辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考数学试卷

数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
2．函数1
()lg 2
x f x x =-的零点所在区间为（ ）
A ． (0,1)
B ．(1,2)
C ． (2,3)
D ． (3,4)
3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ） A.18种
B.24种
C.36种
D.48种
4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（ ）
A
．B ．2
C ．1
D ．0
5．已知cos (0)()(1)1(0)
x x f x f x x π≤⎧=⎨
-+>⎩，则44
()()33f f +-的值为（ ）
A ．1-
B ．1
2
-
C ．0
D ．1
6．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．sin ||()2cos x f x x =
+ B ．sin ln ||
()2cos x x f x x
⋅=+
C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=
+ D ．cos ()x
f x x
=
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：
设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）
A ．0e m m x ==
B ．0e m m x =<
C ．0e m m x <<
D ．0e m m x <<
8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>
D ．(2020)(0)(2019)f f f >>
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．设全集R U =，集合2
{|,R}A y y x x -==∈，集合2
{|20,R}B x x x x =+-<∈，则（ ）
A ．A ∩B=(0,1)
B ．(2,)A B =-+∞
C ．A ∩
B=(0,+∞) D ． A ∪
B=R
10．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x A ωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为
,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ）
A ．()g x 为偶函数
B ．()g x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．()g x 为奇函数 D ．()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点 11．下列说法正确的是（ ）
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；
B.若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为
1
4
； C.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为
1
9，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为2
3
.
12．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称[],a b 是函数()F x 的“完美区间”．另外，定义[],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-．则（ ）
A ．[0，1]是()f x 的一个“完美区间”
B ．112
2⎡-+⎢
⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”
C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3
D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．已知随机变量ε服从正态分布()
24,N σ，若()20.3P ε<=，则6(2)P ε<<=______． 14． 7
2x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中x 的系数为__________.
15．若2x =-是函数21
()(1)x f x x ax e
-=+-的极值点，则()f x 的极小值为 ．
16．已知函数22,,
(),.
x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩①若1a =，则不等式()1f x ≤的解集为__________；
②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.
（本题第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－5
5
，α∈(0，π)．
(1)求sin (α－π2)－cos (3π
2
＋α)
sin (π－α)＋cos (3π＋α)
的值；
(2)求cos(2α－3π
4
)的值．
18．（本题12分）设函数()x x f x a mb =+，其中,,a m b ∈R ．
（1）若2a =，1
2
b =
且()f x 为R 上偶函数，求实数m 的值；
（2）若4a =，2b =且()f x 在R 上有最小值，求实数m 的取值范围； （3）() 0,1a ∈，
1b >，解关于x 的不等式()0f x >． 19．（本题12分）“新高考方案：312++”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门。

某校根据统计选物理的学生占整个学生的
3
4
；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45
．（1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X ．
①求随机变量2X
=的概率； ②求X 的概率分布表以及数学期望．
20.已知函数()2
2324f x sin x cos x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移
6π个单位，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上的值域．
21. 某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表：
质量指标值M
80M <
80110M ≤<
110M ≥
等级
三等品
二等品
一等品
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）记A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”， 试估计事件A 的概率；
（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三
等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润； （3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的
估计值（精确到0．01）．
22．已知函数：()()2
1ln ,e 12
x f x x a x a g x x =
--=-- （I ）当[]
1,e x ∈时，求()f x 的最小值；
（II ）对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围．
数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1-8: A B C C D B D B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

9：AB ； 10：BD ； 11：BD ； 12：AC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 0.4 14. －280
15. 1-； 16. ①（－∞，0] ②（－∞，2）∪（4，＋∞） 四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解： (1)sin(α＋π2)＝－5
5
，α∈(0，π)
⇒cos α＝－
55，α∈(0，π)⇒sin α＝255
. sin (α－π2)－cos (3π
2＋α)
sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－1
3.。

5分
(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－3
5
. cos(2α－
3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210
.。

10分 18.解：（1）()122x
x f x m ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，所以()()1112122f f m m =+=-=+，
所以1m =，检验，此时()122x x
f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()122x
x f x ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
，
所以()()f x f x -=，()f x 为偶函数；。

4分 （2）()42x x f x m =+，令20x t =>，所以，
设()2g t t mt =+在()0,+∞上有最小值，所以02
m
-
>，m<0；。

8分 （3）()0x x
f x a mb =+>，所以x x a mb >-，所以x
x x a a m b b ⎛⎫=>- ⎪⎝⎭
，
因为()0,1a ∈，1b >，所以()0,1a
b ∈．
（1）0m -≤即m ≥0，解集为R ；
（2）0m ->即0m <，解集为(),log a b m ⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭
．…….12分.
19.解：（1）该校最终选地理的学生为事件A ，
()32147
434510P A =⨯+⨯=；
答：该校最终选地理的学生为7
10
；.。

6分 （2）
①
()2
23
73441
210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
②
()33270101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()12
1373189110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ()2
23
73441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
3373433101000
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭，
()1+2310001000100010E X =⨯⨯+⨯=．答：数学期望为10
．。

12
分
20.解：（Ⅰ）函数()2224f x sin x x π⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭1﹣cos （2x 2π-）
22212216x x sin x cos x π⎛
⎫=-+=++ ⎪⎝⎭．
所以函数的最小正周期为22
T π
π=
=，
令2226
k x k π
πππ≤+
≤+（k ∈Z ），整理得1212
k x k π5ππ-
≤≤π+（k ∈Z ）， 所以函数的单调递减区间为[512
12
k k π
π
ππ-
+
，]（k ∈Z ）．。

6分 （Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移6
π
个单位，
得到函数g （x ）＝2cos （2x 3
6
π
π
-
+
）+1
2216cos x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图象，
由于x ∈44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，，所以22363x πππ-
≤-≤，故12126cos x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭， 所以0≤g （x ）≤3，故函数的
值域为[0，3]．。

12分
21.解：（1）记B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种
产品为一等品”，则事件B ，C 互斥，
且由频率分布直方图估计()0.20.30.150.65P B =++=，
()0.10.090.19P C =+=，
又()()()()0.84P A P B C P B P C =+=+=，
所以事件A 的概率估计为0.84．。

6分
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，
0.65，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为190010650061600261200⨯+⨯+⨯=元．
（3）因为在产品质量指标值M 的频率分布直方图中，
质量指标值90M <的频率为0.060.10.20.360.5++=<， 质量指标值100M <的频率为0.060.1020.30.660.5+++=>， 故质量指标值M 的中位数估计值为0.50.36
9094.670.03
-+
≈．。

12分
22.解：（I ）()2x a
f x x
-'=
(1)1a ≤时，[]()()1,e ,0,x f x f x '∈≥递增，()()min 1
12
f x f a ==-, (2) 2
e a ≥时，[]()()1,e ,0,x
f x f x '∈≤递减，()()2
min
e e 22
f x f a ==-，
(3) 21e a <<
时，x ⎡∈⎣时()()0,f x f x '<
递减，x ⎤∈⎦时()()0,f x f x '>递增，
所以(
)min ln 22
a a
f x f
a ==-- 综上，当()min 1
12
a f x a ≤=
-，； 当()2
min 1e ln 22
a a a f x a <<=--，
当()2
2
min e e 22
a f x a ≥=-，。

6分
（II ）因为对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =成立,
所以()g x ([0,1]x ∈的值域是()([1,e])f x x ∈的值域的子集.
因为()e 1,x
g x '=-
[]()()0,10,x g x g x '∈≥，递增，()g x 的值域为()()[]0,10,e 2g g =-⎡⎤⎣⎦ （i ）当1a ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递增，
又()()2
1e 1,e 222
f a f a =-=-，
所以()f x 在[1,e]上的值域为2
1e
[,2]22
a a --,
所以21
02
e 2e 22a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩
即1
12
a ≤≤， （ii ）当21e a <<
时，因为x ⎡∈⎣时，()f x
递减，x ⎤∈⎦时，()
f x
递增，且()10,0f f
<<，
所以只需()e e 2f ≥-，
即2e 2e 22a -≥-，所以2e e
1142
a <≤-+ （iii ）当2e a ≥时，因为()f x 在[]1e ，上单调递减，且
()()1
102
f x f a ≤=
-<， 所以不合题意.
综合以上，实数a 的取值范围是21e 2e 4,24⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
.。

12。