含参变量广义积分一致收敛的Heine定理

收稿日期 @ 9 : : ; D : A D 9 : 作者简介 @ 王秀红 ! 女< 副教授 < 硕士 < 主要从事控制理论方面的研究 F = > E ? B" <
G # Q
烟台师范学院学报 ( 自然科学版 ,
第& R卷
&及 知! 存在 " 使 % &$ # 满足 ! ( ’) & ! * ! +, ! -. ! #/ 0 . 0/ 3 ! #$ # ’ ’1 2 ’4 5 ’ ’ 因此得到数列 9 但6 不一致 0 6 ( . ! 3 , 17 ( 3 , 0 8" ! . : ! . ( ’ ; <, ( . , ! ( . ! 3 , ’ ’ ’ # ’ ’; 2 ’= 2 ’ 与已知条件矛盾 > 收敛于 7 ( 3 , ( ’; <, ( 34 5 , ! 定理 * . 关于 3 ;? < 时 ! 6 ( . ! 3 , 45 @A . : ! . &一致收敛 B 任给递增数列 9 ’ ’;? 函数序列 9 一致收敛 > <( ’; <, ! 6 ( . ! 3 , :关于 34 5 ’ 证 必要性 > 直接使用定理 &即可 > 充 分 性> 取递增数列9 由题设9 设 . : ! . 6 ( . ! 3 , :关 于 34 5一 致 收 敛 ! ’ ’ ;? <! ’ 一致收敛于 再任取递增数列 设 6 ( . ! 3 , 7 ( 3 , ( ’ ; <, ( 3 45 , ! 9 . C : ! . C ;? <! 6 ( . C ! 3 , ’ ’ ’ ’ 一致收敛于 D 由定理 只需证 即可 为此 将数列 ( 3 , ( ’; <, ( 34 5 , ! & D ( 3 , )7 ( 3 , > ! 9 . : ’ 和9 的所有项按照从小到大的顺序重新排列 ! 记重排后的数列为 9 显然 9 递增 . C : . E : > . E : ’ ’ ’ 且 . 由假设 6 因 而! 作为 E ;? <( ’; <, ! ( . E ! 3 ,一 致 收 敛 于 F ( 3 , ( ’; <, ! 34 5 > ’ ’ 故D 9 6 ( . E ! 3 , :的两个子列 9 6 ( . C ! 3 , :与 9 6 ( . ! 3 , :应有相同的极限 ! ( 3 ,) 7 ( 3 , > ’ ’ ’
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= 引言与预备知识
= L 定理 K 也称归结原则 < 是沟通 函 数 极限 与 数 列 极限之 间的 桥梁 F 在 极限 理论和 G/ ’ % / 应 用 中 占有非常 重要的 地位 F 本 文把 G/ 定理 推 广 运用 到含 参变 量广 义积分 一致 收 敛 ’ % /
的判定中 < 在含参变量广义积分与函数项级数之间建立一种关系 F 称M 当 PQ R 时< 关于 NS T 如果 WX ! N "是函数 O ! P < N " UV Y = 的一致极限 < 当: 时< 有] 成立 F 若R 只 : < Z[ Y: < \] P^ R ] \[ O ! P < N " ^M ! N " ] \X < NS T _‘ a< 要把 :\ ] 相应地换成 P^ R ]\ [ PY bF 当 PQ R 时< O ! c "在区间 T UV d ! P < N "关于 NS e的一致极 = 上一致连续 < 限为 M 且当 NS e时 M 又存在 f 当 :\ ] ! N " < ! N "S T H Y :时 < P^ R ]\ f和 NS e 时 < K 9 L 则当 PQ R 时< d ! P < N "S T < O ! d ! P < N " "关于 NS e的一致极限为 O ! M ! N " " F 引理 定义
2 ’ 2 < 2 ’
一致 . ! 3 , M .关于 34 5 L6(
2
2 ’
一致收敛 B N 一致收敛 > . ! 3 , M .关于 34 5 . ! 3 , M .关于 34 5 L6( L 6( 定理 P 若 6 则 一致收敛 B 存 ( . ! 3 , 8# ! ( .8 2 ! 34 5 , ! . ! 3 , M .关于 34 5 L 6( 在某个递增数列 9 使级数 N 一致收敛 > 2: ! 2 ;? <( 2) 2 , ! . ! 3 , M .关于 34 5 L 6(
定理 9 一致极限的 G/ ’ % /
定理 = 当 PQ R 时O 关于 NS T ! P < N " UV ! N " g 对任意数列 h P j < = 一致收敛于 M i 函数序列 h 一致收敛于 M P ! P " < O ! P < N " j关于 NS T ! N " F iQ R ik R i 必要性 F 设O 在 PQ R 时< 关于 NS T 一致收敛于 M 由一致收敛的定 ! P < N " ! N " < 义 知< 当: 时< 有] 而, WX Y: < Z[ Y: < \] P^ R ] \[ WNS T O ! P < N " ^M ! N " ] \X F ’ +P i
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定理 G 含参变量广义积分
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存在一致极限 > 由定理 * 当 O;? < 时关于 34 5 存在 O;? < 时关于 34 5 ! 7 ( O ! 3 , 一致极限 B% 递增数列 9 函数列 7 2 : ! 2 ( 2 ! 3 , ) ’ ’ ;? <! ’ 收敛 > 而
使用有限覆盖 6 ( . ! 3 , M .关于 O 是单调递增且 7 ( O ! 3 ,; 7 ( 3 , ( O;? <, ! L
P 应用举例与结论
借助二元函数一致极根的概念给出的定理 & 将函数序列一致收敛与二元函数一致收
第 B期
王秀红 O 含参变量广义积分一致收敛的 VW 定理 4 5 W
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则对任意 O$ 2 函数 . ! 3 , M .关 于 34 5一 致 收 敛 到 7 ( 3 , ! ! L 6(
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定理易证 7 ( O ! 3 ,一致收敛于 7 ( 3 , ( O;? <, ( 34 5 , >
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参考文献 O
上册 ) 北京 O 高等教育出版社 ! , # A 华东师范大学数学系编 P数学分析 ’ , " ? 1 1 # " R ? " QA 数学分析的方法 , 济南 O 山东省教育出版社 ! , ? A 周家云 " " # S S # " @ B R " QA 数学分析 ’ 下册 ) 北京 O 高等教育出版社 ! , @ A 复旦大学数学系编 " , " # S T @ " ? @ E " QA
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在, E !. /)上一致收敛 " C #. :3 4 5:
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教学 研究
含参变量广义积分一致收敛 定理 的 G/ ’ % /
王 秀 红
烟台师范学院数学与信息学院 < 山东 烟台 9 ! E ? : 9 A "
7778
778
摘要@ 从二元函数一致极限的角度出发< 给 出 了 含 参 变 量 广 义 积 分 一 致 收 敛 的 G/ 定理的 ’ % / 简单证明及应用 F 关键词 @ 一致极限 H 一致收敛 H 广义积分 中图分类号 @ = C ? I 文献标识码 @ J 文章编号 @ = : : ? D ? > ; : ! 9 : : ; " : ? D : ; : A D : ;
定理 G 含参变量广义积分的 HI J K I
. ! 3 , M .关于 34 5 @ A 一致收敛 B 对任意递增 L 6( 数列 9 一致收敛 > 2: ! 2 ;? <( 2) 2 ,函数项级数 N . ! 3 , M .关于 34 5 L 6( 证 一致收敛等价于二元函数 7 . ! 3 , M .关于 34 5 ( O ! 3 , ) 6 . ! 3 , M .当 L 6( L(
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敛相联系 ! 为我们提供了判别函数序列一致收敛的一个新的途径 " 例 # 证明函数列$ 其中 % % ’ ( ) *一 致 趋 于 # ! (+ , !. /) ’ -0 1 ) " ’ ( )2 & & #( #( 3 4 5 ’ ) ’ )" & & 4 5 6 83 ! 60 1 ! < ( 因为 % 在, 上一致连续 ! 时! ’ 6 ) 27 6 1 ! . /) :; # ’ # <: ) = 9 # ! 62 1 ( < 故’ 当 :; # 时! 关于 (+ , ’ # <: ) ’ 1 > :> # ! > (>. /! 01 ) ! # <: ) ! . /) ( 3 4 5 ’ #< : ) 一致收敛于 1 使用引理 ! 有 关于 (+ , 一致趋于 # 取: ! ! . /) ’ 01 ) " &2 ( ’ #< : ) # 由定理 有 #( #( #< ! # $ 3 4 5 ’ ) ’ )* ’ &; /)一致收敛于 # ! (+ , !. /) " & & & 利用定理 ?给出了与文 , @ A思想方法不同的且较文 , @ A更简单的定理 @的证明 " 定理 @和定理 B不仅有重要的理论意义 ! 而且实用上可以方便地用来判断一些含参 证 量广义积分的一致敛散性 " 例 ? 证明含参变量广义积分 证 % ’ : ! ( )2
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故 级数 H K 在, 上一致收敛 ! 同理可证 H L 在, 上一致收敛 ! 因 ’ ( ) E ! . /) ’ ( ) E ! . /) & &
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故对 [ 当i 有: 因而 ] _R ! P " < Y: < Zb< Y b 时< \] P ] \[ < O ! P < N " ^M ! N " ] ik R i^ R i 对 成立 故有 一致收敛于 \X < WNS T F h O ! P < N " j M ! N " ! NS T " F i 充分性 F 假设 PQ R 时< 不一致收敛于 M 则由不一致收敛的定义 O ! P < N " ! N " ! NS T " F
烟台师范学院学报 ! 自然科学版 " ! " #$ % & $ ’ () * +$ , -% ’ . / * 0 ’ & 12 ) 3 * % $ , ($ & 3 * $ , 4 5 ’ / % 5 / 9 : : ; < = > ! ? " @ ; : A B; : C
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