应力和平衡方程
02讲-应力与平衡、位移与应变 PPT
用转轴公式能求得斜面上的 正应力和剪应力。
王正伟
主应力
Principal Stress
对于给定的应力状态，若改变斜面方向，则斜面应力的大小和 方向都会发生改变，因此是否存在一个面，使得只存在正应力 而无剪应力？
() g
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
1、2、3
、2、3
王正伟
主应力的性质 Principal Stress
在笛卡尔坐标系中，用六个平行于坐标面的截面在一点周 围截取一个正六面体微元。正六面体的六个面法向矢量与坐标 轴平行，同向的三个面称之为正面，反向的三个面称之为负面。 将作用在正面上的应力矢量沿坐标轴方向分解。
1 xxi xy j xzk
2 yxi yy j yzk
3 zxi zy j zzk
王正伟
外力、载荷 Load
面力是作用在物体表面上的 外力。
p lim F S 0 S
体积力是作用在物体内部体积 上的外力。
F f lim
V 0 V
王正伟
应力矢量(应力) Stress Vector
应力矢量(应力)
( )
lim S0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称 名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积，称真实应 力，简称真应力, 也称柯西应力。
四面体体积为：
V 1dhdS 3
王正伟
斜面应力公式 Cauchy Formula
四面体平衡条件为：
(1) dS1 (2) dS2 (3) dS3
()
dS
f
(1dhdS) 3
0
应变位移方程平衡方程协调方程应力函数和协调方程裂缝应力位移场
Inglis的理论 （1913）
A点应力分布：
Inglis C E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Transactions of the institute of naval architects, 1913, 55(219-241): 193-198.
Kirsh的研究 （1898）
The 2-D stress field in a large body under uniform remote tensile load and containing a circular hole is given by (Kirsch, 1898)
r
Kirsh的研究 （1898）
理论推导：一般情况
平面极坐标下的应力分量：
双调和函数：
Kirsch E G. Die Theorie der Elastizit t und die Bed rfnisse der Festigkeitslehre. Zeitshrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1898, 42: 797-807.
1. 基本假设与研究内容
• 基本假设
– 线弹性 – 小变形 – 均匀性 – 各项同性 – 连续性 – 无处应力（可省略）
• 研究内容：线弹性体的裂缝尖端应力
2. 材料强度与缺陷
为什么材料有强度?
使两个原子分开需要一定的拉应力 克服黏聚力或者翻越能量势垒：
将黏聚力与距离之间的关系简单假设为 满足三角函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
利用叠加原理，边界条件分解：
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导摘要：I.引言- 介绍切应力互等定理- 说明推导的目的和方法II.切应力互等定理的推导- 基本假设和定义- 推导过程1.切应力的定义和分解2.应力平衡方程3.切应力互等定理的推导III.结论- 总结切应力互等定理的推导过程- 说明切应力互等定理的应用和意义正文：I.引言切应力互等定理是固体力学中的一个重要定理，它描述了在受力物体中，切应力在各个正交方向上的分量之间存在的关系。
为了更好地理解和应用该定理，我们首先需要了解其推导过程。
本文将详细介绍切应力互等定理的推导过程，并说明其应用和意义。
II.切应力互等定理的推导要推导切应力互等定理，我们首先需要了解一些基本假设和定义。
假设我们有一个均匀的弹性体，其内部受力平衡，即受力物体中的应力分布满足应力平衡方程。
接下来，我们开始推导切应力互等定理。
首先，我们定义切应力在x轴和y轴方向上的分量分别为τx和τy。
根据应力分解原理，我们可以将切应力分解为两个正交方向上的分量，即τx = τcosθ和τy = τsinθ，其中θ为切应力与x轴正半轴之间的夹角。
然后，我们考虑受力物体中一个正方形单元体的情况。
这个单元体受到四个力的作用，分别为FX、FY、FN和FT。
根据应力平衡方程，我们可以得到以下四个方程：1.ΣFX = 02.ΣFY = 03.ΣFN = 04.ΣFT = 0其中，ΣFX、ΣFY、ΣFN和ΣFT分别表示正方形单元体在x轴、y轴、法向和切向方向上的受力分量之和。
接下来，我们分别考虑正方形单元体在x轴和y轴方向上的受力情况。
在x轴方向上，正方形单元体受到FX和FN的作用，因此有：1.ΣFX = FX + FNcosθ = 02.ΣFN = FN - FXsinθ = 0将第二个方程代入第一个方程，可得：FX = FNcosθ在y轴方向上，正方形单元体受到FY和FN的作用，因此有：1.ΣFY = FY + FNsinθ = 02.ΣFN = FN - FYcosθ = 0将第二个方程代入第一个方程，可得：F Y = FNsinθ现在我们来考虑正方形单元体在切向方向上的受力情况。
应力协调方程
应力协调方程应力协调方程是固体力学中的重要理论基础之一，它描述了固体内部的应力分布与变形关系。
在物理学和工程领域中，研究应力协调方程可以帮助我们理解和解决许多与力学有关的问题。
我们来了解一下什么是应力。
在固体力学中，应力是指单位面积上的力。
当外力作用于一个物体时，物体内部会产生应力，这些应力会导致物体发生变形。
根据牛顿第三定律，物体内部的应力是相互平衡的，即任何一个体积元素内部的应力都是相等且相反的。
应力协调方程正是基于这一原理建立起来的。
应力协调方程的一般形式可以表示为：∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + fx = ρa∂τyx/∂x + ∂σy/∂y + ∂τyz/∂z + fy = ρb∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂σz/∂z + fz = ρc其中，σx、σy、σz分别表示x、y、z方向上的正应力；τxy、τxz、τyz分别表示x、y、z方向上的剪应力；fx、fy、fz分别表示x、y、z方向上的体积力；ρa、ρb、ρc分别表示x、y、z方向上的体积密度。
应力协调方程的含义是，对于一个体积元素来说，其受到的外力与其内部应力之和应该等于体积元素的质量与加速度之积。
这个方程描述了物体内部应力的平衡关系，可以帮助我们计算物体在外力作用下的变形情况。
应力协调方程在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在工程结构设计中，我们可以利用应力协调方程来计算各个构件的应力分布，从而确定结构的稳定性和安全性。
在地震工程中，应力协调方程可以用来分析地震作用下建筑物的应力分布，进而评估其抗震性能。
在材料科学中，应力协调方程可以用来研究材料的力学性能和变形行为。
为了解决应力协调方程，我们通常需要结合边界条件和材料特性进行求解。
例如，对于一个受到均匀外力作用的长方体，我们可以利用应力协调方程求解出其内部应力分布，并根据材料的弹性模量和泊松比等参数来计算其变形情况。
这样的分析可以帮助我们更好地理解和预测材料和结构的行为。
由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程
由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程薄板弯曲是指在薄板材上施加外力或载荷时，薄板产生的弯曲变形现象。
在薄板弯曲平衡的分析中，我们可以利用应力平衡方程来推导出薄板的弯曲平衡方程。
首先，我们先来了解一下薄板上的应力分布情况。
当薄板弯曲时，沿板的厚度方向，各点的应力不再均匀，而是变化的。
典型的薄板弯曲示意图如下：________=======+y-y=======_______________________(-z)/\(+z)在这个示意图中，x、y、z分别表示三个坐标轴方向，板材由原始平面发生了位移，形成了一个弯曲的曲面。
我们可以假设，板材上各点的应力沿曲面垂直方向，并且沿板材厚度方向的应力相对于板面来说可以忽略不计。
根据这个假设，我们可以得到以下应力方程：σx=σ0+zE(κ-η)σy=0σz=0其中，σx、σy、σz分别表示薄板上各点的应力；σ0表示沿曲面方向的平均应力，称为弯曲应力；E表示薄板材料的弹性模量；κ表示曲率；η表示薄板法线的倾角。
下面我们来推导薄板的弯曲平衡方程。
根据力的平衡原理，薄板的弯矩M必须满足以下条件：dM/dy + q = 0其中，M表示弯矩，q为单位面积上的荷载。
表示单位面积上的荷载，我们可以用物理量p来表示，即：q = p*dz将上述等式代入弯矩方程中，可以得到：dM/dy + p*dz = 0将p替换为σx，则有：dM/dy + σx*dz = 0根据应力平衡方程，我们可以得到：σx=σ0+zE(κ-η)将其代入上式，得到：dM/dy + (σ0 + zE(κ-η))*dz = 0对上式两边同时积分，得到：∫dM + ∫(σ0 + zE(κ-η))*dz = 0即：M+σ0z+E(κ-η)z^2/2=C其中，C是常数。
这就是薄板的弯曲平衡方程。
通过这个方程，我们可以分析薄板弯曲时各点的位移和应力分布情况，从而在设计过程中进行合理的选择和优化。
总结起来，由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程，涉及到薄板的应力分布、弯矩方程和力的平衡等内容。
材料力学控制方程
材料力学的基本控制方程通常包括平衡方程、本构方程和边界条件。
1. 平衡方程：描述了结构在受力后的静力平衡状态。
对于一个连续体，这些方程可以表述为：
-力的平移平衡：∑F_x = 0, ∑F_y = 0, ∑F_z = 0 （力的三个分量的总和为零）
-弯矩的旋转平衡：∑M_α = 0 （在某一点或某一片段关于任意轴的力矩之和为零）这些平衡方程适用于线性弹性问题，也适用于塑性问题和粘弹性问题。
2. 本构方程：定义了材料的应力-应变关系。
对于线弹性材料，本构方程可以表示为胡克定律：
σ_ij = C_ijkl ε_kl
其中，σ_ij 是应力张量，ε_kl 是应变张量，C_ijkl 是材料弹性常数的第四阶张量。
对于塑性材料，本构方程更加复杂，通常涉及流动函数和硬化模型。
3. 边界条件：描述结构边界上的约束情况。
边界条件分为两类：
- Dirichlet条件：也称为固定条件，指定位移边界条件，例如u_x(边界) = 0。
- Neumann条件：也称为载荷条件，指定力边界条件，例如F_x(边界) = 0。
对于非齐次边界条件，可能需要指定特定的位移分布或载荷分布。
将这些方程结合起来，就可以求解出结构在给定载荷作用下的应力、应变和位移分布。
在实际应用中，还需要考虑初始条件（例如初始应变或初始速度）和材料的损伤、疲劳以及其他复杂因素。
第1章应力分析及应力平衡微分方程
，可以把σij（Stress tensor ）分解成与体积变化有关 的量和形状变化有关的量。前者称为应力球张量
(Spherical stress tensor) ，后者称为应力偏张量
(Deviatoric stress tensor) 。设σm为平均应力，则有
m
1 3
(
x
y
z)
按照应力叠加原理，σij具有可分解性。因此有
整理后可得S：zdA xzdAx yzdAy zdAz
求和约定： 全应力：
Sx xl yxm zxn S y xyl ym zyn Sz xzl yzm zn
S j ijli
S2
S
2 x
Sy2
Sz2
很重要！ （１－１）
（１－２）
沈阳工业大学
1.1.２ 点的应力状态
由于微元体处于静力平衡状态，所以，绕其各轴 的合力矩为零，因此可以得到
xy= yx, yz= zy zx= xz 称为剪应变互等定律
沈阳工业大学
1.1.２ 点的应力状态
一，一点的应力状态：是指通过变形体内某点的 单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等 情况。
一点的应力状态的描述
（１） 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa （２） 图示表达：在单元体的三个正交面上标
第1章 应力分析
沈阳工业大学
第 1 章 应力分析
1.1 点的应力状态 1.2特殊应力状态 1.3应力平衡微分方程
沈阳工业大学
1.1 点的应力状态
1.1 .1应力 1.1.2 点的应力状态 1.1.3主应力及应力张量不变量 1.1.4主切应力和最大切应力 1.1.5应力偏张量和应力球张量 1.1.6八面体应力和等效应力 1.1.7应力莫尔圆
3-1-4 应力分析_应力莫尔圆及应力平衡微分方程
10 3 10
l1=
10 1
m2= 10
最大切应力τmax=500MPa
金属塑性成形原理
解析法验证：
2 3 0
三个不变量： J1 x y z 4
J2
(x y
yz
zx )
2 xy
2 yz
2 zx
21
ij 3
0
6 0(100MPa) 0 0
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
金属塑性成形原理
练习题1： 应用莫尔圆分析单向拉伸时的各横截面上的应力变化状态。
y B（ σy＝40 τyx＝0 ） θ
τ C (0,20)
2θ
A
A
（ σx＝0 τxy＝0 ）
Bσ
(40,0)
x
当2θ＝90°（θ＝45°）时，截面的剪切力 达到最大值20MPa
金属塑性成形原理
练习题2：物体中某点为平面应力状态，应力张量为：
试利用莫尔圆图解主应力,主方向和最大切应力
τ
τmax (0,5)
2 3 0
ij 3 6 0(100MPa)
0 0 0
2α2
B(6,3)
σ2 (-3,0) 2β2
A(-2,-3) σ2＝－3
2α1 σ1(7,0)
O(2,0) D
σ
2β1 σ1＝7
OD的长度＝1/2（6+2）＝4；R＝5；
y
B
以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向
余弦为l，m，n，则有 :
金属塑性成形原理
l2 m2 n2 1
S1 1 l S2 2 m S3 3 n S 2 S12 S22 S32 12l 2 22m2 32n2
三向的胡克定律
三向的胡克定律一、三向胡克定律的基础概念三向胡克定律，又称为三维胡克定律，是弹性力学的基本定律之一。
它描述了在三维空间中，物体的应力和应变之间的关系。
与传统的二维胡克定律相比，三向胡克定律考虑了更多的因素，包括剪切应力、旋转应力和三维空间的应变状态。
在三向胡克定律中，物体的应力和应变被表示为三维向量，这些向量不仅包括大小，还包括方向。
这使得三向胡克定律能够更准确地描述在复杂应力状态下的物体行为，如扭曲、弯曲和剪切等。
二、三向胡克定律的数学表达三向胡克定律的数学表达通常由三个方程构成：应力平衡方程、几何方程和物理方程。
这些方程一起描述了物体的应力、应变和变形之间的关系。
1.应力平衡方程：该方程描述了物体内部应力的平衡状态。
在三维空间中，这个方程是一个线性方程组，表示为：σij,j=0 （i=1,2,3）。
其中，σij表示应力张量分量，j表示偏量算子。
2.几何方程：这个方程描述了物体的应变和变形。
它通常表示为：εij=1/2（uij+uji），其中εij表示应变张量分量，uij表示位移梯度分量。
3.物理方程：这个方程将应力和应变联系起来，通常表示为：σij=λδij+2μεij。
其中，λ和μ是拉梅常数，δij是克罗内克符号，表示当i=j时值为1，否则为0。
三、三向胡克定律的应用三向胡克定律在许多工程领域中有广泛的应用，包括结构工程、航空航天工程和材料科学等。
以下是一些具体的应用实例：1.结构工程：在结构工程中，三向胡克定律被用于分析桥梁、建筑和其它大型结构的应力分布和变形。
这种分析可以帮助工程师预测结构的强度、刚度和稳定性，从而优化设计。
2.航空航天工程：在航空航天工程中，由于飞行器经常处于复杂的应力状态，因此三向胡克定律的应用尤为重要。
它被用于分析飞行器的结构强度、疲劳寿命和气动弹性等问题。
3.材料科学：在材料科学中，三向胡克定律用于研究材料的力学性能，如弹性模量、泊松比和剪切模量等。
这种研究有助于理解材料的微观结构和宏观力学行为之间的关系，为新材料的开发提供理论支持。
应力平衡方程推导
应力平衡方程推导应力平衡方程是固体力学中的一条基本方程，描述了力学系统中各点处的应力分布。
对于一个小体素（微元）来说，应力平衡方程可以推导为以下形式：考虑一个小体素在三个坐标轴上分别受到的力和力偶。
在x轴方向上，小体素受到的力可以表示为：∑Fx = ∂σxx/∂x + ∂τyx/∂y + ∂τzx/∂z + Fx = 0其中，∑Fx 表示在x轴方向上作用于小体素的力的矢量和，σxx、τyx、τzx 分别表示小体素在x轴方向上的正应力、剪应力和剪应力。
∂σxx/∂x 表示σxx 关于 x 的偏导数，表示 x 方向上的应力变化率。
类似地，∂τyx/∂y 和∂τzx/∂z 分别表示τyx 和τzx 关于 y 和 z 的变化率。
Fx 表示在 x 方向上外界对小体素施加的体积力。
将它们相加应为 0，即∑Fx = 0。
同理，我们可以得到在 y 轴和 z 轴方向上的应力平衡方程为：∑Fy = ∂τxy/∂x + ∂σyy/∂y + ∂τzy/∂z + Fy = 0∑Fz = ∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σzz/∂z + Fz = 0其中，τxy、τxz、τyz 分别表示小体素在 yz 平面上的剪应力，σyy、σzz 分别表示小体素在 y、z 轴上的正应力。
∂τxy/∂x、∂τxz/∂x 和∂τyz/∂y 分别表示τxy、τxz 和τyz 关于 x 和 y 的变化率，∂σyy/∂y 和∂σzz/∂z 分别表示σyy 和σzz 关于 y 和 z 的变化率。
将以上三个方程相加，得到整体应力平衡方程：∑Fx + ∑Fy + ∑Fz = 0即：∂σxx/∂x + ∂τyx/∂y + ∂τzx/∂z + Fx + ∂τxy/∂x + ∂σyy/∂y +∂τzy/∂z + Fy + ∂τxz/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σzz/∂z + Fz = 0这就是通常所说的应力平衡方程。
弹性力学基本方程及原理
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
1、检查在柱体侧边（主要边界）X i 0 n3 n 0
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 z
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
（A）
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
y
x=y=z=-p
xy=yz=zx=0
x
a）前、后面： 1 m n 0 前面面力：fx p f y 0 fz 0
应力法可归结为：在给定的边界条件下，求解下列方程
弹性力学----基本方程
ji, j Fbi 0
位移与应变几何方程 6个
ij
1 ui 2 x j
u j xi
应力与应变物理方程 6个
σ= Dε
第一节 基本方程
待解未知函数:
空间问题 应力分量 6个 应变分量 6个
未知函数15个，方程数 也为15个。位移和应力 还应该满足单值条件
位移分量 3个 边界条件 应力边界条件：在边界上给定外力，应力应满足 应力边界条件。
第四章 基本方程
弹性静力学的问题构成了偏微分方程组 的边值问题，根据应力或位移为求解的未知 函数进行简化，得到基本方程。直接求解一 般是十分困难的，还需要进一步简化为平面 问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的 数值解法奠定了基础。
第一节 第二节
基本方程 基本方程的意义
第一节 基本方程
求解方程: 应力平衡方程 3个
2 2x
1 1
(
2
)
Fb x
x
Fb y y
Fb z z
(1 )2 y
2 2 y
1 1
(2
)
Fb y
y
Fb z z
Fb x x
(1 )2 z
2 2z
1 1
(2
)
Fb z
z
Fb x x
Fb y y
(1 )2 yz
2 yz
(1
)
Fb y
z
Fb y z
(1 )2 zx
2 zxBiblioteka (1 ) 2y
2v Fby
0
E 2(1
)
1
1
2
z
2
w
Fbz
0
其中 x y z 称为体积应变。
3-应力和平衡方程
p1 = σ 11n1 + σ 12 n2 p2 = σ 21n1 + σ 22 n2
A
θ
τ xy
C
σx
x
pi = σijnj
Chapter 3
Page 10
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
Von Karman Notations Chapter
3
Page 8
3.4 State of stress at a point (一点应力状态)
∆p σ = lim ∆S→0 ∆ S
Stress Vector （矢量） 矢量）
σij
stress tensor (张量 张量) 张量
σ = P i + Py j + P k x z
σ ′ = σ x l 2 2 + σ y m 2 2 + σ z n 2 2 + 2 (τ xy l 2 m 2 + τ yz m 2 n 2 + τ zx n 2 l 2 ) y
′ σ x = σ x l1 2 + σ y m1 2 + σ z n1 2 + 2 (τ xy l1 m1 + τ yz m1 n1 + τ zx n1l1 )
2 2 y 2 2
Chapter 3
Page 12
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
Coordinate Transformations （坐标变换） 坐标变换）
应力和平衡方程
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结构分析
结构分析是研究结构在各种外力作用下的响应的学科。应力和平衡方程是结构分析中的基本方程，用于描述结构的应力、应 变和位移等状态。
在结构分析中，应力和平衡方程用于分析结构的承载能力、刚度和稳定性等性能。通过这些方程，可以优化结构设计，提高 结构的承载能力和稳定性。
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，用 于求解各种工程问题。应力和平衡方 程是有限元分析中的基本方程，用于 描述结构的应力和位移等状态。
VS
在有限元分析中，应力和平衡方程用 于建立有限元模型，通过计算机模拟 来预测结构的响应和性能。这种方法 可以处理复杂的结构和载荷条件，为 工程设计和优化提供可靠的数值依据。
04
应力和平衡方程的局限性
材料非线性和几何非线性
材料非线性
材料在受力过程中表现出非线性行为，如塑性变形、断裂等，这使得应力和平衡方程不再适用。
多重解和不稳定解的问题
多重解
对于某些问题，可能存在多个解，这使得求 解变得复杂且难以确定最优解。
不稳定解
在某些情况下，解可能是不稳定的，这意味 着微小的扰动可能导致结果发生大的变化， 这使得求解变得困难且不可靠。
05
应力和平衡方程的发展趋势
数值计算方法的改进
有限元法
有限元法是一种广泛应用于解决各种工程问题的数值计算方法，通过将连续的求解域离散 化为有限个小的单元，再对每个单元进行求解，从而得到整个系统的近似解。这种方法在 应力和平衡方程的求解中发挥了重要作用，提高了计算精度和效率。
分类
正应力与剪应力
根据作用力的方向，应力可分为 正应力和剪应力。正应力表示作 用力垂直于物体表面，剪应力表 示作用力平行于物体表面。
圆柱坐标系应力平衡微分方程推导
圆柱坐标系应力平衡微分方程推导1. 引言在工程力学中，为了研究物体内部的力学性质，我们经常需要利用微分方程来描述力的平衡状态。
圆柱坐标系是一种在三维坐标系中常用的坐标系，特别适用于描述圆柱体或者旋转对称物体的力学性质。
本文将介绍圆柱坐标系中的应力平衡微分方程推导过程。
2. 圆柱坐标系中的应力分量在圆柱坐标系中，我们通常使用径向（R）、周向（$\\Theta$）和轴向（Z）三个坐标轴来描述空间位置。
对于某一点处的应力状态，我们可以用三个分量来描述：径向应力（$\\sigma_{RR}$）、周向应力（$\\sigma_{\\Theta\\Theta}$）和轴向应力（$\\sigma_{ZZ}$）。
此外，还有三个剪切应力分量：径向和周向的剪切应力（$\\sigma_{R\\Theta}$和$\\sigma_{\\Theta R}$）、径向和轴向的剪切应力（$\\sigma_{RZ}$和$\\sigma_{ZR}$）、周向和轴向的剪切应力（$\\sigma_{\\Theta Z}$和$\\sigma_{Z\\Theta}$）。
3. 微元力平衡分析考虑某一个小微元，其位置在径向r、周向$\\theta$和轴向z处，大小为$\\Delta r$、$\\Delta \\theta$和$\\Delta z$。
在这个小微元内，根据力平衡原理，我们有以下平衡方程：$$ \\sum F_r = \\sum \\Delta F_r = 0\\quad (1) $$$$ \\sum F_\\theta = \\sum \\Delta F_\\theta = 0\\quad (2) $$$$ \\sum F_z = \\sum \\Delta F_z = 0\\quad (3) $$4. 微元受力分析在微元内，除了全局施加在微元边界上的力外，还存在着由于剪切应力产生的表面力。
在径向方向上，微元侧表面的力可以用微小位移$\\Delta r$和剪切应力$\\tau$来描述。
第2章 应力和平衡
令斜截面的正应力为σN，切应力为τN，则pN将的各分量px ， py，pz向N方向投影即得
N l p x m p y n p z N T p N N T T N (2-6a)
将上式展开
N l 2 x m 2 y n 2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
d 11 d 11 d 13 1 0 0 d ij d 21 d 22 d 23 0 1 0 d 31 d 32 d 33 0 0 1
克罗内克尔记号是二阶张量 d ii d 11 d 22 d 33 3 运算规律
d im am ai d imTmj Tij
T
(2-4)
或按下标记法与求和约定写为 pi ij n j (i, j x, y, z )
(2-5)
式中 i：自由指标，同一项只出现一次 ，同一方 程中，各项的自由指标应相同。j：哑指标，表示求 和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。一 方面通过哑指标对求和起缩写的作用，另一方面通过 自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。
面 力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼 上的空气动力、水坝所受的水压力等。
定 义 式
体力：
F f lim V 0 V
V
F
Fi fi lim V 0 V
F1 f1 lim V 0 V F2 f 2 lim V 0 V F3 f 3 lim V 0 V
X x x l1 xy m1 xz n1 Yx yx l1 y m1 yz n1 Z x zx l1 zx m1 z n1
置换符号eijk
结构力学第二版课后习题答案
结构力学第二版课后习题答案结构力学第二版课后习题答案结构力学是一门研究物体受力情况和力学性质的学科，它在工程领域中有着广泛的应用。
结构力学的学习不仅需要理论的掌握，还需要通过实际的习题来加深对知识的理解和运用。
本文将为大家提供《结构力学》第二版课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和应用结构力学知识。
第一章弹性力学基础1.1 弹性力学的基本概念1. 弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变时，恢复到原来形态的力学学科。
2. 牛顿第二定律：物体所受合外力等于物体质量乘以加速度。
3. 弹性体：在外力作用下，物体发生形变，当外力消失后，物体能够完全恢复到原来的形态。
4. 弹性力学的基本假设：线弹性假设、小变形假设、平面假设。
1.2 应力和应变1. 应力：单位面积上的力，即单位面积上的力的大小。
2. 应变：物体在外力作用下发生的形变程度。
3. 线弹性假设下的应力-应变关系：胡克定律，即应力与应变成正比。
4. 应力张量：描述物体内部各点上的应力状态，是一个二阶张量。
1.3 弹性体的本构关系1. 本构关系：描述物体应力和应变之间的关系。
2. 弹性体的本构关系：胡克定律。
3. 弹性模量：描述物体对应力的敏感程度。
4. 剪切模量：描述物体对剪切应力的敏感程度。
第二章弹性力学的基本方程2.1 平衡方程与应力平衡方程1. 平衡方程：描述物体在力的作用下的平衡状态。
2. 应力平衡方程：描述物体在外力作用下的应力分布情况。
2.2 应变平衡方程1. 应变平衡方程：描述物体在外力作用下的应变分布情况。
2.3 弹性力学基本方程1. 弹性力学基本方程：包括平衡方程、应力平衡方程和应变平衡方程。
第三章弹性体的力学性质3.1 弹性体的应力分析1. 弹性体的平面应力问题：在一个平面上受力的弹性体。
2. 弹性体的平面应变问题：在一个平面上发生应变的弹性体。
3.2 弹性体的弯曲1. 弹性体的弯曲：在外力作用下，物体发生弯曲变形。
2. 弯曲方程：描述弯曲变形的关系。
材料成型原理——主切应力及八面体应力
+σ3 )2 2 +σ1 )2 2
+τ 2 +τ 2
=
l
2
(σ1
−
σ
2
)(σ1
−
σ
3
)
+
σ (
2
− 2
σ
3
)2
=
m2
(σ
2
−
σ
3
)(σ
2
−
σ1)
+
σ (
3
− 2
σ1
)2
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
(σ
−
σ1
+σ2 2
)2
+τ
2
=
n2 (σ 3
− σ1)(σ 3
−σ2)
+
(σ1
−σ2 2
)2
⎪ ⎪⎭
1圆外 2圆内 3圆外
第十一章 应力与应变理论
第三讲 主切应力及八面体应力
阎昱
一、主切应力
1. 复习主应力、主平面的概念
z 主平面： τ = 0 的微分面 z 主应力：主平面上作用的正应力
z 主切应力平面：切应力τ达到极值的微分面
z 主切应力：主切应力平面上作用的切应力
一、主切应力
求解切应力极值
l = 0, m = ±1 2 , n = ±1 2
四、应力平衡微分方程
一点的应力状态
各点的应力变化关系 ？
应力是坐标的连续函数，即 σij = f (x, y, z)
在直角坐标系中，点Q (x,y,z)的应力状态为σij。
无限邻近处点Q′((x+dx),(y+dy),(z+dz))的应力状态为
三维应力应变关系
三维应力应变关系
三维应力应变关系是指在三维空间中的物体受到外部力作用时，其应力和应变之间的关系。
在弹性理论中，三维应力应变关系由胡克定律和平衡方程组成。
根据胡克定律，三维弹性体的应力与应变之间的关系可以通过线性弹性模量来描述。
对于各向同性材料，胡克定律可以表示为：
σ = Eε
其中，σ表示应力矢量，E表示弹性模量，ε表示应变矢量。
在三维情况下，应力和应变都是矢量，可以表示为：
σ = [σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx]
ε = [εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx]
其中，σx、σy、σz分别表示沿x、y、z轴的正应力，τxy、τyz、τzx分别表示xy、yz、zx平面上的剪应力，εx、εy、εz分别表示沿x、y、z轴的正应变，γxy、γyz、γzx分别表示xy、yz、zx平面上的剪应变。
平衡方程是基于牛顿第二定律和应变与位移之间的关系建立的。
在三维情况下，平衡方程可以表示为：∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τzx/∂z + Fx = 0
∂τxy/∂x + ∂σy/∂y + ∂τyz/∂z + Fy = 0
∂τzx/∂x + ∂τyz/∂y + ∂σz/∂z + Fz = 0
其中，Fx、Fy、Fz分别表示沿x、y、z轴的体积力。
通过解决以上平衡方程组，结合胡克定律，可以得到三维应力应变关系，进而分析物体在受力情况下的变形和应力分布。
这对于材料力学、结构工程等领域的研究和实际应用具有重要意义。
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Chapter 3
Page 16
3.5 Principal stress (主应力)
Chapter 3
Page 17
Through the Indicial Notation（由指标记法）：
ij l lii jj ij
Chapter 3
Page 13
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
ij l lii jj ij
The state of stress at point P can be successfully described by (P点的应力ij 状态可以由 完整的描述ij ) ijis a two order tensor ( 是一ij 个二阶张量)
y
B
y yx
A
py
x
px
xy C
x
(2-D) Mechanics of Materials
(材料力学)
px x cos xy sin
py xy cos y sin
p1 11n1 12n2 p2 21n1 22n2
x
11 21
Байду номын сангаас
12 22
13
23
Positive Directions
zx zy z 31 32 33
Von Karman Notations
Chapter 3
Page 8
3.4 State of stress at a point (一点应力状态)
pi ijn j
Chapter 3
Page 10
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
3D: through equation condition:
(由平衡条件得如下公式)
px l1 x l2 yx l3 zx py l1 zx l2 y l3 xy pz l1 xz l2 yz l3 z
The stress on z plane z面的应力
Chapter 3
Page 7
•3.3 Stress Tensor(应力张量)
σij : stress tensor (应 力张量)
Notation and Sign
ij yxx
xy y
xz yz
(3) Normal and shearing stress(正应力、剪应力)
Chapter 3
Page 6
3.3 Stress Tensor(应力张量)
Stress Tensor at a point(一点的应力张量)
The stress on x
The stress on y
plane x面的应力 plane y面的应力
1
2 2
2
3 2
3
1 2
1 3
1 2 3 2 61 2 23 31
1 3
2I12 6I2
8
2 3
rd
4
其中 rd 4为第四强度理论的等效应 力
Chapter 3
Page 20
3.7 Spherical and Deviatoric Stresses （应力球张量和应力偏张量）
应力偏张量） • 3.8 Equilibrium Equations（平衡方程）
Chapter 3
Page 2
3.1 Body and Surface Forces（体力和面力）
External loadings（外力）
Body forces（体力） Surface forces.（面力）
z
Q
Z
lim Q
F S0 S
F Xi Yj Zk
z
Q
Z
X
k i Oj
x
S Y
y
Chapter 3
Page 4
3.2 Stress Vector （应力矢量）
Stress Vector （应力矢量）
Chapter 3
Page 5
lim p
S0 S
Δp n
P
(法线)
ij yxx
xy y
xz yz
m
0
Theory of Elasticity
Chapter 3 Stress and Equilibrium
(应力和平衡方程)
Content（内容）
1. Introduction（概述） 2. Mathematical Preliminaries （数学基础） 3. Stress and Equilibrium（应力与平衡） 4. Displacements and Strains （位移与应变） 5. Material Behavior- Linear Elastic Solids（弹性应力应变关系) 6. Formulation and Solution Strategies（弹性力学问题求解） 7. Two-Dimensional Formulation （平面问题基本理论） 8. Two-Dimensional Solution （平面问题的直角坐标求解） 9. Two-Dimensional Solution （平面问题的极坐标求解） 10. Three-Dimensional Problems（三维空间问题） 11. Bending of Thin Plates （薄板弯曲） 12. Plastic deformation – Introduction（塑性力学基础） 13. Introduction to Finite Element Mechod（有限元方法介绍）
Three dimensional(三维)：
ij l lii jj ij
l1 m1 n1
lij l2
m2
n2
l3 m3 n3
x xl12 ym12 zn12 2 xyl1m1 yzm1n1 zxn1l1 y xl22 ym22 zn22 2 xyl2m2 yzm2n2 zxn2l2 z xl32 ym32 zn32 2 xyl3m3 yzm3n3 zxn3l3
Chapter 3
Page 19
3.6 Octahedral strains(八面体应力)
Octahedral plane（八面体平面）
principal stress 1, 2, 3
8
ini2
1 3
1
2
3
1 3
x
y
z
1 3
I1
8
1 3
x
y x sin2 y cos2 2 xy sin cos
xy x sin cos y sin cos xy cos2 sin2
Chapter 3
Page 15
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
px nl1
py nl1
pz nl3
(ij ij n )l j 0
det ij ij 3 I1 2 I2 I3 0
Chapter 3
Page 18
3.5 Principal stress (主应力)
The general characteristic equation for the stress tensor （应力张量特征方程）
det ij ij 3 I1 2 I2 I3 0
Invariants of the stress tensor
I1 x y z I2 1 2 2 3 31 I3 1 2 3
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3
1 0 0
ij
0
2
0
0 0 3
3.5 Principal stress (主应力)
pi ijn j
px l1 x l2 yx l3 zx py l1 zx l2 y l3 xy
pz l1 xz l2 yz l3 z
Notation and Sign
lim F
Q
V 0 V
F Xi Yj Zk
k
X V Y
i Oj
y
x
Chapter 3
Page 3
3.1 Body and Surface Forces （体力和面力）
Surface forces（面力）：
Notation and Sign
lim p
S0 S
ij
Stress Vector （矢量）
? Pxi Py j Pzk
Chapter 3
Page 9
stress tensor (张量)
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
3.4 State of stress at a point (一点应力状态)
cos(n, x) l1, cos(n, y) l2, cos(n, z) l
pi ijl j
Chapter 3