩下第三部分
X 0 sin(w t ) ，代表
与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响 应，这才是我们最关心的。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
8
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 xwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd xw t xwn cos w sin X 0e sin wd t cos cos wd t wd
第3章 单自由度系 统强迫振动
第3章 单自由度系统强迫振动
1
系统在外部激励作用下的振动称为受
迫振动或强迫振动。
自由振动只是系统对初始扰动 ( 初始
条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象
很快就会消失。
3单自由度系统强迫振动(4)
因为振动系统是线性的，由激振力的各个分量所引起的稳态振动可以迭加， 所以单自由度振系在周期激振力作用下的稳态响应可以表示为：
a cos( jpt ) b sin( jpt ) a0 j j j j x 2k j 1 jp 2 2 jp 2 k [1 ( ) ] ( 2 )
密码：jixiezhendong2011
第一章 单自由度系统的振动
1.1 无阻尼自由振动 1.2 有阻尼自由振动 1.3 简谐激振力引起的强迫振动 1.4 系统对周期激振力的响应 1.5 系统对任意激振力的响应
1.4 系统对周期激振力的响应
前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到的激励为简谐激励，但实际 工程问题中遇到的大多是周期激励或一般激励而很少为简谐激励。 一般情况下一个周期性函数都可以展成付氏级数，因此一个周期激振 函数（激振力）总可以分解为一系列不同频率的简谐函数来处理。 假定粘滞阻尼系统受到的周期激振力 F ( t ) F ( t T ) T为周期
2
)cos(2pt 2 )
1 tan 2
1
p
/[ 1 (
p
)2 ]
2 tan 4
1
p
/[ 1 4(
p
)2 ]
1.5 系统对任意激振力的响应
在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的 时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。
振系的微分方程：
T 1s , p 2π s -1
2 1 x1(t) 1 sinjpt π j 1 j
cx kx k1(x x1 ) m x
2k1 1 cx (k k1 )x k1 m x sinjpt π j 1 j
单自由度体系的强迫振动
2）求荷载的频率
2πn 62.83s1
60
3）求动荷因数
Kd
1
2
1
2
1
1 ( 62.83)2
56
3.86
4）求最大竖向位移
ymax
y
W st
Kd
ysFt
Wl 3 48EI
Kd
Fl3 48EI
l3 48EI
(W
Kd
F)
7.26mm
5）求最大应力
max
W st
Kd
F st
l 4WZ
(W
Kd1 ysFt
Wl 3 3EI
K d1
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd1F )
7.2 mm
y2max
y
W st
Kd2
ysFt
Wl 3 3EI
Kd2
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd2
F)
6.3 5 m m
4）求两种情况中的最大弯矩。最大弯矩发生在固定
端处。最大弯矩由两部分组成：第一部分是由重力引
纯强迫振动任一时刻质点的位移为
y(t)
F
m(2
2
)
sint
F
m2 (1
2 2
)
sint
令
ysFt
F11
F
m 2
y(t)
ysFt
1
1
2 2
sint
最大动位移为
ydmax
ysFt
1
1
2 2
ysFt Kd
式中：Kd——动荷因数，即 K d
ydmax
y
F st
结构力学单自由度体系强迫振动
l3 4 EI
A16 FPl3 7 4EI.
3
FFPPssiinnω3 4t t
l
3mm 2
l 2
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
l3 4 EI
A1619FPl3 7 48EI .
FI 1298FPsint
FPsint
m
l/ 2
l/ 2
4 EI
3ml 3
求质点m处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
0
t<0
FP0
t
FP(t)= FP0 0<t<u
u
0 t> u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ） y(t) = yst (1- cosωt)
FP(t)
yt2yst
sint
2
2
FP0
u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt2yst
sint
2
2
ytmax
2yst
2yst
sinu
2
2
.
U≥T/2 U≤T/2
FP(t)
• m ÿ+ k y = F P(t)
•y•(t)2yFPt
m
.
二、动荷载作用在结构的任意位置
FP(t)
••
m y
m
y
.
• 动位移方程：y(t)(m•y•)11FPt1P
若令等效荷载 FP'tFPt111P 只对质点位移等效
•y•(t)2yFP't 运动微分方程的标准
m 表达式（强迫振动）
2
3
A
l/2
l/2
2l3 3 EI
第三讲单自由度系统的强迫振动
ti t
1-1振动系统简介1・2单自由度 系统1・3多自由度系统1-4连续 振动系统
1.5随机振动
系统在外部激励下所做的振动。
•谐波激励•周期激励•任意激励
1•简谐激励下的强迫振动指激励是时间的简谐函数，它在工 程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造 成。
2•简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周 期激 励下系统响应的基础。
女口二曲3® x（t）=Bsin
只要虚部：
（cot一0）
这是响应的通常形式。B为振幅，卩为相位差。
特点1・系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞 后于激 振力的简谐振动。
2•稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数
运动的方式（初始条件）无关。
稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数质量刚度阻尼和激振力频率及力幅而与系统进入濒响函数是指系统输出的fourier变换与输入的fourier变换之2频响函数在振动系统中是响应与激励的fourier变换之比表示响应与激励之间的幅值相位关系随激振频率变化的规律ps44频响函数的特性曲线主要有
3•通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估 计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。
质量•弹簧系统，激励为:
叫sin抄
则振动微分方பைடு நூலகம்与初始条件:
+fct二厂sin6
0
■"一JB = j\£J（1-久）2
k1—才［佻入+（2八）2
=如・
*乱1_刊+（2刘
=Be^（p
X
=BeJcot
复数解为：
1-1振动系统简介1・2单自由度 系统1・3多自由度系统1-4连续 振动系统
1.5随机振动
系统在外部激励下所做的振动。
•谐波激励•周期激励•任意激励
1•简谐激励下的强迫振动指激励是时间的简谐函数，它在工 程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造 成。
2•简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周 期激 励下系统响应的基础。
女口二曲3® x（t）=Bsin
只要虚部：
（cot一0）
这是响应的通常形式。B为振幅，卩为相位差。
特点1・系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞 后于激 振力的简谐振动。
2•稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数
运动的方式（初始条件）无关。
稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数质量刚度阻尼和激振力频率及力幅而与系统进入濒响函数是指系统输出的fourier变换与输入的fourier变换之2频响函数在振动系统中是响应与激励的fourier变换之比表示响应与激励之间的幅值相位关系随激振频率变化的规律ps44频响函数的特性曲线主要有
3•通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估 计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。
质量•弹簧系统，激励为:
叫sin抄
则振动微分方பைடு நூலகம்与初始条件:
+fct二厂sin6
0
■"一JB = j\£J（1-久）2
k1—才［佻入+（2八）2
=如・
*乱1_刊+（2刘
=Be^（p
X
=BeJcot
复数解为：
自由度系统的强迫振动
接近时，即≈1时，定义为共振，
强迫振动的振幅可能很大，比
X0 大 很 多 倍 ， 唯 一 的 限 制 因 素
是阻尼。
8
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——共振
由式(3.1-10)可见，在=1时，有
1 2
(3.1-12)
X X 0 F0
2 cn
(3.1-13)
实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在=n处，
而发生在
1 2 2n
(3.1-14)
将式(3.1-10)对ω(或λ)进行微分，令结果等于零,即
d 4(1 2 ) 8 2 0,
2021/2/4
d (1 2 )2 (2 )2
9
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——共振
1 2 2 2 0, 1 2 2
有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率， 也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。
(3.1-5)
2021/2/4
tg
k
c m 2
(3.1-6) 4
3.1 对简谐激励的响应
微分方程的为求了解便于进一步讨论，把式(3.1-5)与式(3.1-6)
的分子分母同除以k，得如下变化形式
X
F0 k
1 n 2 2 2 n 2
(3.1-7)
式中 n2
得特解为
x2
k m
,
tg
c
cc
图 3.1-6
17
3.1 对简谐激励的响应
例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 设响应为
x X sin(t )
根据方程（3.1-7）的稳态响应的幅值为
X me2
1
k 1 2 2 2 2
单自由度系统强迫振动
静力偏移
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
第四节单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动
因此，动力荷载、质点动位移和惯性力都按sin t 规律变化，三 者同时达到各自的最大值。这时，截面B的动转角也达到最大值。
将惯性力幅值m 2 A和动力荷载幅值M同时作用在体系上(图11-
29d)，根据叠加原理得截面B动转角的幅值
B 21m 2 A 22 M 21m(0.6)2 A 22 M
2n rad / s(或1/ s) 60
运动方程式是非齐次二阶常微分方程，其 通解包括两部分，一部分为相应齐次方程 的通解，即：
y(x) et (C1 cos t C2 sin t)
一般解
y(x) et (C1 cos t C2 sin t)
特解 y *(t) ，设为
y * (t) D1 sin t D2 cost
1 A 2 P12 P12
1 2
例11-8 图11-29a所示简支梁跨中有一质点m，梁右端作用一个动力偶 P(t)=Msint，且荷载频率与体系自振频率之比 0.6 ，不考虑梁的质量
和阻尼，试求质点动位移和支座截面B动转角的幅值.
解：设惯性力和动力荷载分别取单位力和单位力偶作用在体系上，绘出相应 的弯矩图分别如图11-29b、c所示。用图乘法可求得柔度系数
P
1
P
m(2 2 )
2 1
m2
2
由于 2 k11 1 ，故 m2 1 ，代入上式得
m m11
11
A 1 1 2
P11 yst
2
式中 yst P11代表将简谐荷载的幅值P作为静力荷载作用于结构上时
所引起质点的静力位移；而
A 1 yst 1 2 2
为质点的振幅与静力位移之比值，称为位移动力系数。
§11-4单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动
第三章.单自由度系统的强迫振动
k c 其中： , ζ= , ωd = ω0 1−ζ 2 其中： ω0 = m 2ω0m
ω λ = , B= ω0
p0
2 2
(1−λ ) + (2ζλ)
k
2
2ζλ , φ = tg 1− λ2
−1
3 . 3 力激励、位移激励和加速度激励 力激励、
力激励 位移激励 加速度激励
1.力激励：（同前分析） 力激励：（同前分析） ：（同前分析
3.1简谐振动下的强迫振动
此时品质因素： 此时品质因素：Q =
ω 1 = 0 2ζ ∆ω
机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） { 机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） 机械导钠：机械阻抗的复数。 机械导钠：机械阻抗的复数。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 复频响应函数（频率响应函数） 复频响应函数（频率响应函数）
第三章 单自由系统的强迫振动
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 简谐振动下的强迫振动(稳定阶段 简谐振动下的强迫振动 稳定阶段) 稳定阶段 强迫振动的过渡过程 力激励,位移激励和加速度激励 力激励 位移激励和加速度激励 振动的隔离 周期激励的响应 任意激励的响应
3.1简谐振动下的强迫振动
mɺɺ+ cx + kx = p sin ωt x ɺ p ɺɺ+ 2ζω0 x +ω x = e jωt ɺ x m 是复数，其特解为： x是复数，其特解为： x = Be jωt
2 0
{
jωt
c = 2ζω0 m k 2 = ω0 m
其中； 其中；B 为复振幅
第三章单自由度系统的强迫振动
简谐激励下的的强迫振动（稳态阶段）
简谐激励是激励形式中最简单的一种，是理解 系统对其他激励的基础
如图所示的弹簧质量系 统中，质量块上作用有 简谐激振力 P=P0sinω t
m x
r
k m P=P0sinω t x
rx
kx
P
2、运动微分方程： 按牛顿第二定律： m cx kx P sin t x 0 按达朗伯原理（动静法）： m cx kx P sin t 0 x 0 最后都得到： m cx kx P sin t （1） x 0
得到： 1, 0 ,这时：
P0 1 x sin t 2 k 1
这样，我们就完全确定了特解x2 。
x (B )
P0 Ф
m 2 B t cB
x2 B sin(t )
B P0 (k m ) (c )
2 2
1
x (B)
2
t0
kB
c tg k m 2
得到： 1, ,这时：
2 ( B) x
无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当 w wn 时
P0 1 x sin(t ) 2 k 1
x x1 x2 我们知道，x的前一项代表有阻尼自由振动，
随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第 二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下， 它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B， 相位差φ 只与系统本身性质、激振力大小、频率有 关，与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。
〔注1：达朗伯原理：当一个力学 系统运动时，它的任何位置都可 以看作是平衡位置，只要我们在 原动力上再加上惯性力。这样就 可以把任何动力学问题按相当的 静力学问题来处理。〕
第04课 单自由度系统：简谐强迫振动.
主要内容
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
系统在简谐激励下的响应
频响函数及特性曲线 半功率带与品质因子 旋转不平衡质量引起的强迫振动 基础运动引起的强迫振动 隔振原理 惯性式测振仪原理
主要内容
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
系统在简谐激励下的响应
频响函数及特性曲线 半功率带与品质因子 旋转不平衡质量引起的强迫振动 基础运动引起的强迫振动 隔振原理 惯性式测振仪原理
系统在简谐激励下的响应
采用复指数方法可以大大简化简谐振动响应的计算。将式(2.4-2)改写为
2 2 n x n x x
F0 it 2 e n Aeit （2.4-6） m
设 x Xeit ，将它导入式(2.4-6)，得
因此，
2
2 2 i 2 n n Xe it n Aeit （2.4-7）
机械振动(Mechanical Vibration)
第四课 单自由度系统： 简谐强迫振动
交通与车辆工程学院 刚宪约
2019年2月2日
简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间的简谐函数，它 在工程结构的振动中经常发生，通常是由旋 转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非 周期激励下系统响应的基础。 通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的 关系，可以估计测定系统的振动参数，从而 确定系统的振动特性。
系统在简谐激励下的响应
2 2 2 n x n x x n A cos t
(2.4-2)
式(2.4-2)是二阶非齐次线性常微分方程。根据微分方程理论，它的解 由两部分组成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是微分方程的 特解。 根据线性常微分方程理论，运动方程(2.4-2)的特解可以写成如下形式
第三章 单自由度系统的强迫振动
激振频率与系统固有频率接近时，强迫振动 的振幅可能很大，比静变形X0大很多倍。此 时：
1
2
X
X0
F0
2 cn
无阻尼作用时，振幅X为无穷大，激励频率与系 统固有频率相等，称为共振，发生在λ=1时。
有阻尼作用时，振幅X最大并不发生在
而是发生在
n。
结论：响应的振幅 X与静位移X0相当。
1.13
21
第三章 单自由度系统的强迫振动
3.3 隔振
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振
主动隔振系数 ＝ 隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振后
隔振前
m
F0eit
m
F0eit 隔振材料：k，c
k
c
22
第三章 单自由度系统的强迫振动
幅频响应曲线
23
激振频率相对于系统固有频率很低时 1
结论：响应的振幅 X与静变形X0相当。
（2）当 1( n )
激振频率相对于系统固有频率很高 0
结论：响应的振幅 很小（你的耳朵为什么Fra bibliotek 不到超声波！）
幅频特性曲线
6
第三章 单自由度系统的强迫振动
（3）当 1( n )
第三章 单自由度系统的强迫振动
3.2 复频率的响应
系统振动微分方程： 欧拉公式： 设方程的通解形式为：
14
第三章 单自由度系统的强迫振动
复频率响应：
Ｈ(ω)的绝对值即放大因子β
相位角：
15
第三章 单自由度系统的强迫振动
例 3.2-2 支承激励引起的强迫振动。 作为 承受简谐激励的另一个例子，是当支承产生简谐
1
2
X
X0
F0
2 cn
无阻尼作用时，振幅X为无穷大，激励频率与系 统固有频率相等，称为共振，发生在λ=1时。
有阻尼作用时，振幅X最大并不发生在
而是发生在
n。
结论：响应的振幅 X与静位移X0相当。
1.13
21
第三章 单自由度系统的强迫振动
3.3 隔振
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振
主动隔振系数 ＝ 隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振后
隔振前
m
F0eit
m
F0eit 隔振材料：k，c
k
c
22
第三章 单自由度系统的强迫振动
幅频响应曲线
23
激振频率相对于系统固有频率很低时 1
结论：响应的振幅 X与静变形X0相当。
（2）当 1( n )
激振频率相对于系统固有频率很高 0
结论：响应的振幅 很小（你的耳朵为什么Fra bibliotek 不到超声波！）
幅频特性曲线
6
第三章 单自由度系统的强迫振动
（3）当 1( n )
第三章 单自由度系统的强迫振动
3.2 复频率的响应
系统振动微分方程： 欧拉公式： 设方程的通解形式为：
14
第三章 单自由度系统的强迫振动
复频率响应：
Ｈ(ω)的绝对值即放大因子β
相位角：
15
第三章 单自由度系统的强迫振动
例 3.2-2 支承激励引起的强迫振动。 作为 承受简谐激励的另一个例子，是当支承产生简谐
第3章 单自由度系统的受迫振动
值得注意，系统共振时，阻尼对相位差无影响，即无论阻尼多大，当ω ＝ pn 时，相位差ϕ 总是等
于 90°。在振动实验中，常以此作为判断振动系统是否处于共振状态的一种标志。 (3) 高频区。当λ>>1, ϕ＝180°。表明当激振力频率远远高于固有频率时，受迫振动的相位差接
近与 180°。这说明受迫振动的位移与激振力是反相位的。 应当指出，对于λ＝0，当λ<1 时，λ =0；λ>1 时，ϕ＝180°；λ＝1 时，ϕ角从 0 跳到 180°。 对于不同的阻尼值，相位差ϕ角在 0 到180° 之间变化。 例 3-1 质量为 M 的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质
pn
(3-10)
绘出对应不同的阻尼比ζ，相位差ϕ随λ变化的曲线族如图 3-2 中的右上角所示，即相频特性曲线。
(1) 低频区。当λ<<1时，ϕ≈0，表明当激振力频率很低或ω<< pn 时，相位差ϕ接近于零，即受
迫振动的位移与激振力几乎同相位。
(2) 共振区。当λ=1时，ϕ＝90°。表明当激振力频率等于振动系统的固有频率时，相位差为 90°。
根据达朗贝尔原理，有
− cx& + Mg − k(x + δ st ) − M&x& − meω 2 sin ωt = 0
∴ M&x& + cx& + kx = −meω 2 sin ωt
令
p
2 n
=
k M
，2n
=
c M
，则上式可写成
&x& +
2nx&
+
pn2 x
于 90°。在振动实验中，常以此作为判断振动系统是否处于共振状态的一种标志。 (3) 高频区。当λ>>1, ϕ＝180°。表明当激振力频率远远高于固有频率时，受迫振动的相位差接
近与 180°。这说明受迫振动的位移与激振力是反相位的。 应当指出，对于λ＝0，当λ<1 时，λ =0；λ>1 时，ϕ＝180°；λ＝1 时，ϕ角从 0 跳到 180°。 对于不同的阻尼值，相位差ϕ角在 0 到180° 之间变化。 例 3-1 质量为 M 的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质
pn
(3-10)
绘出对应不同的阻尼比ζ，相位差ϕ随λ变化的曲线族如图 3-2 中的右上角所示，即相频特性曲线。
(1) 低频区。当λ<<1时，ϕ≈0，表明当激振力频率很低或ω<< pn 时，相位差ϕ接近于零，即受
迫振动的位移与激振力几乎同相位。
(2) 共振区。当λ=1时，ϕ＝90°。表明当激振力频率等于振动系统的固有频率时，相位差为 90°。
根据达朗贝尔原理，有
− cx& + Mg − k(x + δ st ) − M&x& − meω 2 sin ωt = 0
∴ M&x& + cx& + kx = −meω 2 sin ωt
令
p
2 n
=
k M
，2n
=
c M
，则上式可写成
&x& +
2nx&
+
pn2 x
单自由度体系强迫振动.ppt
1
2 2
yst
1
2 2
,
于是有:
C2 0
于是有:
y(t)
yst
1
1
2 2
(sint sin t)
10 12
yst (sint sin t)
强迫振动的过程可分为两个组成部分,第一部分按荷载 频率作纯强迫振动,第二部分按自振频率作自由振动。 振动开始时两种振动并存，称为“过渡阶段”或“瞬 态”，由于实际振动中存在阻尼力，故经过一段时间后， 将只剩下第一部分仍在振动，第二部分则“衰减”掉了， 这一
§10-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动---动荷载引起的振动,又称受迫振动。
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
一.运动方程及其解
Fp(t) Fp sint
my(t) k11 y(t) Fp sint FP(t) m
y(t)
或
y(t)
2
y(t)
Fp
s in t 10
11
l
EI
m
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
=1
FP
运动方程
振幅
y(t) 12FP sint 11(my)
my(t) 1 y(t) 12 FP sin t
11
11
令
Fp
12 11
FP
A
Fp
m 2
Fp11
12 11
FP11
12FP
yst
my(t
稳态解
)
1
11
y (t )
y(t) Fp
Fp
m 2
sin t s in t
仍是位移动力系数 是内力动力系数吗?
振动理论-第3章 单自由度系统的强迫振动
x0 0
、
x0
n
F0 k
1
r r
2
则初始条件为：
x0 0
x0
n
F0 k
r 1 r2
讨论：
x(t
)
C1
cos
nt
C2
sin
nt
F0
m(n2
2
)
cos
t
x(0) x0
C1
x0
F0 k
1
1 r
2
x(0) x0
C2
x0
n
故全解：
x(t)
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
F0 k
1
1 r
2
cos nt
a
复数的三角函数表示：Z Z cos i sin
复数的指数函数表示：Z Z ei
对于复数域内复函数 H () a() ib() A() iB()
可表示为 H () H () ei ()
H ()
a2 b2 A2 B2
() arctan Im[H ()] Re[H ()]
二. 激励力引起的强迫振动
n
2
2
2
n
2
激励与响应的相位角
arctan
2
n
1
n
2
或写为：
X st
1
1 r 2 2 2 r 2
arctan
2 r
1 r2
st
F0 k
r n
系统的最大静位移 频率比
所以，强迫振动的稳态解为：
x2
F0 k
1
sin(t )
1 r 2 2 2 r 2
第四节 单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动
稳态强迫振动
下面分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。 下面分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。 二．不考虑阻尼的纯强迫振动 1.运动方程 及方程的解 运动方程
令ξ = 0 ，质点m的运动方程为 质点 的运动方程为
&&(t ) + ω 2 y = y
P sin θt m
由式(11-28)的第三项可知纯强迫振动质点的位移为 的第三项可知纯强迫振动质点的位移为 由式
[
]
取第三项， 取第三项，并令
(ω 2 − θ 2 ) P = A cos ϕ 2 2 2 2 2 2 m[(ω − θ ) + 4ξ ω θ ] 2ξωθP − = − A sin ϕ 2 2 2 2 2 2 m[(ω − θ ) + 4ξ ω θ ]
则有
y(t) = Asin(θt − ϕ)
3.讨论 β 与 ω 的变化曲线 讨论 (1) θ < < ω 时, β → 1.
当
1 θ = ω时 5
θ
,β=
1 1 1− 25
= 1 .041
, 这表明当简谐荷载
的周期T= 为结构自振周期的五倍以上时， 的周期 2π / θ 为结构自振周期的五倍以上时， 可将其视为静力荷载。 可将其视为静力荷载。 (2)0＜ ω ＜1时，β 值随 ω 的增大而增大，动 ＜ 的增大而增大， 时 力系数 β ＞1。 。
β= A = y st 1 θ2 1− 2 ω
y (t ) =
y(t ) = −
P P sin θt = sin(θt − π) 2 2 2 2 m(θ − ω ) m(θ − ω )
P sin θt 2 2 m (ω − θ )
第三章 单自由度系统的强迫振动(ppt)
[
B(
2 n
2)
B0
2 n
cos
] s in( t
)
[2
nB
B0
2 n
s in
]
cos(
t
)
0
B(
2 n
2)
B0
2 n
cos
0
2 nB
B0
2 n
s in
0
解出： B
2 n
B0
(
2 n
2)2
(2n )2
,
tg
2 n
2 n
2
令： 频率比
n B
B0
(1 2 )2 (2)2
tg
2 1 2
放大因子：
1、频率比 1
n
B 1
B0
B
B0
P0 k
B
1
B0 (1 2 )2 (2)2
稳态响应的振幅B 近 似 等 于 激 振 力 幅 P0 作用下的静位移B0 。
系统的振幅主要 由弹簧控制；
称为弹性控制区。
第三章 单自由度系统的强迫振动
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放大因子：
2、频率比 1
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本章主要讨论：
系统对简谐激励所引起的系统响应以 及周期激励和任意激励的响应；
介绍强迫振动理论在工程实际问 题中的一些应用。
第三章 单自由度系统的强迫振动
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§3.1 简谐激励引起的强迫振动
简谐激振力 P(t) P0 sin t
P0 激振力幅值 激振频率
第三章 单自由度系统的强迫振动
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▲可以想象，如果外界有这些频率的振动源，我们 人体一定会感到不舒服，事实上我们的周围就存在这些 振动源，那就是次声。பைடு நூலகம்
3.4 工程中的振动问题
3 共振与人类的健康
人体器官的固有频率
3.4 工程中的振动问题
3 共振与人类的健康 ◆职业驾驶员往往容易患胃病，除了和他们的工作 紧张有关外，车辆(特别是土路上行进的拖拉机 )的次声 振动也是一个主要因素。 ◆人们的晕车晕船主要和身体体质有关外还和次声 有关：有的人乘坐越高级的轿车反而晕得越厉害，其主 要是高级轿车采取了很多措施控制振动，但次声段的低 频振动却很难控制，这样，高级轿车次声频段振动的相 对比例反而大，易晕车的人乘坐后反应就特别大。 ◆由于人体的自身振动和来自外界的振动有着十分 紧密的关系，所以，利用振动的特性也可以造福人类。 振动工作者和医务人员共同研制成功了各种消除疲劳和 治疗疾病的振动机械。
3.4 工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏
近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给 我们留下的教训就显得非常深刻。 1940年7月1日美国西海岸华盛顿州建成了一 座当时位居世界第三的 Tacoma 大桥。大桥中央 跨距为853.4 m，全长1810.56 m，桥宽11.9 m， 梁高为 1.3 m ，为悬索桥结构，设计可以抗 60 m/s 的大风。但不幸的是大桥刚建成 4 个月后 (1940年11月7日)就在19 m/s的小风吹拂下整体塌 毁。
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
Tacoma大桥的横截面与气流的旋涡脱落
Tacoma 大桥遭风塌毁的原因就是气流与大桥的共 振所引起的。当风吹过大桥时，气流会在大桥的背风面 产生旋涡，而在19 m/s风速时旋涡脱落的频率与悬索上 桥板的固有频率刚好一致，再加上悬索桥的小阻尼，从 而产生了强烈的共振。因此尽管桥塌毁的这天风并不是 很大，但却吹垮了整座大桥。
3.4 工程中的振动问题
2 电线在风中唱歌
图
流体中冯卡门涡旋街的真实照片
3.4 工程中的振动问题
2 电线在风中唱歌
◆每当涡旋离开电线时，它会传递给电线一个微弱 的冲力。 ▲原因是涡旋有动量，而涡旋和电线总动量是守恒 的；所以每个涡旋离开时都会给电线一个推动。 ◆在某个风速下，涡旋会以电线的共振频率开始脱 离，从而引起电线运动。这种共振效应就是为什么在恰 当的风速下风中的电线会开始唱歌的原因。 ▲古希腊人注意到竖琴发出的可怕的声音就是这个 效应的结果；我们称这个效应为风鸣琴。
在 西 方 ， 直 到 15 世 纪 ， 意 大 利 人 达· 芬奇才开始做共振实验。直到17世纪， 牛津的诺布耳和皮戈特才以所谓的“纸 游码” ( 相当于纸人一类的东西 ) 实验， 来证明弦线的基音和泛音的共振关系。
3.4 工程中的振动问题
生活和工程中的共振问题
■在我国的史籍中也有不少共振的记载。唐朝开元年间， 洛阳有一个姓刘的和尚，他的房间内挂着一幅磬(古代(佛教) 打击乐器 )，常敲磬解烦。有一天，刘和尚没有敲磬，磬却 自动响起来了，不料那磬常常无故自鸣，尤其是半夜里会突 然响动，犹如鬼使神差一般，这使他大为惊奇，终于惊扰成 疾。他的一位好朋友曹绍夔是宫廷的乐令 (管理皇家音乐事 项 )，不但能弹一手好琵琶，而且精通音律，闻讯前来探望 刘和尚。经过一番观察，他发现每当寺院里的钟响起来时， 和尚房里的磬也跟着响了。于是曹绍夔拿出刀来把磬磨去几 处，从此以后磬就不再自鸣了。他告诉刘和尚，这幅磬的音 律(即所谓的固有频率 )和寺院的钟的音律一致，敲钟时由于 共振，磬也就响了。将磬磨去几处就是改变它的音律，这样 就不会引起共鸣。刘和尚恍然大悟，病也随之痊愈了。
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
美国华盛顿州Tacoma悬索桥
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏 Tacoma 桥 破 坏 时 ， 当 地 Tacoma 报 社 的 编 辑 Leonard Costsworth恰好路过，并用摄影机记录下一段 珍贵的胶片。
据说，在出事当天，一位记者把车停在桥上，并把 一条狗留在车内。桥倒塌时，只有他本人跑到了桥台处。 当地的报纸以简洁的标题对这场事故作了报道，“损失： 一座桥、一辆汽车、一条狗”。
3.4 工程中的振动问题
3 共振与人类的健康 ▲共振对人类健康有好的一面，同时还会产生直接的 危害。 ▲人体，甚至人体的某个器官也是弹性-质量系统， 因此它们也有自己的固有频率。 ▲人体的平均固有频率一般在 4～5 Hz(赫兹)，各主 要器官的固有频率为3～6 Hz。 ▲次声是频率为0.01～20 Hz的低频声波，这个频率 范围与人体一些主要器官的固有频率处于同一频段，因 此，它很容易引起人体重要器官的共振。
3.4 工程中的振动问题
生活和工程中的共振问题 ■我国古代很早就对共振现象有记述，公元前 4 世 纪至公元前3世纪，我国《庄子· 杂篇· 徐无鬼》中，就讲 到了调瑟 (有 25根弦的古代弦乐器 )时发生共振的现象： “鼓宫 ( 音谓名 ) 宫动，鼓角 ( 音调名 ) 角动，音律同矣。 夫改调一弦，于五音无当也，鼓之，二十五弦皆动。” 它既描述了基音的共振现象，又描述了基音和泛音的共 振现象。 ■《墨子 • 备穴篇》还记述了共振现象的具体应用； 在城墙根下每隔几米，挖一个坑，坑内埋臵容器为 70～80升的陶瓮，瓮口蒙上皮革。若有敌人挖地道攻城， 可以根据各陶瓮声响情况，确定敌人挖掘的位臵和方向。
3.4 工程中的振动问题
2 电线在风中唱歌 ◆共振的另一个例子是电线在风中歌唱。想像一根 悬挂在风中的绷紧的电线。绕着线的横截面流动的空气 如图(a)所示。
如果风速足够大，那么电线周围平滑的空气流就变 得不稳定了。风试图绕着电线运动以防止形成真空。如 果速度太高，风就不能以平滑的流动来做到这一点，而 会在两侧形成涡流，如图(b)所示。
3.4 工程中的振动问题
生活和工程中的共振问题 ■世界上最早进行共振实验，是在11世纪我国宋代 科学家沈括 (1031～ 1095)。沈括在《梦溪笔谈》中精心 设计了一个声学共振实验，他剪了一个纸人，把它固定 在一根弦上，弹动和该弦频率成简单整数比的弦时，它 就振动使纸人跳跃，而弹其它弦时，纸人则不动。沈括 把这种现象叫做“应声”。
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
计算机模拟图
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
10 年以后，在同一地方重新修建 Tacoma 桥。仍采用悬 索桥型式，新桥总长较旧桥长12 m，但加劲梁改为桁架式。 于1950年10月14日建成通车。
新桥是根据冯卡门的建议修改后建造的。主要的改变是 把桥修成四车道宽，使用侧面开放的桁架，并且在车道之间 放通风的铁栅格以平衡桥面上下的风压。在大风天，人们还 是紧张地望着它，但它一直纹丝不动。
3.4 工程中的振动问题
3 共振与人类的健康
形成声音的声波能够成为极具残忍性和欺骗性的隐 形杀手。________声波武器
1974年法国马赛的国家科学试验中心的科学家曾作 过这样一个实验，发明了世界上第一个具有破坏力的次 声发生器，这种用一台小型飞机发动机驱动的类似于大 哨子的东西，吹出的次声波能伤及8 km(千米)以外被照 射到的人。首次进行该实验的时候，周围被照射的人感 到胃、心、肺等强烈不适，幸而及时关闭了发生器才没 有发生意外事故，但这些人在几小时内仍没有恢复正常。 声波武器的研制还有许多技术问题尚待克服，比如 如何让声波分清敌我友就是个很难的问题。
3.4 工程中的振动问题
4 火车秤的工振原理 在了解了共振的原理后，我们不仅可以防止有害共 振，而且可以利用共振的特性为人类服务。
现代货运火车每节车厢 可以装载 60 ～ 100 吨的矿石， 直接称量几乎不可能。
火车秤的原理
利用共振原理研制了火车秤平台，在平台的下面安 装一个激振器，在平台上安装一个测振器，激振器可以 连续输出不同的频率振动，测振器可以感应到系统的响 应。当系统振幅最大时激振器的频率就是系统的固有频 率，这样就可以计算出系统的质量，从而可以称出火车 装运矿石的重量。
3.4 工程中的振动问题
生活和工程中的共振问题
▲物理学中的实验同样可以得出“虽然驱动力很小，但共振 的结果却可以是惊人地大。”的结论。如图所示一个音叉，它固 定在一个音箱上，音箱用来放大音叉的声音。当把一个同样的音 叉放在附近的音箱上，并敲击它，那第一个音叉就会产生所谓的 共鸣振动而响起来。下面说明为什么：当来自第二个音叉的一系 列声波撞击到第一个音叉上时，空气的每一次压缩给这个音叉一 个小的推动。由于这些推动的发生频率就是音叉的固有频率 ( 两 个音叉是一样的 ) ，所以它们逐次地增加振动的振幅。考虑到这 个干扰声是如此微弱，发现这样结果是令人吃惊的：一个音叉发 出的这种微弱的声音所造成的空气压强的变化约为 1/108，却足以 使第二个音叉振动起来。
3.4 工程中的振动问题
3 共振与人类的健康
◆音乐除了能够丰富人们的心理活动、愉悦身心的 功能外，还是目前心理治疗的方法之一。专家研究认为， 音乐的频率、节奏和有规律的声波振动，是一种物理能 量，而适度的物理能量会引起人体组织细胞发生和谐共 振现象，这种声波引起的共振现象，会直接影响人们的 脑电波、心率、呼吸节奏等。科学家们还认为，当人处 在优美悦耳的音乐环境中，可以改善精神系统、心血管 系统、内分泌系统和消化系统的功能，促使人体分泌一 种有利健康的活性物质。良性音乐能提高大脑皮层的兴 奋性，可改善人的情绪，振奋人的精神。同时，有助于 缓解心理、社会因素造成的紧张、焦虑、忧郁等不良心 理状态。
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
◆调查这次倒塌的委员会包括了加州理工学院的空气动 力学家冯卡门。他解释说在桥的顶部和底部正在涌出涡旋， 它们以桥的共振频率推动着桥，最后导致桥的倒塌。在华盛 顿大学和加州理工学院的风洞实验室用结构模型做的实验都 证实了他的解释。尽管已经证实了，但是桥的建筑方还是十 分不愿意接受这个解释。桥梁建筑师关心的是静态的力，他 们构筑了极强的强度来面对最大的负载、水流、大风等。他 们不考虑动态的力。冯卡门说，呈现在大风面前的路面形状 其作用就像飞机的机翼，空气形成了涡旋，而正是涡旋的作 用导致了桥面的振动。 ◆从那场灾难事件以后，所有重要的桥梁模型都在风洞 里做过测试，也迫使桥梁工程师们考虑他们设计中的空气动 力学问题。
3.4 工程中的振动问题
3 共振与人类的健康
人体器官的固有频率
3.4 工程中的振动问题
3 共振与人类的健康 ◆职业驾驶员往往容易患胃病，除了和他们的工作 紧张有关外，车辆(特别是土路上行进的拖拉机 )的次声 振动也是一个主要因素。 ◆人们的晕车晕船主要和身体体质有关外还和次声 有关：有的人乘坐越高级的轿车反而晕得越厉害，其主 要是高级轿车采取了很多措施控制振动，但次声段的低 频振动却很难控制，这样，高级轿车次声频段振动的相 对比例反而大，易晕车的人乘坐后反应就特别大。 ◆由于人体的自身振动和来自外界的振动有着十分 紧密的关系，所以，利用振动的特性也可以造福人类。 振动工作者和医务人员共同研制成功了各种消除疲劳和 治疗疾病的振动机械。
3.4 工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏
近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给 我们留下的教训就显得非常深刻。 1940年7月1日美国西海岸华盛顿州建成了一 座当时位居世界第三的 Tacoma 大桥。大桥中央 跨距为853.4 m，全长1810.56 m，桥宽11.9 m， 梁高为 1.3 m ，为悬索桥结构，设计可以抗 60 m/s 的大风。但不幸的是大桥刚建成 4 个月后 (1940年11月7日)就在19 m/s的小风吹拂下整体塌 毁。
3.4 工程中的振动问题
1 建筑物的共振破坏
Tacoma大桥的横截面与气流的旋涡脱落
Tacoma 大桥遭风塌毁的原因就是气流与大桥的共 振所引起的。当风吹过大桥时，气流会在大桥的背风面 产生旋涡，而在19 m/s风速时旋涡脱落的频率与悬索上 桥板的固有频率刚好一致，再加上悬索桥的小阻尼，从 而产生了强烈的共振。因此尽管桥塌毁的这天风并不是 很大，但却吹垮了整座大桥。
3.4 工程中的振动问题
2 电线在风中唱歌
图
流体中冯卡门涡旋街的真实照片
3.4 工程中的振动问题
2 电线在风中唱歌
◆每当涡旋离开电线时，它会传递给电线一个微弱 的冲力。 ▲原因是涡旋有动量，而涡旋和电线总动量是守恒 的；所以每个涡旋离开时都会给电线一个推动。 ◆在某个风速下，涡旋会以电线的共振频率开始脱 离，从而引起电线运动。这种共振效应就是为什么在恰 当的风速下风中的电线会开始唱歌的原因。 ▲古希腊人注意到竖琴发出的可怕的声音就是这个 效应的结果；我们称这个效应为风鸣琴。
在 西 方 ， 直 到 15 世 纪 ， 意 大 利 人 达· 芬奇才开始做共振实验。直到17世纪， 牛津的诺布耳和皮戈特才以所谓的“纸 游码” ( 相当于纸人一类的东西 ) 实验， 来证明弦线的基音和泛音的共振关系。
3.4 工程中的振动问题
生活和工程中的共振问题
■在我国的史籍中也有不少共振的记载。唐朝开元年间， 洛阳有一个姓刘的和尚，他的房间内挂着一幅磬(古代(佛教) 打击乐器 )，常敲磬解烦。有一天，刘和尚没有敲磬，磬却 自动响起来了，不料那磬常常无故自鸣，尤其是半夜里会突 然响动，犹如鬼使神差一般，这使他大为惊奇，终于惊扰成 疾。他的一位好朋友曹绍夔是宫廷的乐令 (管理皇家音乐事 项 )，不但能弹一手好琵琶，而且精通音律，闻讯前来探望 刘和尚。经过一番观察，他发现每当寺院里的钟响起来时， 和尚房里的磬也跟着响了。于是曹绍夔拿出刀来把磬磨去几 处，从此以后磬就不再自鸣了。他告诉刘和尚，这幅磬的音 律(即所谓的固有频率 )和寺院的钟的音律一致，敲钟时由于 共振，磬也就响了。将磬磨去几处就是改变它的音律，这样 就不会引起共鸣。刘和尚恍然大悟，病也随之痊愈了。
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1 建筑物的共振破坏
美国华盛顿州Tacoma悬索桥
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1 建筑物的共振破坏 Tacoma 桥 破 坏 时 ， 当 地 Tacoma 报 社 的 编 辑 Leonard Costsworth恰好路过，并用摄影机记录下一段 珍贵的胶片。
据说，在出事当天，一位记者把车停在桥上，并把 一条狗留在车内。桥倒塌时，只有他本人跑到了桥台处。 当地的报纸以简洁的标题对这场事故作了报道，“损失： 一座桥、一辆汽车、一条狗”。
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3 共振与人类的健康 ▲共振对人类健康有好的一面，同时还会产生直接的 危害。 ▲人体，甚至人体的某个器官也是弹性-质量系统， 因此它们也有自己的固有频率。 ▲人体的平均固有频率一般在 4～5 Hz(赫兹)，各主 要器官的固有频率为3～6 Hz。 ▲次声是频率为0.01～20 Hz的低频声波，这个频率 范围与人体一些主要器官的固有频率处于同一频段，因 此，它很容易引起人体重要器官的共振。
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生活和工程中的共振问题 ■我国古代很早就对共振现象有记述，公元前 4 世 纪至公元前3世纪，我国《庄子· 杂篇· 徐无鬼》中，就讲 到了调瑟 (有 25根弦的古代弦乐器 )时发生共振的现象： “鼓宫 ( 音谓名 ) 宫动，鼓角 ( 音调名 ) 角动，音律同矣。 夫改调一弦，于五音无当也，鼓之，二十五弦皆动。” 它既描述了基音的共振现象，又描述了基音和泛音的共 振现象。 ■《墨子 • 备穴篇》还记述了共振现象的具体应用； 在城墙根下每隔几米，挖一个坑，坑内埋臵容器为 70～80升的陶瓮，瓮口蒙上皮革。若有敌人挖地道攻城， 可以根据各陶瓮声响情况，确定敌人挖掘的位臵和方向。
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2 电线在风中唱歌 ◆共振的另一个例子是电线在风中歌唱。想像一根 悬挂在风中的绷紧的电线。绕着线的横截面流动的空气 如图(a)所示。
如果风速足够大，那么电线周围平滑的空气流就变 得不稳定了。风试图绕着电线运动以防止形成真空。如 果速度太高，风就不能以平滑的流动来做到这一点，而 会在两侧形成涡流，如图(b)所示。
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生活和工程中的共振问题 ■世界上最早进行共振实验，是在11世纪我国宋代 科学家沈括 (1031～ 1095)。沈括在《梦溪笔谈》中精心 设计了一个声学共振实验，他剪了一个纸人，把它固定 在一根弦上，弹动和该弦频率成简单整数比的弦时，它 就振动使纸人跳跃，而弹其它弦时，纸人则不动。沈括 把这种现象叫做“应声”。
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1 建筑物的共振破坏
计算机模拟图
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1 建筑物的共振破坏
10 年以后，在同一地方重新修建 Tacoma 桥。仍采用悬 索桥型式，新桥总长较旧桥长12 m，但加劲梁改为桁架式。 于1950年10月14日建成通车。
新桥是根据冯卡门的建议修改后建造的。主要的改变是 把桥修成四车道宽，使用侧面开放的桁架，并且在车道之间 放通风的铁栅格以平衡桥面上下的风压。在大风天，人们还 是紧张地望着它，但它一直纹丝不动。
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3 共振与人类的健康
形成声音的声波能够成为极具残忍性和欺骗性的隐 形杀手。________声波武器
1974年法国马赛的国家科学试验中心的科学家曾作 过这样一个实验，发明了世界上第一个具有破坏力的次 声发生器，这种用一台小型飞机发动机驱动的类似于大 哨子的东西，吹出的次声波能伤及8 km(千米)以外被照 射到的人。首次进行该实验的时候，周围被照射的人感 到胃、心、肺等强烈不适，幸而及时关闭了发生器才没 有发生意外事故，但这些人在几小时内仍没有恢复正常。 声波武器的研制还有许多技术问题尚待克服，比如 如何让声波分清敌我友就是个很难的问题。
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4 火车秤的工振原理 在了解了共振的原理后，我们不仅可以防止有害共 振，而且可以利用共振的特性为人类服务。
现代货运火车每节车厢 可以装载 60 ～ 100 吨的矿石， 直接称量几乎不可能。
火车秤的原理
利用共振原理研制了火车秤平台，在平台的下面安 装一个激振器，在平台上安装一个测振器，激振器可以 连续输出不同的频率振动，测振器可以感应到系统的响 应。当系统振幅最大时激振器的频率就是系统的固有频 率，这样就可以计算出系统的质量，从而可以称出火车 装运矿石的重量。
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生活和工程中的共振问题
▲物理学中的实验同样可以得出“虽然驱动力很小，但共振 的结果却可以是惊人地大。”的结论。如图所示一个音叉，它固 定在一个音箱上，音箱用来放大音叉的声音。当把一个同样的音 叉放在附近的音箱上，并敲击它，那第一个音叉就会产生所谓的 共鸣振动而响起来。下面说明为什么：当来自第二个音叉的一系 列声波撞击到第一个音叉上时，空气的每一次压缩给这个音叉一 个小的推动。由于这些推动的发生频率就是音叉的固有频率 ( 两 个音叉是一样的 ) ，所以它们逐次地增加振动的振幅。考虑到这 个干扰声是如此微弱，发现这样结果是令人吃惊的：一个音叉发 出的这种微弱的声音所造成的空气压强的变化约为 1/108，却足以 使第二个音叉振动起来。
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3 共振与人类的健康
◆音乐除了能够丰富人们的心理活动、愉悦身心的 功能外，还是目前心理治疗的方法之一。专家研究认为， 音乐的频率、节奏和有规律的声波振动，是一种物理能 量，而适度的物理能量会引起人体组织细胞发生和谐共 振现象，这种声波引起的共振现象，会直接影响人们的 脑电波、心率、呼吸节奏等。科学家们还认为，当人处 在优美悦耳的音乐环境中，可以改善精神系统、心血管 系统、内分泌系统和消化系统的功能，促使人体分泌一 种有利健康的活性物质。良性音乐能提高大脑皮层的兴 奋性，可改善人的情绪，振奋人的精神。同时，有助于 缓解心理、社会因素造成的紧张、焦虑、忧郁等不良心 理状态。
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1 建筑物的共振破坏
◆调查这次倒塌的委员会包括了加州理工学院的空气动 力学家冯卡门。他解释说在桥的顶部和底部正在涌出涡旋， 它们以桥的共振频率推动着桥，最后导致桥的倒塌。在华盛 顿大学和加州理工学院的风洞实验室用结构模型做的实验都 证实了他的解释。尽管已经证实了，但是桥的建筑方还是十 分不愿意接受这个解释。桥梁建筑师关心的是静态的力，他 们构筑了极强的强度来面对最大的负载、水流、大风等。他 们不考虑动态的力。冯卡门说，呈现在大风面前的路面形状 其作用就像飞机的机翼，空气形成了涡旋，而正是涡旋的作 用导致了桥面的振动。 ◆从那场灾难事件以后，所有重要的桥梁模型都在风洞 里做过测试，也迫使桥梁工程师们考虑他们设计中的空气动 力学问题。