2020-2021学年江苏省南通中学高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析

2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（文科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= ．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是．3．（5分）函数y=的定义域为．4．（5分）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是．6．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则（x﹣2）2+（y﹣1）2的最小值为．7．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么= （用和表示）8．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．9．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．17．（14分）已知集合A={x|x2﹣8x+7＜0}，B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= {3} ．【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B⊆A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B⊆A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，分析可得a=2，即B={2，4}，则∁A B={3}，故答案为：{3}．【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0 ．【分析】根据特称命题的否定规则：将量词改为任意，结论否定，即可得到其否定．【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是掌握特称命题的否定规则，属基础题．3．（5分）函数y=的定义域为（0，1] ．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log0.2x≥0，解得：0＜x≤1，故函数的定义域是（0，1]，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的侧面积、体积公式，以及方程思想，属于基础题．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是 2 ．【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简==，代入即可求解．【解答】解：∵a3+2a6=0，∴=﹣，即q3=﹣，∴====2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．6．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则（x﹣2）2+（y﹣1）2的最小值为．【分析】由约束条件作出可行域，再由（x﹣2）2+（y﹣1）2的几何意义，即A（2，1）到直线x﹣y=0的距离的平方求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，（x﹣2）2+（y﹣1）2的几何意义为A（2，1）到直线x﹣y=0的距离的平方，由d==，可得（x﹣2）2+（y﹣1）2的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．7．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么=（用和表示）【分析】根据条件即可得出，这样代入即可用表示出．【解答】解：根据条件：==．故答案为：．【点评】考查三等分点的概念，向量数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，以及向量加法的几何意义．8．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是[﹣2，5] ．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，求出a的范围即可．【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+4，得p：a﹣4＜x＜a+4；由（x﹣1）（2﹣x）＞0，解得：1＜x＜2，故q：1＜x＜2，若p是q的必要不充分条件，即（1，2）⊆（a﹣4，a+4），故，解得：a∈[﹣2，5]，故答案为：[﹣2，5]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．9．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为﹣2 ．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣a的图象上又在直线x﹣y+1=0上，即可求出a的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切点（1，n）在直线x﹣y+1=0上∴n=2，而切点（1，2）又在曲线y=lnx﹣a上∴a=﹣2故答案为﹣2．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是（1，3] ．【分析】根据函数f（x）是奇函数，求出m，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，满足f（﹣x）=﹣f（x），即x2﹣mx=﹣（﹣x2+2x）=﹣x2﹣2x，解得m=2．∴f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤1，即1＜a≤3．故答案为：（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是x=﹣．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z ）时，，因此，当k=﹣1 时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为32【分析】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设出C的坐标（x，y），由已知可得x2+y2=36，把用含有x的代数式表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y），∵O为为△ABC的重心，∴O（），，，∵OA⊥OB，∴，化简得：x2+y2=36．∵，∴=x2+y2﹣4=32．故答案为：32．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为．【分析】a1=1，2S n=（n+1）a n，n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1），化为：=，可得：a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出．【解答】解：∵a1=1，2S n=（n+1）a n，∴n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣na n﹣1，化为：=，∴==…===1，∴a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案为：．【点评】本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3] ．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；（2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求．【解答】解：（1）f（x）=（+）•（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由题意得：周期，故；（2）∵图象过点M（1，），∴﹣cos（2φ）=，即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）．当﹣1≤x≤1时，，∴．∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．【分析】对于（Ⅰ），要证EF∥平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；对于（Ⅱ）要证明EF⊥平面PDC，由第一问的结论，EF∥PA，只需证PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CD⊥平面PAD，由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（3分）且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD，∴EF∥平面PAD（6分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA（9分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．17．（14分）已知集合A={x|x2﹣8x+7＜0}，B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）化简集合A，集合B，根据集合的基本运算当a=4时，即可求A∩B；（2）根据A⊆B，建立条件关系，对a进行讨论即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，当a=4时，B={x|x2﹣2x﹣24＜0}={x|﹣4＜x＜6}，∴A∩B=（1，6）（2）B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}={x|（x+a）（x﹣a﹣2）＜0}，∵A⊆B，①当a=﹣1时，B=∅，∴A⊆B不成立；②当a+2＞﹣a，即a＞﹣1时，B=（﹣a，a+2），∵A⊆B，∴，解得a≥5；③当a+2＜﹣a，即a＜﹣1时，B=（a+2，﹣a），∵A⊆B，∴，解得a≤﹣7；综上，当A⊆B，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．第（2）小题，解法二：∵集合A={x|x2﹣8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，∵A⊆B，即f（x）=x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0在（1，7）上恒成立．∴⇒，解得：a≥5或a≤﹣7．故得，当A⊆B，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于在[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1时，，…（2分），…（3分）所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）…（2分）当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增当a＞2时，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）单调递增区间为，单调减区间为．…（4分）（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，则．令g′（x）=0，则…（2分）若，即a=1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；…（3分）若，即a＜1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为，因为g（1）=0，所以不合题意．…（4分），即a＞1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…（5分）【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．两式相减可得可得b n+1=，即b n=，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得b n+1a1=﹣=，∴b n+1=，∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．【点评】本题考查a n=，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式，注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略．。