含参变量广义积分一致收敛的Heine定理
heine定理及其扩展
heine定理及其扩展
Heine定理是解析数论中重要的定理之一，它可以用来证明一些数列的收敛性和发散性。
定理的形式是：如果一个数列有两个子数列，一个是单调递增的，另一个是单调递减的，并且它们都趋于相同的极限，那么这个数列就是收敛的。
近年来，对Heine定理的研究逐渐扩展到更广泛的领域中，涉及到了复变函数、偏微分方程、代数几何等多个数学分支。
例如，在复变函数中，Heine定理被用来证明一些复变函数的极限存在性和唯一性；在代数几何中，Heine定理的扩展被应用于一些代数体的研究。
此外，还有一些涉及到非线性偏微分方程和微分方程组的扩展版本，它们在数学物理和工程学中具有重要的应用价值。
总的来说，Heine定理及其扩展为解析数论以及其他数学分支提供了一些重要的工具，它们在理论和实际问题中都具有广泛的应用。
- 1 -。
heine定理 lebesgue控制收敛定理
heine定理lebesgue控制收敛定理
Heine定理和Lebesgue控制收敛定理是数学分析中的两个重要定理。
Heine定理，也称为Heine-Borel定理，它给出了一个集合是闭集和有界集的充分必要条件。
具体来说，如果一个集合在欧几里得空间中是有界的，那么这个集合一定是闭集。
Lebesgue控制收敛定理是勒贝格积分理论中的重要定理之一。
它提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件。
具体来说，如果对任意>0，存在一个可积函数f'，使得对一切x[a,b]，有|fm(x)-f(x)|< ，那么{fm}实际上由一个可积函数控制住了。
在分析逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时，积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。
但是当一致收敛的定义中的M充分大时，却可以使|fm(x)|< +|f(x)|在[a,b]上可积，从而积分与极限可以交换顺序。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学书籍或咨询专业数学人士。
Heine定理及其应用
目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1 国外研究现状 (1)2.2 国内研究现状 (1)2.3 国内外研究现状评价 (2)2.4 提出的问题 (2)3 Heine定理及其不同结论 (2)3.1 Heine定理的证明 (2)3.2 Heine定理的推广 (4)4 Heine定理的应用 (6)4.1 判断、证明函数极限的存在性 (6)4.2 利用Heine定理求极限 (8)4.2.1 求函数极限 (8)4.2.2 求数列极限 (8)4.3 证明函数极限的性质 (9)4.4 判断函数在某点的可导性 (11)4.5 判断级数敛散性 (12)4.6 对函数()x f的局部利用海涅定理，求函数()x f的极限 (13)4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 (14)5 总结 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (17)5.3 局限性 (17)5.4 努力方向 (17)参考文献 (18)1Heine定理及其应用摘要Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。
它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。
国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。
国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。
比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。
含参变量广义积分一致收敛的Heine定理
含参变量广义积分一致收敛的Heine定理
王秀红
【期刊名称】《鲁东大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(019)004
【摘要】从二元函数一致极限的角度出发,给出含参变量广义积分一致收敛的Heine定理的简单证明及应用.
【总页数】4页(P305-307,312)
【作者】王秀红
【作者单位】烟台师范学院数学与信息学院,山东,烟台,264025
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.含参变量积分的一致收敛和绝对一致收敛 [J], 王铂强
2.含参变量的广义积分非一致收敛的一个判定定理 [J], 郭小春
3.函数项级数一致收敛定理的证明和广义积分收敛的充要条件 [J], 薛访存
4.含参变量的Fuzzy值函数广义积分一致收敛性 [J], 吴传生
5.含参变量广义积分与瑕积分一致收敛的一个判别法 [J], 谢胜利
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含参变量广义积分一致收敛的Heine定理
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广义积分上的一致收敛问题
广义积分上的一致收敛问题刘邓【摘要】文章主要讨论并总结合参变量的广义积分以及一些常规的判别法,展示并举例了Cauchy判别法、M判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法、微分法、级数判别法以及含参量广义积分的Heine定理在实际问题中的运用,同时对各个判别法进行了详细的阐述并对其优缺点简要的说明与归纳,希望对读者们有所帮助.【期刊名称】《湖北成人教育学院学报》【年(卷),期】2017(023)005【总页数】5页(P22-26)【关键词】广义积分;一致收敛;判别法【作者】刘邓【作者单位】江汉大学,武汉430010【正文语种】中文【中图分类】O141我们知道定积分有两个最重要且最基础的限制：①积分区间的有穷性；②被积分函数的有界性,而广义积分是突破其限制的推广，当积分的有穷区间变为无穷区间，我们便得到了无穷积分，而当被积函数有界变为无界时，我们便得到了无界积分，也称为瑕积分。
生活中面临的大多数实际问题经常会突破有限或有界的限制，因此广义积分便有了诞生的意义和必要。
由于许多广义积分的计算非常困难，于是人们希望通过对其性质的判断来为计算带来方便，其中敛散性的判别尤其重要。
一致收敛是收敛的一种“强化”，无论x在定义域上哪一点，有一个固定的N(ε)，当n1，n2>N，有(即一致收敛是指积分在定义域的整体收敛速率趋于平稳，波动较小或没有).根据书上的定理我们可以得知无穷积分和瑕积分的收敛的充要条件本身与x无关，因此，讨论上述两类广义积分没有多大意义，对含参量广义积分的讨论与研究应该更为深入和广泛。
在实际生活中，自然条件远比人为假设要复杂的多，故含参量广义积分的应用范围要比非含参量广义积分的应用范围要广阔的多，而含参量广义积分的计算相应的更为的复杂。
而为了方便人们去计算这类积分，我们希望广义积分和被积函数所具备性质更加优化，故广义积分上的一致收敛就是人们所关注的。
首先我们给出含参量广义积分以及一致收敛的两个具体概念。
第十八章 含参变量的广义积分
第十八章 含参变量的广义积分1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰； (2) 20cos() ()1xy dy x y +∞-∞<<+∞+⎰； (3)1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x+∞≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0xy xe dy +∞-⎰，（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2()x e dx α+∞---∞⎰，（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞-+<<+∞⎰.3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。
求证：0()t f t dt λ+∞⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 220()x F x dy x y +∞=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y+∞=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x xy F x dy y y ππ-=-⎰，(0,2)x ∈.5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()n n dx I a x a +∞+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x--+∞-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰（0,0a b >>）； (2) 0sin ax bxe e mxdx x --+∞-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx xα+∞=+⎰ 和120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰. 11． 20(0)xy e dy x +∞-=>计算傅伦涅尔积分2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和21001cos 2F x dx +∞+∞==⎰⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x+∞⎰； (2) 02sin cos y yx dy yπ+∞⎰； (3)220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t+∞-⎰； (2) 220ln(1)1x dx x +∞++⎰. 14． 证明：(1) 10ln()xy dy ⎰在1[,]b b(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：(1) 10⎰；(2) ⎰；(3)⎰;(4)0a x ⎰ (0)a >； (5)6420sin cos x xdx π⎰； (6)401dx x +∞+⎰； (7)220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；(8) 0π⎰； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x-+∞+⎰；(2) 1⎰(3) 20tan n xdx π⎰； (4) 101ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰(0)α>. 17． 证明： (1) 11()nx e dx n n +∞--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1nx n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：1110(,)(1)b a bx x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞--Γ=⎰ (0)s >.。
广义积分上的一致收敛问题
［ Ｋｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ］ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ｌ ａ ｉ ｚ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｇ ａ ｌ ； ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ； ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｉ ｍ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
我们知道 定积 分 有两个 最 重要且 最基 础 的
判别尤其重要 。
一
限制 ： ①积分 区 间的有 穷性 ； ② 被 积分 函数 的有
界性 ， 而广义 积分 是 突破其 限制 的推广 ， 当积 分 的有穷 区间变为无穷 区间 ， 我们便得 到 了无穷 积 分， 而当被 积 函数 有 界变 为无 界 时 ， 我们 便得 到 了无界积分 ， 也称 为瑕积分 。生活 中面临 的大多
广 义 积 分 上 的 一 致 收 敛 问题
刘 邓
（ 江汉 大学 ， 武汉
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４ ３ ０ ０ １ ０ ）
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［ 摘
要］ 文章主要讨论并 总结合参 变量 的广 积 璐及一 些常规 的判 别 法， 展 示并举例 了 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ
判别 法、 Ｍ判别 法、 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 判 别法、 Ａ ｂ ｅ ｌ 判 别 法 ！ 檄 分 法、级数 判别 法 以及含 参量广 义积分 的
义域的整 体 收敛 速 率 趋 于平 稳 ， 波 动较 小 或 没 有） ． 根据书上 的定理 我们 可 以得 知无 穷积 分 和 瑕积分的收敛 的充 要条 件本 身 与 无 关 ， 因此 ， 讨论上述两类广义积分 没有多大意 义 ， 对 含参量 广义积分的讨论与研究应该更为深入和广泛 。
ｓ ｏ ｍｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｉ ｍｉ ｎ ａ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ，ｄ ｉ ｓ ｐ ｌ ａ ｙ ａ ｎ ｄ ａ ｎ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｏ ｆ ａ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｉ ｍｉ ｎ ａ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ，ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｉ ｍｉ ｎ ａ ｎ ｔ ａ ｎ ａ ｌ —
含参量广义积分
类似于无穷积分的比较判别法，我们有如下的 Weierstrass 判别法： 若 ∀x ∈ X ，y ≥ a 时， 有 f ( x, y ) ≤ M ( y ) ， 并且 对于 x ∈ X 一致收敛。
∫
+∞
a
M ( y ) dy 收敛， 则∫
+∞
a
f ( x, y ) dy
3
命题 1：
Abel 判别法
A′
ξ
A′′
ξ
≤M
∫
ξ
A′
f ( x, y ) dy + M +M ⋅
∫ξ f ( x, y ) dy
A′′
<M⋅
所以，
ε
2M
ε
2M
=ε
∫
+∞
a
f ( x, y ) g ( x, y ) dy 对于 x ∈ X 一致收敛。
证毕
4
Dirichlet 判别法
命题 2：若 1) ∃M > 0 ， ∀x ∈ X ， A ≥ a 时，有 2) 则： ∫
∫
+∞
a
f ( x, y ) dy 对 x ∈ X 一致收敛的充分必要条件为：∀ε > 0 ，∃A > a ， 当 A′, A′′ > A
时， ∀x ∈ X ，
∫
A′′
A′
f ( x, y ) dy < ε 。
一致收敛原理的证明可由上一节得定理 1 直接得到。
18.1
含参量的广义积分
2
Weierstrass 判别法（M 判别法）
证明仿照定理 4 的证明即可。
定理 5：（积分号下求导定理）假设： 1) f ( x, y ) , f x ( x, y ) 在 x ∈ [ a, b ] ， y ≥ α 上连续；
含参量积分一致收敛及其应用
含参量积分一致收敛及其应用1 引言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分, 又名反常积分. 在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件. 因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分, 这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛. 但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了. 在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序. 于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.1. 含参量的广义积分和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。
从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。
1.1无穷限广义积分的定义定义1：设f (x , y ) 为定义在D =[a , +∞)⨯I （I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如⎰+∞af (x , y ) dx 的积分称为含参变量y 的广义积分。
从定义形式决定研究内容：广义积分是否存在-----收敛性问题与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
Heine定理及其应用
目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1 国外研究现状 (1)2.2 国内研究现状 (1)2.3 国内外研究现状评价 (2)2.4 提出的问题 (2)3 Heine定理及其不同结论 (2)3.1 Heine定理的证明 (2)3.2 Heine定理的推广 (4)4 Heine定理的应用 (6)4.1 判断、证明函数极限的存在性 (6)4.2 利用Heine定理求极限 (8)4.2.1 求函数极限 (8)4.2.2 求数列极限 (8)4.3 证明函数极限的性质 (9)4.4 判断函数在某点的可导性 (11)4.5 判断级数敛散性 (12)4.6 对函数()x f的局部利用海涅定理，求函数()x f的极限 (13)4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 (14)5 总结 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (17)5.3 局限性 (17)5.4 努力方向 (17)参考文献 (18)1Heine定理及其应用摘要Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。
它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。
国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。
国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。
比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。
heine定理及其扩展
heine定理及其扩展Heine定理是解析函数理论中一个经典的定理，其主要描述了复平面上一类函数的性质。
该定理关注的是一种特殊类型的函数，称为正交多项式。
在本文中，我们将着重介绍Heine定理及其扩展，并对其进行详细的阐述和解释。
一、Heine定理的定义和基本性质Heine定理主要描述的是：如果一个函数是由一组正交多项式构成的，那么它可以通过这些正交多项式来表示。
这里的正交多项式指的是满足一个特定条件的多项式函数，即它们的内积在整个定义域上都是0。
给定一个有界区间[a, b]和连续函数f，我们可以将其展开成一个正交多项式的系数形式，如下所示：$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_nP_n(x)$，其中，$P_n(x)$是定义在[a, b]上的不同次数的正交多项式，$c_n$是系数。
Heine定理还给出了以下基本的性质：1. 正交多项式基底是唯一的。
2. 如果正交多项式是一组完全基底，那么它们可以通过标准的内积诱导复合内积。
3. 对于有限次多项式，由Heine定理得出的展开式就是唯一的。
二、Heine定理的扩展除了原始的Heine定理之外，还有很多关于正交多项式的扩展定理。
这些扩展定理包括三项，即Faber定理、Riesz-Fischer定理和Weyl定理。
我们将依次对它们进行介绍。
1. Faber定理Faber定理主要关注的是如何“最优”地逼近一个特定函数。
具体来说，它描述了在L2空间中，由正交多项式逼近一个连续函数的一种最优方式。
这种方式可以通过选择函数与其逼近的误差在L2空间中最小化来实现。
2. Riesz-Fischer 定理Riesz-Fischer 定理对正交多项式的逼近做出了更进一步的研究。
它表明，在L2空间中，由一组正交多项式组成的序列（不论其是否连续）所逼近的所有函数，都保持了连续性。
这个结论被证明是非常重要的，因为它统一了在L2空间中使用正交多项式逼近的方法。
论广义积分的收敛性
学校代码： 10722 分类号：O172.2 学号： 1106212120 类别：公开本科毕业论文（设计）题目论广义积分的收敛性（中、英文）The Convergence of Improper integral作者姓名付美专业名称数学与应用数学学科门类理学指导教师杨衍婷提交论文时间二〇一三年五月成绩等级评定摘要广义积分主要包括：无穷限的广义积分、无界函数的广义积分以及含参变量的广义积分. 无界函数的广义积分又可称为瑕积分. 广义积分是定积分突破条件限制的一个推广. 定积分的的主要特点是积分区间是有界点集且被积函数在积分区间上有界，但这些限制条件不能解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分. 广义积分又称为非正常积分或反常积分. 大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件.本文就针对敛散性论述广义积分. 首先简述无穷限广义积分和无界函数广义积分的定义及性质；其次探讨两类广义积分的敛散性，讨论几种比较常用的判别方法和技巧，并举例说明验证；最后讨论含参变量的广义积分的一致收敛性和欧拉积分.关键词：广义积分；收敛；发散；一致收敛性AbstractImproper integral mainly includes improper integral of infinite range, improper integral of unbounded function and improper integral of parameter. Improper integral of unbounded function can be called defect integral. Improper integral is a generalization of breaking out the constraints for definite integral. The mainly characteristics of the definite integral is that the integral region is bounded and integrand is bounded in the region, but some of these restrictions can’t solve the problem actually. So breaking through bondages of two limits can get the improper integral. Improper integral is also known as abnormal integral or improper integral. Most of improper integral cannot be calculated directly. Although some of them can able to compute its value, the calculation process is very troublesome. So judging the convergence of the improper integral becomes a decisive condition to evaluating improper integral. This article mainly discussion the convergence of the improper integral. At the first, the definition and properties of improper integral of infinite range and improper integral of unbounded function is discussed. Secondly, the divergence and convergence of the two improper integrals are studied. At the same time, several discriminant methods and techniques are given, with taking some examples for validation. The last, the uniform convergence of improper integral of parameter and Euler integral can be discussed.Key words: Improper integral; Convergence; Divergence; Uniform convergence目录摘要 (I)Abstract (II)1引言 (1)2无穷限广义积分 (1)2.1无穷限广义积分的定义 (1)2.2无穷限广义积分的性质 (2)2.3无穷限广义积分敛散性的判别 (3)2.3.1无穷限广义积分的定义判别法 (3)2.3.2无穷限广义积分的比较判别法 (4)2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式 (4)2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法 (5)2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则 (6)2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法 (7)2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法 (7)2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法 (8)3瑕积分 (8)3.1瑕积分的定义 (8)3.2瑕积分的性质 (9)3.3瑕积分的敛散性判别法 (9)3.3.1瑕积分的定义判别法 (10)3.3.2瑕积分的比较判别法 (10)3.3.3瑕积分的柯西收敛准则 (11)3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法 (12)3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法 (12)3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法 (12)4含参变量的广义积分 (13)4.1含参变量广义积分的定义 (13)4.2含参变量广义积分的一致收敛性 (13)4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法 (13)4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法 (13)4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法 (14)4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法 (14)5欧拉积分 (16)5.1第一类欧拉积分（Beta函数） (16)5.2第二类欧拉积分（Gamma函数） (16)总结 (17)参考文献 (18)谢辞 (19)咸阳师范学院2013届本科毕业论文（设计）1引言无穷限广义积分积分（简称无穷积分）和无界函数广义积分（简称无界函数积分或瑕积分）统称为广义积分，广义积分又称非正常积分或者反常积分. 单从定积分⎰abdx x f )(可看出积分区域是有界的，被积函数在积分区域上是有界的. 积分dx ⎰∞0x sinx ，⎰∞∞--dx e x 2就不满足这两个限制条件，约束限制了定积分的应用，因此就要摆脱定积分在这两方面的限制，将定积分的概念加以推广，把积分区间有界拓展到无穷限区间积分和被积函数在积分区间上有界拓展到无界函数积分，即瑕积分，这就是广义积分或非正常积分（或反常积分）.近几年，微积分的发展十分迅速，而广义积分是随着高等数学的发展而发展起来的近代数学，是高等数学中重要的一个概念，且作为数学中的一类基本命题，为其他学科解决了许多计算上的难题，广泛应用于各种问题，也对其发展起到了促进作用.广义积分在实际解决问题中有重要的作用，从而对广义积分敛散性的探讨就十分有必要了. 关于广义积分的敛散性的判别在很多文献中都有介绍，广义积分敛散性的判别方法与技巧也多种多样，本论文通过广义积分的定义及其性质来探讨它的敛散性，主要针对无穷限积分和无界函数积分的敛散性及含参变量广义积分的一致收敛性的判别方法进行探讨.2无穷限广义积分2.1无穷限广义积分的定义前面学过了函数)(x f 在有界区间[]b a ,上的定积分⎰ba dx x f )(（黎曼函数）, 其积分区间有限,被积函数在积分区间上有界，但在实际问题的解决中把有界这一限制予以解放，推广到无穷限的积分区间和被积函数无界的积分，是目前我们还模糊的，这些统称为广义积分，广义积分又称为非正常积分（或反常积分）. 广义积分可分为无穷积分与瑕积分.定义1 设函数)(x f 在区间[)+∞,a 内，及对a x ≥有定义，且在任何有限区间[]u a ,内可积，若积分⎰ua dx x f )(在a u >下有意义，当积分在∞→u 时的无穷极限论广义积分的收敛性函数)(x f 在区间[),a +∞无穷积分，记作dx x f dx x f a u )(lim )(⎰∞∞→=. 若lim ()uu a f x dx →∞⎰A =则称无穷积分⎰∞a dx x f )(收敛，且值为A .若⎰∞→u au dx x f )(lim 不存在，则无穷积分⎰∞adx x f )(发散.类似可定义)(x f 在区间(]b ,∞-上的无穷积分，⎰⎰∞--∞→=b a b a dx x f dx x f )(lim )(，若⎰-∞→ba a dx x f )(lim 的极限存在，则积分⎰∞-b dx x f )(收敛，否则发散. 当()+∞<<<∞-b a 时，)(x f 在区间[]b a ,上都可积，则⎰∞∞-dx x f )(称为函数)(x f 在()∞∞-,上的无穷积分，且有⎰⎰⎰∞∞-∞-∞+=a a dx x f dx x f dx x f )()()(（积分区间具有可加性），当积分⎰⎰∞∞-aa dx x f dx x f )(,)(都收敛时，可判定无穷积分⎰∞∞-dx x f )(收敛，否则发散. 2.2无穷限广义积分的性质无穷限广义积分⎰∞a dx x f )(是否收敛取决于积分dx x f ua⎰)(在∞→u 时是否存在极限，从而根据函数极限和定积分的一些性质可推导出无穷积分的性质.性质 1 如果积分⎰∞a dx x f )(在[]b a ,收敛，则积分()a u dx x f a >⎰∞)(也收敛，且有dx x f dx x f dx x f uu a a ⎰⎰⎰∞∞+=)()()(.性质2 如果积分dx x f dx x f aa )(,)(21⎰⎰∞∞均收敛，对C k k ∈∀21,，可推知积分dx x f kdx x f k a a )()(2211⎰⎰∞∞+的和也是收敛的，则由定积分的可加性可以得出：咸阳师范学院2013届本科毕业论文（设计）dx x f k dx x f k dx x f kdx x f k aa a a )()()()(22112211⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞+=+. 性质3 如果积分()()dx x g dx x f a a ⎰⎰∞∞,均收敛，则积分[]dx x g x f a⎰∞±)()(也收敛，且有[]dx x g dx x f dx x g x f a a a ⎰⎰⎰∞∞∞±=±)()()()(.性质4 如果)(x f 在区间[]b a ,上可积，且积dx x f a ⎰∞)(分收敛，则积分dxx f a⎰∞)(必收敛，则成立不等式dx x f dx x f a a ⎰⎰∞∞≤)()(.2.3无穷限广义积分敛散性的判别2.3.1无穷限广义积分的定义判别法可通过无穷限广义积分的定义及极限的方法判别无穷积分的敛散性，适用于无穷积分所对应的定积分且原函数较容易求出的类型.例1 证明无穷积分dx x ⎰∞∞-+211收敛. 证明 因为dx x dx x dx x ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-+++=+02022111111（积分的可加性），设()0,∞-∈a 则有a x dx x dx x a a arctan arctan 111100202==+=+⎰⎰∞-,则2arctan lim 11lim 02π==+-∞→-∞→⎰a dx x a a a 设()∞∈,0b , 从而可得b x dx x dx x b b arctan arctan 111100202==+=+⎰⎰∞, 故201lim 1bb dx x →∞+⎰ limarctan 2b b π→∞==可知积分dx x dx x ⎰⎰∞∞-++020211,11均收敛于2π，所以得211dx x ∞-∞=+⎰ 0220111122dx dx x x πππ∞-∞+=+=++⎰⎰，即积分dx x ⎰∞∞-+211收敛于π. 例2 讨论无穷积分dx x a p⎰∞1收敛性. 解 设1≠p ,对于R b ∈∀且1>b ，则有b a p b b ap b a p x p x dx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-∞→∞→∞⎰⎰111lim 1lim 1论广义积分的收敛性()1,1,111lim 111>⎪⎩⎪⎨⎧<∞-=--=---∞→p p p a a b p p pp b ，当1=p 时则可有===⎰⎰⎰∞→∞∞b a b a a p x dx x dx x dx lim ()()∞=-=∞→∞→a b x b b a b ln ln lim ln lim ，综上可知，当1>p 时，积分⎰∞ap x dx 收敛于11--p a p ， 当1≤p 时，积分⎰∞a p xdx 发散. 由例题可看出定义法判别积分的敛散性非常的简洁方便.2.3.2无穷限广义积分的比较判别法定理1 如果当)(a A A x ≥≥时成立不等式)()(x g x f ≤，且)(),(x g x f 在区间[]b a ,上可积，则由积分dx x g a ⎰∞)(收敛性可推知积分dx x f a⎰∞)(的收敛性，即由积分的发散性dx x f a ⎰∞)(可推知积分dx x f a⎰∞)(的发散性.定理2 如果存在极限()∞≤≤=∞→A A x g x f x 0)()(lim 则在∞<A 时由积分dx x g a⎰∞)(的收敛性可推知积分dx x f a ⎰∞)(的收敛性，而0>A 时积分dx x f a⎰∞)(的发散性可推知积分dx x g a⎰∞)(的发散性 (在∞<<A 0时两积分同时收敛或发散) .2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式积分dx x f a ⎰∞)(收敛的充分必要条件是积分dx x f ua⎰)(在u 增大时保持有上界，有L dx x f u a ≤⎰)(（L 为常数），若条件不满足，则积分dx x f a ⎰∞)(有值∞.定理3 如果)(),(x g x f 在区间[]b a ,上可积，0)(>x g ，且c x g x f x =∞→)()(lim ，则 ()i ∞<<c 0时，积分dx x g dx x f a a ⎰⎰∞∞)(,)(同敛态；()ii 0=c 时，积分dx x g a ⎰∞)(收敛可知dx x f a⎰∞)(收敛；()iii ∞=c 时，由dx x g a⎰∞)(发散可知dx x f a⎰∞)(也发散.定理4 对于非负)(x f 的，如果λ=∞→)(lim x f x px 存在，且1>p ，则积分dxx f a⎰∞)(收敛；若0)(lim >=∞→μx f x p x 或∞=∞→)(lim x f x px ，且1≤p ，则积分dx x f a⎰∞)(发散.例3 判别积分dx e x ⎰∞-12的收敛性.解 当1≥x 时，由积分dx x x⎰∞-1收敛知积分dx e x ⎰∞-12也收敛.例4 判别积分dx x x x⎰∞+11cos 的收敛性. 解 因为()∞<≤+≤+x x x x x x 1111cos ，并且极限11lim 11lim 23=+=+∞→∞→x xx x x x x ，在这里123>=p ，从而积分dx x x ⎰∞+111收敛，故积分dx x x x ⎰∞+11cos 收敛.运用比较判别法不需求出积分所对应的定积分的函数形式，只需通过适当的放缩把所求的问题转移到一些简单的积分上或已知其收敛性的积分上，从而，放缩就成为计算的关键.2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法定理5 设)(x f 在区间[)∞,a 上有定义，在区间[]b a ,可积，则)(i 当,1)(px x f ≤[)∞∈≤,,1)(a x x x f p ，且1>p 1>p 时积分dx x f a⎰∞)(收敛；)(ii 当p x dx x f 1)(≥，[)∞∈,a x ，且1≤p 时积分dx x f a⎰∞)(发散.定理6 设)(x f 在区间[)∞,a 上有定义，在区间[]b a ,上可积，且lim ()p x x f x →∞λ=, 则)(i 当1p >, 0λ<<∞时，积分dx x f a⎰∞)(收敛；)(ii 当1p ≤, 0λ<≤∞时，积分dx x f a⎰∞)(发散.例5 判别积分dx e x x-∞⎰12和积分dx x x ⎰∞+0521的收敛性.解 对R ∈∀α有0lim lim 22==⋅⋅+∞→-∞→x x xx ex ex x αα，由柯西判别法定理6()1,2==λp 知积分dx e x x-∞⎰12收敛. 因为111lim1lim 55221=+=+⋅∞→∞→x x x x x x , 根据柯西判别法定理6)1,21(==λp 知, 积分dx x x ⎰∞+0521发散.2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则定理7 无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛的充要条件是：对于0>∀δ，有a M >，当M m m >>'''时，δ<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f m m m am a'''''')()()((柯西收敛准则是研究数列函数敛散性的重要方法，同时也是研究无穷积分敛散性的重要方法) . 例6 设)('),(x g x f 在a x ≥上连续，,0)(lim ,0)('0=≤→x g x g x 则M dx x f ba≤⎰)(（其中0,>∈M C M ）讨论积分dx x g x f a)()(⎰∞的敛散性.解 设对a >>∀'''δδ有⎰⎰≤≤=ηδδδδηδδ''''''',)()'()()(dx x f g dx x g x f ，则=⎰ηδ')(dx x f ⎰⎰⎰⎰+≤-'')()()()(δηηδaaaadx x f dx x f dx x f dx x f 又M dx x f ba ≤⎰)(则Mdx x f 2)('≤⎰ηδ故)'(2)()('''δδδMg dx x g x f ≤⎰，因为0)(lim 0=→x g x ，则对0>∀ε有a u >，当u ≥δ时，Mg 2)(0εδ<≤，且当u >>'''δδ时，εεδδ=≤⎰MMdx x g x f 22)()('''由柯西收敛准则知dx x g x f a)()(⎰∞收敛.2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法定理8 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，则无穷积分dx x f a⎰∞)(也收敛.定义2 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，则称无穷积分dx x f a⎰∞)(绝对收敛.定义3 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，但不绝对收敛，称积分dx x f a⎰∞)(条件收敛.定理9 积分dx x f a⎰δ)(关δ于单调递增，则积分dx x f a⎰∞)(收敛的充要条件是dx x f a⎰δ)(存在上界.由定理可知，无穷积分dx x f a⎰∞)(绝对收敛，则积分dx x f a⎰∞)(必收敛，但收敛的无穷积分不一定绝对收敛.例7 证明积分)0,,(sin 0>∈⎰∞-αβαβαC xdx e x 绝对收敛.证 因为x x e x e ααβ-≤sin ，所以a e a dx e xx 11=-=∞-∞-⎰αα, 故知积分dx x e x ⎰∞-0sin βα收敛，再由定理8知积分xdx e x βαsin 0⎰∞-绝对收敛.2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法定理10 设函数)('),(x g x f 在a x ≥上连续，若（1）0)('≤x g 且0)(lim 0=→x g x ；（2）0,>∈M C M ，使a b ≥∀有M dx x f ba≤⎰)(则无穷积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.例8 证明积分dx x xa⎰∞sin 收敛. 证明 当0=x 时有1sin =xx，则x x s i n 在[)∞,0上连续，对0>∀ε，x x sin 在[]ε,0上可积. 又函数x x f 1)(=的导数21)('xx f -=在[)∞,1上是连续的，且01lim =∞→x x 则对0>∀ε有2cos 1cos sin 1≤-=⎰εεxdx ，根据狄利克雷判别法知积分dx x x⎰∞sin 收敛. 2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法定理11 设函数)('),(x g x f 在a x ≥上连续，若（1）dx x f a⎰∞)(收敛，（2）)(x g 非负且0)('≤x g ，（3）a x ≥∀有M x g ≤)(（其中0,>∈M C M ）则可知无穷积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别两个函数相乘的无穷积分的敛散性，也是判别无穷积分是否是条件收敛的方法之一.3瑕积分3.1瑕积分的定义定义4 设)(x f 在区间(]b a ,上有定义，点a 的任意右邻域内无界，但在任何区间[](]b a b ,,⊂δ上有界可积，若极限M dx x f ba=⎰+→δδ)(lim 存在，称极限为无界函数)(x f 在区间(]b a ,上的广义积分，记作M dx x f ba=⎰)(，且无界广义积分dx x f ba⎰)(收敛于M ，若极限不存在，则无界广义积分dx x f ba⎰)(发散. 被积函数)(x f 在点a 附近是无界的，故点a 成为)(x f 的瑕点，从而无界广义积分dx x f ba⎰)(又称瑕积分.类似的可定义瑕点为b 时的瑕积分，函数)(x f 在区间[)b a ,上有定义，在b 的任意左邻域内无界，但在[)[)b a a ,,⊂∀δ上可积则有dx x f dx x f abba ⎰⎰-→=δδ)(lim )(，极限dx x f ab )(lim ⎰-→δδ存在时积分dx x f ba⎰)(收敛，极限不存在积分发散. 当函数)(x f 的瑕点()b a c ,∈，)(x f 在[)(]b c c a ,, 上有定义，在点c 的任意邻域内无界，但在[]δ,a ∀[)[](]b c b c a ,,,,⊂⊂γ上都是可积的，则有瑕积分=+=⎰⎰⎰b ac abcdx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+-→→+bacc dx x f dx x f γδγδ)(lim )(lim ，当右边两个瑕积分同时收敛时，才可判定左边的瑕积分收敛. 若b a ,都是)(x f 的瑕点，且)(x f 在[]()b a ,,⊂γδ上可积，则⎰=badx x f )(dx x f dx x f dx x f dx x f ba bcc a)(lim )(lim )()(-+→→+=+=⎰⎰γδ，当右边的两个瑕积分同时收敛时左边的瑕积分收敛. 3.2瑕积分的性质瑕积分的理论与无穷积分的理论是平行的，从而得出瑕积分的性质：性质1 设函数)(),(21x f x f 的瑕点同为a x =，C k k ∈∀21,，当瑕积分1(),baf x dx ⎰2()baf x dx ⎰都收敛时，瑕积分dx x f kdx x f k baba)()(2211⎰⎰+必收敛，从而有11()bak f x dx +⎰221122()()()b bbaaakf x dx k f x dx k f x dx =+⎰⎰⎰.性质2 设函数)(x f 的瑕点为a x =，()b a c a x ,,∈=为任一常数，则瑕积分dx x f dx x f caba⎰⎰)(,)(同敛态，有⎰⎰⎰+=b a c a bcdx x f dx x f dx x f )()()(.性质3 设)(x f 的瑕点为a x =，在(]b a ,的∀[]b ,δ上可积，当dx x f ba⎰)(收敛，积分⎰b adx x f )(收敛，则dx x f dx x f bab a⎰⎰≤)()(.3.3瑕积分的敛散性判别法因为瑕积分的敛散性与无穷积分的敛散性是平行的，则类比无穷积分的敛散性来讨论瑕积分的敛散性.3.3.1瑕积分的定义判别法用定义法可判别较简单的瑕积分，适用于瑕积分对应的定积分易于解出原函数的类型，简单快捷.例9 判断瑕积分()⎰-ba a x dxα的敛散性. 解 由题可知被积函数的瑕点为a x =，则由瑕积分的定义可得到()=-⎰ba a x dxα()()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--≠----=--=----→⎰1,log 1,111lim 111αδαδααααδαδαδaa b a a b a x a x dxbba ， 则当1<α时，()()()ααδαααδ--=-------→11lim 111a b a a b a综上可知，当1<α时积分()⎰-ba a x dxα收敛，当1≥α时，极限不存在，故积分发()⎰-baa x dxα散. 3.3.2瑕积分的比较判别法定理12 设函数)(),(x g x f 在区间(]b a ,上有定义，瑕点同为a x =，在[]b ,δ(]b a ,⊂可积，且[]b a x dx x g dx x f ,,)()(∈≤，当dx x g ba⎰)(收敛，dx x f ba⎰)(必定收敛.dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba⎰)(必定发散.从而由定理可得出：推论1 如果0)(>x g ，c x g x f ax =+→)()(lim ，则（1）∞<<c 0∞<<c 0，dxx f ba⎰)(与dx x g ba⎰)(同敛态. （2）0=c ，由dx x g ba⎰)(可知dx x f ba⎰)(收敛. （3）∞=c ，由dx x g ba⎰)(可知dx x f ba⎰)(发散.推论2 设函数)(x f 在(]b a ,上有定义，瑕点为a x =，在[](]b a b ,,⊂δ上可积，则（1）()p a x x f -≤1)(，10<<p 时知dx x f ba⎰)(收敛. （2）()p a x x f -≥1)(，1≥p 时知dx x f ba⎰)(发散.推论3 设函数)(x f 在(]b a ,上有定义，瑕点为a x =，在[](]b a b ,,⊂δ上可积，若μ=-+→)()(lim x f a x pax ，则可得（1）∞<≤<<μ0,10p 时知dx x f ba⎰)(收敛. （2）∞≤<≥μ0,1p 时知dx x f ba⎰)(发散.例10 证明瑕积分dx x x⎰10ln 收敛，dx x x ⎰21ln 发散. 证明 瑕积分dx x x ⎰1ln 的瑕点为0=x ，由推论3知当143<=p 时，x x x x ln lim 430⋅=→λ 0)4(lim ln lim41041==-=→-→x xx x x ，从而知瑕积分dx x x⎰10ln 收敛. 又瑕积分dx x x ⎰21ln 的瑕点为1=x ，当1=p 时，1ln 1lim ln )1(lim 11=-=⋅-=→→x x x x x x x λ，从而瑕积分dx x x ⎰21ln 发散. 运用比较法讨论瑕积分的敛散性时，要进行适当的放缩，而熟悉公式后问题就变得相对简单了. 3.3.3瑕积分的柯西收敛准则定理13 瑕积分dx x f ba⎰)(瑕点a x =收敛的充要条件是：0,0>∃>∀δε，当()b a a a <<+∈δδμμ,,2,1时，有ε<=-⎰⎰⎰2112)()()(u u b u b u dx x f dx x f dx x f .例11 证明积分⎰-121x xdx 收敛，dx xx ⎰1ln 1发散. 证明 易知积分⎰-121xxdx 在被积函数的区间(]1,0上是连续的，且瑕点为1=x ，取)10(,12<<-=δδe ，对0>∀ε当()1,',''δ∈u u 时，22'''2''1'11u u x xdx u u ---=-⎰，22''1'1u u ---e e u =-+<-<11'122，由柯西收敛准则知瑕积分⎰-121x xdx 收敛. 知瑕积分dx xx ⎰1ln 1的被积函数在(]1,0上连续，瑕点为0=x ，对0>∀δ当()δ,0',''∈u u 时，()()()''log ln 'ln ''ln ln 'ln ln ''ln ln ln 1''''u u u u u dx x x u u u ==-=⎰因为'''u u >，则1''log '>u u ，从而()1ln ''log ln '>u u ，即1ln ln 1'''>⎰u u dx x x ，故由柯西收敛准则知瑕积分⎰1ln xx dx发散. 柯西收敛准则与定义法比较起来判别积分敛散性时稍复杂些. 柯西收敛准则主要研究的是数列.3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法定理14 积分dx x f ba⎰)(收敛时称瑕积分⎰badx x f )(绝对收敛，收敛但不绝对收敛的瑕积分称条件收敛.瑕积分的收敛与绝对收敛是同理相通的. 3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法定理15 设函数)('),(x g x f 在区间b x a ≤≤上连续，若：（1）0)('≤x g 且0)(lim 0=→x g x ，（2）0,>∈M C M 使对一切b a <<δ有M dx x f a≤⎰δ)(，则瑕积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法定理16 设函数)('),(x g x f 在b x a <≤上连续，若：（1）dx x f ba⎰)(收敛，（2）0)('≤x g （)(x g 非负），（3）0,>∈M C M ，使对一切b x a <≤有M x g ≤)(则瑕积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.狄利克雷判别法、阿贝尔判别法判别两个函数相乘时积分的敛散性，也是判别瑕积分收敛的方法.4含参变量的广义积分4.1含参变量广义积分的定义定义5 二元函数),(u x f 在区域()βα≤≤≤≤ℜu b x a ,上有意义，[]βα,∈∀u ，无穷积分dx u x f a⎰∞),(收敛，积分中的参变量u 的函数可表示为dx u x f u a⎰∞),()(φ，称无穷积分dx u x f a⎰∞),(为含参变量的无穷积分.定义6 如果给定的0>∀ε如何小，且0A ∃，当0A A >时，有δ<⎰∞Adx u x f ),(则积分dx u x f a⎰∞),(在[]βα,上一致收敛.4.2含参变量广义积分的一致收敛性 4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法定理17 无穷积分dx u x f a⎰∞),(在区间[]βα,上一致收敛的充要条件：0>∀ε，a M >∃，当M >>ημ时有εμημη<=-⎰⎰⎰∞∞dx u x f dx u x f dx u x f ),(),(),(. 关于广义积分的一致收敛性，与函数级数的情况类似. 4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法定理18 设函数),(x t f 在[)∞⨯,a D 上连续，函数)(x g 在[)∞,a 上连续，且[)∞∈∈∀≤,,),(),(a x D t x g x t f ，如果积分dx x g a⎰∞)(收敛，则含参变量广义积分dx x t f a⎰∞),(对D t ∈一致收敛.对于条件收敛积分的一致收敛性有狄利克雷和阿贝尔判别法. 4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法定理19 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞∈,a D 上连续，如果)(i 对D t ∈∀，函数),(x t f 关于x 单调，当∞→x 时，函数),(x t f 对D t ∈一致收敛于0；)(ii 部分积分⎰badx x t g ),(对b t ,一致有界，即0>∃M ，使a b D t M dx x t g ba≥∈∀≤⎰,,),(，则积分⎰∞adx x t g x t f ),(),(对D t ∈一致收敛.4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法定理20 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞∈,a D 上连续，如果 )(i 对每一个取定的D t ∈，函数),(x t f 关于x 单调，且[),,,,),(∞∈∈∀≤a x D t K x t f )(ii 如果有积分dx x t g a⎰∞),(对D t ∈一致收敛，则dx x t g x t f a),(),(⎰∞对D t ∈一致收敛.例12 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞⨯,a D 上连续，积分dx x f a⎰∞)(一致收敛，部分积分dx x t g b a⎰),(对b t ,一致有界，即0>∃M ，使a b D t M dx x t g ba≥∈∀≤⎰,,),(，求积分dx x t g x t f a),(),(⎰∞一致收敛.解 对a u u >>∀'''，有⎰⎰>>='''')'''(,),()',(),(),(u u u u u dx x t f u t g dx x t g x t f ηη，又可得M dx x t f dx x t f dx x t f dx x t f dx x t f u aaau au 2),(),(),(),(),('''≤+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰ηηη，从而得则),'(2),(),('''t u g M dx x t g x t f u u ≤⎰对A ∃>∀,0ε，当βα≤≤≥t A x ,时，则可以得到Mx t g 2),(ε≤对βα≤≤∀t 当A u u ≥>'''时有εε=⋅<⎰MM dx x t g x t f u u 22),(),('''. 所以由柯西收敛准则知，积分dx x t g x t f a),(),(⎰∞一致收敛.例13 证明积分dx x e e bxax ⎰∞---0)0(>>a b 一致收敛. 证明 dx x e e bx ax ⎰∞---0ab ydy y dx e dy dy e dx babab a xyb a xy lnln 100=====⎰⎰⎰⎰⎰∞--∞ 因为积分dx e xy ⎰∞-0对于[]b a y ,∈一致收敛（由维尔斯特拉斯判别法判定），则积分dx x e e bxax ⎰∞---0一致收敛. 例14 证明积分dx x bxax ⎰∞-02cos cos )0(>>a b 一致收敛. 证明 dx x bx ax ⎰∞-02cos cos ⎰⎰⎰⎰∞∞==00s i n s i n dx x xydy dy x xy dx ba ba ，作变元替换y x λ=，有 2sin sin 00π===⎰⎰∞∞du u u dx x xy 从而dx x bx ax ⎰∞-02cos cos )(2a b -=π因为积分⎰∞0sin dx x xy 对[]b a y ,∈一致收敛（狄利克雷判别法判定）积分dx x bxax ⎰∞-02cos cos 一致收敛. 例15 设函数在区间上连续且可积，求dx x g e ax a )(lim 0⎰∞-→.解 对于取定的一点[]δ,0∈a ，函数ax e x a f -=),(关于x 单调，从而有1),(≤x a f ，[][)∞∈∈∀,0,,0x a δ又知积分dx x g ⎰∞)(是收敛的，则由阿贝尔判别法可以知道积分dx x g x a f )(),(0⎰∞对[]δ,0∈a []δ,0∈a 一致收敛，从而函数dx x g ea ax)()(0⎰∞-=ϕ在[]δ,0连续，则)0()(lim 0ϕϕ=→a a ，即dx x g dx x g eaxa ⎰⎰∞∞-→=00)()(lim .5欧拉积分5.1第一类欧拉积分（Beta 函数）()()0,0,1),(111>>-=B ⎰--q p dx x x q p q p .例16 证明),(),(p q q p B =B .证明 令y x -=1则()()()⎰⎰⎰-------=--=-=B 1110111111111),(dy y y dx y y dx x xq p p p q p q p),(p q B =，可知B -函数对于p 和q 是对称的.5.2第二类欧拉积分（Gamma 函数）0,)(01>=Γ-∞-⎰δδδdx e x x .例17 证明)()1(δδδΓ=+Γ)0(>δ.证明 使用第二类欧拉积分并且运用分部积分法证明，由题得dx e x x -∞⎰=+Γ0)1(δδ)()(lim lim lim lim 0110δδδδδεδεδεεδεΓ==+-==-∞----→∞→-→∞→⎰⎰⎰dx e x dx e x ex dx e x x xa ax a xa a .B -函数与Γ-函数的关系：)2()1()1()!1(!!)1,1(++Γ+Γ+Γ=++=++B q p q p q p q p q p . 上述两个非初等函数的收敛性是由含参变量的积分来确定的，其应用已遍及数学、物理、化学等多门学科.总结本论文根据广义积分即非正常积分（或反常积分）的定义与性质，探讨了广义积分的敛散性及判断敛散性的的方法与技巧，举例使判断方法和计算技巧更直观易懂. 从本论文的讨论知，广义积分敛散性的判别方法有定义法、比较判别法及其极限形式、柯西判别法、绝对收敛及条件收敛判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，准确运用判别法可以使我们更快更简单的判别广义积分的敛散性，以提高计算的速率，快速解决实际中的积分问题.数学的研究是无止尽的，广义积分敛散性的判别方法与技巧也会有更进一步的推广与研究，因此我们应该不断努力，加强学习研究，更多的深入研究这些方法，体会到数学之美，更好的融入数学的世界中.参考文献[1]董立华,叶盼盼.关于含参量广义积分一致收敛性的讨论[J].枣庄学院学报,2008, 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26.[16]刘维江.广义积分敛散性判别法的应用[J].安顺师专学报(自,1995,15(04):25-30.[17]杨洪德,张长春.一个广义积分的计算及其应用[J].河南城建高等专科学校学报,1999,8(02):59-61.[18]钱学明.一类含参变量的广义积分的计算[J].西昌学院学报,2008,22(01):41-47.[19]袁德美,陈朝舜.常义积分、两种广义积分和无穷级数收敛比较[J].渝州大学学报(自然科学版),2001,18(02):10-13.[20]王永安.广义积分:定积分在极限思想下的自然延伸[J].西安教育学院学报,2004,19(03):72-74.谢辞本论文从选题到搜集查阅资料文献，从撰写提纲到正文的修改过程中得到了杨衍婷老师的认真指导和热心帮助，她为人热情，认真负责，帮我整理论文写作思路并给予我查找资料的方法和渠道，对我论文中存在的问题精心指导. 随着论文的成稿，也使我也有了成就的感动.论文从选题、定题、查阅资料、整理材料、撰写提纲、初稿的完成、论文的修改、定稿，杨老师始终给予我耐心的指导与帮助，因为有了老师们的鼓励与帮助，才使我的毕业论文顺利完成，在这里我深深的感谢杨衍婷老师. 最后感谢在我的大学生活中给我教授课程的所有老师，是老师让学习到了丰富的知识，让我了解知识的力量，让我学会了做事与做为人.由于本人水平有限，若有不足和缺漏之处恳请批评指正.。
关于含参量广义积分一致收敛性的讨论
都 有
Ｉ ｆ
，，ｄ 一， ）Ｉ＜ ｓ ，） ｙ （
则称积分 Ｉ
＋∞
，） 在 数 集 Ｅ上 局 部 一 致 收 敛 于 ， ， 称 局 部 一 致 收 敛 ． ｙ （ 也 ）
，ｔ ～
如日 １ －在（， 一） （） Ｊ － １ ＋ 上局部一致收敛；（） 上 ■ ｙｙ ０ ＋ ） Ｉ１ Ｖ ｖ ． ７ 十 在（， ｄ
， ） 在 ［ ， ］上一 致 收敛 铮 对 任 意 给 的单 调 函数 ｙ ａｂ
， 在［ ｂ ） ａ， ］上 一 致 收 敛 ． ，） 在 ［ ｂ ） ， ａ， ］上 一 致 收 敛 ， ＶＢ ＞ ０和 任 意 给 则
的递增 数 列 Ａ 一 ＋ｏ 函数 列 （ ＝ Ｊ 。， ）
于＋ 递增数 Ａ｝其中Ａ ＝ ）函 ∞的 列｛ｎ（ ｌ ｃ， 数项级数 Ｊ
上 一致 收敛 ．
，ｄ ｙｙ ）
１ 在［， ， ） ａｂ ｎ （ ］
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 ３ 含参 量 广 义 积 分 Ｊ
， ） 在 区 间 Ｉ 一 致 收敛 的充 要 条 件 是 ： ｙ 上
ｆ Ｌｆｘｙｄ ＝０ ） （ ， ｙ ） Ｉ ・
述 相 关 文 献 的基 础 上 进 一 步 讨 论 各 种 一 致 收敛 之 间 的关 系 ． 为 了方 便 ， 叙 述 有 关 定 义 ． 先
定义 １
一
设积分 ｆ
，） ｙ在数集 Ｅ上 收敛 于函数 ， ）， ｙｄ （ 若对任 给的正数 占 任 ，
实 数 Ａ ＞ Ｃ及 Ｅ 上 任 一 点 … 总存 在 正 数 ６及 实 数 Ａ。＞ Ａ， 得 对 Ｖ ∈ （ ， ｎ 使 。 艿） Ｅ，
ｌ ｈ—ｄ ｎ ＠ １ ３． ｏ ． ｏｇ ６ ｃｒ ｎ
含参量瑕积分一致收敛性的判定
d
c
f ( x, y )dy
x 的 0 ， 使 得 当 0 时 ， 对 一 切
f ( x, y ) 在区域 R1 a, b c, d 上有定 义。若对 x 的某些值， y d 为函数 f ( x, y ) 的瑕点（以下
定义 1 设 的含参量瑕积分未加说明都同此） ，则称
在
a, b 上一致收, y)dy
d
d
f ( x, y)dy
1 知对任给的
d
≤
d
f ( x, y )dy
d
d
f ( x, y )dy 。
0 d c ， 当 0 时，对一切 x a, b ，总有
(9)
M 2 ， M 其中 在 d 和 d 之间。 M M
consistentastringency现行的数学分析教材及文献中仅给出了含参量无穷限积分一致收敛性的判定定理忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定其实两者之间是同中有异的它们在叙述和证明中都存在着不同之处因此弄清它们的异对学习含参量瑕积分是很有必要的
第 30 卷第 5 期 Vol.30 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
上一致收敛。
d 时，对参量 x ， g ( x, y ) 一致收敛于 0。则含参量
d
故对任意 x
瑕积 c
f ( x, y ) g ( x, y )dy 在
a, b ，由积分中值定理和(10)、(11)可得：
M
x a, b ，存在正数 M 0 ，有
第十八章含参变量的广义积分
第十八章 含参变量的广义积分一 一致收敛的定义定义1 设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，称()(,)aI y f x y dx +∞=⎰含参变量的无穷积分。
定义2设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，若()000 , A A a εε∀>∃=>, 当0',A A A >时,对一切[],y c d ∈，成立'(,)A Af x y dx ε<⎰或(,)Af x y d x ε+∞<⎰。
就称含参无穷积分(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
定义3设(,)baf x y dx ⎰对于[],c d 上的每一y 值，以x b =为奇点的积分存在。
若()000 , 0εδδε∀>∃=>,当00,'ηηδ<<时，对一切[],y c d ∈，成立'(,)b b f x y dx ηηε--<⎰或(,)bb f x y dx ηε-<⎰，就称含参无穷积分(,)baf x y dx ⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分(,)af x y dx +∞⎰收敛。
定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()F x ，使得()(),,,f x y F x a x c y d ≤≤<+∞≤≤如果积分()aF x dx +∞⎰收敛，那么(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
例：证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx x xy在+∞<<∞-y 内一致收敛。
三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理定理 2 设函数),(y x f 在[ ,; , ]a c d +∞上连续，(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛，那么()(,)aI y f x y dx +∞=⎰是[],c d 上的连续函数。
含参变量无穷积分的一致收敛性
含参变量无穷积分的一致收敛性论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等)及其性质.关键词：含参变量无穷积分一致收敛判别法无穷积分⎰+∞adxxf)(与级数∑∞=1nnu的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上是平行的，不难想到，含参变量无穷积分⎰+∞adxyxf),(与函数级数()∑∞=1nnxu之间亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域I上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解.1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法我们很自然的可以想到运用定义来证明.定义 设∀∈y 区间I ,无穷积分()⎰+∞adx y x f ,收敛,若∀ε>0,0A ∃(通用)>0,∀0A>A ,有|(,)(,)Aaaf x y dx f x y +∞-⎰⎰dx |=|(,)Af x y dx +∞⎰|ε<,则称无穷积分()⎰+∞adx y x f ,在区间I 一致收敛.用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ，方法常常是采取适当放大的方法.例 1[]1证明：无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[a ，+∞]（a >0）一致收敛，而在（0，+∞）上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axye dt e xy t dx y y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令ε),,0(，对,0>∀ε解不等式ε<-Ay e ，有y A ε1ln>,取yA ε1ln0=，则0A A >∀，有ε<⎰+∞-Axydx ye，因此，dx ye Axy ⎰+∞-在（0，+∞）是收敛的，但不能断定是一致收敛的，因为我们所找到的0A 不仅跟ε有关，而且与),0(+∞∈y 有关.事实上，dx ye Axy ⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的，只需取=εe21，,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=A y A A A ，则01''''ε>==---⎰e e dx e y y A xy ，但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0>a ），由不等式： y a ≥,有Ay Aa e e --≤,解不等式Aa e ε-<,有1lnA aε>,于是取yA ε1ln=，0A A >时，对一切[)+∞∈,a y ,有ε<≤=--+∞-⎰Aa Ay Axy e e dx ye ，所以， dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）一致收敛. 此题中，我们还可以计算出dx ye xy ⎰+∞-0在),0(+∞上的收敛值.事实上，对任意),0(+∞∈y ，都有ξξy xy e dx ye ---=⎰10，所以,1)1(lim lim 0=-=-+∞→-+∞→⎰ξξξξy xy e dx ye ，即dx ye xy ⎰+∞-0在（0，+∞）收敛于1.定理 1[]2（柯西一致收敛准则）无穷积分dx y x f a⎰+∞),(在区间I 一致收敛∃>∀⇔,0ε0A ,0>1A ∀0A >与有,,02I y A A ∈∀>ε<⎰21),(A A dx y x f .定理 2[]3（魏尔斯特拉斯 M 判别法）若I y B x B ∈∀>∀>∃,,0，有 ),(),(y x F y x f ≤, 且无穷积分()dx y x F a ⎰+∞,收敛，则无穷积分()⎰+∞adx y x f ,在区间I 一致收敛.该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法，但这种方法有一定 的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理2来判别。
广义含参变量积分
第二章 含参变量积分第六节 含参变量的积分4-6-2 广义含参积分第十六讲 广义含参变量积分课后作业：阅读：第四章 第六节: 含参变量积分 pp.135---141 预习：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 作业: 1. 证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛.(1)+∞-⎰x e dx s x ()a s b ≤≤;(2)dx x e n tx 202-+∞⎰()00<≤<+∞t t .2. 利用积分号下求导的定理及22+∞⎰+=dx y x yπ()y >0.证明21122212+∞+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰+=-dx y x n n y n n ()()!!()!!π()y >0 3. 利用积分号下求导的定理及tdx etx π212=-∞+⎰ ()t >0 计算积分.dx x entx 202-+∞⎰.4. 计算积分22+∞--⎰-e e xdx ax bx()a b >>00,.4-6-2 广义含参积分含参积分⎰∞adx y x f ),(或⎰badx y x f ),(中被积函数在[]b a ,上是无界函数时, 就称为广义含参变量积分。
由广义含参积分定义的函数在实际使用得以一般含参积分更广泛，但在研究其性质时复杂一点。
1) 广义含参变量积分的收敛性与一致收敛性逐点收敛概念 设函数f x y (,)在带域[)[]D a c d =+∞⨯,, 上有定义, 如果点在[]y c d 0∈,处, 广义积分cA aAf x y dx f x y dx +∞→+∞⎰⎰=(,)lim(,)00收敛, 就称无穷限含参量积分af x y dx +∞⎰(,)在点y 0处收敛, 否则就称它在y 0点发散； 如果在区间[]c d ,上每一点都收敛, 则称无穷限含参 变量积分在[]c d ,上收敛，这样就在[]c d ,定义了一个上的函数I y f x y dx a()(,)=+∞⎰.● 一致收敛概念 若∀>∃>εε000,() A , 当0A A >时, 恒有()ε<-⎰y I dx y x f Aa),(, []∀∈y c d ,,则称无穷限含变量积分af x y dx +∞⎰(,)在[]d c ,上一致收敛于()y I ;或简单地说: af x y dx +∞⎰(,) ( 关于[]y c d ∈, ) 一致收敛。
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使用有限覆盖 6 ( . ! 3 , M .关于 O 是单调递增且 7 ( O ! 3 ,; 7 ( 3 , ( O;? <, ! L
P 应用举例与结论
借助二元函数一致极根的概念给出的定理 & 将函数序列一致收敛与二元函数一致收
第 B期
王秀红 O 含参变量广义积分一致收敛的 VW 定理 4 5 W
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敛相联系 ! 为我们提供了判别函数序列一致收敛的一个新的途径 " 例 # 证明函数列$ 其中 % % ’ ( ) *一 致 趋 于 # ! (+ , !. /) ’ -0 1 ) " ’ ( )2 & & #( #( 3 4 5 ’ ) ’ )" & & 4 5 6 83 ! 60 1 ! < ( 因为 % 在, 上一致连续 ! 时! ’ 6 ) 27 6 1 ! . /) :; # ’ # <: ) = 9 # ! 62 1 ( < 故’ 当 :; # 时! 关于 (+ , ’ # <: ) ’ 1 > :> # ! > (>. /! 01 ) ! # <: ) ! . /) ( 3 4 5 ’ #< : ) 一致收敛于 1 使用引理 ! 有 关于 (+ , 一致趋于 # 取: ! ! . /) ’ 01 ) " &2 ( ’ #< : ) # 由定理 有 #( #( #< ! # $ 3 4 5 ’ ) ’ )* ’ &; /)一致收敛于 # ! (+ , !. /) " & & & 利用定理 ?给出了与文 , @ A思想方法不同的且较文 , @ A更简单的定理 @的证明 " 定理 @和定理 B不仅有重要的理论意义 ! 而且实用上可以方便地用来判断一些含参 证 量广义积分的一致敛散性 " 例 ? 证明含参变量广义积分 证 % ’ : ! ( )2
定理 9 一致极限的 G/ ’ % /
定理 = 当 PQ R 时O 关于 NS T ! P < N " UV ! N " g 对任意数列 h P j < = 一致收敛于 M i 函数序列 h 一致收敛于 M P ! P " < O ! P < N " j关于 NS T ! N " F iQ R ik R i 必要性 F 设O 在 PQ R 时< 关于 NS T 一致收敛于 M 由一致收敛的定 ! P < N " ! N " < 义 知< 当: 时< 有] 而, WX Y: < Z[ Y: < \] P^ R ] \[ WNS T O ! P < N " ^M ! N " ] \X F ’ +P i
收稿日期 @ 9 : : ; D : A D 9 : 作者简介 @ 王秀红 ! 女< 副教授 < 硕士 < 主要从事控制理论方面的研究 F = > E ? B" <
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烟台师范学院学报 ( 自然科学版 ,
第& R卷
&及 知! 存在 " 使 % &$ # 满足 ! ( ’) & ! * ! +, ! -. ! #/ 0 . 0/ 3 ! #$ # ’ ’1 2 ’4 5 ’ ’ 因此得到数列 9 但6 不一致 0 6 ( . ! 3 , 17 ( 3 , 0 8" ! . : ! . ( ’ ; <, ( . , ! ( . ! 3 , ’ ’ ’ # ’ ’; 2 ’= 2 ’ 与已知条件矛盾 > 收敛于 7 ( 3 , ( ’; <, ( 34 5 , ! 定理 * . 关于 3 ;? < 时 ! 6 ( . ! 3 , 45 @A . : ! . &一致收敛 B 任给递增数列 9 ’ ’;? 函数序列 9 一致收敛 > <( ’; <, ! 6 ( . ! 3 , :关于 34 5 ’ 证 必要性 > 直接使用定理 &即可 > 充 分 性> 取递增数列9 由题设9 设 . : ! . 6 ( . ! 3 , :关 于 34 5一 致 收 敛 ! ’ ’ ;? <! ’ 一致收敛于 再任取递增数列 设 6 ( . ! 3 , 7 ( 3 , ( ’ ; <, ( 3 45 , ! 9 . C : ! . C ;? <! 6 ( . C ! 3 , ’ ’ ’ ’ 一致收敛于 D 由定理 只需证 即可 为此 将数列 ( 3 , ( ’; <, ( 34 5 , ! & D ( 3 , )7 ( 3 , > ! 9 . : ’ 和9 的所有项按照从小到大的顺序重新排列 ! 记重排后的数列为 9 显然 9 递增 . C : . E : > . E : ’ ’ ’ 且 . 由假设 6 因 而! 作为 E ;? <( ’; <, ! ( . E ! 3 ,一 致 收 敛 于 F ( 3 , ( ’; <, ! 34 5 > ’ ’ 故D 9 6 ( . E ! 3 , :的两个子列 9 6 ( . C ! 3 , :与 9 6 ( . ! 3 , :应有相同的极限 ! ( 3 ,) 7 ( 3 , > ’ ’ ’
烟台师范学院学报 ! 自然科学版 " ! " #$ % & $ ’ () * +$ , -% ’ . / * 0 ’ & 12 ) 3 * % $ , ($ & 3 * $ , 4 5 ’ / % 5 / 9 : : ; < = > ! ? " @ ; : A B; : C
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教学 研究
含参变量广义积分一致收敛 定理 的 G/ ’ % /
王 秀 红
烟台师范学院数学与信息学院 < 山东 烟台 9 ! E ? : 9 A "
7778
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摘要@ 从二元函数一致极限的角度出发< 给 出 了 含 参 变 量 广 义 积 分 一 致 收 敛 的 G/ 定理的 ’ % / 简单证明及应用 F 关键词 @ 一致极限 H 一致收敛 H 广义积分 中图分类号 @ = C ? I 文献标识码 @ J 文章编号 @ = : : ? D ? > ; : ! 9 : : ; " : ? D : ; : A D : ;
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证
故对 [ 当i 有: 因而 ] _R ! P " < Y: < Zb< Y b 时< \] P ] \[ < O ! P < N " ^M ! N " ] ik R i^ R i 对 成立 故有 一致收敛于 \X < WNS T F h O ! P < N " j M ! N " ! NS T " F i 充分性 F 假设 PQ R 时< 不一致收敛于 M 则由不一致收敛的定义 O ! P < N " ! N " ! NS T " F
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定理 G 含参变量广义积分
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存在一致极限 > 由定理 * 当 O;? < 时关于 34 5 存在 O;? < 时关于 34 5 ! 7 ( O ! 3 , 一致极限 B% 递增数列 9 函数列 7 2 : ! 2 ( 2 ! 3 , ) ’ ’ ;? <! ’ 收敛 > 而
& 21 & 21
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