简单的线性规划问题学案
3.3.2简单的线性规划问题导学案(1)
3.3.2简单的线性规划问题导学案（1）班级 姓名【学习目标】1、了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2、能根据条件，建立线性目标函数；3、了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
【学习过程】一、自主学习(1)目标函数:(2)线性目标函数:(3)线性规划问题:(4)可行解:(5)可行域:(6) 最优解:二、合作探究在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+00221y x y x y x 下所表示的平面区域内， 探索：目标函数2P x y =+的最值？（1）约束条件所表示的平面区域称为（2）猜想在可行域内哪个点的坐标00(,)x y 能使P 取到最大(小)值？（3）目标函数2P x y =+可变形为y= ，p 的几何意义：（4）直线2y x p =-+与直线2y x =-的位置关系（5）直线2y x p=-+平移到什么位置时，在y 轴上的截距P 最大？ （6）直线2y x p=-+平移到什么位置时，在y 轴上的截距P 最小？ 三、交流展示1、已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求2t x y =-的最值。
规律总结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤？四、达标检测A 组：1.下列目标函数中，Z 表示在y 轴上截距的是（ ）A.yx z -= B.y x z -=2 C.y x z += D.y x z 2+= 2.不等式组 x –y+5≥0 x + y ≥0 x ≤3表示的平面区域的面积等于（ ）A 、32B 、1214C 、1154D 、6323.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则yx z -=的最大值为（ ） A.－1 B.1 C.2 D.－24.已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则24z x y=+的最小值为（ ） A ．5 B ．6- C ．10 D ．10-5．若⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤--0101x y x y x ，则目标函数yx z +=10的最优解为（ ） A ．（0，1），（1，0） B.（0，1），（0，－1）C.（0，－1），（0，0）D.（0，－1），（1，0）6. 若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[26]，B ．[25]，C ．[36]，D ．[35]，7.若A(x, y)是不等式组 –1＜x ＜2 –1＜y ＜2)表示的平面区域内的点，则2x –y 的取值范围是（ ）A 、（–4, 4）B 、（–4, –3）C 、（–4, 5）D 、（–3, 5）B 组：1.在不等式组 x ＞0 y ＞0 x+y –3＜0表示的区域内，整数点的坐标是 。
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
简单的线性规划问题学案
3.3.2简单的线性规划问题学案（一）预习案（限时20分钟）学习目标：1.了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；2.掌握线性规划问题的图解法.3.能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力.学习重点，难点：会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域及理解数形结合思想,求目标函数的值。
预习指导：预习课本P87-911.如果两个变量y x ,满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量y x ,的约束条件，这组约束条件都是关于y x ,的 次不等式，故又称 条件．2.关于y x ,的一次式),(y x f z =是达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫线性目标函数．3.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为 规划问题．4.可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，①满足线性约束条件的解(,)x y 叫 ；②由所有可行解组成的集合叫做 ； ③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的 解.线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.预习检测1.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-12102y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为 ( )A .。
34B .2C .23D .23- 2.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1,1y y x x y 且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n ，则n m -＝( )A ．5B ． 6C ． 7D ． 83.若y x ,满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为__________4.求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的y x ,满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩.巩固练习1.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,且广告总费用不超过9万元,甲、乙两个电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,已知甲、乙两个电视台每分钟所做的广告能给该公司带来的收益分别为3.0万元和2.0万元.设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟,总收益为z 元,则线性目标函数为 ( )A .y x z +=B .z=3000x+2000yC .z=200x+500yD .z=500x+200y2.在△ABC 中,三个顶点分别为)0,1(),2,1(),4,2(C B A -，点P (x ,y )在△ABC 的内部及其边界上运动,则x y -的取值范围为 ( )A .[]3,1B . []1,3-C .[]3,1-D .[]1,3--3.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+02202202y x y x y x ，则目标函数z=x+y 的最大值为 .4.某企业生产B A ,两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产B A ,两种产品各多少吨，才能获得最大利润？5.点),(y x 位于曲线1-=x y 与直线2=y 所围成的封闭区域内,在直角坐标系中画出该区域，并求y x -2的最小值.6.给出平面可行域(如图),若使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个,则=a ( ) A .41 B . 53 C .4 D .35产品品种劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦） A 产品3 94 B 产品10 4 53.3.2简单的线性规划问题学案（二）解题思想1.问题的切入点是赋予“z ”恰当的几何意义：纵截距或横截距或其他；2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．一、基础练习1.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x +2的最大值是 ( )A. 3B. 2C. 4D. 52.若变量x ,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥-+≥+3002202y x y x y x ，则目标函数z=x+y 的最大值为 ( ) A. 32 B. 1 C. 23 D. 3 3.设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为 （ ）A.3B.4C. 18D. 404.设z=kx+y ,其中实数x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥0420422y x y x x ，若z 的最大值为12,则实数k= .5.已知x ,y 满足约束条件k k y x x y y (020⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥为常数),且目标函数z=x+3y 的最大值为12,则k 的值为 .二、已知目标函数的最值求参数.6.已知变量x ，y 满足条件230,330,10.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是 ( )． A.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.若,x y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围（ ） A.(-1,2) B.(-4,2) C(-4,0) D.(-2,4)8.已知实数,x y 满足1,21,,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于 A.7 B.5 C.4 D.39.已知点P (x ,y )的坐标满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤-022010y x y x y x 若z=x+3y+m 的最小值为6,则m= ( ) A .1 B .2 C .3 D .4三、非线性目标函数10.已知实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤2222y x y x x ，则x y k =的取值范围是 ( ) A .[]1,0 B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31 11.已知实数x ,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥-0001a y x y x ，若11+-=x y z 的最大值为1,则正数a 的值为 ( ) A .21 B .1 C .2 D .412.已知x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥100y x y x ，则(x+3)2+y 2的最小值为 ( )A .10B .22C .8D .1013.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤-+0020632y y x y x 所表示的区域上一动点,则OM 的最小值是 .14.变量x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，(1)设y x z 34-=,求z 的最大值;(2)设xy z =,求z 的最小值; (3)设22y x z +=,求z 的取值范围.。
简单的线性规划问题(导学案)
简单的线性规划问题（导学案）班级姓名【学习目标】1. 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件，抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；3. 体会线性规划的化归、数形结合的数学思想，增强观察、联想以及作图的能力.【知识清单】1.线性规划的实际应用主要解决两类问题：（1）在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成的任务；（2）给定一项任务，如何合理安排和规划，能以的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.2.线性规划的有关概念：①约束条件：由变量x、y组成的；线性约束条件：由变量x、y组成的不等式组．②目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的；线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的.③线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的或的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫；由所有可行解组成的集合叫做；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的．3.用图解法解决线性规划问题的一般步骤：【问题探究】在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现有的资源（人力、物力、资金……），取得最大的收益，或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务，我们把这类问题称为“最优化”问题。
例：某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。
该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可能的一个生产周期的安排是什么？并画出相应的平面区域。
问:进一步，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，那么采用哪种生产方式该企业可获得最大利润？【典例精析】、目标函数的最值转化例1．已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-≥3053431y x y x x 求：(1) 求y x z +=2的最大值和最小值；（2）求y x z -=2的最大值和最小值；（3）若目标函数y ax z +=取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值；（4）求11+-=x y z 的最大值和最小值. （5））求22y x z +=的最大值和最小值【知能达标】1．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A. [2，6]B. [2，5]C. [3，6]D. （3，5）2．在△ABC 中，三顶点坐标为A （2，4），B （－1，2），C （1，0），点),(y x P 在ABC ∆内部及边界运动，则y x z -=的最大、最小值是（ ）A. 3，1B. －1，－3C. 1，－3D. 3，－13. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.A. 3-B. 3C. 1-D.1思考题：若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y y x y x ，且y x +的最大值为9，则实数m 值为 。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
简单线性规划导学案
§4.3简单线性规划的应用导学案［学习目标］：从实际情景中抽象出简单的二元线性规划问题，并加以解决．［学习过程］：一．知识回顾：１. 如果两个变量,x y满足二元一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函数为_______________,称一次不等式组为_______________,像这样的问题叫做_________________,满足约束条件的解(,)x y成为______________,由所有可行解组成的集合称为_______________,使目标函数取得最小值或最大值的可行解成为这个问题的____________________.２. 在线性约束条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩下,目标函数2z x y=+的取值范围是_____________,最优解是__________________.二．新知探究：１. 从实际情景中抽象出二元一次不等式组（约束条件），再将二元一次不等式组表示在平面区域中（可行域）．该厂有工人200人，每天只能保证160的用电额度，每天用煤不得超过150ｔ，请在直角坐标系中画出每天甲乙两种产品允许的产量范围．强化练习：某市政府准备投资1200万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个班为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元.将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来.２. 进一步找出目标函数，并求出最优解．（１）一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力和物力安排任务？例2.医院用甲乙两种原料为手术后的病人配寄养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质,和10单位铁质,售价2元;乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质,试问:应如何使用甲乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?强化练习: 两类药丸中含有相同的成分:阿司匹林,小苏打和可特因,甲类药丸中含有2g阿司匹林,5g小苏打和1g可特因;乙类药丸中含有1g阿司匹林,8g小苏打和4g可特因.若果要求至少提供12g阿司匹林,74g小苏打和28g可特因,这两类药丸的最小数量是多少?(2).在一定量的人力和物力条件下,如何安排和使用以发挥最大的效益?例3.某货运公司拟用集装箱托运甲乙两种货物,一个大集装箱能够装所托运货物的总体积m,总质量不能低于650千克.甲乙两种货物每袋体积,质量和可获得的利润,列不能超过243问:在一个大集装箱内,这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时,可获得最大利润?强化练习:某厂生产一种产品,其成本为27元/kg,售价为50元/kg.生产中,每千克产品产生m的污水,污水有两种排放方式:0.33方式一:直接排入河流.方式二:经厂内污水处理站处理后排入河流,但受污水处理站技术水平的限制,污水处理m/h,处理污水的成本是5元/3m.率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.93m,且允许该厂排入河流中的污另外,环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/3m/h.那么该厂应选择怎样的生产与排污方案,可使其每时净收益最水的最大量是0.2253大?三. 方法归纳:利用现行规划解决实际问题的方法和步骤:(1)找:找出实际问题中的________________和_________________;(2)画:画出线性约束条件所表示的_______________;(3)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;(4)求:通过解方程组求出_________________;(5)答:作出答案,即可用5个字来概括:找、画、移、求、答.[反馈练习]:1.A,B两个产地生产同一规格的产品,产量分别是1.2万t,0.8万t,而D,E,F三地分别需要该产品0.8万t,0.6万t,0.6万t,从产地A运往D,E,F三地每万吨的运价分别为40万元,50万元,60万元;从产地B运往D,E,F三地每万吨的运价分别为50万元,20万元,40万元,怎样确定调运方案可使总的运费最少?2.某宾馆准备建造一幢住宿楼,它设有单人房和双人房若干间,按要求,必须符合下列条件:m,双人房间每间面积152m,且全部该住宿楼最少能容纳50人住宿;单人房间每间面积102m;双人房的数目不得超过单人房数目.已知住宿楼建成开业后,房间所占面积不超过4802每间单人房与每间双人房每月获益分别为250元与300元,试问:如何安排单人间与双人间的数目才能使每月总的获益最大?。
简单线性规划问题复习课学案
简单的线性规划问题复习课学案
考纲要求
1、了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
2、解决一些简单的二元线性规划问题。
知识梳理
二元一次不等式与平面区域
1、画二元一次不等式表示的平面区域，常采用 的方法，当边界不过原点时，常把原点作为特殊点。
2、包括边界的区域将边界画成 ，不包括边界的区域将边界画成 。
解线性规划问题的步骤
1、找: 找出 、 ；
2、画：画出线性约束条件所表示的 ；
3、移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距 的直线；
4、求：通过解方程组求出 。
基础自测
1、画出下列不等式表示的平面区域。
（1）x ＋4y ＜4 (2) 4x －3y ≤12
2、请画出下列不等式组表示的平面区域。
410652200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
3、设z=2x －y ，变量x 、y 满足下列条件
求z 的最大值和最小值。
4、已知 ，z=2x+y ，求z 的最大值和最小值。
变题：上例若改为求z=x-2y 的最大值、最小值呢？
选做题
(2011全国高考)若变量x,y 满足约束条件
X+y 6
X-3y -2 ,则z=2x+3的最小值为A.17 B.14,C.5,D.3
X 1 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-125
5334x y x y x ⎪⎩⎪⎨
⎧≥≤+-≤-125533
4x y x y
x。
简单的线性规划问题精品教案
利用几何画板强大的动态演示的功能突破教学的难点。
修订总结
提供密码，请学生打开“看看我做的对吗？”订正自己的解答。
阅读，实验验证。
小结归纳
师生共同小结，回顾本课的两个难点：
1．我们可以根据A、B的符号迅速判断二元一次不等式表示的平面区域，“左正右负，上正下负” ；
2．用线性规划方法解实际问题的步骤应该有以下几步：
指导，点评，补充。
学生边操作电脑边回答，进而总结出迅速判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：
对于直线 划分的平面区域，若 时，必为“左负右正”，及左边为 ，的区域，右边为 的区域。
学生通过汇报实验结果，并对规律进行总结提炼，提高学生的语言表达能力、归纳总结的能力。
检测巩固
利用评测系统，对已学知识进行测验与回顾。教师进行讲评，学生及时订正、记录。
结合所学，完成“课前复习提纲”
先让学生对已经学过的知识进行梳理、回顾，为复习课作好准备，也节省了课堂复习的时间。
复习回顾
布置自主学习任务：
请学生结合网页上给出的问题及答案，订正“复习提纲”中的相关内容，进行复习、巩固。
学生可以根据自己的实际情况，对自己已经掌握的知识简单浏览，而对自己掌握不好的部分认真复习，订正“复习提纲”。
提示：大家可以画出几种不同的直线，分析直线的正、负区域，再考虑正、负区域与 中参数 的符号的关系。
④求：通过解方程组求出最优解，或分析最优解附近的整数解，得到最优的的整数解。
⑤答：作出答案。
通过对新知识进一步的疏理、概括、归纳和强化，构建更高层次的知识结构。进一步培养学生归纳、总结和概括能力。
拓展任务
到附近的工厂、乡镇企业、商店、学校等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用；浏览网页中“资源链接”中资料，了解线性规划的应用；带着思考，提出能用线性规划的知识提高生产效率的实际问题，并作出解答，把实习和研究活动的成果写成实习报告、研究报告或小论文，并互相交流。
简单的线性规划问题(学案)【共11页】
简单的线性规划问题（学案）-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有---------------------------------------------------------------------精品文档------------------------------------------------------------------- 必修53、3、2 简单的线性规划问题（学案）（第2 课时）【知识要点】1、二元线性规划问题；2、线性规划问题在实际中的简单应用、【学习要求】能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决、【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第89 页～第91 页）1、在线性约束条件下，最优解是唯一的吗？２、将目标函数的直线平移时应注意什么？3、在线性目标函数中，将直线向上平移时，的值；yxz23zyx23z 直线向下平移时，的值、yx 2 【基础练习】1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为。
甲、乙元元、203 产品都需要在两种设备上加工，在每台设备上加工甲产品所需工时分别BA、 BA、件1 为１ｈ、２ｈ，加工１件乙产品所需工时分别为２ｈ、１ｈ，两种设备每月有效使、用台时数分别为400ｈ和500ｈ、如何安排生产可使收入最大？【典型例题】-----------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有---------------------------------------------------------------------精品文档------------------------------------------------------------------- 例1 要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板可同时截得三种规格CBA, 的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型规格规格规格C第一种钢板211第二种钢板123 今需要三种规格的成品分别为15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得CBA, 所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？例2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐1 、硝酸盐；生产车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐、硝酸盐、现库存磷酸t4t18 tt15 盐、硝酸盐、若生产1 车皮甲种肥料，产生的利润为10 000 元；生产1 车皮乙种06 肥料，产生的利润为5 000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？变式训练：（xx 四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用-----------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有---------------------------------------------------------------------精品文档------------------------------------------------------------------- A 原料3 吨，B 原料2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1 吨，B 原料3 吨，销售每吨甲产品可获得利润5 万元，每吨乙产品可获得利润3 万元。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
《简单的线性规划问题》教案
《简单的线性规划问题》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节）祁东二中谭雪峰一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.二、教学目标一）、知识目标1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.理解线性规划问题的图解法3. 会用图解法求线性目标函数的最优解.二）、能力目标1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力.2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.三)、情感目标1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣.2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.三、教学重点、难点重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系.四、学习者特征分析1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组）2. 初步学会分析简单的实际应用问题3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：1.将实际问题抽象成线性规划问题；2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？3.数形结合思想的深入理解.五、教学与学法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.指导学生做到“四会”：会疑、会议、会思、会变.4.在教学中重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.六、文本教学与信息技术整合点分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，利用多媒体辅助教学，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，提高教学效率，同时让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．七、教学过程分析数学教学是数学活动的教学，我将整个教学过程分为五个环节：1.复习回顾：[幻灯片第2－4张]1）提问：如何作二元一次不等式表示的平面区域？直线定界；特殊点定域.2）巩固练习：画出下面不等式组所表示的平面区域.【设计意图】复习旧知，为本课的图解法解题热身准备. 2. 分析引例，形成概念，规范解答在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题……1) 将实际生活问题转化为数学问题(数学建模) [幻灯片第5－8张]教师组织学生学习引例.[引例]：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？师生活动：通过教师引导，让学生正确理解题意，用不等式组表示问题中的5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤限制条件及作出相应的平面区域，将实际问题转化为数学问题.（1）、教师提问：同学们，你们能用不等式组表示问题中的限制条件吗？引导学生设定未知数（设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件）， 分析已知条件得到二元一次方程组：（2）、让学生画出不等式组所表示的平面区域.【设计意图】数学是现实世界的反映.通过引入学生感兴趣的实际生活问题，激发学生兴趣，使学生产生急于解决问题的内驱力，引发了学生的思考，同时师生之间通过互动复习旧知，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.（3）、教师进一步提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？引导学生若设定工厂获得的利润为z ，则易得z = 2x + 3y ，此时问题转化为即求z 的最大值的问题了.【设计意图】添加优化问题，定义目标函数，引出新问题.2）分析问题，形成概念[幻灯片第9－17张]师生活动：教师根据引题得出线性规划问题相关概念.（1）、就在学生兴趣顿起的时候，教师就此给出了相关概念：① 上述问题中，不等式组是一组对变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又叫线性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.② 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数. 由于 z=2x+y 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.③ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④ 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩⑤ 由所有可行解组成的集合叫做可行域.⑥ 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的最优解.（2）、 引导学生理解，引题的问题就是一个线性规划问题. 图中阴影部分（即可行域）的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排. 于是问题就转化为当点（x,y ）在可行域运动时如何求z=2x+3y 的最大值问题.3）探究交流，解决问题[幻灯片第18－20张]（1）、教师提问：如何求z=2x+3y 的最大值问题？先让学生自主探究，再分组讨论交流，然后试着这样引导学生：由于已经将x ,y 所满足的条件几何化了，你能否将式子z=2x+3y 作某种几何解释？学生自然地想到它在几何上表示直线2x+3y-z=0. 当z 取不同的值时可得到一族平行直线.于是问题又转化为当这族直线与可行域有公共交点时，如何求z=2x+3y 的最大值.（2）、这一问题对于部分学生仍有一定难度，教师再次提问：在直线2x+3y-z=0中，z 是否与这直线的某种几何意义有关？学生讨论交流后得出：将直线2x+3y-z=0改写成斜截式233z y x =-+，学生此时会明白直线2,33z y x =-+它表示为斜率为2,3k =-截距3z b =的直线，当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线，而且当截距3z 最大时，z 取最大值. 于是问题又转化为当2x+3y-z=0这族直线与可行域有公共交点时，在可行域内找一个点，使直线经过此点时在y 轴上的截距最大. 接着让学生动手实践，用作图法找到点E 并求出点E 的坐标（4，2），而求出z 的最大值为14，所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元 .师生活动：教师引发学生思考变形目标函数，将z=2x+3y 化成233z y x =-+的形式，挖掘几何含义，作过原点直线23y x =-并进行平移，观察纵截距的最大值，教师利用多媒体辅助教学工具作动态演示平移确定最值，并有意强调解题步骤:画、作、移、求.【设计意图】：让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展过程，体验转化和数形结合的思想方法，通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，从而让学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点.3.反思过程，提练方法[幻灯片第21张]教师引导学生归纳、提炼求解步骤：第一步：画——根据约束条件画出可行域；第二步：作——过原点作目标函数直线的平行直线0l ；第三步： 移——平移直线0l 找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线，确定可行域内最优解的位置；第四步：求——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值.4.模仿练习，强化方法，拓展题型[幻灯片第22－26张]为了更好地理解图解法解线性规划问题的内在规律，同时让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，让学生做下面这个练习：练习（教材例5）、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？师生活动：教师引领学生理解题意，让学生领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题. 由一位同学生展示自己的解题过程和结果. 教师规范解题步骤和格式.1.分析：将已知数据列成表格解：设每天食用x （kg ）食物A ，y （kg ）食物B ，总成本为z ，那么 0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数为2821z x y =+.二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②二元一次不等式组所表示的平面区域（图1），即可行域．考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+.这里4321z y x =-+是斜率为43-，随z 变化的一组平行直线，21z 是直线在y 轴上的截距，当21z 取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图1可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z 最小，即z 最小． 解方程组775,147 6.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标为17x =,47y =. 所以282116z x y =+=．答：每天食用食物A 为17kg ，食物B 为47kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】1）. 通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.2）.通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.3）.展现线性规划的另一类型题（可行域不封闭、最优解为最小值），并与引例相比较，对比可行域封闭与不封闭、最优解为最大值与最小值两种情况的线性规划问题.师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.师生一起反思练习的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.5.变式演练，深入探究，开阔视野[幻灯片第27张]师生活动:让学生自己动手解决问题，教师可用几何画板演示。
《简单的线性规划问题》教案正式版
《简单的线性规划问题》教案正式版《简单的线性规划问题》教案第三课时（1）教学目标(a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣（2）教学重点、教学难点—教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解（3）学法与教学用具通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系直角板、投影仪，计算机辅助教材（4）教学设想 1、设置情境师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影） /（板书）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：※ 28,416,412,00x y x y x y +≤??≤??≤??≥?≥??将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。
2、新课讲授（1）尝试若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少① 变形——把22333zz x y y x =+=-+转变为，这是斜率为23-z，在y 轴上的截距为的直线3；当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；233zy x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经点P 时截距3z最大② 】③ 平移——通过平移找到满足上述条件的直线④ 表述——找到给M （4，2）后，求出对应的截距及z 的值（2）概念引入（学生阅读并填空）28,416,412,00x y x y x y +≤??≤??≤??≥?≥??若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的23z x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
《简单的线性规划问题》学案
04 对偶理论与灵敏度分析应 用
对偶问题概念及性质阐述
对偶问题定义
在线性规划问题中，每一个原问 题都存在一个与之对应的对偶问
题，两者在结构上密切相关。
对偶性质
对偶问题的解与原问题的解存在对 应关系，如互补松弛性、弱对偶性 等，这些性质为解决线性规划问题 提供了重要依据。
对偶问题意义
通过对偶问题的求解，可以进一步 了解原问题的性质，为决策提供更 多信息。
模型建立
结果分析
将问题转化为线性规划标准型，使用单纯 形法求解。
根据求解结果制定生产计划，分析各种资源 的使用情况和利润水平。如有必要，对生产 计划进行调整和优化。
03 单纯形法原理及步骤详解
单纯形法基本原理介绍
单纯形法是一种求解线性规划问 题的有效算法。
它通过不断地在可行域的一个顶 点上进行迭代，逐步逼近最优解。
根据问题的特点和求解目标， 选择合适的数学模型进行建模 。
模型检验与修正
对建立的模型进行检验，确保其 正确反映实际问题的本质。如有 必要，对模型进行修正和改进。
案例分析：生产安排优化
案例背景
问题分析
某企业生产多种产品，需要合理安排生产 计划以最大化利润。
确定决策变量（各种产品的生产量），明 确目标函数（利润最大化），列出约束条 件（原材料、设备、人力等资源限制）。
常见误区提示及避免策略
误区一
忽略非负性约束。在线性规划问题中，所有变量的取值都 应该是非负的。如果忽略了这一点，可能会导致求解结果 出现错误。
误区三
错误地处理约束条件。约束条件是线性规划问题中的重要 组成部分，如果错误地处理了约束条件，可能会导致求解 结果不满足实际问题的需求。
误区二
《简单的线性规划问题》学案
§3.3.2简单的线性规划问题（1）【学习目标】1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．2．掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的最大值、最小值．3．训练数形结合、化归等思想方法，培养和发展数学应用意识．【学习过程】一、复习引入前面我们学习了二元一次不等式（组）与平面区域，如何判断二元一次不等式表示的平面区域？二、自主学习1．线性规划相关概念2．函数的最值设函数)fy=的最大值是指：(x(xfy=的定义域为I，M是函数)（1） 对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2） 存在I x ∈0，使得M x f =)(0．三、展示点拨例1 已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+-≤111y y x x y ，（1）求y x z +=2的最大值和最小值；（2）求y x z +=2的最大值；（3）求y x z -=2的最小值；（4）求y x z 2-=的最小值；（5）求22y x z +=的最小值；（6）求62--=x y z 的取值范围；（7）求51243-+=y x z 的最值．例2 已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+-<111y y x x y ，求y x z +=2的最大值和最小值．四、检测反馈1、 已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+-≤111y y x x y ，（1）求y x z 2+=的最大值和最小值；（2）求y x z 3-=的最小值；（3）求y x z 3-=的最小值；（4）求22)1()1(-+-=y x z 的最值；（5）求x y z 1-=的取值范围；（6）求51243+-=y x z 的最值．2、已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧->≤+-<111y y x x y ，求y x z +=2的最大值，最小值和取值范围．五、归纳盘点1、目标函数一般有哪几种类型？2、在线性约束条件下，最优解唯一吗？3、线性目标函数)0(>+=B By Ax z 的最大值 对应于目标函数直线纵截距的最 值；4、线性目标函数)0(<+=B By Ax z 的最大值 对应于目标函数直线纵截距的最 值．。
简单线性规划学案含答案
)(一3.5.2简单线性规划自主学习知识梳理线性规划中地基本概念在线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)中,目标函数z地最值与截距之间有怎样地对应关系？请完成下面地填空．1．线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)对应地斜截式直线方程是__________________,在y轴上地截距是________,当z变化时,方程表示一组____________地直线．2．当B>0时,截距最大时,z取得________值,截距最小时,z取得________值；当B<0时,截距最大时,z取得________值,截距最小时,z取得________值．对点讲练知识点一求线性目标函数地最值问题12y≥x＋3???10≤＋xy 地最大值和最小值．－y＝,1例线性约束条件求z2x下??12y ≥3x＋，≥3x＋y???，≥－1x－y地最小值为3x,y满足约束条件yz＝2x＋则目标函数变式训练1设变量??，y≤32x－)(23．8D．A．6B．7C 知识点二求非线性目标函数地最值问题0≥x＋y－22??1y＋?04≥x－2y＋＝地最大值和最小值．,例2已知实数x、y满足试求z1＋x??0≤3x－y－3b－y 两点连线地斜率．x,y)(a,b)与(总结若目标函数为形如z＝,可考虑ax－)b(y－＝(x－a)＋若目标函数为形如z22 b)两点距离地平方．a,y)与(,,可考虑(x05≥2x＋y－??22?0－y－5≤3x ________＋y．地最小值和最大值分别是,则变式训练2已知x??02－y＋5≥x和平面区域有关地参数问题知识点三0≥2y－19x＋??x?0≥＋8x－y y＝a例3设二元一次不等式组,所表示地平面区域为M,使函数??02x＋y－14≤地取值范围是()地图象过区域M地a≠(a>0,a1)A．(1,3] B．[2,10] C．[2,9]D．[10,9]地图象特征是解决本题地关键．x a,熟知指数函数y＝总结准确作出可行域，≥0x－y??，2＋y≤2x?地取值范围a则变式训练3若不等式组,表示地平面区域是一个三角形，≥0y??，x＋y≤a ．是________轴上地截距y总是与直线在z,地含义z要搞清楚,用图解法求线性目标函数地最值时．1．有关．还要给可行域地各顶点标上注意标出相应地直线方程,2．作不等式组表示地可行域时,确定最要注意线性目标函数地斜率与可行域中边界直线地斜率进行比较,,平移直线时,字母优解．利用数形结合方法首先考虑目标函数地几何意义,3．在解决与线性规划相关地问题时,.可迅速解决相关问题课时作业一、选择题，4＋y≤x???，y≥x )地坐标满足条件x,y1．已知点P(??，≥1x22)＋y地最大值为(则x10 ．16D．A.10B．8C，≤402x＋y??，≤50x＋2y?则z＝3x＋2x,y满足y地最大值是()2．若变量，0x≥??，0y≥40．70D．A．90B．80C??0≥y?????x≤yN?,|区域M＝＝其中区域3．在坐标平面上有两个???xy≤2－{(x,y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1},区域M和N公共部分地面积用函数区域M和N,?x，y?f(t)表示,则f(t)地表达式为()122＋2t2tt ＋t＋B．－A．－21122 2)(t．1－t－D.C22x－y＋1≤0，?y?4．若实数x,y满足则地取值范围是()?1－xx>0，??A．(－1,1) B．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C．(－∞,－1) D．[1,＋∞)二、填空题，≥xy???，≤2＋2yx则z＝x满足约束条件5．设变量x,y－3y地最小值为________． ??2.x≥－，≤0yx＋－1??22?，1≥0－xy＋－4x－4y＋8,则u＝且uxy＋6．已知地最小值为________．??，1≥－y三、解答题7．已知1≤x＋y≤5,－1≤x－y≤3,求2x－3y地取值范围．0?≥y＋5x?＋y??x－??．求不等式组表示地平面区域地面积．8?3x≤－3≤??3．5.2简单线性规划(一)知识梳理不等式或方程一次一次线性约束条件可行解最大值或最小值线性约束自主探究Azz1．y＝－x＋互相平行BBB2．最大最小最小最大对点讲练例1解如图作出线性约束条件?12≥x＋3y??下地可行域,包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于10y≤x＋??12≥3x＋y(3,3),A点x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1),x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9),作一组与直线2x－y＝0平行地直线l：2x－y＝z即y＝2x－z,然后平行移动直线l,直线l在y轴上地截距为－z,当l经过点B时,－z取最小值,此时z最大,即z＝2×9－1＝17；当l经过点C时,－z取最大值,此时z最小,即z＝minmax＝17,z＝－7.z∴＝－7.2×1－9minmax变式训练1B[作出可行域如图所示：由图可知,z＝2x＋3y经过点A(2,1)时,z有最小值,z地最小值为7.]例2解由题意知,作出线性约束条件下地可行域如图所示,且可求得y＋1y－?－1?＝,＝zC(1,0)．由于A(2,3),B(0,2),?1－?x＋－1x所以z地几何意义是点(x,y)与点M(－1,－1)连线地斜率,y＋1因此地最值就是点(x,y)与点M(－1,－1)连线地斜率地最值,1＋x结合图可知,直线MB地斜率最大,直线MC地斜率最小,即z＝k＝3,此时x＝0,y＝MBmax2；1＝k＝,此时x＝z1,y＝0.MCmin225,25变式训练?05≥2x ＋y －??地可行域如图所示,0－y －5≤3x 作出不等式组解读??0≥＋5yx －2?0＋y5＝x－2?由?,?0＝x2＋y－5?(1,3),A得?x－2y＋5＝0?由?, ?3x－y－5＝0?(3,4),B得．?05＝x－y－3?由?,?0＝＋y－52x?(2,1),得Cyx＋设z＝22地距原点到点B,结合图形知,,则它表示可行域内地点到原点地距离地平方, 离最大C地距离最小．,∴原点到点注意到OC⊥AC→→5.＝＝|OCzz＝|OB＝25,故22||minmax,作二元一次不等式组地可行域如图所示3C[例．(1,9),C(3,8)由题意得A ；＝9a取最大值,此时aA当y＝a过(1,9)时,x2, ＝此时a,a取最小值,a 当y＝过C(3,8)时x9.]a≤≤∴24 a≥a≤1或变式训练30< 3 解读,不等式表示地平面区域如图所示22??,AOB时表示地区域是a＋y＝过A△当x??334 ；此时a＝34 ；△AOB>时,表示区域是a当 3 ；1＝a此时,DOB△时表示地区域是(1,0)B过a＝y＋x当时可表示三角形；a当0<<1, 当a<0时不表示任何区域4 区域是四边形．,<1<当a时34≥1a故0<≤或a.3 课时作业画出不等式组对应地可行域如下图所示：[D．1．OC＝C(1,3),OA＝B(2,2),OB＝A易得(1,1),＝＝OC＝10. ＋y2222)∴(x max＋y＝OC＝＝10.] 2222)∴(x max2．C[作出可行域如图所示.13由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50地斜率分别为－2、－,而3x ＋2y ＝0,故线性22目标函数地倾斜角大于2x ＋y ＝40地倾斜角而小于x ＋2y ＝50地倾斜角,由图知,3x ＋2y ＝z 经过点A(10,20)时,z 有最大值,z 地最大值为70.]0y ≥??xy ≤所表示地平面区域． 作出不等式组3．A [?x ≤2－y得t≤1,x≤t＋1,0≤≤由tS－－S (tS)＝f△△BFCAODOEF△111＋tt－＝－＋＝1222 )(1－t222B．4y地几何意义是区域内点与(1,0)连线地斜率,易求得,[可行域如图阴影部分所示x－1yy>1或<－1.] x－1x－15．－8作出可行域如图所示．解读8. 3×2＝－2时,z有最小值,此时z地最小值为－－y可知当x－3＝z经过点A(－2,2)96.2, ,y)在图中阴影部分解读点(x)＝x－2)＋(y－2)由已知得(222, 1|－|2＋293＝＝＝则,u minmin221＋17．解作出一元二次方程组?5y≤≤x＋1? )即可行域．所表示地平面区域(如图?3≤－≤xy－1??12＝yy,把它变形为z＝2x－3考虑得到斜率为－z,3312当直线截距最大且满足约束,y 轴上地截距变化地一组平行直线,－z是直线在,且随z33x2z＝－3y取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数条件时目标函数z＝2x 取得最大值．3y－z最小．,截距最大,即2x－3y经过可行域上地点A时由图可知,当直线z＝?1y＝－x－?解方程组?,?5＝x＋y?．A地坐标为(2,3)得5.＝－×3×2－32＝所以z2x－3y＝min最大．z截距最小,即yx－3经过可行域上地点B时,2当直线z＝?3＝x－y?解方程组?,?1y＝x＋?7.＝1)－(×3－2z1),(2,B得地坐标为－所以×2＝y3－x2＝max∴2x－3y地取值范围是[－5,7]．?0≥5?x－y＋???x＋y??不等式组8．解3x≤－3≤??,所表示地可行域如图所示111与高分别为与11,,其可行域为两个等腰直角三角形其底边长分别为1 226111111＝＋,可行域地面积为所以.×11××1×22222。
《简单的线性规划问题》参考教案
课题: §3.3.2简单的线性规划第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。
简单的线性规划问题(学案)
简单的线性规划问题（学案）一、学习目标1. 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2. 能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件，从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；3. 体会线性规划的化归、数形结合的数学思想，增强观察、联想以及作图的能力，提升数学建模能力和解决实际问题的能力. 二、自主学习.学与思1. 线性规划的实际应用主要解决两类问题：（1）在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成 的任务； （2）给定一项任务，如何合理安排和规划，能以 的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.2. 线性规划的有关概念：①约束条件：由变量x 、y 组成的 ；线性约束条件：由变量x 、y 的 不等式(或方程)组成的不等式组． ②目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的 ； 线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x 、y 的 .③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的 或 的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ，y ）叫 ；由所有可行解组成的集合叫做 ；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的 ．3.用图解法解决线性规划问题的一般步骤： （1）审题，分析数据，选取变量； （2）列出线性约束条件，线性目标函数； （3）画出可行域；（4）在可行域内求目标函数的最优解（实际问题需要求整数解时，应适当调整，以确定最优解）．三、探究学习.讲与练 【探究发现】探究1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7。
结论： 补充：（1）方程与函数的关系；（2）直线斜率大小与直线陡平的关系；斜率相同则平行；； （3）截距问题。
探究2：在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+00221y x y x y x 下所表示的平面区域内目标函数P=2x+y 的最大值？1、约束条件所表示的平面区域称为2、猜想在可行域内哪一个点的坐标00(,)x y 使得P 取到最大值？3、目标函数2P x y =+可变形为____________y =，它的几何意义：4、直线2y x p =-+与直线2y x =-的位置关系5、直线2y x p =-+平移到什么位置时，直线在y 轴上的截距P 最大？6、注意找直线2y x p =-+在y 轴上的截距P 最大值时，直线平移必须经过 例1． 已知x 、y 满足约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求目标函数2z x y =-的最大值。
《简单的线性规划问题》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《简单的线性规划问题》教案一，教学目标：知识与技能：1、了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数。
2、培养学生“建模”和解决实际问题的能力。
过程与方法： 培养学生分析和解决问题的能力，发展学生数学应用意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断。
情感态度与价值观： 让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。
教学重点和难点： 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
一、 引入新课：1、元旦联欢会，需要甲、乙两种不同的气球来布置班级，要求甲、乙两种气球的比例为2：3，且它们的和不小于30只，不多于60只。
若甲种气球每只0.5元，乙种气球每只0.3元，问应买甲、乙两种气球各多少只，才能使花费最省？设甲种气球需x 只,乙种气球需y 只,总的费用z 由题意得 y x z 3.05.0+=y x 、满足的条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤=N y N x y x y x ,603032由（1）得 2412,3618≤≤≤≤x y∴当18,12==y x 时4.11183.0125.0min =⨯+⨯=z 元进一步提出新问题：2、为使联欢会上的气氛更有节日感，有人提出再做一个“中国结”，经研究发现做“中国结”需要甲、乙两种彩绳，并需将其截成A 、B 、C 三种规格的彩绳段，其中每根甲种彩绳可同时截得A 规格的彩绳段2根，B 规格的彩绳段1根，C 规格的彩绳段1根，每根乙种彩绳可同时截得A 规格的彩绳段1根，B 规格的彩绳段2根，C 规格的彩绳段3根。
一个“中国结”共需要A 规格的彩绳段15根，B 规格的彩绳段18根，C 规格的彩绳段27根，若甲绳每根8元，乙绳每根6元，问应买甲、乙两种彩绳各多少根，才能使花费最省y x z 68+=y x 、满足的条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,273182152（1） 二、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组（1）是一组变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件．②目标函数：我们把要求最大值的函数y x z 68+=称为目标函数（objective function ），又因这里的y x z 68+=是关于x ，y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数(linear objectives ).③线性规划问题：一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划(linear program)问题． 例题1.1、央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？试建立此问题的线性规划模 分析：将已知数据列成下表解：设电视台每周应播映片甲x 次， 片乙y 次，总收视观众为z 万人．由题意得：总收视观众为y x z 2060+=y x 、满足的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≤+0,05.35.01624y x y x y x N y N x ∈∈,练习：某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？试建立此问题的线性规划模型 分析：将已知数据列成下表y x z 10090+=y x 、满足的条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥200040050060001500100000y x y x y x 四、思考问题：私人办学市教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据表（以班级为单位）： 根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制。
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3、线性规划的实际应用 【例 3】某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产 品使用 4 个 A 配件耗时 1h ,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h ，该厂每天 最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能 的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万 元，采用哪种生产安排利润最大？
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（练习 2）
（练习 1）
2、设生产甲种肥料 x 车皮、乙种肥料 y 车皮，能够产生利润 z 万元。目标函 数为： z x 0.5 y ，可行域如上图。 把 z x 0.5 y 变形为 y 2 x 2 z ，得到斜率为 2 ，在 y 轴上的截距为 2 z ，随 z 变化的一族平行线。 由图可以看出，当直线 y 2 x 2 z 经过可行域上的点 M 时，截距 2 z 最 大，即 z 最大。 18 x 15 y 66 解方程组： 得 M 的坐标为： x 2 ， y 2 。 4 x y 10 所以 z max x 0.5 y 3 。 答：生产甲种、乙种肥料各 2 车皮，能够产生最大利润，最大利润为 3 万 元。
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参考答案
【例 1】A。 【提示】因 6 吨的车辆为 x ， 4 吨的车辆为 y ，则运送货物的吨数为 z 6 x 4 y ，故选 A。 【例 2】不等式组表示的平面区域如图所示： 当 x 0, y 0 时， z 2 x y 0 。点 (0,0) 在直线 l0 : 2 x y 0 上。 作一组与直线 l 0 平行的直线 l : 2 x y t , t R 。 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线 中，以经过点 A(2,1) 的直线所对应的 t 最大。所以 z max 2 2 1 3 。 y y x y 0 1 4
五、课堂练习： 1、 营养学家指出， 成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质， 0.06kg 的脂肪， 1kg 食物 A 含有 0.0105kg 碳水化合物， 0.07 kg 蛋白质，0.14kg 脂肪， 花费 28 元； 而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质， 0.07 kg 脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同 时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg ？
2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐 4 t 、硝酸盐 18 t ；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 t 、硝酸 盐 15 t 。现库存磷酸盐 10 t 、硝酸盐 66 t ，在此基础上生产这两种混合肥料。若 生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 10000 元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润 为 5000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
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2013 级高一年级数学学科学案
学案类型： 新课
四平市第一高级中学
材料序号：
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编稿教师： 刘强
审稿教师： 刘 强
课题：3.3.2 简单的线性规划问题
一、学习目标： 1、是学生了解二元一次不等式表示平面区域， 了解线性规划的意义及约束条件、 目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。了解相性规划的图解法。 2、经历从实际情景抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。 二、学习重、难点： 教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题。 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。 三、知识导学： 1、线性约束条件： 不等式组是一组变量 x, y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x, y 的一次 不等式，故又称线性约束条件。 2、线性目标函数： 关于 x, y 的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x, y 的解析式， 叫线性目标函数。 3、线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题。 4、可行解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解。 5、可行域： 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 6、最优解： 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 四、典型例题： 1、线性规划的概念 【例 1】有 x 辆 6 吨的汽车， y 辆 4 吨的汽车，要运送最多的货物完成这 项运输任务的线性目标函数为 （ ） A. z 6 x 4 y B. z 5 x 4 y C. z x y D. z 4 y 5 x 2、求目标函数的最值 y x 【例 2】求 z 2 x y 的最大值，使式中的 x, y 满足约束条件 x y 1 。 y 1
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点就代表所有可能的日生产安排。 （3） 设生产甲产品 x 件， 乙产品 y 件， 工厂获得的利润为 z ,则 z 2 x 3 y 。 2 z 由上图可以看出，当实现 y x 经过直线 x 4 与直线 x 2 y 8 0 3 3 z 14 的交点 M (4,2) 时，截距 的值最大，最大值为 ，这时 2 x 3 y 14 。所以，每 3 3 天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元。 【课堂练习】 1、设每天食用 x kg 食物 A ， y kg 食物 B ，总成本为 z ，那么 0.105 x 0.105 y 0.075 7 x 7 y 5 0.07 0.14 y 0.06 7 x 14 y 6 等价于 ， 0 . 14 0 . 07 y 0 . 06 14 x 7 y 6 x 0 , y 0 x 0, y 0 目标函数为： z 28 x 21 y 。
责任编辑： 刘强
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作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图，即可行域。
z 最 21 7 x 7 y 5 1 4 小，即 z 最小。解方程组： ，得 M 的坐标为 x ， y 。 7 7 14 x 7 y 6 所以， z min 28 x 21 y 16 。 答：每天食用食物 A 约 143 g ，食物 B 约 571g ，能够满足日常饮食要 求，又使花费最低，最低成本为 16 元。 y 1 14 x 7 y 6
1
O
1
x
2
x 2y 8 0 2 4
6 8
O A x y 1 0 2x y 0 （例 2） 【例 3】 （1）用不等式组表示问题中的限制条件：
1
x
（例 3）
设甲、 乙两种产品分别生产 x, y 件， 又已知条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x0 y0
由图可见，当直线 z 28 x 21 y 经过可行域上的点 M 时，截距
7x 7 y 5 7 x 14 y 6 28 x 21 y 0
6 7 5 7 4 7 3 7 2 7 1 7
y M
10 5 x 0.5 y 0 O
M 1 2
3 4 x 4 x y 1018 x 15 y 66