辽宁省六校协作体2018_2019学年高一数学下学期期中试题

2018---2019学年度下学期省六校协作体高一期中考试
数学试题
单选题：（每题4分，计40分） 1、计算4
tan
2
cos
sin 2π
π
π++的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4
2、命题“x ∀，1cos sin ≥+x x ”的否定为（ ） A ．x ∀，1cos sin <+x x B ．x ∀，1cos sin ≤+x x C ．x ∃，1cos sin ≥+x x D ．x ∃，1cos sin <+x x
3、若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →
等于
( )
A ．(－2,－4)
B ．(2,4)
C ．(6,10)
D ．(－6,－10)
4、角α的终边经过)4,3(-P ，那么角α可以是（ ） A ．54
arcsin B ．)5
3arccos(- C ．
53arccos 2+π
D ． )3
4
arctan(- 5、某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320 C ．400 D ．1000
6、样本数据1021,,x x x Λ的标准差为2，那么12,12,121021---x x x Λ标准差为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2
7、函数)sin()(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>在某个周期内的递减区间为]3
,6[π
π-那么ϕ
ω,的值分别为（ ） A ．65,2πϕω=
= B ．6,2πϕω== C ．3,21πϕω==D ．3
2,21πϕω== 8、1cos =a ，1sin =b ，1tan =c ，那么a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．a c b >> D ．b a c >>
9、ABC ∆中0
90,2,3A AB AC ∠===，设P Q 、满足AP AB λ=u u u r u u u r ，(1)AQ AC λ=-u u u r u u u r
，
R λ∈，若1BQ CP ⋅=u u u r u u u r
，则λ=（ ）
A ．
31 B ．32 C ． 3
4
D ．2
A
10、函数⎪⎩⎪
⎨⎧-=x x x f 2
sin )(π)40()0(<≤<x x ，方程m x f =)(有三个根321,,x x x ，那么3
21x x x ++取值范围是（ ）
A ．)1,0(
B ．)2,1(
C ．)3,1(
D ．)4,3(
多选题：（每题有多个答案，选对一个得2分，多选或不选不得分，全部选对得4分，计12分）
11、已知函数)3
2
1
sin()(π
-
=x x f ，那么下列式子恒成立的是（ ）
A ． )2()2(ππ-=+x f x f
B ． )()3
10(x f x f =-π
C ．)()65(
x f x f =-π D ． )()3
5(x f x f -=-π
12、C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b
A =+u u u r r
r ，则下
列结论正确的是（ ）
A ．1=
B ． ⊥
C ． 1-=⋅b a
D ． ()
4C a b +⊥B u u u r r
r
13、如图，矩形ABCD 中，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成
DE A 1∆(∉1A 平面ABCD )，若O M ,分别为线段DE C A ,1的中点，则在
ADE ∆翻
转过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．与平面DE A 1垂直的直线必与直线M
B 垂直 B ．BM E A //1
C ．存在某个位置，使MO DE ⊥
D ．三棱锥AD
E A -1外接球半径与棱AD 的长之比为定值 填空题：（每题每空2分，计16分）
14、从三名男生和两名女生中选派三人参加数学竞赛，选派三人都是男生的概率为 ；选派三人既有男生又有女生的概率为 。

15、计算=+5
2tan
lg 10
tan
lg π
π
；=+x x cos log sin log 2244 。

16、将函数)3
2sin()(π
+
=x x f 向左平移ϕ个单位)2
0(π
ϕ<
<得函数)(x g 图像；
若)(x g 为偶函数，那么=ϕ ；若)(x g 为奇函数，那么=ϕ 。

17、函数m x x f +-
=)62sin(2)(π
，]2
,0[π
∈x ；那么)(x f 的值域为 ； 若以)(),(),(c f b f a f 的值为边长可以构成一个三角形，那么实数m 的取值范围是 。

解答题：（共6小题，计82分） 18、（本题满分10分） 已知向量)55,
(cos θ=a ，)5
52,(sin θ=b （1）若b a //，求θtan ； （2）若b a ⊥，求θtan
19、（本题满分12分）
某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80 ，……，第八组：[]130,140，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率，完成频率分布直方图，并估计该组数据的众数和中位数； （2）请根据频率分布直方图估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分 （统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）．
F
D
A
B
20、（本题满分12分）
现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者1A ，2A ，3A 通晓日语，1B ，2B ，3B 通晓俄语，1C ，
2C 通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1) 列出基本事件； (2) 求1A 被选中的概率；
(3) 求1B 和1C 不全被选中的概率．
21、（本题满分12分）
如图，四边形ABCD 是边长为的正方形，ABE ∆为等腰三角形，BE AE =，平面⊥ABCD 平面ABE ，动点F 在棱CE 上，无论点F 运动到何处时，总有AE BF ⊥. （1）试判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并证明你的结论； （2）若点F 为CE 中点，求三棱锥AEF D -的体积.
22、（本题满分18分）
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||2
A π
ωϕ>><
）的图象的相邻两条对称轴的距离是
2
π
，当6x π=时取得最大值2．
（1）求函数)(x f 的解析式； (2)求)(x f 在],0[π∈x 上的递增区间
（3）若函数6
()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
23、（本题满分18分） 已知函数)1,0(2
)(≠>-+=a a a k a x f x
x
且是定义在R 上的奇函数。

（1）求实数k 的值；
（2）若0)1(<f ，不等式)32()3
sin 1
sin (2-+>+-t t f x x f 对R x ∈∀恒成立，求实数t 的取值
范围； （3）若23)1(=f ，1)(21)(22+-+=x mf a
a x g x x
在),1[+∞∈x 上的最小值为0，求实数m 的值；
六校协作体高一期中考试数学参考答案
单选题： 1---5ADABC 6---10 CABDB 多选题： 11---13 AB CD AD 填空题：14、
101，109 15、0，1 16、12π，3
π
17、]2,1[m m ++-，),4[+∞ 解答题：（共6小题，计82分） 18、（本题满分10分） （1）若b a //，则
θθsin 5
5
cos 552=，所以2tan =θ-----5分 （2）若b a ⊥，则052cos sin =+⋅θθ，所以52
cos sin cos sin 2
2-=+⋅θ
θθθ 即
521
tan tan 2-=+θθ，02tan 5tan 22
=++θθ，解得2tan -=θ或21------10分 19、（本题满分12分）
（1众数为95. 设中位数为96 （2）设这次考试成绩的平均分为x
则9704.013508.012506.01152.01053.09516.08512.07504.065=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=x （图表、众数、中位数、平均分各3分） 20、（本题满分12分）
现有8名马拉松比赛志愿者，志愿者，
，
通晓日语，
，
，
通晓俄语，，
通晓英语，
从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组． 基本事件空间
，
，
，
，
，
，
， ，，，
，
，
，
，
，
，
，
，共18个基本事件．-----4分
由于每个基本事件被选中的机会相等，这些基本事件是等可能发生的， 用M 表示“被选中”，
则
，
，
，
，
，
，含有6个
基本事件，
被选中的概率． -----8分
用N 表示“
和
不全被选中”，则表示“和全被选中”，，
，
，含有3个基本事件，
和
不全被选中的概率
．-----12分
21、（本题满分12分）
（1）平面ADE 与平面BCE 垂直， 证明如下：
四边形ABCD 是边长为2的正方形，所以AD BC ⊥， 因为平面⊥ABCD 平面ABE ,
⊥∴BC 平面
，
动点在棱上，无论点运动到何处时，总有
，
又
平面， 平面
平面平面
.-----6分
（2）点为
中点，
到平面的距离等于到平面
距离的一半，而到平面
的距离等于到平面
距
离， 由平面，可得 ，由平面，可得
， 所以
平面，
为等腰直角三角形，
到平面
的距离等于
， ，
三棱锥
的体积
.-----12分
22、（本题满分18分）
（1）由题意知，振幅A=2，周期T=
222
π
π
ω
=⨯
，∴2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+．
将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：2sin 2sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又||2πϕ<，故6πϕ=．
∴()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭．-----6分
（2）当2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k （)z k ∈时，即6
3
π
ππ
π+
≤≤-
k x k
]6,0[π∈x 和],3
2[ππ
递增。

-----12分
（3）由函数6
()()5
g x f x =-的零点为x 0知：x 0是方程6()5f x =的根，故06()5
f x =， 得sin （2x 0+6π）=3
5
,又（2x 0+6π）+（3π-2x 0）=2π，
∴0003cos 2cos 2sin 232665x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦． -----18分
23、（本题满分18分）
（1）因为)(x f 为奇函数，所以)2(2x
x
x x
a
k a a k a ---+-=-+，解得：1=k -----6分 （2）01
)1(<-
=a
a f 解得11<<-a ，又0>a ，所以10<<a ； 任取21x x <，则012>-=∆x x x ，
=-)()(12x f x f )1(11
1
22
x x x x a a a a ---212
112)1()(x x x x x x a a a a a a +-=0<，
所以)(x f 为减函数。

)32()3sin 1sin (2-+>+-t t f x x f 恒成立等价于323
sin 1
sin 2-+<+-t t x x 恒成
立 令=
d 3sin 1sin +-x x ，则3
sin 4
1+-=x d ，因为]1,1[sin -∈x ，那么]0,1[-∈d
所以0322
>-+t t ，解得31-<>t t 或 -----12分 （3）因为2
3
1)1(=-
=a a f ，所以2=a ，x x x f --=22)( 3)22(2)22(1)22(222)(222+---=+--+=----x x x x x x x x m m x g
令x
x
t --=2
2，因为),1[+∞∈x ，所以2
3≥
t 2223)(32m m t mt t y -+-=+-=
（i ）当23≤m 时，2
223)(32m m t mt t y -+-=+-=在),23[+∞上单调递增， 03349min =+-=m y ，解得2
3
47>=m ，不合题意,舍去；
（ii ）当2
3>m 时，032
min =-m y ,解得3±=m （负舍）
综上所述，3=m . -----18分。