静电场之均匀带电球面球体和球壳的电场

A点在两个球体之内，正 负电荷球产生的电势为
U A
(3R2 r 2 ) 6 0
,
U A
(3R02 r 2 ) 6 0
A点的 电势为
UA
U A
U A
(R2 2 0
R02 )
3kQ(R2 R02 ) 2(R3 R03 )
3kQ(R R0 ) 2(R2 RR0 R02 )
空腔内的电势为常量。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径分别为R0和 R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于不同的 球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？
根据高斯定理可先求
反过来，利用均匀带电球体的电
电场强度，再求电势。 势先求球壳的电势，再求电场。
在球面的内外表面， 电场强度不连续。
均匀带电球面内外的电势是连续 的，球面内电势是一个常量，球 面外电势随距离的增加而减小。
球体内场强与距离成正比，球体 外的电场强度与球面外电场强度 的变化规律是相同的；在球的内 外表面，电场强度是连续的。
均匀带电球体中心的电势最高， 球体内的电势随距离的增加而加 速减小，球体外电势与球面外电 势的变化规律是相同的。
球面内任何一点的电势都与表面的 电势相同，球内空腔是一个等势体。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
对于均匀带电球体，球体外 的电场强度和电势与均匀带 电球面的公式是相同的。
在球体内取一个高斯面， 高斯面内有电荷，并且电 荷的体密度处处相等。
球体的全部体积为VR=4πR3/3， 电荷的体密度为ρ = Q/VR，
集中在球心处的点电荷所激发的场强相同。
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
Q kQ
E 4π0r2 r2 (r > R) E = 0 (r < R)
取无穷远处的电势为零，取一条从P1开始 的电场线作为积分路径，则P1的电势为
U E ds Edr kQ dr kQ kQ
(r < R)
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
U R3 (r > R) 3 0 r
U (3R2 r2 )Βιβλιοθήκη Baidu(r < R) 6 0
C
rC
如图所示，A、B、C三点代表三个区域。
均匀带电球壳的 电荷体密度为
Q V
3Q 4π(R3
R03 )
B rB O R0 A rA R
在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为 ρ和-ρ的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和R0， 电荷体密度分别为ρ和-ρ的均匀带电体球产生的。
r
r
r r2
rr r
当r = R时，球壳 外表面的电势为
U0
kQ R
(r > R)
r
Q S2
S1
P2 P1
R O E Er
球面所有电荷到 球心的距离都是 R，球面的电势
可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全 就是所有电荷在
部集中在球心处的点电荷所产生的电势相同。球心产生的电势。
取U一条r E从 dPs2开 Rr始E的 ds电 场R E线 d作s 为0积 R分Ed路r 径R，krQ2则drP2的kRQ电势U为0 (r < R)
[](1)如图所示，不论球面还是球体，由于电
荷分布具有球对称性，所激发的电场也是
球对称的，用高斯定理求解比较简单。 r
Q
设Q > 0，不论场点在球内还是
在球外，由于对称的缘故，电场
线都沿着球心到场点的连线。
RO
S1
P1 Er
对于球外的点P1，以O为球心，过 P1点作一个半径r的高斯球面S1。 在P1点取一个面积元dS，其法线方向与场强方 向一致，通过该面积元的电通量为dΦE = E·dS。
(r > R)
当Q > 0时，场强的方向沿着径向向外；
当Q < 0时，场强的方向沿着径向向内。
在球的外表面， 场强大小为
对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯 面内Q = 0，根据高斯定理得E = 0 (r < R)
kQ E0 R2
可见：在均匀带电球面内，场强为零；在 可见：球面内外 均匀带电球面外，各点的场强与电荷全部 的场强发生跃变。
取一条从P2开始的电场线作
为积分路径，则P2的电势为
R
高斯面内的体积为Vr = 4πr3/3， U E ds Edr Edr
r
r
R
高斯面内的电量为q = ρVr = QVr/VR = Qr3/R3， kQ (R2 r2 ) kQ
根据高斯定理得方程ΦE = E4πr2 = q/ε0，
均匀带电球体的电量与 电荷体密度的关系为
Q
V
4 πR3
3
球体外部的电势用 电荷密度表示为
U
kQ r
4 3
πR3
k
r
R3 3 0 r
(r > R)
球体内部的电势用电荷密度表示为
U
kQ 2R3
(3R2
r2)
2 3
πk (3R2
r2)
(3R2 r2 ) 6 0
其中ε0 = 1/4πk，称为真空介电常数。
{9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
(1)一均匀带电球面，半径为R，带电量为Q，求电荷产生的电场强 度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电 场强度和电势。(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径 分别为R0和R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于 不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
dΦE = E·dS。 通过高斯面的电通量为
E
E dS
S
EdS E dS = E4πr2
S
S
高斯面所包围的电量为Q， 根据高斯定理ΦE = Q/ε0，
r
Q S2
S1
P2 P1
R O E Er
可得场 强大小
E Q kQ
4π0r 2 r 2
2R3
R
球体内 场强为
Qr kQr
E 4π0R3 R3
(r < R)
U
kQ 2R3
(3R2
r2)
球心处的场强为零，球内场强与半径成正比。 均匀带电球体不
在r = R处，E 场强有
kQ R2
E0
场强在球面上的 是等势体，球心 变化是连续的。 处的电势最高。
球面内部的场强为零，球面外 部场强随距离的增加而减小。
A点的场强大小为
EA
dU A dr
0.
(r ≤ R0)
{范例9.6} 均匀带电球面、球体和球壳的电场
U R3 (r > R) 3 0 r
U (3R2 r2 ) (r < R) 6 0
C
rC
B点在正电荷球体之内，负电荷球体 之外，正负电荷球产生的电势为