含绝对值的不等式解法PPT课件
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绝对值不等式(共12张PPT)
• 对于不等式 |ax＋b|＜c (c＞0)，乃基本不等式 的推广，应用整体思想，视ax＋b为一个整体， 可迅速地将原不等式转化为－c＜ax＋b＜c．
第2页，共12页。
• 例1 解不等式 |3x－4|≥x＋2 • 解绝对值不等式，重在去绝对值符号，回绕
此来展开思路，不难产生如下想法． • 思考一：讨论3x－4的符号去绝对值符号； • 思考二：讨论x＋2的符号； • 思考三：直接去绝对值符号． • 原不等式可化为 • 3x－4≤－(x＋2) 或 3x－4≥x＋2 • 解得 x≤1/2 或 x≥3．
• 解得 x＜－2 或 x＞3
• 因此 ∁U A＝{x | －2≤x≤3 }． • ∵ ∁U A∩B＝B，∴ B ∁U A • 当c≤0时，B＝，显然B是A的子集．
• 当c＞0时，由 |x＋1|＜c 得 －c＜x＋1＜c，故 －c－1＜x＜c－1．
∵AB，∴c－－c－1≤1≥3 －2
解得 c≤1． ∴ 0＜c≤1．
例 解关于x的不等式 a|x－1|＞2＋a
• 当a＜0时，x∈R． 当c≤0时，B＝ ，显然B是A的子集．
观察：|x－3|－|x＋1|＜1的点应位于点的右侧，故不等式的解集为 {x | x＞1/2}． 当a＝1时，y＝a，此时函数 y＝(1－a)x－a＝－1为常函数，
• 当a＝0时，x∈R且x≠0。 1) 函数y＝|x－3|－|x＋1|的值域为____．
Ⅲ)
x＞3 (x－3)－(x＋1)＜1
I）
的解集为空集；Ⅱ）的解为
1 2
＜x≤3；Ⅲ）的解为 x＞3
综上所述，原不等式的解集为{x | x＞12 }． 另解: 注意到式子|x－3|－|x＋1|表示数轴上坐标为x的一点到坐标 为3的点的距离与到坐标为－1的点的距离的差．
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所。
1
证明： a 0, b 0, c 0, d 0, bcd a
a b 2 a • b 2 a ,
bc
bc
c
c d 2 c • d 2 c ,
da
da
a
又
a c 2 a
c 2 4 a • c 2,
ca
ca
ca
由以上可得
a b
b c
c d
d a
2
a c
c a
4.
定理：| a | | b || a b || a | | b |
上表皮 下表皮
气孔 保卫细胞
填图练习
叶肉 叶脉
气孔
表皮 保卫细胞
叶片的结构:表皮、叶肉、叶脉。
表皮：无色透明，有利于光线的透入；外有角质 层，有保护作用；表皮上有保卫细胞、以及由保 卫细胞围成的空隙——气孔，气孔是气体进出的 门户。
叶肉：分栅栏组织和海绵组织。栅栏组织细胞呈 圆柱形，排列整齐，细胞含叶绿体较多。海绵组 织细胞形状不规则，排列比较疏松，细胞含叶绿 体较少。
用毛笔蘸出最薄的一片，制成临时切片
二、观察叶片的结构 叶片的结构示意图
叶脉
叶片的立体结构和平面结构
叶脉
对照图，认识叶片各部分的结构，看一看叶 肉细胞排列是否一样？内部绿色颗粒数目是 否一样？想一想绿色颗粒与光合作用有什么 关系？说出各部分结构适于光合作用的特点。
栅 栏 组 织
叶肉
海 绵 组 织 叶脉
叶脉：有导管和筛管。导管运输水分和无机盐， 筛管运输有机物。
极 细 光 束
黑暗中
1装片中好氧菌集中在被 光束照射到的部位附近。
光照下
2装片中好氧菌集中在叶 绿体所有受照射的部位。
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的温度范围是（
）．
A．18℃～20℃ B．20℃～22℃ C．18℃～21℃ D．18℃～22℃
2．求下列不等式的解集:
（1）3 x 1
3．求不等式
1
|
；（2） − 1 ⩽ 2 ；（3）| 3x 2 | 1 ；（4） x +1| ≥ 3 ．
2
+ ≥ (b > 0)
4．求不等式 x < 5 的解集．
2
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如图所示是某矿泉水的标签，显示该矿泉水的pH值（25℃）为
7.3 ± 0.5，该矿泉水pH值的取值范围是什么？
设该矿泉水的pH值（25℃）为x，则x的取值范围可表示为
x 7.3 ≤ 0.5
设
就是
t x 7.3
.
，那么不等式 x 7.3 ≤ 0.5 可化为得 | t | ≤ 0.5 ，也
变量的代数式，即用单一字表示一个代数式，从而将一些数学问题化
难为易、化繁为简．
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 求不等式 | 2 x 3 | ≤1 的解集．
解 不等式 | 2 x 3 | ≤1 ，也就是 1 ≤ 2 x 3 ≤1 ，于是 2 ≤ 2x ≤ 4 ，
0.5 ≤ t ≤ 0.5
，由此解得
0.5 ≤ x 7.3 ≤ 0.5
，即 6.8 ≤ x ≤ 7.8
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
一般地，形如 + < 和 + > ( > 0）的不等式可以通
过 “变量替换”的方法求解．
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x<1或x>3，
即x≤9， x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为{x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
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10
法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
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31
误区警示
例 求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取 值范围． 【错解】 ∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1. ∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1. ∴a<1时原不等式有解． 【错因】 “|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错． 上述解法是无解的情况．
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29
【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等 价转化思想的应用．
f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
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30
变式训练3 若不等式|x＋3|－|x－5|<m对 x∈R恒成立，则m的取值范围为________． 解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8， ∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8， ∴m>8. 答案：(8，＋∞)
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6
(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5， x2－3x＋1>－5，
即x2－3x＋1<5. ∴x－∈1R<x，<4， 即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．
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一、复习回顾
• 不等式解集含义； • 会在数轴上表示解集； • 不等式性质及其利用； • 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法，
当a>0时，
| x | a a x a; | x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
证明： | a | a | a |
例4.已知|a|＜1，|b|＜1，求证:
证明：a b 1 ab
1
ab 1 ab
2
1
a b 1. 1 ab
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0
1 a2 1 b2 0.
由 a 1, b 1,可得 1 a 2 1 b2 0成立，所以
在设置情境上绞尽脑汁的原因。从教育现象学视角审视“情境教学”“情境学习”与“情境教育”，或许会更深入。
ab 1 ab
1.
注 这道题的证明过程中，用了
这一结论．
定理：| a | | b || a b || a | | b |
四. 练习：
2．求证：
(1)|(A＋B)－(
五、课时小结
1. 含绝对值不等式解法关键是去掉绝对 值符号；
2. 注意在解决问题过程中不等式的几何 意义；
如果我们能够从现象学的视角去思考与把握，那么任何一个平常的经验就可以转化为教学资源。试想，学生有了亲身经验，而且是当下或者最近的经验，他们会无话可说、无文可写吗？马克 斯·范梅南说：“从某种意义上说，所有现象学都是指向实践的——生活的实践。”②我以为，这个论断对杜威的“教育即生活”做了很好的诠释，同时也为我们正确地理解情境与教学提供了一种思
＝|x|＋2|y|＋3|z|．
• 不等式解集含义； • 会在数轴上表示解集； • 不等式性质及其利用； • 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法，
当a>0时，
| x | a a x a; | x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
证明： | a | a | a |
例4.已知|a|＜1，|b|＜1，求证:
证明：a b 1 ab
1
ab 1 ab
2
1
a b 1. 1 ab
a2 2ab b2 1 2ab a2b2
1 a2 b2 a2b2 0
1 a2 1 b2 0.
由 a 1, b 1,可得 1 a 2 1 b2 0成立，所以
在设置情境上绞尽脑汁的原因。从教育现象学视角审视“情境教学”“情境学习”与“情境教育”，或许会更深入。
ab 1 ab
1.
注 这道题的证明过程中，用了
这一结论．
定理：| a | | b || a b || a | | b |
四. 练习：
2．求证：
(1)|(A＋B)－(
五、课时小结
1. 含绝对值不等式解法关键是去掉绝对 值符号；
2. 注意在解决问题过程中不等式的几何 意义；
如果我们能够从现象学的视角去思考与把握，那么任何一个平常的经验就可以转化为教学资源。试想，学生有了亲身经验，而且是当下或者最近的经验，他们会无话可说、无文可写吗？马克 斯·范梅南说：“从某种意义上说，所有现象学都是指向实践的——生活的实践。”②我以为，这个论断对杜威的“教育即生活”做了很好的诠释，同时也为我们正确地理解情境与教学提供了一种思
＝|x|＋2|y|＋3|z|．
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x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时，即x 2时,
x 1 0时，即x 1时，
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时，即x 1
2、当x 2且x 1时， 2 x 1 3、当x 2且x 1时，x 2
2
1
4、当x 2且x 1时，x
13
14
15
6
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
7
8
9
10
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解：由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
含绝对值的不等式的解法
1
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义，掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式： ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
2
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
0
(2) x 9 x 1
解：由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2 x (1,0) (1,2)
11
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考：解这个不等式的关键是什么？
如何去掉绝对值符号？
方法1、几何意义
记x对应的点为P
绝对值不等式的解法公开课PPT课件
| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x)
小试身手：
（1）|x2-3|＞2x
解集为{x|x＜1或x＞3}.
x （2） x 2
x x2
解集为{x| -2＜ x＜0}
对于（2）中， “＞”换成“≥”解集变化了吗？如何变化？
例4：解不等式：|x－5|＋|x＋3|≥10.
解法一：
即为原不等式的解集
优点:利于分析最值以及相应的x的取值
变式：1. |x－5|＋|x＋3|≥a恒成立，则a的范围____ 2.方程 |x－5|＋|x＋3|=2a-5有无数解，则a的值为___
例4：解不等式：|x－5|＋|x＋3|≥10.
解法三：由绝对值的几何意义可知，|x－5|＋|x＋3|表示数轴上
复习回顾：|x|的意义：
一个数的绝对值表示：
x X>0
与这个数对应的点到
|x|= 0 X=0
原点的距离,|x|≥0，|x|≥x
- x X<0
x2
B
O
|x1| =|OA|
几何意义
x1
A
X
|x2|=|OB|
|AB|=| x2 -x1 |
代数意义
易得：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。去掉a>0,解集还能这样表示吗？
解集为 ( 10 , 5] [1, 2)
33
3
例3：解不等式| 5x-6 | < 6 – x
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x>0
(Ⅰ)或
-(6-x)<5x-6<(6-x)
6-x≤0
(Ⅱ)
无解
解(Ⅰ)得：0<x<2; (Ⅱ) 无解 综合得解集{x|0<x<2}
含有绝对值的不等式课件(共17张PPT)
解 （1）这个不等式等价于 -5＜2x-3＜5,
-5+3＜2x-3+3＜5+3， -2＜2x＜8,
把x的系数化为1，得 -1＜x＜4,
因此，原不等式的解集为（-1,4).
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
（2）原不等式等价于
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.2.4 含有绝对值的不等式
人民教育出版社
第二章 不等式 2.2.4 含有绝对值的不等式
学习目标
知识目标 能力目标
理解含有绝对值的不等式概念及其解集的学习，掌握含有绝对值的不等式的 解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握含有绝对值的不等式的解题方法，提高 运用含有绝对值的不等式知识解决实际问题能力
一般地，一元二次不等式可以通过配方化为x2＞m2和 x2＜m2（m＞0）的形式，于是，我们可以将一元二次不等 式化为含有绝对值的不等式进行求解. 试一试
(1)x≤3;
(2) 2 x -1＞3
分析 将不等式化成x≤m或＞m的形式后求解．
解 （1）原不等式的解集为［-3,3]；
（2）这个不等式可化＞2，故其解集为
（- ,- 2)U(2,+ )。
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2x-3≥5，
①
或
2x-3≤-5，
②
不等式①的解集为［4，+ )，不等式②的解集为（- ，-1].
因此，原不等式的解集为（- ，-1]∪［4，+ ).
探索研究 用配方法求解一元二次不等式.
-5+3＜2x-3+3＜5+3， -2＜2x＜8,
把x的系数化为1，得 -1＜x＜4,
因此，原不等式的解集为（-1,4).
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
（2）原不等式等价于
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.2.4 含有绝对值的不等式
人民教育出版社
第二章 不等式 2.2.4 含有绝对值的不等式
学习目标
知识目标 能力目标
理解含有绝对值的不等式概念及其解集的学习，掌握含有绝对值的不等式的 解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握含有绝对值的不等式的解题方法，提高 运用含有绝对值的不等式知识解决实际问题能力
一般地，一元二次不等式可以通过配方化为x2＞m2和 x2＜m2（m＞0）的形式，于是，我们可以将一元二次不等 式化为含有绝对值的不等式进行求解. 试一试
(1)x≤3;
(2) 2 x -1＞3
分析 将不等式化成x≤m或＞m的形式后求解．
解 （1）原不等式的解集为［-3,3]；
（2）这个不等式可化＞2，故其解集为
（- ,- 2)U(2,+ )。
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2x-3≥5，
①
或
2x-3≤-5，
②
不等式①的解集为［4，+ )，不等式②的解集为（- ，-1].
因此，原不等式的解集为（- ，-1]∪［4，+ ).
探索研究 用配方法求解一元二次不等式.
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2 3 |x|＋2|y|＋3|z| 3 6 9 ,
3 6 9
∴|x＋2y－3z|＜ε ．
| a | | b || a b || a | | b | 定理： 三．典型例题
例2 设a，b，c，d都是不等于0的实数，求证: a b c d 4. b c d a
| a | | b || a b || a | | b | 定理：
推论1：
| a1 a2 an |≤| a1 | | a2 | | an |
推论2： | a | | b || a b || a | | b | .
证明：在定理中以-b代b得： | a | | b || a (b) || a | | b |, 即： | a | | b || a b || a | | b | .
| a | | b || a b || a | | b | 定理：
例4.已知|a|＜1，|b|＜1，求证:
ab ab 证明： 1 1 1 ab 1 ab a 2 2ab b 2 1 2ab a 2b 2 1 a 2 b 2 a 2b 2 0 1 a 2 1 b 2 0.
| a | | b || a b || a | | b | .
二、定理：
注意：1 左边可以“加强”同样成立，即
| a | | b || a b || a | | b |
| a | | b | | a b || a | | b |;
2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”．
证明： 又 a b c d 0, 0, 0, 0, b c d a a , c c d 2 d a c a c 2 4 2, a c a c d 2 d a c , a a b a b 2 2 b c b c a c c 2 a a c
由以上可得
2
ab 1. 1 ab
ab 1. 由 a 1, b 1, 可得1 a 1 b 0成立，所以 1 ab
2 2
注
这道题的证明过程中，用了 这一结论．
| a | | b || a b || a | | b | 定理：
四. 练习：
2．求证：
证明： | a | a | a | ① | a b || a | | b | 又∵a=a+b-b ， |-b|=|b|， 由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|， 即|a|-|b|≤|a+b|， ② 综合①②:
(| a | | b |) a b | a | | b | | b | b | b |
a b c d 2 b c d a
a c
c a
4.
| a | | b || a b || a | | b | 定理： 三．典型例题
例3. 设|a|<1, |b|<1， 求证|a+b|+|a-b|<2． 证明：当a+b与a-b同号时， |a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2， 当a+b与a-b异号时， |a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2， ∴|a+b|+|a-b|<2 ．
(1)|(A＋B)－(a＋b)|＜ε ； (2)|(A－B)－(a－b)| ＜ε．
五、课时小结
1. 含绝对值不等式解法关键是去掉绝对 值符号； 2. 注意在解决问题过程中不等式的几何 意义； 3. 其它形式的含有绝对值的不等式解法 要知道其依据．
作业： P22 习题6.5 1、2、3 、4 《轻巧夺冠》P26 能力测试
一、复习回顾
• • • • 不等式解集含义； 会在数轴上表示解集； 不等式性质及其利用； 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法， 当a>0时， | x | a a x a;
| x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
ห้องสมุดไป่ตู้
| a | | b || a b || a | | b | 定理： 三．典型例题
例1.已知 x
3
,y
6
,z
9
, 求证 x 2 y 3z .
证明：|x＋2y－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z| ＝|x|＋|2|·|y|＋|－3|·|z| ＝|x|＋2|y|＋3|z|． 因为 x , y , z , 所以
3 6 9
∴|x＋2y－3z|＜ε ．
| a | | b || a b || a | | b | 定理： 三．典型例题
例2 设a，b，c，d都是不等于0的实数，求证: a b c d 4. b c d a
| a | | b || a b || a | | b | 定理：
推论1：
| a1 a2 an |≤| a1 | | a2 | | an |
推论2： | a | | b || a b || a | | b | .
证明：在定理中以-b代b得： | a | | b || a (b) || a | | b |, 即： | a | | b || a b || a | | b | .
| a | | b || a b || a | | b | 定理：
例4.已知|a|＜1，|b|＜1，求证:
ab ab 证明： 1 1 1 ab 1 ab a 2 2ab b 2 1 2ab a 2b 2 1 a 2 b 2 a 2b 2 0 1 a 2 1 b 2 0.
| a | | b || a b || a | | b | .
二、定理：
注意：1 左边可以“加强”同样成立，即
| a | | b || a b || a | | b |
| a | | b | | a b || a | | b |;
2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”．
证明： 又 a b c d 0, 0, 0, 0, b c d a a , c c d 2 d a c a c 2 4 2, a c a c d 2 d a c , a a b a b 2 2 b c b c a c c 2 a a c
由以上可得
2
ab 1. 1 ab
ab 1. 由 a 1, b 1, 可得1 a 1 b 0成立，所以 1 ab
2 2
注
这道题的证明过程中，用了 这一结论．
| a | | b || a b || a | | b | 定理：
四. 练习：
2．求证：
证明： | a | a | a | ① | a b || a | | b | 又∵a=a+b-b ， |-b|=|b|， 由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|， 即|a|-|b|≤|a+b|， ② 综合①②:
(| a | | b |) a b | a | | b | | b | b | b |
a b c d 2 b c d a
a c
c a
4.
| a | | b || a b || a | | b | 定理： 三．典型例题
例3. 设|a|<1, |b|<1， 求证|a+b|+|a-b|<2． 证明：当a+b与a-b同号时， |a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2， 当a+b与a-b异号时， |a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2， ∴|a+b|+|a-b|<2 ．
(1)|(A＋B)－(a＋b)|＜ε ； (2)|(A－B)－(a－b)| ＜ε．
五、课时小结
1. 含绝对值不等式解法关键是去掉绝对 值符号； 2. 注意在解决问题过程中不等式的几何 意义； 3. 其它形式的含有绝对值的不等式解法 要知道其依据．
作业： P22 习题6.5 1、2、3 、4 《轻巧夺冠》P26 能力测试
一、复习回顾
• • • • 不等式解集含义； 会在数轴上表示解集； 不等式性质及其利用； 绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法， 当a>0时， | x | a a x a;
| x | a x a或x a.
二、定理：
| a | | b || a b || a | | b |
ห้องสมุดไป่ตู้
| a | | b || a b || a | | b | 定理： 三．典型例题
例1.已知 x
3
,y
6
,z
9
, 求证 x 2 y 3z .
证明：|x＋2y－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z| ＝|x|＋|2|·|y|＋|－3|·|z| ＝|x|＋2|y|＋3|z|． 因为 x , y , z , 所以