第二节 常系数线性齐次递推关系

n
引理2. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系（1）的m重 特征根则 qn , nq n , , nm1q n 为递推关系的解． ．
q1 , q2 , , qt 是递推关系(1)的全部不同特征根， 定理2 其重数分别为 e1 , e2 , , et, 则递推关系的通解为 f (n) f1 (n) f 2 (n) ft (n),
(1)
性质2．如果h1(n), h2(n)为递推关系(1)的两个解，则 Ah1(n)+Bh2(n)也是递推关系(1)的解,其中A、B为任意常数． 证明 设Tn= Ah1(n)+Bh2(n) ,由于h1(n), h2(n)为 递推关系的解，有 ，
Tn Ah1 (n) Bh2 (n) A(C1h1 (n 1) C2h1 (n 2) Ck h1 (n k )) B(C1h2 (n 1) C2h2 (n 2) Ck h2 (n k )) C1 ( Ah1 (n 1) Bh2 (n 1)) C2 ( Ah1 (n 2) Bh2 (n 2)) Ck ( Ah1 (n k ) Bh2 (n k ))
f (n) A(1)n Bn(1)n Cn2 (1)n D2n
解方程组,得
7 1 2 A , B , C 0, D . 9 3 9
所以,递推关系的解为
7 2 n n 1 f (n) (1) (1) n 2 . 9 3 9
n
P169 6(1),9,11
b1 b2 bk a0 , b q b q b q a , 1 1 2 2 k k 1 令 , k 1 k 1 k 1 b q b q b q ak 1. 2 2 k k 1 1
因为方程组的系数行列式(Vandermonde行列式)不为零,所
因为f (t 1) g (t 2), 所以有
g (t ) 2 g (t -1) 3g (t - 2), g (0) 0, g (1) 3.
它的特征方程为：x2 2x 3 0, 特征根为:
x1 3, x2 1,
t t 所以递推关系的通解为 g (t ) C1 (3) C2 (1) .
f (n) 2n 2n1 n.
例5 求递推关系
f (n) f (n 1) 3 f (n 2) 5 f (n 3) 2 f (n 4)， f (0) 1, f (1) 0, f (2) 1, f (3) 2．
解 递推关系的特征方程为
《组合数学引论》 －Chapter 6
§6.2常系数线性齐次递推关系
一、定义
定义1 (f(n)}为一数列,C1,C2,…,Ck为k个常数,且Ck≠0,则 称递推关系：
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2) Ck f (n k ) (n k )
(1)
为k阶常系数线性齐次递推关系. 若数列{bn}满足递推关系,即 bn C1bn1 C2bn2 Ck bnk (n k ),
2 解 它的特征方程为： x 2x 2 0,
特征根为: x1 1 3,
C1 (1 代入初值得方程组
x2 1 3,
所以递推关系的通解为 f (n) C1 (1 3)n C2 (1 3)n .
3) C2 (1 3) 3,
A 1, B k 1 , 所以递推关系的解为： 解方程组得：
f (n) (k 1)n (k 1)(1) n .
例3 核反应堆中有和两种粒子，每秒钟内一个粒子可 反应产生三个粒子，而一个粒子又可反应产生一个粒子和 两个粒子.若在时刻t=0时反应堆中只有一个粒子,问t=100秒 时反应堆将有多少个粒子?多少个粒子?共有多少个粒子? 解 设在t时刻的粒子数为f(t), 粒子数为g(t)，依题意的下 面递推关系 f (t ) g (t 1), g (t ) 3 f (t 1) 2 g (t 1), f (0) 1, g (0) 0.
(1)
定义2 方程 x C1x C2 x Ck 0 称为递推关系(1)的 特征方程，它的根称为递推关系的特征根．
k
k 1
k 2
由于Ck≠0 ，所以特征根为非零根．
二、解的性质
性质1．设q是非零复数, f(n)=qn为递推关系(1)的解 的充要条件为q是递推关系(1)的一个特征根． 证明 设f(n)=qn为递推关系的解，即
P( x) xk C1xk 1 C2 xk 2
Ck 1x Ck ,
n k n n1 n 2 P ( x ) x P ( x ) x C x C x n 1 2
Ck xnk ,
因为q为P(x)的二重根，所以q也为Pn(x)的二重根，
从而q为 Pn '( x)的一重根，也为 xP n '( x) 的一重根． 又由于 n n1 n 2 xP '( x ) nx C ( n 1) x C ( n 2) x n 1 2
2 解 递推关系的特征方程为：x (k 2) x (k 1) 0,
特征根为:
q1 k 1, q2 1,
所以递推关系的通解为
f (n) A(k 1)n B(1)n .
k (k 1) A(k 1)2 B， 代入初值得方程组： 3 k ( k 1)( k 2) A ( k 1) B．
' ' h(n) C1' h1 (n) C2 h2 (n) Ck hk (n) , 则称 b1h1 (n) b2h2 (n) bk hk (n)为递推关系(1)的通解, 其
中b1,b2,…,bk为任意常数．
定理4.2.1 若 q1 , q2 , , qk为递推关系(1)的k个互不相等的 特征根, 则 n n f (n) b1q1n b2q2 bk qk 为递推关系(1)的通解, 其中 b1 , b2 ,
代人初值有 解方程组，得
C1 C2 0, 3C1 C2 3.
3 3 C1 , C2 , 4 4 3 t 3 t 所以递推关系的解为 g (t ) 3 (1) . 4 4 3 t 1 3 f ( t ) g ( t 1) 3 (1)t 1 , 从而有 4 4
, bk 为任意常数．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2)
Ck f (n k ) (n k )
(1)
n n 证明 显然 f (n) b1q1 b2q2
n bk qk 为递推关系(1)的解.
设h(n)是递推关系(1)的任一个解, 它由k个初值 h(0)=a0, h(1)=a1,……,h(k-1)=ak-1唯一确定.
qn C1qn1 C2qn2 Ck qnk ,
k k 1 k 2 q C q C q 1 2 由于 q 0 ，所以
Ck ,
即q为递推关系的一个特征根．反之结论也成立．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2)
Ck f (n k ) (n k )
n n f ( n ) b q b nq i1 i i2 i 其中 i
biei n ei 1qin (i 1, 2,
, t ).
例1 求解递推关系
f (n) 2 f (n 1) 2 f (n 2) (n 3) f (1) 3, f (2) 8.
' ' 以方程组有唯一解 b , b 1 2,
n ' n h(n) b1' q1 b2 q2
' , bk ,即有
' n bk qk , 结论成立.
下面研究当特征根有重根时，递推关系的通解． 引理1. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系(1) n 的二重特征根，则 nq 为递推关系的解． 证明 令
即 Tn C1Tn1 C2Tn2
CkTnk ,
所以Ah1(n)+Bh2(n)为递推关系的解． 这是解的线性叠加性质,可推广到m个解的情况.
三、递推关系的通解
定义2 设h1(n), h2(n),…, hk(n)为递推关系(1)的k个解,若 ' ' ' 对(1)的任一个解h(n), 都可适当选择常数 C1 , C2 , , Ck 使得
f (t ) g (t ) 3 .
t
因此，
3 99 3 100 f (100) (3 1), g (100) (3 1). 4 4 f (100) g (100) 3100.
例4 求解递推关系
f (n) 4 f (n 1) 4 f (n 2), f (0) 1, f (1) 3.
解 递推关系的特征方程为： x2 4x 4 0,
特征根为: x1 x2 2. 所以递推关系的通解为 f (n) c1 2n c2 n2n.
代入初值得方程组： c1 1, 解得
1 c1 1, c2 . 2
2c1 2c2 3．
wk.baidu.com
所以递推关系的解为
Ck (n k )xnk ,
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2)
Ck f (n k ) (n k )
(1)
所以 nqn C1 (n 1)qn1 C2 (n 2)qn2
Ck (n k )qnk 0,
即 nq 为递推关系(1)的解． 由引理1易证得下面的引理2.
则称这个数列{bn}为递推关系的解．
若{bn}还满足初始条件 b0 0 , b1 1, , bk 1 k 1 ，则 称{bn} 为满足初始条件的特解，显然满足初始条件的特 解是唯一的．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2)
Ck f (n k ) (n k )
x4 x3 3x2 5x 2 0, 特征根为： x1 x2 x3 1, x4 2,
所以递推关系的通解为
f (n) A(1)n Bn(1)n Cn2 (1)n D2n A D 1, A B C 2 D 0, 代入初始值得方程组 A 2 B 4C 4 D 1, A 3B 9C 8D 2,
2 2 C (1 3) C (1 3) 8． 1 2
解方程组得
C1
32 , 2 3
C2
32 , 2 3
2 3
所以递推关系的解为： f (n) 3 2 (1 3)n 3 2 (1 3)n .
2 3
f (n) (k 2) f (n 1) (k 1) f (n 2) (n 4) 例2 求解递推关系 f (2) k (k 1), f (3) k (k 1)(k 2).