线性代数同步练习册第二章
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第二章矩阵
1、用高斯消元法判断下列线性方程组是否有解，并在有解的情况下，求出其全部解.
(1)
1234
1234
124
234
2344
231
31
733
x x x x
x x x x
x x x
x x x
-+-=
⎧
⎪-+-=
⎪
⎨
++=
⎪
⎪-++=-
⎩
;
(2)
123
123
123
123
123
22
22
24
542
7524
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
-+=-
⎧
⎪-++=-
⎪⎪
+-=
⎨
⎪--=
⎪
⎪-++=-
⎩
;
(3)
1234
1234
1234
1234
3650
2421
57
3231
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
--+=
⎧
⎪++-=
⎪
⎨
-+=
⎪
⎪-+=
⎩
+2
-2
;（4）
1234
234
124
20
20
x x x x
x x x
x x x
++-=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-+=
⎩
;
2、问常数k取何值时, 方程组
123
2
123
123
4
24
x x kx
x kx x k
x x x
++=
⎧
⎪
-++=
⎨
⎪-+=-
⎩
无解,
有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其全部解. 3、对于下列线性方程组，问：,a b取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其全部解.
（1）
123
123
123
30
4
235
x x x
x x a x b
x x x
--=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-+=
⎩
(2)
1234
234
234
1234
221
(3)2
321
x x x x
x x x
x a x x b
x x x ax
+++=
⎧
⎪++=
⎪
⎨
-+--=
⎪
⎪+++=-
⎩
4、求解下列矩阵的乘积：
（1）()
2
1132
3
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
；
（2）()
1
2133
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
；
（3）
10021
01043
00179
⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（4）13
12143012113413
1022⎛⎫ ⎪
-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭
.
5、设1×2矩阵(1,2)A =-，则计算T
AA ，T
A A .
6、已知矩阵12313-1A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
13
2，=2-1-210-1, 计算
3,,,.T T B AB AB AB AB -
7、已知矩阵12n A λλλ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
，计算k A .
8、已知11(1,2,3),(1,,)23
αβ==，T A αβ=，计算n
A .
9、设(2,0,1)α=，矩阵T
A αα=，n 为正整数，计算矩阵n
E A -的行列式.
10、已知矩阵110011001A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，分别计算23,,n A A A (n 为正整数).
11、求平方等于零矩阵的所有二阶矩阵.
12、求与
10
11
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
可交换的全体二阶矩阵.
13、已知：A是对角元互不相等的n阶对角矩阵，即
1
2
n
a
a
A
a
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
，当i j
≠时，(,1,2,...,)
i j
a a i j n
≠=.
证明：与A可交换的矩阵必是对角矩阵.
14、证明以下命题：
（1）若A是主对角元全为零的上三角矩阵，则2A也是主对角元全为零
的上三角矩阵；