2020-2021学年江苏省南通中学高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析

2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试

数学（文科）试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= ．

2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是．

3．（5分）函数y=的定义域为．

4．（5分）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．

5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是．

6．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则（x﹣2）2+（y﹣1）2的最小值为．7．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么= （用和表示）

8．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．

9．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为．

10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上

单调递增，则实数a的取值范围是．

11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．

12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为

13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为．

14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．

（1）求ω的值；

（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．

16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F

分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．

17．（14分）已知集合A={x|x2﹣8x+7＜0}，B={x|x2﹣2x﹣a2﹣2a＜0}

（1）当a=4时，求A∩B；

（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．

（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；

（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

19．（16分）已知函数（a＞0）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．

（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．

2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试

数学（文科）试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= {3} ．

【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B⊆A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、

【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B⊆A，

而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，

分析可得a=2，

即B={2，4}，

则∁A B={3}，

故答案为：{3}．

【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．

2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0 ．

【分析】根据特称命题的否定规则：将量词改为任意，结论否定，即可得到其否定．

【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定

是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”

故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”

【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是掌握特称命题的否定规则，属基础题．

3．（5分）函数y=的定义域为（0，1] ．

【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：

log0.2x≥0，

解得：0＜x≤1，

故函数的定义域是（0，1]，

故答案为：（0，1]．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．

4．（5分）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．

【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

则，解得，

所以高，