有限元作业

1.试题2

图示薄板左边固定，右边受均布压力P=100Kn/m 作用，板厚度为0.3cm ；试采用如下方案，对其进行有限元分析，并对结果进行比较。

1）三节点常应变单元；（2个和200个单元） 2）四节点矩形单元；（1个和50个单元） 3）八节点等参单元。（1个和20个单元）

解答过程如下：

定义材料为钢，参数为E=2e11N/m 2，泊松比v=0.3，根据题意，作为平面应力问题处理 1） 三节点常应变单元

采用plane 42 element

，在mesh 时，选择tri ，从而得到三节点常应变单元。 1.1）2个单元

ANSYS 计算分析过程：直接先生成Nodes ，构成Elements ，进行解算，得到von-mises stress 分布图如图1.1.1所示。最大应力为SMX=100801Pa 。

图1.1.1 2个三节点常应变单元Von-Mises 应力结果

1.2）200个单元

由于精确划分为200个单元不易实现，而题目意思在于比较不同单元数目下求解结果正确性和精确性，本题取208个单元。

ANSYS实现方式：在mesh时将两侧lines上分段12段，上下lines上分段7段，从而得到如图1.2.1所示208个三节点常应变单元，求解得到Von-Mises应力分布如图1.2.2所示。根据图示得最大应力为SMX=103633Pa。

2）四节点矩形单元

采用plane 42 element，左侧边界all dofs约束，右侧施加均布载荷。

2.1）1个单元

直接creat 4个nodes控制薄板图形，生成element得到1个四节点矩形单元。ANSYS 计算求解得到如图2.1.1所示Von-Mises应力分布图。得到SMX=105264Pa。

图2.1.1 1个四节点矩形单元Von-Mises应力分布图

2.2）50个单元

对lines进行划分，两侧划分为10段，上下lines分为5段，从而mesh得到50个四节点矩形单元，如图2.2.1所示。解算得如图2.2.2所示应力图，SMX=112962Pa。

图1.2.2 208个三节点常应变

单元Von-Mises分布图图2.1.1 208个三节点常应变

单元的单元分布图

3）八节点等参单元

八节点等参单元采用Plane82 element ，左侧边界all dofs 约束，右侧施加均布载荷。 3.1）1个单元

直接creat — areas — rectangular 生成矩形边界，然后mesh 得到1个八节点等参单元划分的图形，定义约束与载荷，solution —solve 得到如图3.1.1所示应力分布图。由图可知，其SMX=105264Pa 。

图3.1.1 1个八节点等参单元Von-Mises 应力分布图

3.2）20个单元

将两侧lines 划分成5段，上下lines 划分成4段，从而mesh 为20个八节点等参单元。如图3.2.1所示。进行solve 得到如图 3.2.2所示Von-Mises 应力分布图。由图可知，其SMX=131091Pa 。

图2.2.1 50个四节点 矩形单元单元分布图

图2.2.2 50个四节点矩形单元

Von-Mises 应力分布结果

结果分析

1．采用较少单元进行网格划分时，计算结果都不准确。

2．不同单元划分网格，得出结果的正确性和精确性是不一样的。可以看出，此题采用八节点等参单元得出应力分布图比较合理，精度较高。

图3.2.1 20个八节点等参

单元的单元分布图

3.2.2 20个八节点等参单元 的Von-Mises 应力结果

2. 试题3

图示为一带圆孔的单位厚度（1m ）的正方形平板，在x 方向作用均布压力0.25Mpa ，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对平板进行有限元分析，并对以下几种计算方案的计算结果进行比较：

1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；

在y 轴上，孔边应力的精确解为：MPa x 75.0-=σ， 在x 轴上，孔边应力的精确解为：MPa y 25.0=σ

解答过程如下：

根据对称性，可以取1/4平板，或者是1/2平板来进行分析，本题采用1/4平板进行分析。两对称轴处施加约束，y 向边界施加x 方向约束，x 向边界施加y 向约束。

若观察整体生成结果，可以使用Plotctrls —style —symmetry expression —periodic/cyclic symmetry

将1/4图形还原扩展为原整体图形。

定义材料为钢，参数为E=2e11N/m 2，泊松比v=0.3，根据题意，作为平面应力问题处理。 方孔平板应力分析

图1 1/4平板Von-Mises stress 分布图

由方孔平板应力图可得：孔内尖角处产生最大应力，应力集中明显；平板其它实心区域应力水平基本一致。

比较圆孔和方孔的孔边应力水平

由图2方孔平板应力分布图和图3圆孔平板应力分布图可知；

方孔最大应力为SMX1=691586Pa，而圆孔最大应力为SMX2=779666Pa，可见，在这种情况下并非一般我们认为的圆孔应力水平较好，而是方孔的应力状况反而更好，这是由于双侧对称受力以及平板几何形状产生的。

两种孔对板其它大片区域的受力情况没有影响，因而其它地方stress分布基本一致。

图2 方孔平板von-mises street分布图

图3 圆孔平板von-mises stress 分布图

圆孔ANSYS求解与精确解的比较

由图4和图5可得，在y轴上，圆孔边应力为-0.781MPa，与精确解-0.75MPa相差一些；在x轴上，孔边应力的ANSYS解为0.274MPa，与精确解0.25MPa相差一些。可能原因有：单元选择不优；网格划分的单元数目不够；平板厚度为1m，而中间孔的大小为6m，两者相差＜10：1，对计算精确程度有一定影响。

图4 圆孔SX stress分布图

图5 圆孔SY stress 分布图