2413弧弦圆心角文稿演示
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24.1.3 弧、弦、圆心角(公开课)PPT教学课件
.
28
∵∠AOB＝∠AO'B'
∴AB＝A'B'
⌒ ⌒ AB ＝ A'B'
11Biblioteka .定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆 或等圆中”去掉？为什么？ B' A'
B
·
.
A
12
等对等定理
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角 _____， 所对的弦________； 量也相等．
24.1 24.1.3
圆的有关性质 弧、弦、圆心角
R· 九年级上册
.
1
重点：弧、弦、圆心角关系定理. 难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.
.
4
推进新课
知识点 1 圆的旋转不变性
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形
·
.
它的对称中心是圆心
5
知识点 2 圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 A
• 则∠COD=
60°
.
. 17
• 3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= 40° ．
⌒
.
18
• • • • • •
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数. 解： ∵AB=AC， ⌒ ⌒ ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
A
显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B'
人教版九年级上册数学课件：24.1.3弧、弦、圆心角(共20张PPT)
B＇ AB = A＇ AB=A＇ B＇ B＇ O A＇ B A
这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相 同圆或等圆 相等 ， 等，那么它们所对的圆心角______ 中，两个圆心角、 相等 ； 所对的弦______ 两条弧、两条弦 在同圆或等圆中，如果两条弦相 中有一组量相等， 相等 ， 等，那么它们所对的圆心角______ 它们所对应的其 相等 ． 所对的弧______ 余各组量也相等．
24.1.3
弧、弦、圆心角
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习 圆的又一个重要性质，主要研究弧，弦， 圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、 两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它 们所对应的 其余各组量也相等． • 学习重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关 系．
1.引入新知
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心， 它具有旋转不变性.
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O · B
2．探究新知
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A＇ OB＇ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ ∠AOB=∠A＇ OB＇
如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦： AOB=∠COD ； （1）如果 AB=CD，那么________ ______________ AB= CD ，∠ （2）如果 AB = CD，那么________ ______________ AB=CD ，∠ AOB=∠COD ； AB=CD ； （3）如果∠AOB=∠COD，那么________ AB= CD ，_______ （4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 相等． 与 OF 相等吗？为什么？ 因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD． B E 又因为 AO=CO，BO=DO， A D 所以 △AOB ≌ △COD． O 又因为 OE 、OF 是 AB 与 CD F 对应边上的高， 所以 OE=OF． C
这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相 同圆或等圆 相等 ， 等，那么它们所对的圆心角______ 中，两个圆心角、 相等 ； 所对的弦______ 两条弧、两条弦 在同圆或等圆中，如果两条弦相 中有一组量相等， 相等 ， 等，那么它们所对的圆心角______ 它们所对应的其 相等 ． 所对的弧______ 余各组量也相等．
24.1.3
弧、弦、圆心角
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习 圆的又一个重要性质，主要研究弧，弦， 圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、 两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它 们所对应的 其余各组量也相等． • 学习重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关 系．
1.引入新知
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心， 它具有旋转不变性.
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O · B
2．探究新知
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A＇ OB＇ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ ∠AOB=∠A＇ OB＇
如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦： AOB=∠COD ； （1）如果 AB=CD，那么________ ______________ AB= CD ，∠ （2）如果 AB = CD，那么________ ______________ AB=CD ，∠ AOB=∠COD ； AB=CD ； （3）如果∠AOB=∠COD，那么________ AB= CD ，_______ （4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 相等． 与 OF 相等吗？为什么？ 因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD． B E 又因为 AO=CO，BO=DO， A D 所以 △AOB ≌ △COD． O 又因为 OE 、OF 是 AB 与 CD F 对应边上的高， 所以 OE=OF． C
人教版九级数学上2413弧弦圆心角(共53张PPT)[可修改版ppt]
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⌒⌒
AB=CD
，那么__A__B_=，CD___A_O_B__．COD
（3）如果∠AOB=∠COD，那么A__B⌒_=_C⌒_D，__A_B_=．CD
A
E
B
O·
D
F C
2.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
(4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F， OE与OF相等吗？为什么？
解: 相 等 因为AB=CD ，
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆 重合。
180°
所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转任意角度后仍与原来 的圆重合。
180°
圆有旋转不变性
一、概念
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
∠AOB为圆心角
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
三个量：
圆心角
所对的弧 所对的弦
A O·
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
探究1
B′
A′ B
·
O
A
A′ B
B′
·
O
A
已知：∠AOB＝∠A′OB
B
D
垂径定理的推论：
② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2020秋人教版数学九年级上册-24.1.3 弧、弦、圆心角-优秀教学课件
又Q OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
巩固练习
24.1 圆的有关性质/
连接中考
（2018•中考）把一张圆形纸片按如图所示方式折 叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度 数是（ C ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
解析：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E， 由题意可得：EO= 12BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30°， 故∠BOD=30°，则∠BOC=150°．
°
圆是中心对称图形
探究新知
24.1 圆的有关性质/
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的
圆重合吗？
α
·
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探究新知
24.1 圆的有关性质/
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A
O·
B
·O
A
B
顶点在圆心上
探究新知
24.1 圆的有关性质/
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 A⌒B.
E
B
（1）如果AB=CD，那么___A_B__=_C_D___， O·
D
∠__A_O__B_=__∠COD _．
F C
（2）如果 AB=CD ，那么___A_B__=_C_D____，
∠__A__O_B_=__∠__C_O__D．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____A_B_=__C_D___，
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条
件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
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∴选项 A，B，C 均不对．故选 D.
24.1.3 弧、弦、圆心角
2．如图 24－1－31，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的 一点，且A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的 2 倍，则圆心 角∠BOD＝___6_0____°.
图 24－1－31
24.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.3 弧、弦、圆心角
7．如图 24－1－35，在⊙O 中，C 是A︵B的中点，∠A＝50°，则 ∠BOC＝____40____°.
图 24－1－35
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵在⊙O 中，OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°， ∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝80°. ∵C 是A︵B的中点，∴∠BOC＝12∠AOB＝40°.
2413弧弦圆心角
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
24.1.3 弧、弦、圆心角
A 知识要点分类练
知识点 1 圆心角的概念及其计算
1．下面四个图中的角，是圆心角的是( D )
图 24－1－30
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵圆心角的顶点必须在圆心，
∵AO＝BO，∴AO－OD＝BO－OE，即 AD＝BE.
24.1.3 弧、弦、圆心角
14．如图 24－1－42，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，连接 BD，DE.求证：BD＝DE.
24.1.3 弧、弦、圆心角
10．如图 24－1－38 所示，在⊙O 中，如果A︵B＝2A︵C，那么( C )
A．AB＝AC
B．AB＝2AC
C．AB<2AC
D．AB>2AC
【解析】取A︵B的中点 D，连接 AD图，B2D4，－则1︵ A－D＝3B︵8D＝A︵C，∴AD＝BD＝AC.又∵在△ABD
中，AB＜AD＋BD，∴AB＜2AC.
①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④A︵C＝B︵D.其中正确的有
( D) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
图 24－1－37
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵A︵B＝︵ CD，根据同弧所对的弦相等，∴AB＝CD，故①正确．∵︵ AB －C︵B＝︵ CD－︵ CB，∴A︵C＝B︵D，故④正确．根据同弧所对的弦、圆心角都相等， 得②③正确．
3．在半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 的长为 2，则弦 AB 所对的圆心
角的度数为___6_0_°___．
【解析】如图，连接 OA，OB.
∵OA＝OB＝AB＝2，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB＝60°. 故弦 AB 所对的圆心角的度数为 60°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 2 弧、弦、圆心角之间的关系
图 24－1－40
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵C 是A︵B的中点，∴∠AOC＝∠BOC.又∵∠AOB＝120°，∴∠AOC ＝∠BOC＝60°，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴OA＝OB＝CA＝CB＝3， ∴四边形 AOBC 的周长等于 12.
24.1.3 弧、弦、圆心角
13．2017·牡丹江 如图 24－1－41，在⊙O 中，A︵C＝C︵B，CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E.求证：AD＝BE.
图 24－1－41
24.1.3 弧、弦、圆心角
证明：连接 OC， ∵A︵C＝︵ CB，∴∠AOC＝∠BOC. ∵CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
∠DOC＝∠EOC，
在△COD 与△COE 中， ∵∠CDO＝∠CEO， CO＝CO，
∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.
图 24－1－32
24.1.3 弧、弦、圆心角
5．已知：如图 24－1－33，AB 是⊙O 的直径，C，D 是B︵E的三等 分点，∠AOE＝60°，则∠COE 等于( C )
A．40° B．60° C．80° D．120°
图 24－1－33
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵C，D 是︵ BE的三等分点，
∴B︵C＝︵ CD＝︵ DE，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.
∵∠AOE＝60°，
1
1
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝3(180°－∠AOE)＝3(180°－60°)＝40°，
∴∠COE＝80°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
6．如图 24－1－34 所示，AB 是⊙O 的直径，BC，CD，DA 是⊙O 的
弦，且 BC＝CD＝DA，则∠B 等于( B )
4－1－34
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】连接 OC，OD.∵BC＝CD＝DA，∴∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝13×180° ＝60°，∴△OBC，△OCD，△AOD 都是等边三角形，∴∠B＝60°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
11．如图 24－1－39，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝ 35°，以点 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB 于点 D，则A︵D所对的
圆心角为___7_0____度．
图 24－1－39
24.1.3 弧、弦、圆心角
12．如图 24－1－40 所示，A，B 是半径为 3 的⊙O 上的两点，若 ∠AOB＝120°，C 是A︵B的中点，则四边形 AOBC 的周长等于___1_2____．
24.1.3 弧、弦、圆心角
8．如图 24－1－36 所示，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相等． 求证：A︵D＝B︵C.
图 24－1－36
证明：∵AB＝CD，∴︵ AB＝︵ CD， ∴A︵B－︵ DB＝︵ CD－D︵B，即A︵D＝︵ BC.
24.1.3 弧、弦、圆心角
B 规律方法综合练 9．已知：如图 24－1－37，在⊙O 中，A︵B＝C︵D，则下列结论：
4．如图 24－1－32，AB，CD 是⊙O 的两条弦． (1)∵∠AOB＝∠COD，∴__A︵_B_＝__C︵D__，__A_B_＝_C_D__． (2)∵A︵B＝C︵D，∴_∠_A_O_B_＝__∠_C_O_D__，___A_B_＝_C_D_____． (3)∵AB＝CD，∴_∠_A_O_B_＝__∠_C_O_D__，___A︵_B_＝_C︵_D_____．
24.1.3 弧、弦、圆心角
2．如图 24－1－31，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的 一点，且A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的 2 倍，则圆心 角∠BOD＝___6_0____°.
图 24－1－31
24.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.3 弧、弦、圆心角
7．如图 24－1－35，在⊙O 中，C 是A︵B的中点，∠A＝50°，则 ∠BOC＝____40____°.
图 24－1－35
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵在⊙O 中，OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°， ∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝80°. ∵C 是A︵B的中点，∴∠BOC＝12∠AOB＝40°.
2413弧弦圆心角
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
24.1.3 弧、弦、圆心角
A 知识要点分类练
知识点 1 圆心角的概念及其计算
1．下面四个图中的角，是圆心角的是( D )
图 24－1－30
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵圆心角的顶点必须在圆心，
∵AO＝BO，∴AO－OD＝BO－OE，即 AD＝BE.
24.1.3 弧、弦、圆心角
14．如图 24－1－42，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，连接 BD，DE.求证：BD＝DE.
24.1.3 弧、弦、圆心角
10．如图 24－1－38 所示，在⊙O 中，如果A︵B＝2A︵C，那么( C )
A．AB＝AC
B．AB＝2AC
C．AB<2AC
D．AB>2AC
【解析】取A︵B的中点 D，连接 AD图，B2D4，－则1︵ A－D＝3B︵8D＝A︵C，∴AD＝BD＝AC.又∵在△ABD
中，AB＜AD＋BD，∴AB＜2AC.
①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④A︵C＝B︵D.其中正确的有
( D) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
图 24－1－37
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵A︵B＝︵ CD，根据同弧所对的弦相等，∴AB＝CD，故①正确．∵︵ AB －C︵B＝︵ CD－︵ CB，∴A︵C＝B︵D，故④正确．根据同弧所对的弦、圆心角都相等， 得②③正确．
3．在半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 的长为 2，则弦 AB 所对的圆心
角的度数为___6_0_°___．
【解析】如图，连接 OA，OB.
∵OA＝OB＝AB＝2，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB＝60°. 故弦 AB 所对的圆心角的度数为 60°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 2 弧、弦、圆心角之间的关系
图 24－1－40
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵C 是A︵B的中点，∴∠AOC＝∠BOC.又∵∠AOB＝120°，∴∠AOC ＝∠BOC＝60°，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴OA＝OB＝CA＝CB＝3， ∴四边形 AOBC 的周长等于 12.
24.1.3 弧、弦、圆心角
13．2017·牡丹江 如图 24－1－41，在⊙O 中，A︵C＝C︵B，CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E.求证：AD＝BE.
图 24－1－41
24.1.3 弧、弦、圆心角
证明：连接 OC， ∵A︵C＝︵ CB，∴∠AOC＝∠BOC. ∵CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
∠DOC＝∠EOC，
在△COD 与△COE 中， ∵∠CDO＝∠CEO， CO＝CO，
∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.
图 24－1－32
24.1.3 弧、弦、圆心角
5．已知：如图 24－1－33，AB 是⊙O 的直径，C，D 是B︵E的三等 分点，∠AOE＝60°，则∠COE 等于( C )
A．40° B．60° C．80° D．120°
图 24－1－33
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】∵C，D 是︵ BE的三等分点，
∴B︵C＝︵ CD＝︵ DE，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.
∵∠AOE＝60°，
1
1
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝3(180°－∠AOE)＝3(180°－60°)＝40°，
∴∠COE＝80°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
6．如图 24－1－34 所示，AB 是⊙O 的直径，BC，CD，DA 是⊙O 的
弦，且 BC＝CD＝DA，则∠B 等于( B )
4－1－34
24.1.3 弧、弦、圆心角
【解析】连接 OC，OD.∵BC＝CD＝DA，∴∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝13×180° ＝60°，∴△OBC，△OCD，△AOD 都是等边三角形，∴∠B＝60°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
11．如图 24－1－39，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝ 35°，以点 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB 于点 D，则A︵D所对的
圆心角为___7_0____度．
图 24－1－39
24.1.3 弧、弦、圆心角
12．如图 24－1－40 所示，A，B 是半径为 3 的⊙O 上的两点，若 ∠AOB＝120°，C 是A︵B的中点，则四边形 AOBC 的周长等于___1_2____．
24.1.3 弧、弦、圆心角
8．如图 24－1－36 所示，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相等． 求证：A︵D＝B︵C.
图 24－1－36
证明：∵AB＝CD，∴︵ AB＝︵ CD， ∴A︵B－︵ DB＝︵ CD－D︵B，即A︵D＝︵ BC.
24.1.3 弧、弦、圆心角
B 规律方法综合练 9．已知：如图 24－1－37，在⊙O 中，A︵B＝C︵D，则下列结论：
4．如图 24－1－32，AB，CD 是⊙O 的两条弦． (1)∵∠AOB＝∠COD，∴__A︵_B_＝__C︵D__，__A_B_＝_C_D__． (2)∵A︵B＝C︵D，∴_∠_A_O_B_＝__∠_C_O_D__，___A_B_＝_C_D_____． (3)∵AB＝CD，∴_∠_A_O_B_＝__∠_C_O_D__，___A︵_B_＝_C︵_D_____．