上海教育版数学八下第二十一章《代数方程》word知识点汇总
沪教版八年级下-第二十一章--《代数方程》全章复习与巩固知识讲解--讲义
《代数方程》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。
2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。
3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。
4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。
5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。
【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 注：①n5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
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第二十章一次函数一、一次函数的概念（1）一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2）一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3）当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4）一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．二、一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．三、一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．四、一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）五、直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．六、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升；当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．七、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限；当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限；当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限；当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．八、一元一次方程与一次函数（1）对于一次函数y kx b =+，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得b x k=-，于是可以知道一次函数y kx b =+的图像与x 轴的交点坐标为(0)b k-，．（2）若已知一次函数y kx b =+的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标b x k=-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．九、一元一次不等式与一次函数（1）由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2）在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．第二十一章代数方程一、二项方程如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)．n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；n 为偶数时，若0ab <，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若0ab >，那么方程没有实数根．二、双二次方程（1）一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于x 的双二次方程的一般形式为420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠）．（2）了解关于x 的双二次方程420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠），可以用新未知数y 代替方程中的2x ，同时用2y 代替4x ，将这个方程转化为关于y 的一元二次方程．20ay by c ++=这种解方程的方法是换元法．（3）整式方程和分式方程统称为有理方程．三、无理方程1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．2、解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况．检验方程的增根从两方面出发：（1）根号有意义的条件；（2）方程左右是否相等．四、二元二次方程组1、仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程组叫做二元二次方程组．2、能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解．3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解．第二十二章四边形一、多边形的概念1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180n-⋅︒．7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．9、多边形的外角和等于360°．二、平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“ ”表示，如： ABCD．2、平行四边形性质定理：①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．简述为：平行四边形的对边相等．②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．简述为：平行四边形的对角相等．③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．简述为：平行四边形的两条对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．3、平行四边形判定定理：①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．三、矩形1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．2.矩形的性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过对称中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心)．3.矩形的判定：矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．四、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2.菱形的性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．注意：(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；(3)菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：=S 底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．3.菱形的判定：菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．五、正方形1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．2.正方形与矩形、菱形的关系：矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3.正方形的性质定理：正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等．性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．4.正方形的判定定理：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．六、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形:⎩⎨⎧梯形叫做等腰梯形．等腰梯形：两腰．底的梯形叫做直角梯形直角梯形：一腰垂直于特殊梯形相等的思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．（3）等腰梯形性质等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等．等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等．另外：等腰梯形是轴对称图形；（4）等腰梯形判定等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形．（5）解决梯形问题常用的方法:①作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高等．七、梯形及三角形中位线1.三角形的中位线定义：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线不同)；2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．八、平面向量的概念1、规定了有方向又有长度的线段叫做有向线段．2、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）3、向量的表示：（1）向量可以用有向线段直观表示：①有向线段的长度表示向量的长度；②有向线段的方向表示向量的方向．（2）常见的表示方法：①向量AB ，长度记为AB ；②向量a 、b 、c ，长度记为a 、b 、c ．4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．5、相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．6、平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．十、平面向量的加法1、向量的加法：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．2、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 ．规定0 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00= ．因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-= ．对于任意向量，都有0a a += ，0a a += ．3、向量的加法满足交换律：a b b a +=+ ．4、向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++ ．5、向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．6、向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．十一、平面向量的减法1、向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()a b a b -=+- ．2、向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．3、向量加法的平行四边形法则如果a ，b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与a ，b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a ，b 的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．4、另外一个对角线向量，即是a ，b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点．第二十三章概率初步一、事件的分类1、事件分为确定事件和随机事件2、其中确定事件包括必然事件和不可能事件（1）必然事件：在一定条件下，必定出现的现象叫做必然事件．例如，在标准大气压下，水加热到100℃就要沸腾是必然事件．（2）不可能事件：在一定条件下，必定不出现的现象叫做不可能事件．例如，同性电互相吸引就是不可能事件．必然事件的反面是不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件．例如，“掷一枚硬币出现正面”，“某人射击一次中靶”，“检查某件产品合格”等都是随机事件．一个事件中描述的现象“出现”，就说这个事件“发生”．一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的；而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性．3、区分必然事件、不可能事件、随机事件的要点：“必定”发生——每次一定发生，不可能不发生．“必定”不发生——每次都完全没有机会发生．“可能”发生——有时会发生，有时不会发生．注意：①随机事件发生的可能性有大小差别，我们可以根据事件发生的条件或有关经验、资料等，对事件发生的可能性大小作出大致的判断，并进行定性的描述．②各种事件发生的可能性大小有不同，可以根据我们的经验来判断一些随机事件发生的可能性的大小并排出大小顺序．一般，我们常用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性大小．二、事件的概率概率是概率论中最基本的概念．在大量重复地进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记做()P A．它可以看作是频率在理论上的期望值．不同的随机事件发生的可能性大小是不相同的，概率是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量．等可能事件的概率一般可以通过大量重复试验求得其近似值．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但在大量重复试验的情况下，它的发生却能呈现出一定的规律性．-11-但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率．对于某些随机试验来说，每次试验后可能产生若干不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性是相等的．一般说来，如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有k 种，那么事件A 的概率()=k P A n=事件A包含的可能结果数所有的可能结果总数．用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率．用符号P 来表示．概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小．不可能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1”作为必然事件的概率．这样随机事件的概率，就是大于0且小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数.由于任何事件A 发生的次数k 总不能大于试验的次数n ，因此随机事件的概率()P A 满足0()1P A ≤≤．概率越大，表明事件发生的可能性越大；概率越小，表明事件发生的可能性越小．人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般地，次数大的试验，事件发生的频率才接近概率．。
数学八下第21章：代数方程-知识点
1数学八下第21章：代数方程-知识点1、解含字母系数的一元一次方程的一般步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1。
2、解含字母系数的方程“ax=b ”时，需要分类讨论 ，分三种情况：①若a ≠0 ，则x=b/a ；②若a=0 ，b=0 ，则x 可以取一切实数 ；③若a=0 ，b ≠0 ，则x 无解 。
3、一元二次方程的一般解法有：① 开平方 法，② 因式分解 法（主要指提取公因式、平方差公式、完全平方公式和十字相乘），③ 配方 法，④ 公式 法。
（当△ ＞0 时，有 两个不相等 的实数根，x=a acb b 242-±- ；当△ ＝0 时，有两个相等 的实数根，x= a b2- ；△ ＜0 时， 无 实数根）。
4、解含字母系数的方程“ax 2+bx+c=0”时，如果已指明 是一元二次 方程或明确有两个 实数根，则必有a ≠0 。
如果没有说明 是几次方程，则应对 a 进行讨论：①若a =0 ，则转化为解方程bx+c=0；②若a ≠0，则继续讨论判别式△ 的符号。
★特别地，对于方程（b 2+2）x 2=1，因二次项系数b 2+2具有非负性 时，所以不需要对系数进行讨论。
5、二项方程：形如ax n +b=0 （a ≠0，b ≠0，n 是正整数）只含两项的一元n 次方程，其中一项含未知数，另一项是非零的常数项 。
解法：①变形为x n =a b -，②当n 是奇数时，x=n 1b ）（a - ；当n 是偶数时，如果ab ＜0，则x=±n 1b ）（a -，如果ab ＞0，则方程没有实数根 。
6、双二次方程：形如ax 4+bx 2+c=0（a ≠0），只含有偶数次项的一元四次方程。
解方程的思想是降次 ，通常采用换元 法或因式分解 法。
比如：x 4-3x 2-10=0。
①换元法：设 x ²=y ，则 y 2-3y-10=0 ，解出y 之后 回代 到x ²=y 即可解出x 。
(完整版)2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习
代数方程专题复习学员姓名指导科目数学教师年级八升九授课日期课次数 2课题代数方程专题复习一、能成功解答整式方程教课目的二、经过授课能找出分式方程的分类用对应方法解题；三、能找出对应无理方程的解法并作答。
重、难点较复杂的解方程题目。
教学内容知识点及例题精讲重点提示与记录一、知识重点1、整式方程的解法跟的鉴别式、韦达定理2、可化为一元二次方程的分式方程的解法注意：3、无理方程的解法注意：4、方程组的解法整式方程组分式方程组无理方程组5、方程（组）的应用解题思想二、专题解说【一元一次方程和一元二次方程的解法】例题用适合的方法解以下方程：（ 1）（2x+1）2=25 （2）2 x2 4 x 1 0（ 3）3x2+8x-1=0(4) x 2-9x=0【含字母系数的整式方程的解法】例题解以下对于 x 的方程（ 1）(3a-2)x=2 （ 3-x ）（2）bx2-1=1-x2（b≠-1）【特别的高次方程的解法】（ 1）二项方程ax n b 0(a 0, b0) 的解法二项方程的根的状况：对于二项方程 ax n b 0(a 0,b0) ，当 n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当 n 为偶数时，假如 ab 0 ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；假如 ab 0 ，那么方程没有实数根。
例题判断以下方程是否是二项方程，假如是二项方程，求出它的根。
3 4（1） x -64=0 （2）x +x=05 3（3） x = -9 （4）x +x=1（ 2）双二次方程的解法例题判断以下方程是否是双二次方程，假如是，求出它的根：(1)x 4-9x 2+14=0 (2 ）x4+10x+25=0 （ 3）2x4 -7x 3-4=0 (4 ）x4+9x2+20=0（ 3）因式分解法解高次方程例题解以下方程：（ 1）2x3+7x2-4x=0（2）x3-2x2+x-2=0【可化为一元二次方程的分式方程的解法】1．适合用“去分母”的方法的分式方程例题解以下方程4 x 3 x 45x 5 12 x x2 17 602.适合用“换元法”的分式方程例题解以下方程：x 2x 8(x 2 2x) 3(x 2 1)（1） 5 6 0 ；（2）x 1 x 1 x 2 1 x 211. 2x【无理方程的解法】1．只有一个含未知数根式的无理方程例题解以下方程：(1) 2x 3 x 6（2）3 2 x 3 x2.有两个含未知数根式的无理方程例题解以下方程：（ 1）x 2 2 2x1 0 （）2 x 2x 13.适合用换元法解的无理方程例题解方程 2 x 2 2 x 4 3 x 2 6x 4【二元二次方程的解法】二一型:常有分类二二型:“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）ax by 0 的方程组 形如2 dxyey 2cx 0（ 2）逆用根与系数的关系形如xya 的方程组xy b“二·二”型方程组的解法2形如ax bxc例题剖析：例 1．解方程组例 2．例 3．4例 4． k 为何值时，方程组。
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理完整版
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质二次根式1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2．二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：(c ≥0)=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a-+--= , = ； △=24b ac -≥0一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数(0)k y k k x=≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
沪教版(五四制)八年级数学下代数方程总复习.docx
代数方程总复习一、填空题1、关于x 的方程22()x a b -=的根是2、如果关于x 的方程21(5)x a x +=-无解，那么a =3、方程2(3)0x x -=的根是4、方程22(31)0x -=的根是5、如果分式方程211633x x x x +=-+++两边都减去13x +后，变为方程26x x =-，那么这两个方程的解 （填“相同”或“不相同”）6、把分式方程232111x x -=-+去分母后，得到的整式方程是 7、用换元法解方程2215132x x x x -+=-时，如果设21x y x =-，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般形式是8、如果关于x 的分式方程3x a x-=无解，那么a = 二、选择题1、解关于x 的方程n ax b =时，下列说法中错误的是（ ）A ．当a =0,b=0时,方程有无数多解B ．当n 为奇数且0a ≠时，方程有且只有一个实数根C ．当n 为偶数且0,0a b =≠时，方程无实数根D ．当n 为偶数且00a b ≠>，时，方程有两个实数根2、（222)30m m x mx --++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≠-B ．2m ≠C ．1m ≠-且2m ≠D ．一切实数3、关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一解，则必须（ ）A ．2a b ≠B ．6a ≠且3b ≠C ．3b ≠D ．6a =且3b ≠ 4、如果分式2264x x x +--的值为零，那么x 的值是（ ） A ．2 B ．—3 C ．2，—3 D ．—25、如果关于x 的分式方程22111x m x x x x x++-=++有增根，那么m 的值是（ ）A ．—1或—2B ．—1或2C ．1或2D ．1或—2三、解答题1、关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1） 有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解。
沪教版八年级下册211整式方程知识讲解讲义.docx
整式方程知识讲解【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程，体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4、理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5、学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法，经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，这个方程叫做一元整式方程；2.—元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是料（〃是正整数），这个方程叫做一元〃次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是斤，若次数兀是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释:一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①血"=o （aHO）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：ax n +b = 0（a H 0,Z? H 0,斤是正整数）3.二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况:当n为奇数时，方程有且只有一个实数根当n为偶数时，如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如杲ab>0,那么方程没有实数根.要点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方稈.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：ax4 + hx2 + c = 0（。
丰 0）3.解题的一般步骤：换元一一解一元二次方程一一回代4. 解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法(目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程)通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了 “降次”的策略。
上海教育版数学八下第二十一章《代数方程》word知识点汇总
第二十一章 代数方程21.1 一元整式方程1、 （a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。
于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程21.2 二项方程1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为 0n ax b +=（ 0,0a b ≠≠，n 是正整数）2、 解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根3、 对于二项方程 0n ax b +=（0,0a b ≠≠ ）（1）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根（2）当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根21.3可化为一元二次方程的分式方程1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用21.4无理方程1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2、 整式方程和分式方程统称为有理方程3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5 二元二次方程和方程组1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程2、 关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是： 220ax bxy cy dx ey f +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不是零；当b 为零时，a 与d 以及c 与e 分别不全为零）3、 仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。
代数方程知识点总结
代数方程知识点总结
一、代数方程基础知识
1. 代数方程的定义：代数方程是一个数学表达式，其中包含一个或多个未知数，通过等号连接左右两边。
2. 代数方程的解：使等号成立的未知数的值称为代数方程的解。
3. 代数方程的解法：通过一定的数学方法找到代数方程的解的过程称为代数方程的解法。
二、一元一次方程
1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且该未知数的次数为1的代数方程称为一元一次方程。
2. 一元一次方程的标准形式：ax + b = 0 (a ≠0)
3. 一元一次方程的解法：通过移项和合并同类项，将一元一次方程化为标准形式，然后求解未知数的值。
三、一元二次方程
1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的代数方程称为一元二次方程。
2. 一元二次方程的标准形式：ax^2 + bx + c = 0 (a ≠0)
3. 一元二次方程的解法：通过因式分解、配方方法和公式法等方法求解一元二次方程的解。
四、分式方程
1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的代数方程称为分式方程。
2. 分式方程的解法：通过去分母、换元和消元等方法求解分式方程的解。
五、二元一次方程组
1. 二元一次方程组的定义：包含两个未知数，且每个未知数的次数都为1的代数方程组称为二元一次方程组。
2. 二元一次方程组的解法：通过消元法和代入法等方法求解二元一次方程组的解。
六、其他类型的代数方程
1. 高次代数方程：含有未知数的高次方的代数方程，可以通过因式分解、配方方法和公式法等方法求解。
2. 多元高次方程组：包含多个未知数的高次方的代数方程组，可以通过消元法和代入法等方法求解。
(完整word版)上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理
上海市沪教版八年级数学上册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0) ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0） n ≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ；△=24b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3． 实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数 3．反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
八年级数学代数方程知识点
八年级数学代数方程知识点代数方程，作为数学中的一个重要分支，可以被广泛应用于各行各业。
因此，熟练掌握代数方程的知识是十分必要的。
本文将为大家介绍八年级数学代数方程的基础知识及常见问题。
一、整式运算某些复杂代数方程往往需要对整式进行处理。
因此，在学习代数方程之前，整式运算是必要的基础。
整式的加减、乘法、除法操作等基本概念需要初中数学学习过程中逐一掌握。
二、方程的基础概念方程是数学中的一个重要概念。
对于八年级的学生来说，最基础的便是一元一次方程。
一元一次方程中所涉及的变量只有一个，且各项次数均为1。
八年级一元一次方程的部分题目应为如下形式：ax + b = c其中，a、b、c均为常数，x为未知量。
需要通过对该方程的求解，来得出未知量x的解。
三、方程的化解方程的化解是指将一个较为复杂的方程转化成更为简单的形式，使得在求解过程中更为便利。
常见的化解方式有以下几种：1.去分母：去分母后可将方程式化为整数，解题更加便利。
2.配方法：常见的配方法有加减消式和乘除消式。
这个方法可以将一个一元二次方程式化为标准式来求解。
3.因式分解：这个方法通常应用于解一元二次方程，是将方程式转换成可以分解的形式，然后再进行求解。
此外，在解二次方程式时，应特别注意“两根定理”及“判别式”的运用。
四、方程解法在计算代数方程时，一般采用通法、公式法及专题解法等运算方法。
1.通法：通法又称代数法，是最常用的运算方法。
具体做法是将方程式转化为a(x+b) = c或ax² + bx + c = 0的形式。
然后，将其运用公式求解。
2.公式法：公式法解决一些特殊的方程问题，主要是运用一些专用的公式来求解，如求解一元二次方程式、详细使用平方公式、三角函数公式等。
3.专题解法：专题解法是指通过对不同类型的方程式的分析来确定相应的求解方法。
在这种解法中，重点需要学习代换、移项及分类讨论等具体内容。
五、代数方程实例下面，我们就来看几个典型的代数方程实例。
上海八年级代数方程知识点
上海八年级代数方程知识点代数方程作为中学数学的重要组成部分，在上海市八年级数学教学中占有重要地位。
学好代数方程对于学习高中数学以及其他学科都有很大的帮助。
本文将对上海八年级代数方程知识点进行详细介绍。
一、基本概念首先，我们需要了解代数方程的基本概念。
代数方程就是一个含有未知数的等式，其中，未知数是我们要求解的数。
通常使用字母表示未知数，例如x，y等。
代数方程可以用来表示很多问题，例如求根问题、图形问题等。
二、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，即未知数的最高次数为1。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a、b为已知数，a≠0。
2. 解一元一次方程的方法解一元一次方程的方法有两种：移项法和消元法。
移项法是指将等式两边的项移到同一边，最终使得未知数所在的项在等式的一侧，而常数项在另一侧。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以将3移到等式右侧，得到2x=4，然后将2x除以2，得到x=2。
消元法是指通过加减乘除等运算，使得方程中未知数的系数相等，从而消去未知数。
例如，对于方程3x-2=5x+10，我们可以将等式两边减去5x，得到-2x-2=10，然后将等式两边加上2，得到-2x=12，最终将等式两边除以-2，得到x=-6。
三、二元一次方程组1. 二元一次方程组的定义二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，即未知数的最高次数为1。
二元一次方程组一般写成以下形式：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知数。
2. 解二元一次方程组的方法解二元一次方程组的方法有三种：代入法、消元法和加减消元法。
代入法是指将一个方程的一个未知数表示成另一个方程的未知数的函数，然后代入到另一个方程中进行求解。
例如，对于方程组2x-3y=5和x+2y=7，我们可以将第一个方程中的x表示成第二个方程中的y的函数，即x=7-2y，然后代入第一个方程，得到2(7-2y)-3y=5，最终解得y=1，然后再代入x=7-2y，得到x=5。
八年级数学 代数方程知识点总结
八年级数学代数方程知识点总结本文档总结了八年级数学中与代数方程相关的知识点。
一、方程的基本概念方程是数学中常见的表达式，通常包含未知数和已知数，并且通过运算符连接起来。
方程的目标是求解未知数的数值。
二、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程类型，其形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程可以使用逆运算或图像法。
三、一元一次方程的解法解一元一次方程的常用方法有以下几种：1. 逆运算法：通过逆运算将方程转化为x = 解的形式，求得x 的值。
2. 图像法：将方程转化为一条直线，在坐标系中找到直线与x 轴的交点，即为方程的解。
3. 平衡法：通过等式两边等值性原则，逐渐简化方程，最终求得x的值。
四、一元一次方程的应用1. 问题解决：一元一次方程可以用来解决实际问题，例如求解物品价格、求解运动速度等。
2. 几何问题：一元一次方程可以用来解决几何问题，例如求解直线和坐标轴的交点等。
五、一元二次方程一元二次方程是一种含有二次项的方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程可以使用配方法、公式法或图像法。
六、一元二次方程的解法解一元二次方程的常用方法有以下几种：1. 配方法：通过加减常量使方程变为平方形式，然后进行配方，最终求得x的值。
2. 公式法：利用一元二次方程的求根公式，直接计算得到x的值。
3. 图像法：绘制一元二次方程的图像，在坐标系中找到图像与x轴的交点，即为方程的解。
七、一元二次方程的应用1. 抛体运动问题：一元二次方程可以用来描述抛体的运动轨迹，求解抛体的高度、时间等问题。
2. 工程问题：一元二次方程可以用来解决工程问题，例如求解建筑物的高度、求解桥梁的弯曲程度等。
八、总结本文档介绍了八年级数学中与代数方程相关的知识点，其中包括一元一次方程和一元二次方程的基本概念、解法和应用。
这些知识点对于学生掌握代数方程解题方法和解决实际问题具有重要意义。
上海初二数学代数方程复习资料.doc
上海初二数学代数方程复习资料一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
二项方程：一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。
其一般式为 ax n b 0 a 0,b 0, n是正整数.二项方程的解法：将方程 ax n b 0 变形为 x n b，当 n 为基数时，方程只有一个实数an nb b；当 n 为偶数时，如果ab p 0 ，那么方程有两个实数根x根x ，且这a a两个根互为相反数；如果ab f 0 ，那么方程没有实数根。
双二次方程 :只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为 : ax4 bx2 c 0(a 0) 。
解双二次方程的基本思路：解高次方程的基本思想是降次，使其转化为一元一次方程或者一元二次方程；降次常用换元法或者因式分解法。
换元法的一般过程如下：1 换元，设x2 y ，将原方程变形为关于y 的一元二次方程：ay2 by c 0(a 0) ；2运用公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3把所求的 y 值回代求出 x 的值，即为方程的解。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法：基本思路：通过“去分母”把分式方程话为整式方程再求解；解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程（注意当分母是多项式时，先分解因式，找出最简公分母）；（2）解整式方程，求出整式方程的根；（3）检验。
可代入最简公分母，若代入后最简公分母为0，则为增根，若代入后最简公分母不为 0，则为原方程的根；也可代入原方程看等式两边是否相等。
换元法解分式方程或分式方程组：若按常规方法解方程得到的整式方程比较复杂，不易求解时，可以采用换元法，把原方程化为一个整式方程或者相对简单的分式方程。
无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程。
整式方程有理方程代数方程分式方程无理方程无理方程解法的基本思路：去根号化无理方程为有理方程；（变形——去根号——解有理方程——检验。
沪教版(五四制)八年级数学下册 第二十一章 代数方程讲义(无答案)
（一） 介绍：整式方程和分式方程统称为有理方程，有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程.（二） 解方程的基本思想：①化分式方程为整式方程②化高次方程为一次或二次方程③化多元为一元④化无理方程为有理方程总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程.（三） 解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法. 板块一：整式方程【例题1】 【基础、提高】解下列关于x 的方程：（1）2(231a x a x -=+）-（2）2(1(12)ax a x -=-）（3） 22(4(52)60k x k x ---+=）第十三讲 代数方程（一）【尖子】解下列方程（1）21)2(1)( 1.5)a x x a -=-≠（（2）(1)42a ax x -=-（3）22(0)b x x a a b a b-+=<<（4）2222()()(0)ax b a bx a b ab ++-=+≠【例题2】 【基础、提高】如果m 、n 为常数，关于x 的方程2(+2)32x km kx n --=，无论k 为何值，方程的解总是12，则m = ，n = .【尖子】解方程：22(1)1x x x +--=【例题3】 【基础、提高】解下列方程：（1）31250x -=（2）43270x -=（3）528033x +=（4）810x +=【尖子】解下列关于x 的方程（a ≠0且b ≠0）（1）20ax b +=（2）30ax b +=（3）20n ax b +=（n 为正整数）（4）2+10n ax b +=（n 为正整数）板块二：分式方程（不要忘记经检验）【例题4】 【基础、提高】解下列方程（1）321273x x x x +-=--（2）715443x x =++-（3）202114x x x x+=--（4）2715326x x x x x -=-+--（5）510211033x x x -=++-【尖子】解下列分式方程：（1）651(1)x x x x +=++ （2）2141111x x x x +-=--+【例题5】 【基础、提高】已知方程22101x x k x x x x+--=++有增根，求k 的值并解方程.【尖子】若方程222312122x b b x x x x +-+=---有增根，求b 的值.【例题6】 解方程：34x x x x-=【例题7】 【基础、提高】 解下列关于x 的方程（1）2211233x x x x +=+-+ （2）22161242x x x x +-=--+【尖子】解下列关于x 的方程：（1）2321x x -=+ （2）26311933x x x x +=---+（3）226123(4)x x x x --=-- （4）2116122312x x x x --=----（5）11118475x x x x +=+----【例题8】 【基础、提高】m 为何值时，分式方程2122212x x x m x x x x --++=-+--的解为负数.【尖子】当a 为何值时，关于x 的方程21212x x a x x x x +-=+-+-的根为正数.【例题9】 【基础、提高】已知3x =是方程1012k x x +=+的一个根，求k 的值和这个方程其余的根.【尖子】若关于x 的方程2211k x kx x x x x +-=--只有一个根，求k 的值.【例题10】 【基础、提高】形如11x a x a +=+的方程的解为：121,x a x a== 解方程：222212219116x x x x x x x +++++=+++【尖子】解下列关于x 的方程：（1）2231712x x x x -+=- （2）22110x x x x+++=【例题11】 【基础、提高】解下列方程（组）（1）2331332x x x x -+=-（2）221812023x x -+=-（3）112151115x y x y x y x y ⎧+=⎪-+--⎪⎨⎪+=⎪-++-⎩（4）3192543132531y x x y +⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪-+⎩（5）6512743xy x y yz y z xzx z ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩（6）222111011828138x x x x x x ++=+-+---【尖子】倒数方程：一个整式方程，按照未知数的降幂排列后，若与首尾两项等距的两项的系数相等，或都互为相反数，这样的方程叫做倒数方程，倒数方程的特点是：如果m 是方程的根，则1m 也是方程的根. 解方程：4322914920x x x x -+-+=解：0x =不是原方程的解，∴方程的等号两边同时除以2x 得229229140x x x x-+-+=/ 设1x y x +=，则22212x y x+=-，则原方程可化为：229100y y -+=. 解得1252,2y y ==，当12y =时，1x =；当52y =时， 1212,2x x == 经检验：12312,,12x x x ===是原方程的解，∴原方程的解是12312,,12x x x === 请按照上述解法解关于x 的方程：432625122560x x x x -+++=【例题12】 【基础】已知0x >，且11x x --=，求21x --的值.【提高】当实数a 、b 满足a b ≠，且0ab ≠时，关于x 的方程(1)(1)(1)(1)222a b a b ab x x x ++--+=+-无解， 求b a a b+的值.【尖子】已知实数x 、y 满足42423x x -=，423y y +=，求444y x+的值.【例题13】 （第十届“五羊杯”初中数学竞赛初三第二（9）题）求方程(x 3-3x 2+x-2)( x 3-x 2-4x+7)+6x 2-15x+18=0全部相异实根.【练习1】 下列方程是分式方程的是（ ） A.5034x x -+= B.11211x x x +=+--. C. 21-= D.关于x 的方程3(2)5124x x m --=【练习2】 当a 取何值时，方程2233x a x x-=---有增根.【练习3】 （1）解分式方程：21421242x x x x x x +-=---+（2）解分式方程：22(1)120x x x x----=【练习4】 （1）解方程：23182)512x x x x-++=（（2）解方程：61257236x x x x x x x x +++++=+++++【练习5】 （1）解方程组：321122323123x y x y ⎧-=-⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩（2）解方程组：13614334326933434y x y x x y y x ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩（3）解方程组11815554x y y x x y y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪-=-⎪+⎩【练习6】（1）已知关于x的方程：24(2)2x x ax x x x+-=--无解，求a的值.（2）当a为何值时，关于x的方程222(2)x x x ax x x x-+--=--只有一个实数根?。
沪教版八年级下册数学知识点梳理 复习提纲
沪教版八年级下册数学知识点梳理复习提纲第二十章一次函数20.1 一次函数的概念一次函数的解析式一般形如 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0.一次函数的定义域是所有实数。
另外，我们把函数 y = c（c 为常数）称为常值函数。
20.2 一次函数的图像我们可以通过列表、描点、连线的方式绘制一次函数的图像。
一条直线与 y 轴的交点的纵坐标称为这条直线在 y 轴上的截距，简称直线的截距。
对于一般形式的直线 y = kx + b（k ≠ 0），其与 y 轴的交点坐标为 (0.b)，截距为 b。
一次函数 y = kx + b（b ≠ 0）的图像可以由正比例函数 y = kx 的图像平移得到。
当 b。
0 时，向上平移 b 个单位；当 b < 0 时，向下平移 |b| 个单位。
此外，一元一次不等式与一次函数之间存在一定的关系，具体可以通过图像来观察。
20.3 一次函数的性质一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）具有以下性质：当 k。
0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大；当 k < 0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小。
对于一般形式的直线 y = kx + b（k ≠ 0），其截距 b 的正负值以及 k 的正负值不同，会影响直线经过的象限。
具体可以通过图像来观察。
20.4 一次函数的应用我们可以利用一次函数及其图像来解决实际问题。
第二十一章代数方程21.1 一元整式方程一元整式方程的一般形式为 ax = 12（a 是正整数），其中x 是未知数，a 是已知数。
在项 ax 中，字母 a 是项的系数，我们把 a 叫做字母系数。
如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程就叫做一元整式方程。
如果经过整理后，一元整式方程中含未知数的项的最高次数是 n（n 是正整数），那么这方程就叫做一元 n 次方程。
其中，次数 n 大于 2 的方程统称为一元高次方程。
代数方程知识点总结
代数方程是代数学中最基本的概念之一，它是描述变量之间关系的数学式子。
代数方程在数学应用中有着非常重要的作用，它被广泛应用于物理、工程、经济学等各个领域。
在本文中，我们将对代数方程的基本概念、性质和解法进行总结和讨论。
一、代数方程的基本概念1. 代数方程的定义代数方程是含有未知数的等式，它由未知数及其系数和常数项组成。
代数方程通常用字母表示未知数，并且要求未知数满足一定的条件。
代数方程的形式可以是线性方程、二次方程、高次方程等。
2. 未知数、系数和常数项在代数方程中，字母表示未知数，常用的字母有x、y、z等。
系数指的是未知数前面的数字或者字母，它们用来表示未知数的倍数。
常数项是方程中不含有未知数的项，它们通常用常数表示。
3. 方程的次数和阶数方程的次数是指未知数的最高幂次，例如，二次方程的次数为2。
方程的阶数是指方程中最高次数的系数，例如，二次方程的阶数是2。
4. 解和解集解是指能够使方程成立的未知数的值，对于特定的方程，可能存在一个、多个或者无解。
解集是指所有解的集合，它可以用集合的形式表示。
二、代数方程的性质1. 方程的等价变形在解方程时，可以对方程进行各种等价变形，比如移项、通分、合并同类项等，方程的解不变。
因此，要灵活运用各种等价变形方法，简化方程的形式，使得求解更加方便。
2. 方程的根与实数根方程的根是指能够使方程成立的数，实数根是指方程的根是实数的情况。
有些方程存在实数根，有些方程则不存在实数根。
3. 方程的次数与解的个数对于n次方程而言，一般情况下，n次方程有n个解，包括重根。
但是根据方程的系数和常数项的取值范围，方程可能存在多个实数根、一个实数根、或者没有实数根。
1. 一元一次方程的解法一元一次方程是向方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的常规解法是利用分配律、移项、通分、合并同类项等方法进行等价变形，从而求得方程的解。
2. 一元二次方程的解法一元二次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
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第二十一章代数方程
21.1 一元整式方程
1、 （a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。
于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程
2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程
3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程
21.2 二项方程
1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样
的方程就叫做二项方程；一般形式为0n ax b +=（0,0a b ≠≠，n 是正整数）
2、 解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根
3、 对于二项方程0n ax b +=（0,0a b ≠≠）
（1）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根
（2）当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根
21.3可化为一元二次方程的分式方程
1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解
2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）
3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用
21.4无理方程
1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程
2、 整式方程和分式方程统称为有理方程
3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程
4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤
5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根
21.5 二元二次方程和方程组
1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程
2、 关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是：220ax bxy cy dx ey f +++++=
（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不是零；当b 为零时，a 与d 以及c 与e 分别不全为零）
3、 仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。
像这样
的方程组叫做二元二次方程组
4、 能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程
5、 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解
21.6 二元二次方程组的解法
1、 代入消元法
2、 因式分解法
21.7 列方程（组）解应用题。