文档CT图像滤波反投影重建算法的研究[宝典]
滤波反投影法重建CT图像实验指导书一、实验目的1.了解傅立叶.docx
滤波反投影法重建CT图像实验指导书一、实验目的1.了解傅立叶变换法、直接反投影法重建CT图像的原理;2.掌握滤波反投影法重建CT图像的原理和基木方法。
二、实验器材装有MATLAB程序的PC机，滤波反投影法图像重建演示软件，投影数据。
三、实验原理CT图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像索点的衰减系数。
图像重建的算法有多种，如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投彩法等。
在介绍算法前，有必要先介绍从投影重建图像的重要依据，即中心切片定理。
1.中心切片定理密度函数/(x,)0在某一•方向上的投影函数g&(/?)的一•维傅立叶变换函数g&(p)是原密度两数f(x,y)的二维傅立叶变换函数F(p,&)在(Q,&)平面上沿同一•方向且过原点的直线上的值。
图1屮心切片定理2.傅立叶变换法如果在不同角度下取得足够多的投影函数数据，并作傅立叶变换，根据小心切片定理，变换后的数据将充满整个(仏叭平而。
一旦频域函数F(w,v)或F(/?,0)的全部值都得到后，将真做傅立叶反变换，就能得到原始的密度函数.f(x,y)，即所要重建的图像。
上述图像重建算法称为傅立叶变换法，图2给出了傅立叶变换重建方法的流程图。
图屮指出，对于每次测得的投影数据先作一维傅立叶变换。
根据中心切片定理，可将此变换结果看成二维频率域屮同样角度下过原点的直线上的值。
在不同投影角卜•所得的一维变换函数可在频域中构成完整的二维傅立叶变换函数，将此二维变换函数做一次逆变换，就得到了所要求的空间域屮的密度函数。
为了在二维逆变换屮采用快速傅立叶变换算法，通常在逆变换前要将极坐标形式的频域函数变换成直角坐标形式的数据。
图2傅立叶变换重建图像的过程采用傅立叶变换法重建图像吋，投影函数的一维傅立叶变换在频域中为极处标形式, 把极坐标形式的数据通过插补运算转换为直角坐标形式的数据时，计算工作量较大。
此外, 在极坐标形式的频域数据屮，离原点较远的频率较高的部分数据比较稀疏，当这些位登上的数据转换到肯角坐标下时，需经插补，这将引入一定程度的谋差。
CT系统标定参数与图像重建的探究
CT系统标定参数与图像重建的探究摘要：CT（计算机层析成像）是通过对物体进行多角度的射线投影测量，从而获得物体横断面信息的成像技术。
为将此技术在多个领域进行推广，本文简述了对CT系统的标定参数和图像重建展开研究，关键词：射线光学；图像重建模型；像素矩阵；平行束投影引言自20世纪70年代初第一台CT扫描系统问世以来，其结构和扫描方式不断革新，且性能逐渐强大，至今已发展到第五代电子束CT机。
本文所研究的对象为第一代CT机。
第一代CT机采用平行光束[2]的扫描的方式，按照旋转-平移的方法工作，属于头颅专用机，且工作周期较长，得到的图像较为粗糙。
此外，在CT系统的安装过程中，往往存在误差，其影响图像质量，需引入已知模板来确定CT系统的标定参数，并根据此在图像重建的过程中，对重建后的图像进行修正。
1 模型建立1.1 问题一根据标定模板的几何信息以及其接收数据信息，利用统计学和几何学原理，逐步确定探测器单元之间的距离、CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置和CT系统所使用的X射线的180个方向。
1.1.1 探测器单元间距的确定根据统计学知识，对附件2中的数据进行分析，发现规律：标定模板中的小圆在多个方向上的投影中，其所对应的探测器数目恒为29个（极少数数目为28个的情况忽略不计），即其宽度始终不变。
结合题干中提供的标定模板的几何信息，取模板中小圆的直径为8mm。
又因为探测器单元等距排列，从而可在忽略探测器长度的情况下，确定探测器单元的间距。
1.1.2 CT系统旋转中心位置的确定CT系统的旋转中心是必需的标定参数，其在图像重建中起着至关重要的作用，若不对该参数进行精准确定，所得到的重建图像将存在伪影，易造成测量人员判断错误。
由于本文所研究的第一代CT机与第二代在原理上无本质的区别，遂结合标定模板的几何信息以及原始投影数据，借鉴了李堡磊和孟凡勇等人的方法，基于原始平行束投影数据的旋转中心确定法。
1.1.3 系统中X射线的180个方向的确定为简化计算的步骤，利用几何学的原理，以标定模型中的椭圆中点为原点再次建立平面直角坐标系。
反投影重建算法范文
反投影重建算法范文反投影重建算法的原理是基于CT扫描的物理特性，即通过测量X射线在物体内的吸收特性来重建图像。
CT扫描使用X射线源从不同角度射入物体内，并在探测器上测量射入和穿过物体的X射线的强度。
这些测量数据被称为投影数据，并被用来重建图像。
反投影重建算法的基本思想是将投影数据进行反投影运算，将每一个探测器测量的X射线强度加到相应的图像位置上。
这样，通过不同角度的反投影运算，可以得到一系列的反投影图像。
然后，将这些反投影图像进行加和处理，得到最终的重建图像。
具体而言，反投影重建算法的步骤如下：1.从CT扫描设备中获取投影数据，包括不同角度下的X射线测量值。
2.对每一个角度的投影数据进行反投影运算。
即将每一个探测器测量的X射线强度加到相应的图像位置上。
3.对所有角度的反投影图像进行加和处理。
即将所有反投影图像的对应位置像素值相加。
4.对加和后的图像进行滤波处理，以降低噪声。
5.得到最终的重建图像。
反投影重建算法的优点是简单易实现，并且可以用于各种不同的CT扫描设备和投影模型。
然而，该算法也存在一些缺点，例如由于对雷达扫描角度的限制，可能无法获取到完整的投影数据；同时，由于探测器的离散性，重建图像可能存在伪影等问题。
为了克服反投影重建算法的缺点，近年来还出现了许多改进和优化的算法。
其中，滤波反投影算法是最常用的一种改进算法之一、滤波反投影算法通过在投影数据中引入滤波操作，来减小伪影和噪声的影响，从而提高重建图像的质量。
另外，统计模型和机器学习方法也广泛应用于图像重建，以提高图像的准确性和鲁棒性。
总之，反投影重建算法是一种广泛应用于医学图像重建的技术。
虽然该算法存在一些缺点，但通过改进和优化，可以得到高质量的重建图像，为医学诊断和临床应用提供有力支持。
反投影重建算法
反投影重建算法反投影重建算法是一种常用于医学影像领域的图像重建方法，其原理基于X射线的穿透性质和成像原理。
该算法可以从一系列投影图像中恢复出被测物体的内部结构，为医学诊断提供重要的信息。
在了解反投影重建算法之前，我们先来了解一下X射线成像的基本原理。
X射线成像是一种无创检查方法，通过将X射线束通过被测物体后，测量X射线在不同方向上的衰减情况，从而获取被测物体的内部结构信息。
在传统的X射线成像中，使用的是传统的透射成像方法，即将X射线通过被测物体后，直接在胶片或探测器上记录吸收信息。
然而，传统透射成像存在一些局限性，如对于密度相近的组织无法进行有效区分。
反投影重建算法的出现就是为了解决传统透射成像的局限性。
该算法利用了被测物体对X射线的吸收特性，通过在不同方向上测量X 射线的衰减情况，然后将这些投影数据进行反投影操作，即根据投影数据在不同方向上的衰减信息，将其反向投射回原来的空间位置。
这样，就可以通过反投影操作恢复出被测物体的内部结构。
具体来说，反投影重建算法的步骤如下：1. 收集投影数据：通过将X射线束从不同方向照射到被测物体上，并在胶片或探测器上记录下不同方向上的吸收信息，形成一系列投影数据。
2. 反投影操作：将投影数据进行反投影操作，即将各个投影数据反向投射回原来的空间位置。
这个过程可以看作是将每个投影数据沿着其对应的投影方向，从胶片或探测器上反向传播到被测物体内部的过程。
3. 累加重建：将所有反投影后的数据进行累加，得到最终的重建图像。
在反投影操作中，相交的区域会累加，而非相交的区域则不会累加，从而在最终的重建图像中得到被测物体的内部结构信息。
反投影重建算法是一种简单而有效的图像重建方法，在医学影像领域得到了广泛的应用。
与传统的透射成像相比，反投影重建算法可以提供更多的信息，能够更好地区分密度相近的组织，从而提高了诊断的准确性。
此外，反投影重建算法还可以应用于其他领域，如安全检查、材料检测等。
基于Radon变换的滤波反投影重建算法研究
基于Radon变换的滤波反投影重建算法研究作者：张晓瑞来源：《电脑知识与技术》2016年第27期摘要：层析成像技术目前在生物学等领域广泛应用，而Radon变换是投影重建的数学理论基础。
文中简单介绍了Radon变换的基本原理，重点介绍了滤波反投影重建算法，尤其是滤波函数的选取，并对重建结果进行了比较。
关键词：图像重建；Radon变换；滤波反投影中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）27-0259-031 引言层析成像技术在医疗、生物等领域具有广泛应用。
图像重建是指通过物体外部测量数据，经过处理从而获得物体的形状信息的技术。
开始主要应用在放射医疗设备中，用于人体各部分图像的显示，即计算机断层摄影技术，简称CT技术，后来逐渐在许多领域获得应用。
透射CT的理论基础是投影重建。
而Radon变换是投影重建的数学基础，它是数学家J.Radon提出来的，被广泛应用于医学、分子生物学等领域，迄今为止，人们已研究出基于Radon变换的多种重建方法。
文中重点介绍的滤波反投影算法也是基于Radon变换的一种变换法重建，目前在CT系统中应用非常广泛。
滤波反投影算法的比较重要的是滤波函数的选取。
4.3 结果分析（1）图像比较：直接反投影算法的重构对像的边缘很不明显，有阴影。
滤波反投影算法重构对象相对来说清晰很多，没有阴影。
（2）重建时间对比：滤波反投影算法的重构时间较长，因为多了卷积、滤波这个步骤，使重构时间加长。
不过在实际应用中，这个时间增加不会有很大影响，但是质量却明显变好，所以，实际应用中一般采用此方法。
5 总结滤波反投影法是重构图像基本常用的算法，也是其他多种算法的基础。
在医学CT 等领域中的应用较为广泛。
但是这种算法的关键是选取的何种滤波函数，会直接影响重建图像的质量。
除了滤波函数对图像质量有着较大的影响外，根据抽样定理，投影数和抽样间距均对重建图像的质量有影响[2]。
以后的工作中也应对抽样间距进行研究。
CT反投影滤波重建算法设计
地理与生物信息学院2011 / 2012 学年第二学期实验报告课程名称：医学图像处理和成像技术实验名称：CT反投影滤波重建算法设计班级学号: B********学生姓名: ****指导教师: ****日期：2012 年 4 月一、实验题目：CT反投影滤波重建算法设计二、实验内容：1.显示图像；2.获得仿真投影数据；3.基于获得的仿真投影数据重建图像。
三、实验要求：1.画出Shepp-Logan头模型，显示尺寸为128×128；2.从头模型中获得投影数据，投影数据格式为180×185；3.基于获得的仿真投影数据重建图像，使用R-L卷积函数，重建尺寸为128×128。
四、实验过程：1.显示图像：①算法实现流程：I. S-L头模型由10个位置、大小、方向、密度各异的椭圆组成，象征一个脑断层图像。
将模型中的椭圆参数写入一个p矩阵中，方便使用其中的数据，并设定所需参数。
II. 使用循环语句给像素赋值：for i=1:10for x….for y…..判断点(x, y)是否在第i个椭圆内;如是,则将第i个椭圆折射指数赋给点(x, y);endendendIII. 显示仿真头模型，使用imshow(f,[])函数显示出图像。
②实验代码：clear all;p=[0 0 0.92 0.69 pi/2 10 -0.0184 0.874 0.6624 pi/2 20.22 0 0.31 0.11 72/180*pi 0-0.22 0 0.41 0.16 108/180*pi 40 0.35 0.25 0.21 pi/2 50 0.1 0.046 0.046 0 60 -0.1 0.046 0.046 0 7-0.08 -0.605 0.046 0.023 0 80 -0.605 0.023 0.023 0 80.06 -0.605 0.046 0.023 pi/2 8];N=256;x=linspace(-1,1,N);y=linspace(-1,1,N);f=zeros(N,N);for i=1:Nfor j=1:Nfor k=1:10A=p(k,3);B=p(k,4);x0=p(k,1);y0=p(k,2);x1=(x(i)-x0)*cos(p(k,5))+(y(j)-y0)*sin(p(k,5));y1=-(x(i)-x0)*sin(p(k,5))+(y(j)-y0)*cos(p(k,5));if((x1*x1)/(A*A)+(y1*y1)/(B*B)<=1) %判断条件f(i,j)=p(k,6);endendendendf=rot90(f);imshow(f,[])③运行结果：2. 获得仿真投影数据：①算法实现流程：I. 取θ∈ [00, 10, ..., 1790]， s ∈[-92, -91, ..., 91，92]，即表示在[0 1790]范围内角度每隔10度取样，每个角度下有185个探测器。
基于滤波反投影算法的CT系统成像研究
基于滤波反投影算法的CT系统成像研究摘要：CT系统的安装会使得旋转中心发生偏离，从而影响成像质量，因此需要借助于已知结构的样品来标定CT系统的参数，并且利用标定的参数对未知结构的样品进行图像重建。
首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，通过成像图像可知，滤波反投影算法更优；旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，依次进行旋转、平移、裁剪和残影去除操作，来校正投影图像，从而得到较高质量的图像。
关键词：CT成像原理（影像医学与核医学）；滤波反投影法；图像重建；吸收率引言CT(Computed Tomography)是用X线束从多个方向对人体检查部位具有一定厚度的层面进行扫描，由探测器而不用胶片接收透过该层面的X线，转变为可见光后，由光电转换器转变为电信号，再经模拟/数字转换器转为数字，输人计算机处理。
数字矩阵中的每个数字经数字/模拟转换器转为由黑到白不等灰度的小方块，称之为像素，并按原有矩阵顺序排列，即构成CT图像。
所以，CT图像是由一定数目像素组成的灰阶图像，是数字图像，是重建的断层图像。
首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，将图像重建[4-6]的两种结果进行对比，得出效果较好的模型；然后，旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，通过旋转、平移、裁剪和残影去除等操作来校正投影图像，最后对图像进行标准化调整，从而提高了成像质量。
1 模型的准备与建立1.1 CT成像的数学基础Rand变换如图1所示，直线g是xOy平面内任意一条直线，t是原点到直线g的距离，φ为原点到直线g的垂线与x轴的夹角。
对于xOy平面内任意一条直线可以由(t,φ)唯一确定。
二维平面中函数f(x,y)沿着直线的积分等于其Rand变换。
中心切片定理中心切片定理是CT图像重建算法的基础，在非衍射源情况下，含义是图像在某个视角下平行投影的一维Fourier变换等同于该图像二维Fourier变换的一个中心切片。
滤波反投影重建对CT系统研究
滤波反投影重建对CT系统研究确定CT系统旋转中心的位置、探测器单元的间距及X射线的180个方向[1];利用MATLAB获得模板示意图，对其处理得探测器单元间隔;建立坐标系，让X 射线入射光线与椭圆和圆的交线长度为约束条件，运用最小二乘法求得目标函数，利用遗传算法在MATLAB实现得到X射线的180个方向;重复上述方法旋转中心满足的约束条件和目标函数，得出旋转中心坐标，确定未知介质在正方形托盘的位置、几何形状和吸收率并利用滤波反投影法中的函数实现重建图像求得该介质的吸收率情况和10个位置处的吸收率.标签：遗传算法;滤波反投影;CT系统;最小二乘法0 引言CT系统就是利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，可以获取样品内部的结构信息。
但是CT系统安装时容易出现误差，所以要进行参数标定，并据此对未知结构的样品进行成像。
在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离及该CT系统使用的X射线的180個方向。
1.求探测器单元之间的距离在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板的几何信息，可以利用MATLAB对其进行计算绘制出该模板示意图（见图1）通过对比已知模板示意图可知右侧介质直径为8毫米。
然后对每一点的吸收率进行整理，利用MATLAB中的函数，利用这个函数将矩阵A中的元素数值按大小转化为不同颜色，并在坐标轴对应位置处以这种换颜色染色[2]，其中决定坐标范围，是两个二维向量，即的范围内染色，根据图像及处理后的数据发现有84个角度没有穿过椭圆部分，对这84个角度进行统计得到有71个角度有29个探测器单元数据，对统计数据求取平均值估计探测器单元间隔d代入数据可得探测器单元间隔。
2.CT系统使用的X射线的180个方向通过CT成像的基本原理：X射线在穿过物质时，其强度的衰减与物质的厚度及入射辐射强度成正比，比例系数记作k，称为衰减系数，也等同于吸收系数，它代表X射线穿过单位厚度的物质时强度减少的比例，则吸收率W为W=kl根据为每一点的吸收率，则可以知道某次旋转时第个探测器上某点的吸收率和第个探测器上该点的吸收率。
CT图像重建滤波反投影算法中指数滤波器的研究
Ｊ—一
４）将ｏ。～１８０。的所有修正过的投影函数Ｑ（ｆ）作直接反
投影计算，得到断层图像ｆ（ｘ，ｙ）。
ｒⅡ
ｒｏ
ｆ（ｘ，ｙ）一ｌ Ｑ（ｔ）ｄ０一Ｉ Ｑ（ｘｃｏｓＯ＋ｙｓｉｎ０）ｄＯ
（３）
√Ｕ
ＪＵ
３滤波器的设计原则
滤波反投影算法从理论上解决了由投影重建图像的问
题，但在该算法实现的过程中滤波的选择起到关键性作用，滤
本文受中央高校项目（３１９２０１３００１６０）资助。 骆岩ｊｚｌ＂（１９７３－－），女，博士生，主要研究方向为ＣＴ图像处理技术，Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｕｏｙｈ＿ｌ（勇１６３．ｃｏｗｌ。
·万２方２０数·据
状伪影，在重建算法中需要引入一种特殊的函数一一滤波函
数。 在ＦＢＰ算法中，常见的滤波函数有Ｒ－Ｌ滤波函数［２］和
ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｏｆ ｖｉｔａｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｔｏ ｔｈｅ ｊｕｄｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｍｏｎｉｔｏｒ ｒｅｓｕｌｔｓ．Ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ
ｉｓ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｆｒｏｍ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｄａｔａ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｏｒ ａｎａｌｙｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｂａｓｅｄ
了选择得到较好的重建图像分辨率，要求窗函数的选择应该
遵守一定的原则：
１）主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带； ２）最大旁瓣相对主瓣尽可能小，以改善通常的平稳度和
增大阻带的衰减。
但一般有高而窄的中央突出的窗函数，它的旁瓣也很突
出。所以，实际中不能一味地要求分辨率高，否则会引起严重
的Ｇｉｂｂｓ现象。另外，窗函数的选择还取决于实际构件内部
反投影重建算法
反投影重建算法介绍反投影重建算法是一种常用于医学图像重建的技术，它通过将多个投影图像反向投影到空间中，来重建出原始物体的三维形态。
该算法基于X射线摄影和计算机图形学的理论，被广泛应用于医学成像领域，尤其是计算机断层扫描(CT)。
基本原理反投影重建算法的基本原理是通过测量某物体在不同角度下的投影数据，然后将这些数据反向投影到空间中，得到物体的三维重建图像。
具体步骤如下：1.采集投影数据：使用X射线或其他成像设备，获得物体在不同角度下的投影数据。
这些投影数据可以通过测量X射线的衰减程度来获取。
2.投影数据的逆变换：将投影数据的方向进行反转，得到反投影数据。
这一步是算法中最重要的一步，它将每个测量点的投影数据映射回三维空间。
3.反投影重建：将反投影数据从二维空间转换为三维空间。
这可以通过将反投影数据相加来实现。
在这个过程中，需要注意对数据进行插值，以确保重建图像的精确度。
算法细节反投影重建算法的具体细节有多种实现方式，下面列举几种常见的算法：1. 直接反投影算法直接反投影算法是一种最简单的算法，它将每个投影像素直接投影回三维空间。
具体步骤如下：1.对每个投影像素点，计算它在三维空间中的坐标。
这可以通过测量点在投影平面上的位置和投影矩阵来实现。
2.将每个投影像素点的坐标值累加到三维空间的相应位置上。
这一步是反投影的核心过程，通过将每个像素点的坐标值相加，最终可以得到物体的三维重建图像。
3.可选的后处理步骤：根据需要，可以对重建图像进行滤波、增强或其他处理，以提高图像的质量。
2. 迭代反投影算法迭代反投影算法是一种更复杂但更精确的算法，它通过多次迭代求解，逐渐优化重建图像的质量。
具体步骤如下：1.初始化重建图像：将重建图像的像素初始化为某一固定值。
2.迭代求解：重复以下步骤，直到算法收敛或达到最大迭代次数：–计算投影数据的理论值：根据当前重建图像，计算预测的投影数据。
–计算误差：比较预测的投影数据与实际测量数据之间的差异，得到误差。
潘晓川教授的反投影滤波（BPF）新型重建算法介绍
本文详细介绍了潘晓川教授为首的研究小组提出的 BPF 精确重建算法 以及 BPF 算法在锥
束 扇束 CT 重建中的应用 最后介绍了潘晓川等人提出的基于目标的感兴趣区域 ROI 的 BPF
成像策略
2 基于 PI 线的锥束螺旋 BPF 重建算法
2004 年 潘晓川等人提出了一种有别于 Katsevich 算法的精确锥束螺旋 CT 重建算法 该算 法的重建思想是建立在 PI 线的概念基础之上的 PI 线的概念最早是 1997 年由 Danielsson 等提出 的 在 PI 线的基础上 Danielsson 等提出了用于解决锥束螺旋 CT 近似重建的 PI 算法 PI 线的概
?在锥束螺旋ct精确重建理论中人们已经证明了精确重建螺旋线内的物体三维信息理论上需要的二维探测器上的最少投影数据包含在tamdanielsson窗内9tamdanielsson窗在一系列基于三维radon变换的锥束螺旋ct重建算法中起到了关键的作用katsevich的fbp形式的锥束螺旋ct精确重建算法也用到了tamdanielsson窗的概念但他的重建算法需要比tamdanielsson窗更多的投影数据才能够精确重建出物体的三维图像而潘晓川等人的bpf形式的锥束螺旋ct精确重建算法只需要二维探测器上tamdanielsson窗内的投影数据也就是说bpf重建算法仅仅需要理论上最少的投影数据就可以精确重建出螺旋轨道扫描范围内的物体三维图像这是bpf重建算法相对于其他算法的最重要的不同之处10r20r螺旋线扫描轨道pi线万方数据70ct理论与应用研究15卷根据潘晓川等人的文献bpf算法的重建过程步骤如下1对每个角度下的锥束投影数据进行求导??00rqrpqrqrg??1上式中0qr表示锥束源点轨道上的一个点q都是是该源点的角度坐标r表示从角坐标1到2的pi线上的任意一点?0rqrp表示在锥束源点0qr处的某条方向为?r的x射线穿过物体后的投影2由求导后的投影数据对螺旋轨道内每条pi线上的物体图像点进行加权反投影反投影积分的角度范围是该pi线对应的角度范围12?21?00rrgrrdrg2上式中0r表示锥束源点轨道上的一个点由公式2pi线上r点处的rg是由求导后的投影数据在12的角度范围内进行加权反投影得到的3对加权反投影得到的pi线上的数据沿着该条pi线求hilbert变换得到物体在该线上的重建结果??????????????cxdxgxxxxxxxxxxxfxx21121211212213上式中21x既是公式2中pi线上点r的另外一种表示形式c是沿着pi线方向的投影值1x2x代表pi线的两个端点4对螺旋轨道内所有pi线上的物体重建结果进行重采样得到物体的三维重建图像由公式3得到的是物体沿各条pi线上的采样图像一般情况下我们需要得到的是笛卡儿坐标系下均匀采样的物体三维图像因此需要对3中得到图像进行重采样例如在螺旋锥束ct重建中经过重采样的最终图像可以由下面公式得到21xfzyxf4????????1sinsin1coscos1212121thhtzttryttrx5其中10t2005年潘晓川等人在bpf算法的基础上提
基于滤波反投影法的CT系统参数标定及图像重建问题
摘 要：本文以CT图像成型为背景，研究如何利用传感器接收的数据进行图像成型。根据附件中的数据，综合多种数学基多组数据进行计算和处理，得出图像形状和大小，并分析了多种因素对图像成型效率的影响。
关键词：X射线成像原理 CT系统 中心切片定理 滤波反投影法(FBP)
科技创新导报 2018 NO.07 Science and Technology Innovation Herald
中图分类号：TP391
文献标识码：A
文章编号：1674-098X(2018)03(a)-0105-02
1 研究背景 计 算 机 断层成像 技 术（C T）是 一种 无损 技 术，它 广泛 应 用
于 各 个 领 域，如 医学 诊 断、工业 检 测、机 场 安 检 及 文 物 修 复等 领 域，特 别 是 在 医 学 疾 病 的 预 防、诊 断 治 疗 方 面 有 着 重要 的 作用。它 能 利 用 发 射 器和 探 测 器对 病 人身 体 组 织 进 行多角 度 断层扫 描，经 过 光电 转 换、模 数 转 换，将 投 影 信息 转 换 成 数 字 信号。医生可以通过观察断层图像来获得重要的参考数据，进 而用于预防、诊断和治疗，为诊断疾病提供了一种好方法。
一 般 地 ，物 体 在 x y 平 面 内 都 不 均 匀 ，即 衰 减 系 数
u =u (x,y)，则在某一方向l，沿某一路径L的总衰减为:
= ( ) (2) 此即射线投影。显然测得I 0与I，即可知道∫udl。我们根据一
系列的投影∫udl，推求被积函数u 。这样就能得出相应于u 分布 (从而得出密度分布)的图像，这就是从投影重建图像。 3.2 Randon变换
基于滤波反投影算法的CT系统参数标定及成像研究
基于滤波反投影算法的CT系统参数标定及成像研究摘要本文主要针对CT系统的参数标定以及成像进行研究，在大致介绍CT设备及其成像原理的基础上，对题目所给问题进行分析计算解答，并采用基于滤波反投影重建算法的逆Radon 变换等算法对数据进行处理分析，得出结果，经过误差分析后，与CT系统自身特点相结合，结果比较理想。
问题一:根据X射线与标定模板的特殊位置如图（4）和图（8），两位之间角度90o，分析特殊位置图形，然后用MATLAB软件可画出CT系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次的图，找到与特殊位置图形描述相近的图形，发现两特殊位置旋转次数差为90次，由此确定X射线的180个方向，探测器单元之间的距离=椭圆的长轴长/长轴长投影在探测器上单元的数量，由于旋转中心的位置和椭圆中心的位置相对不变，所以根据x和y的偏移量来确CT系统旋转中心在正方形托盘的位置。
问题二：建立CT系统滤波反投影重建算法，用iradon函数对附件2接收信息数据逆变换，即可得到出未知介质的吸收率，未知介质的几何形状，位置等信息。
问题三：由题意可知，该题同问题二相似，只是要求求另一种未知介质的相关信息，所以此题所用数学方法和问题二相同。
问题四：题目所给标定模型存在一定的规律性，并且容易受外界环境的影响，因此计算得到的CT系统参数存在误差。
所以我们自行设计了新的模板来改进标定精度和稳定性。
关键词：特殊位置、滤波反投影重建算法、逆Radon变换一、问题重述CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。
一种典型的二维CT系统是平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。
X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。
对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT图像重建滤波反投影析算法的精度研究 (1)
通过采用归一化均方距离判据 d 和归一化平均绝对距离判 据 r 两个参数对重建图像的质量进行评估。 设重建图像的大小 NˑN, t ij 表示模型图像的第 i 行和第 j 列 的线性衰减系数， r ij 表示重建图像的第 i 行和第 j 列的线性衰减
t 表示模型的平均衰减系数，则 d 和 r 的定义如下式所 系数， ˉ
i =0 n -1
图1
实验用仿真模型及 00 采集示意图
（5）
复合 Sim pso n 公式: M( f ) =
h ( f (x ) + 4f (x ) + f (x )) （12） i i+1 i+ 1 6∑ 2 i =0
n -1
该公式中，最后一个节点也用上了，对于反投影过程而 言，可以采用 00 投影信号的反褶方法求取最后一个节点即 1800 的投影信号。 这 4 种方法在工程应用中都有它们不同的应用场合。黎曼 和积分方式虽然运算速度快但是精度较低，复合 Sim pso n 公式 的精度较高但是运算速度较慢，复合中点公式和复合梯形公式 的精度和速度介于这几个公式其间。 2 FBP 算法中不同积分方法对精度的影响 比较反投影过程的 3 种积分方法：黎曼和积分、复合梯形 公式和复合 Sim pso n 公式，对 CT 图像重建的精度的影响。仿 真试验的实验条件如下： 运用滤波反投影算法重建一个包含 4 细圆柱插到 1 个粗圆 （7） 柱模型的某断层模型。探测器需要在每个角度采集 101 点（采 样间隔为 0.1c m ） ，共通过 180 个角度的投影（角度步进间隔为 （8） 1 度） ，采用 SL 滤波器；采用卷积运算方式滤波，通过像素驱 动方式反投影。重建图像均以旋转中心为图像中心的 101ˑ101 的重建出的图像。 表 1 模型的参数说明表 （9）
ct滤波反投影算法重建精度研究
CT滤波反投影算法重建精度研究摘要锥形束CT具有射线利用率高、扫描时间短、纵向分辨率高等优点，因此被广泛应用于实际。
锥形束CT重建算法中滤波反投影算法由于数学形式简单，易实现，得到了广泛应用。
但是受实际应用条件的限制，随着扫描半径的减小，锥角增大，重建质量会下降。
基于这个问题，本文主要研究内容如下：（1）首先研究了扫描半径对扇形束FBP算法重建精度的影响，实验结果表明，扫描半径越大，重建图像质量越好；接着研究了加权函数对重建精度的影响，实验结果表明常数0.5加权比一般加权误差更大。
同时将以上结论推广到锥束FDK算法。
（2）平行重排(PFDK)算法是FDK算法的一种推广，针对FDK算法随着锥角增大重建精度下降的问题，给出了一种三维加权PFDK图像重建算法，并研究了重排过程中径向插值间隔对重建图像质量的影响，分别采用三种不同插值总数（插值间隔分别是1单位，0.5单位，0.25单位）重排数据。
实验结果表明给出的三维加权PFDK算法可有效减少锥角对重建结果的影响，且当采用2倍插值总数时重建结果较好。
关键词：短扫描，滤波反投影，平行重排，三维加权算法，插值间隔Research on the Precision of Reconstruction ofCT Filter Back Projection AlgorithmAbstractThe cone beam CT has been widely used in practice because of its advantages such as high radiation efficiency, short scanning time and high resolution. The filtered back projection algorithm of cone beam CT is widely used because of its simple mathematical form and easy implementation. However, due to the limitation of practical application coditions, with the decrease of scanning radius, the cone angle increases, and the quality of reconstruction decreases. Based on this problem, the main contents of this paper are as follows: Firstly, we study the effect to reconstruction accuracy of fan-beam FBP algorithm from the scanning radius of the imaging system, the experimental results show that the reconstruction quality is better with the larger scan radius; and study the effect to reconstruction accuracy from the weighting function, and the experimental results show that the constant weighting causes lager errors than the general weighting. At the same time, the above conclusions are extended to the cone-beam FDK algorithm.The PFDK is the one algorithm of the extending FDK algorithm. Artefacts in images reconstructed by the FDK algorithm deteriorate with increasing cone angle, to solve this problem, a three-dimensional weighted PFDK algorithm for image reconstruction is presented in this paper, Simultaneously studying the effect to quality of reconstruction image from different interpolation interval in the radial direction, we compare the reconstructed results of using the total number of three different interpolation (interpolation interval are 1 unit, 0.5 units, 0.25 units respectively). The experimental results showed that the impact of the cone angle can be effectively reduced by the given algorithm, and we can get satisfactory reconstruction when using two times the total number of interpolation.Key words: short scan, filtered back-projection, parallel rearrangement, a three dimension- al weighted algorithm, interpolation interval目录第一章绪论 (1)1.1课题研究背景及意义 (1)1.2短扫描扇形束FBP重建算法的国内外研究现状 (2)1.3圆轨迹锥形束FDK重建算法的国内外研究现状 (3)1.4论文的主要工作及结构安排 (4)第二章CT成像基础知识 (6)2.1CT成像原理 (6)2.2图像重建的基本理论 (7)2.2.1 Radon变换及其逆变换 (7)2.2.2 傅里叶切片定理 (8)2.3基于滤波反投影的经典CT重建算法 (11)2.3.1 全扫描扇形束FBP重建算法介绍 (11)2.3.1.1 等角采样的重建公式 (11)2.3.1.2 等距采样的重建公式 (13)2.3.2 FDK重建算法介绍 (14)2.4图像重建算法评价 (15)2.5本章小结 (16)第三章短扫描扇形束FBP重建精度研究 (17)3.1短扫描 (17)3.2短扫描FBP重建算法的有误分析 (18)3.3扫描半径对重建精度的影响 (21)3.3.1 短扫描情况 (21)3.3.2 全扫描情况 (26)3.4加权函数对重建精度的影响 (28)3.5锥角对重建精度的影响 (29)3.6本章小结 (32)第四章三维加权PFDK重建算法研究 (33)4.1PFDK重建算法 (33)4.1.1 锥形束平行几何结构 (33)4.1.2 PFDK算法 (34)4.2三维加权PFDK重建算法的提出 (35)4.2.1 二维加权PFDK重建算法 (36)4.2.2 三维加权PFDK重建算法 (36)4.3仿真实验结果及分析 (38)4.4实际实验结果与分析 (41)4.5本章小结 (42)第五章总结与展望 (43)5.1研究主要内容及成果 (43)5.2存在的问题及以后的工作展望 (44)参考文献读硕士学位期间发表的论文致谢第一章绪论1.1 课题研究背景及意义在实际生活中，人们往往需要了解一个物体的内部构造，但由于受到各种条件的限制而无法实现。
用反投影滤波算法实现CT图像的ROI重建
用反投影滤波算法实现CT图像的ROI重建
洪贤勇;乔志伟
【期刊名称】《电视技术》
【年(卷),期】2014(38)7
【摘要】为了实现感兴趣区域(Region of Interest,ROI)的重建,使用了一种利用微分和有限希尔伯特变换的局部特性的反投影滤波(back projection fiheration,BPF)算法.该算法是一种理论上精确的ROI重建算法,首先对仅仅覆盖ROI区域的投影数据微分,然后反投影到ROI区域,最后沿着覆盖ROI区域的PI线做有限希尔伯特滤波得到ROI图像.仿真实验表明BPF算法和经典的滤波反投影(Filtered Back Projection,FBP)算法的全局重建的精度基本相同,但该算法可以实现精确的ROI重建,而FBP算法因不具有局部特性,不能实现ROI重建.在实现有限希尔伯特变换时,采用了加权希尔伯特变换的方法,有效地避免了图像两边的亮条伪像.
【总页数】4页(P29-32)
【作者】洪贤勇;乔志伟
【作者单位】中北大学计算机与控制工程学院,山西太原030051;中北大学计算机与控制工程学院,山西太原030051
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.图像域迭代重建算法与滤波反投影法对肝脏CT图像质量和扫描剂量影响的比较研究 [J], 赵君禄;李敬玉;任庆云;郑立冬;王猛
2.基于FHT和MSBP的CT图像滤波反投影重建方法设计 [J], 范慧赟;卢健康
3.基于Hamming窗的滤波反投影CT图像重建算法 [J], 于尚民
4.CT图像重建滤波反投影算法中指数滤波器的研究 [J], 骆岩红
5.CT图像重建滤波反投影析算法的精度研究 [J], 骆岩红
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关于滤波反投影图像重建算法的研究
Research on image reconstruction algorithm of
filtered back projection
作者： 李静
作者机构： 周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001
出版物刊名： 周口师范学院学报
页码： 74-76页
年卷期： 2016年 第2期
主题词： 图像重建;滤波反投影;滤波函数;傅里叶变换;Radon变换
摘要：CT是投影重建图像的应用技术之一,已广泛应用于自然科学的各领域中.目前CT图像重建算法多采用滤波反投影算法.本文在图像重建的理论基础上,利用滤波反投影算法的基本原理,对R-L,S-L,Hamming滤波函数和新滤波函数分别进行了计算机仿真对比实验.实验结果表明利用滤波反投影较好地重建图像,关键是滤波函数的选择.。
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对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。
本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。
学位论文作者签名网年;月如日西北〕,业大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论本章首先概述了图像重建和,,技术的基本概念及图像重建方法的分类，然后介绍了,,的发展及国内外研究现状，最后阐明了本文的研究目的与意义、主要工作和内容安排。
,(,图像重建与,,技术概述由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。
由这些一维投影函数来重建该二维截面则称为图像重建。
该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术(;,,,,,,, ,,,,鲫,,或;;胁,,,,,,,,,(，,,,肿,,,)，简称为;,技术。
它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层图像(故亦称断层摄影技术)，对于,射线放射诊断是一个重大突破，具有深远的实际意义，因而受到普遍的重视。
,(,(,图像重建图像重建是图像处理中一个重要研究分支，是指根据对物体的探测获取的数据来重新建立图像，其重要意义在于获取被检测物体内部结构的图像而不对物体造成任何物理上的损伤。
由于具备无损检测技术的显著优点，它在各个不同的应用领域中都显示出独特的重要性。
例如:在医疗放射学、核医学、电子显微、无线电雷达天文学、光显微和全息成像学及理论视觉等领域都多有应用。
在上述的众多领域中，图像重建在医学方面的应用最为显著。
它大大丰富了对于人体内部器官进行无损检测的方法和手段，为疾病的早期正确诊断提供了科学的、准确;的依据。
根据原始数据获取方法及重建原理的不同可分为如下几种:发射断层重建成像(,,,醛,?,,,,,;, ,,,,,,,,,,，,;砷，透射断层重建成像,,,,,,,,,,,,, ;;吼,,，,;, ,,,,掣,,,,，,?，反射断层重建成像(,,,,,;,,?,;粕,,,,,劢衄,,,,,,,，,;，)及核磁共振重建成像(,,印,,,; ,,,?卸;; ,，，，,,,,,，,,,。
西北工业大学硕士学位论文第一章绪论,(,(, ,,技术在各种图像重建算法中，计算机断层成像术即,,技术占有重要的地位。
;,技术的功能是将人体中某一薄层中的组织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对透射信息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术在显示器或其他介质上显示出来。
,(,(,图像重建的方法图像重建是,,技术中的一个重要问题。
它的实质是按照采集后的数据，求解图像矩阵中象素，然后重新构造图像的过程;而图像矩阵的求解由计算机完成。
图像重建问题的求解方法根据其特点可分为,大类。
第,类是变换重建方法,也叫解析法呐，其特点是先在连续域解析处理，最后离散化以利用计算机计算。
其中又可分成傅里叶反变换重建法和滤波(或卷积)反投影重建法。
第,类是级数展开重建法,,, ,,,(也叫代数重建法、迭代算法、优化技术等)，其特点是从开始就离散化进行分析，从而直接得到数值解。
另外还有将变换法和级数展开法相结合的综合方法，如:迭代变换法、迭代重建重投影、角谐函数重建法和正交多项式展开重建。
变换法的突出优点是实现简单，速度快，对足够精确的投影数据能获得很好的重建质量。
因此目前实用,,系统中，尤其是医用;,系统中广泛采用变换法，特别是滤波反投影类型的算法来进行图像重建。
变换法在技术上有两个主要的限制:(,)噪声特性不好。
因为变换法是基于解析求反公式的闭合形式，要求投影数据是精确的。
对于数据中的噪声，可以通过滤波步骤来适当解决。
如果我们能在投影数据输入给变换法之前，将影响投影数据不精确性的诸多物理因素进行足够的校正，则便可以认为投影数据是相当准确的，从而得到满意的重建。
(乃正因为变换法基于解析求反公式的闭合形式，所以变换法的简单与复杂强烈地依赖于数据采集扫描方式。
如果投影数据不是沿直线的简单线积分，那么可能就得不到解析求反公式的闭合形式，在这样的情况下，变换法就变得无效。
级数展开法能和特定的成像设备及数据采集物理过程的特性相结合，并能利用某些先验信息。
这类方法尤其适合于数据采集过程具有高度统计特性及某些不能获得完整数据集的场合。
并且，级数展开法不像变换法那样强烈依赖于投影数据的采集方式，适合于投影数据不是目标函数沿直线而是沿曲线的积分甚至沿带 ,西北工业大学硕十学位论文第一章绪论状区域的积分。
级数展开法最大缺点是实现起来复杂，速度慢，并且所需的存储空间大。
因此，目前在实用,,系统中多不采用(,(, ,,的发展与研究现状图像重建技术的历史比较悠久。
它的理论起源于,,,,年奥地利数学家,,,?所发表的论文,,,，文中证明了二维或三维物体的密度分布能够通过其无限多个投影来确定，数学上称之为,,,?变换。
但限于当时的技术条件而未能在工程上实现，他的论文一直未被世人重视。
由于科学技术的进步，特别是计算机科学的发展，图像重建问题重新引起了人们的兴趣，相继有不少学者进行了卓有成效的创造性研究。
,,,,年，美国科学家,(,(?,;,首先提出了用,射线投影重建断层图像的计算方法。
,,,,,年，英国肼，公司中央研究所工程师,(,(,叫蚶,,,研制成功诊断头颅用的第一台电子计算机,射线断层摄影装置，并在那一年的英国放射学年会上公布了这一装置及其应用成果，至此，才算真正设计出一个装置用来实现人体断面成像。
在,,,,年,月蒙特利尔召开的第一次国际,,会议上，这一新式的,射线显像技术被正式命名为,;胁,,,,,,(皿,,,,,,,，简称;,。
,,的问世在放射学界引起了爆炸性的轰动，被认为是继伦琴发现,射线后，工程界对放射学诊断的又一划时代的贡献。
,,,,年的诺贝尔生理和医学奖破例地授予两位没有专门医学资历的科学家:,?,,,,,,和,;悯,,;,。
从此，放射诊断学进入了;,时代。
;,装置自问世以来，在其后的十多年内获得了极大发展，已从第一代产品发展到了第五代产品。
除,—,,(用,射线作为辐射源，叫作,射线,,田以外，其他形式的;,也相继问世，如单光子发射;,(,,,;,、正电子发射叫,,，简称,—,,)、核磁共振;,(,,,一叨等均已付诸临床应用。
超声,,、微波;,的研究也取得了极大的进展。
应该指出，各类;,的功能是相互补充而不是相互替代的。
;,作为一种高性能的无损诊断技术显然已在医学成像领域确立了不可动摇的地位。
实际上，临床上使用的,—;,设备的性能近年来又有了明显的提高。
为了进一步提高扫描速度，一些快速扫描装置相继诞生。
螺旋式超高速,,甚至可以对慢运动组织进行商分辨率的检查，并能提供人体组织的三维图像。
,,作为一种技术，既有坚实的数学理论为依托，又有现代微电子技术与计算机技术相支持，它已在工业无损检测、地球物理的研究、农林业和环境保护方 ,西北工业大学硕，学位论文第一章绪论面得到了广泛的应用。
,(,研究目的与意义在图像重建的变换重建方法中，滤波反投影算法(】,,,,,犯,,,;,,,,,;;,,?，,,,)是影像重建中应用最广泛的一种算法，在当代,射线,,系统中几乎都用这种方法构成系统。
滤波反投影算法又称卷积反投影算法，因为频域上的滤波相当于空域上的卷积运算。
滤波反投影法大量实用的原因是它的基本算法很容易用软件和硬件实现，而且在数据质量高的情况下可重建出准确清晰的图像。
,,,,,,变换(,,,,;, ,,姐,,,珊，,,是由著名数学家,(,(,(,,,,,,于,,,,年提出的一种正交变换,,,，它类似于,,,，,,;,变换(,,,,,盱,,柚,,,加，,,，但它定义在实数域内，比,,简单。
离散,变换(,,,;,;,, ,,,,,,,,,，,,,【,,是我国学者王中德提出的实数域上定义的一种正交变换。
,,,,年底，,(,(,,;;,;,,研究了,,,,,,变换的离散形式，称之为离散,,,,,,,变换(,,,;,;,, ,,,,,,,,,，,,叫”，它实际上是,,,的一种特殊形式。
,,,,年，?,,会刊(?,,,黟,,,,,,,, ,,,)出了一期关于,,,,,,,变换的专刊【,,，可见这种变换已在实际应用中得到了广泛重视。
在实序列数据处理中，,,不仅等效于,,，其正反交换又具有相同的形式，而且,,仅需用到实运算，在存储量和复杂性上要比,,更经济，在实数域能够替代,,进行信号和图像的处理。
有学者基于重建图像象素和投影射线之间在不同的投影方位上所存在的几何关系，提出了平行射束常规反投影的多方位同时反投影伽,,,,,,,;,,,,,?,,,,,柚,,,,咖,,,,,,,?,,,,;,,删;;,,?，,,,,)方法,,,。
本文将,,,,,,变换和,,,,方法应用到,,图像的滤波反投影重建方法中，在保持精度不变的前提下，可较大地减少所需的存储空间和计算量。
,(,主要工作和章节安排论文主要完成的工作有: (,) 对图像重建及,,技术的研究和发展情况进行了总结和评述，阐明了进行图像重建的目的和意义。
(,) 对,,图像的反投影重建算法进行了详细的介绍，集中讨论了滤波 ,西北工业大学硕士学位论文第一章绪论反投影重建算法的计算机实现的具体步骤。
(,) 对与,,,，,,,变换平行的一种正弦正交变换—,,,,,,变换进行了探讨，根据用,,,,;,变换导出的滤波反投影重建算法重建,,图像，由此重建算法较,,,,,,,方法将有大约一半计算量和存储空间的节省。
将平行射束常规反投影的多方位同时反投影(,,,,)方法应用于 ;,图像的滤波反投影重建方法中，使象素定位操作中的计算量减少到传统反投影算法的,,,。
(,) 对(刁、(,)中采用的算法分别用,,?曲进行了编程仿真，证明了算法的可行性，并对(,)中的方法与传统反投影方法的计算量和存储空间进行了比较和分析。