第七章 维纳过程与伊藤引理1-3,6-8节
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第九章 外汇期权
当 t 0 时，上式可表示为：
dSt r r* St dt St dZt
它被称为几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）， 被普遍用来描述金融资产价格（这里是汇率）的变化过程。
但是这一描述有一个缺陷： 当随机变量 时， Stt 有可能取负数。
在现实中，汇率不可能为负数。因此我们要进行一下改进。
首先，我们要引入伊藤过程（Ito Process）与伊藤引理 （Ito’s Lemma）。它们是由数学家伊藤（K. Ito）在1951 年提出来的。伊藤过程表述为：
x ax,tt bx,tZ
或者： dx ax,tdt bx,tdZ
很明显，几何布朗运动就是一个伊藤过程。
以伊藤过程为基础，我们可以推导出伊藤引理。
例： 一项期权为USD Call / JPY Put，称为美元买权、日元卖权， 表明期权的买方有权从卖方买入美元，同时卖出日元。 一项期权为USD Put / CHF Call，称为美元卖权、瑞士法郎 买权，表明期权的买方有权向卖方卖出美元，同时买入瑞 士法郎。
由此可见，由于外汇买卖意味着买入一种货币的同时也卖出另 一种货币，因此对一项外汇期权来说，它是一种货币的买权， 同时也是另一种货币的卖权。为了避免混淆，在描述外汇期权 时，必须明确它是哪一种货币的买权和哪一种货币的卖权。
Pt St
er*Tt N d1 1 0
2. 执行价格：X
被报价币欧式买入期权的价格 Ct 将随着 X 的上升（下降）
而下降（上升）。
X ICt Ct
Ct X
erT t N d 2 0
同理，我们也可以求出 ： Pt 0 X
3. 汇率波动率： ，它主要影响期权的时间价值。
TVt Ct
维纳过程和伊藤引理
Chapter 13 第十三章
Wiener Processes and Itô’s Lemma
维纳过程和伊藤引理
1
Stochastic Processes 随机过程
Describes the way in which a variable such as a stock price, exchange rate or interest rate changes through time 描述变量（例如股价、汇率、利率）随时间变化的方 式。
5
Weak-Form Market Efficiency
市场弱式有效
This asserts that it is impossible to produce consistently superior returns with a trading rule based on the past history of stock prices. In other words technical analysis does not work. 这表明不可能利用基于历史股价的交易规则来获取持续的超额 收益
Is the process followed by the temperature at a certain place Markov? 某个地方的温度服从马尔科夫过程吗
We assume that stock prices follow Markov processes 我们假设股票价格服从马尔科夫 维纳过程
Define f(m,v) as a normal distribution with mean m and variance v 定义f(m,v) 为均值为m，方差为v 的正态分布 A variable z follows a Wiener process if 一个变量z服从维纳过程如果满足如下条件
Wiener Processes and Itô’s Lemma
维纳过程和伊藤引理
1
Stochastic Processes 随机过程
Describes the way in which a variable such as a stock price, exchange rate or interest rate changes through time 描述变量（例如股价、汇率、利率）随时间变化的方 式。
5
Weak-Form Market Efficiency
市场弱式有效
This asserts that it is impossible to produce consistently superior returns with a trading rule based on the past history of stock prices. In other words technical analysis does not work. 这表明不可能利用基于历史股价的交易规则来获取持续的超额 收益
Is the process followed by the temperature at a certain place Markov? 某个地方的温度服从马尔科夫过程吗
We assume that stock prices follow Markov processes 我们假设股票价格服从马尔科夫 维纳过程
Define f(m,v) as a normal distribution with mean m and variance v 定义f(m,v) 为均值为m，方差为v 的正态分布 A variable z follows a Wiener process if 一个变量z服从维纳过程如果满足如下条件
维纳过程
证明中用到了如下事实： （注：对 常用 和 代替 和 ）
18
，我们
Fangyi He, School of Economics
股票价格的动态表示
• 为了取连续时间的极限，对于很小的x，利用近似表达式
可得
பைடு நூலகம்
而 这里我们略去了所有的 的幂次高于1的项。所以，
Fangyi He, School of Economics
10
维纳过程
• 对特殊的情形， 时，维纳过程称为标 准维纳过程（或者，标准布朗运动）。 • 标准维纳过程继承了对称随机漫步的许多性质，例如：
. .
Fangyi He, School of Economics
11
维纳过程
• W(t)和wN(t)的一个重要差别是，W(t)适用于所有的t≥0, 而wN(t)中的时间是离散的，i.e., • 如果W(t)为标准维纳过程，则它有如下性质： (a) E[ W(t)2 ]=Var[ W(t) ] + E[ W(t) ] 2 = t ; (b) E[ W(t) W(s)] = min(t, s) ; (c) 如果t>s, W(t)和W(s)的相关系数 = .
• 由二叉树模型的定义，对数收益率k(1), k(2), …, k(N)是独 立同分布的。因此可以得到，对每一个n=1, 2, …, N,
Fangyi He, School of Economics
4
连续时间极限
m = N E(k(n)) = N Var(k(n)) 所以我们可得， E(k(n)) = m/N = Var(k(n)) = /N = 由(4.1)-(4.4), 可得
Fangyi He, School of Economics
伊藤引理
The formal expression (1) is meant to be a simply way to express the integral relations. Integrate both sides over the time integral [T1, T2]. From the left side of (1) you get
where
u(XT , T ) − u(X0, 0) = ∆uk ,
tk <T
∆uk = u(Xk + ∆Xk, tk + ∆t) − u(Xk, tk) , ∆Xk = Xk+1 − Xk .
The Taylor expansion is
∆uk
=
∂x uk ∆Xk
+
1 2
∂x2uk
(∆Xk )2
+
3
≤ C∆t 2 .
2
up the terms (∆X)2 and adding up the terms v(Xt)∆t have the same limit as ∆t → 0. Both of these arguments use ideas from Lesson 3 and Assignment 3.
There also is an application of Borel Cantelli to show that the arguments are
∂t uk ∆t
+ O(|∆Xk|3) + O(∆t |∆Xk|) + O(∆t2) .
We sum over k. On the left side we get u(XT , t) − u(X0, 0). There are six sums on the right to consider.
where
u(XT , T ) − u(X0, 0) = ∆uk ,
tk <T
∆uk = u(Xk + ∆Xk, tk + ∆t) − u(Xk, tk) , ∆Xk = Xk+1 − Xk .
The Taylor expansion is
∆uk
=
∂x uk ∆Xk
+
1 2
∂x2uk
(∆Xk )2
+
3
≤ C∆t 2 .
2
up the terms (∆X)2 and adding up the terms v(Xt)∆t have the same limit as ∆t → 0. Both of these arguments use ideas from Lesson 3 and Assignment 3.
There also is an application of Borel Cantelli to show that the arguments are
∂t uk ∆t
+ O(|∆Xk|3) + O(∆t |∆Xk|) + O(∆t2) .
We sum over k. On the left side we get u(XT , t) − u(X0, 0). There are six sums on the right to consider.
补充：伊藤引理与维纳过程
目前，伊藤引理已经成为概率论、数理统计、金融数学、控制系统等多个 领域的重要工具，并在实际应用中发挥着重要作用。
02
维纳过程简介
维纳过程的定义
维纳过程是一种数学模型，用于描述随机波动现象，如金融 市场价格的变动、气候变化等。它是一种连续时间、连续状 态的随机过程，具有独立同分布的增量。
维纳过程是布朗运动的数学描述，布朗运动是微观粒子在液 体中由于受到周围分子的无规则热运动撞击而发生的随机运 动。
VS
该定理由日本数学家伊藤清于1951 年首次发表，因此被称为伊藤引理。
伊藤引理的应用领域
金融数学
伊藤引理在金融数学中有着广泛的应用，特别是在衍生品 定价和风险管理中。它提供了对资产价格动态的数学建模 和定价的基础。
统计学
在统计学中，伊藤引理被用于分析统计模型的随机扰动， 以及随机误差对估计量的影响。它为统计推断提供了理论 基础。
维纳过程的应用领域
01
金融领域
维纳过程被广泛应用于金融衍生品定价、风险管理等领域。通过模拟金
融市场价格的波动，可以对期权、期货等金融产品进行定价和风险评估。
02
物理领域
在物理学中，维纳过程可以用来描述粒子的扩散、热传导等现象。
03
生物领域
在生物学中，维纳过程可以用来描述物种繁衍、基因突变等现象，也可
伊藤引理涉及到的是一种特定的随机微分方程，而维纳过程描述的是更一般的随 机波动现象。
伊藤引理与维纳过程的应用案例
1
在金融工程中，伊藤引理被用于计算股票价格和 期权价格的期望值和方差，从而为投资决策提供 依据。
2
在物理学中，维纳过程被用于描述气体分子的随 机碰撞和扩散现象，以及电路中的噪声等。
3
02
维纳过程简介
维纳过程的定义
维纳过程是一种数学模型，用于描述随机波动现象，如金融 市场价格的变动、气候变化等。它是一种连续时间、连续状 态的随机过程，具有独立同分布的增量。
维纳过程是布朗运动的数学描述，布朗运动是微观粒子在液 体中由于受到周围分子的无规则热运动撞击而发生的随机运 动。
VS
该定理由日本数学家伊藤清于1951 年首次发表，因此被称为伊藤引理。
伊藤引理的应用领域
金融数学
伊藤引理在金融数学中有着广泛的应用，特别是在衍生品 定价和风险管理中。它提供了对资产价格动态的数学建模 和定价的基础。
统计学
在统计学中，伊藤引理被用于分析统计模型的随机扰动， 以及随机误差对估计量的影响。它为统计推断提供了理论 基础。
维纳过程的应用领域
01
金融领域
维纳过程被广泛应用于金融衍生品定价、风险管理等领域。通过模拟金
融市场价格的波动，可以对期权、期货等金融产品进行定价和风险评估。
02
物理领域
在物理学中，维纳过程可以用来描述粒子的扩散、热传导等现象。
03
生物领域
在生物学中，维纳过程可以用来描述物种繁衍、基因突变等现象，也可
伊藤引理涉及到的是一种特定的随机微分方程，而维纳过程描述的是更一般的随 机波动现象。
伊藤引理与维纳过程的应用案例
1
在金融工程中，伊藤引理被用于计算股票价格和 期权价格的期望值和方差，从而为投资决策提供 依据。
2
在物理学中，维纳过程被用于描述气体分子的随 机碰撞和扩散现象，以及电路中的噪声等。
3
补充：伊藤引理与维纳过程
• 股价的几何布朗运动 ������������ = ������������������������ + ������������������������ • 期权价格是股价和时间的函数 ������ = ������ ������, ������ • 那么期权的价格运动方程 ������������ ������������ 1 ������ 2 ������ ������������ 2 ������������ = ������������ + + ������������ ������������ + ������������������������ 2 ������������ ������������ 2 ������������ ������������ •
∆������ = ������∆������ + ������������ ∆������ ������~������ 0,1 • 因此∆������ 具有正态分布 ∆������ 的均值为������∆������ ∆������ 的标准差为������ ∆������ ∆������ 的方差为������ 2 ∆������
2
• 从而有
������������������������ − ������������������0 ~������
1 2 ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
•即
1 2 ������������������������ ~������ ������������������0 + ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
• 那么������ ������, ������ =������������，������ ������, ������ = ������������
∆������ = ������∆������ + ������������ ∆������ ������~������ 0,1 • 因此∆������ 具有正态分布 ∆������ 的均值为������∆������ ∆������ 的标准差为������ ∆������ ∆������ 的方差为������ 2 ∆������
2
• 从而有
������������������������ − ������������������0 ~������
1 2 ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
•即
1 2 ������������������������ ~������ ������������������0 + ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
• 那么������ ������, ������ =������������，������ ������, ������ = ������������
维纳过程
例 5 定义从a到b的布朗桥 ： B
ab tΒιβλιοθήκη a+ (b- a)t B , t [0,1]
br t
其 中 a和 b为 实 数 试 计 算 其 数 字 特 征 ， 并 验 证 它 也 是 正 态 过 程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
多元特征函数
设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,…,xn),则称
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
补例1 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动. 验证 W是一个正态过程.
证明 则由定义，对任意的n≥1,及任意的 0 t1 t2 tn
W
W
所以
t1
tk
,W
t2
W t1 ,
t k 1
,W
tn
W
2
t n 1
相互独立且
W
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 Wat a1/2Wt
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
N ( 0， (t k t k 1 ))
（ W
t1
,W
t2
W t1 ,
,W
tn
W
t n 1
） 是n维正态变量.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
又由于
(W
t1
,W
t2
,
,W
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
金融工程7-维纳过程与伊藤引理
可编辑ppt 23
关于对数正态分布
• 定义G=lnS，由于： G SS 1， S 2G 2S 12, G t 0
• 所以有： dG(2)d tdz
• 即：dlnS(2)d2 tdz
•
2
显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 波动率为常数 2 。
(
2
2
)
，
• 因此，lnS的变化服从正态分布，不难知道：
– 从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个 结论:
G ~[( 2 2 )(T t), T t]
可编辑ppt 28
（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。
• 令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t 时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时 刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：
可编辑ppt 10
当股票价格服从普通布朗运动时的走势图
43.5
43
42.5 st
42
0
.5
1
1.5
2
可编辑ppt t
11
当股票价格服从几何布朗运动时的走势图
140
120
100
g_st
80
60
40
0
.5
1
1.5
2
可编辑ppt t
12
股票价格的一般变动
• 一般化的维纳过程
xa t b z
– 变量本身随着时间的推移会有定量的增长a×Δt
由 于 ~N(0,1),则 D ()E[(0)2]E(2)1
由此得到 E(x2)b2t
代入前述公式可得到伊藤引理。
可编辑ppt 22
12.5 股票价格的对数正态特性
关于对数正态分布
• 定义G=lnS，由于： G SS 1， S 2G 2S 12, G t 0
• 所以有： dG(2)d tdz
• 即：dlnS(2)d2 tdz
•
2
显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 波动率为常数 2 。
(
2
2
)
，
• 因此，lnS的变化服从正态分布，不难知道：
– 从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个 结论:
G ~[( 2 2 )(T t), T t]
可编辑ppt 28
（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。
• 令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t 时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时 刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：
可编辑ppt 10
当股票价格服从普通布朗运动时的走势图
43.5
43
42.5 st
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当股票价格服从几何布朗运动时的走势图
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g_st
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1
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股票价格的一般变动
• 一般化的维纳过程
xa t b z
– 变量本身随着时间的推移会有定量的增长a×Δt
由 于 ~N(0,1),则 D ()E[(0)2]E(2)1
由此得到 E(x2)b2t
代入前述公式可得到伊藤引理。
可编辑ppt 22
12.5 股票价格的对数正态特性
金融工程之维纳过程与伊藤引理
金融工程之维纳过程与伊藤引理引言在金融工程领域中，维纳过程和伊藤引理是非常重要的概念。
维纳过程是一种随机过程，被广泛应用于金融建模中。
伊藤引理则是描述了维纳过程的微分表达式，可以帮助我们求解更加复杂的金融问题。
本文将介绍维纳过程的基本概念并详细讲解伊藤引理的推导和应用。
维纳过程的定义维纳过程（Wiener process），又称布朗运动（Brownian motion），是一种连续的、平稳的随机过程。
它最早由维纳（Norbert Wiener）于1923年引入，被广泛应用于各个领域，尤其是金融工程。
维纳过程具有以下几个重要的特性： 1. 随机性：维纳过程是一种随机过程，其轨迹是不可预测的，呈现出随机性。
2. 连续性：维纳过程在任意时间点上都是连续的，不断变化。
3. 平稳性：维纳过程的均值为0，且其方差与时间间隔成正比。
这意味着维纳过程具有恒定的波动性。
伊藤引理的推导伊藤引理（Itô’s lemma）是描述维纳过程微分表达式的重要工具。
它是由伊藤清在1950年代初引入的，是数学中的一个经典结果。
伊藤引理的推导基于泰勒展开式。
假设有两个随机变量X和Y，它们可以被表示为X = f(t, W)和Y = g(t, W)，其中W是维纳过程。
我们想要求解X和Y的微分表达式。
利用泰勒展开式，我们可以得到以下等式：dX = (∂f/∂t) dt +(∂f/∂W) dW + (1/2)(∂2f/∂W2) (dW)^2 + … dY = (∂g/∂t) dt + (∂g/∂W) dW + (1/2)(∂2g/∂W2) (dW)^2 + …根据维纳过程的特性，我们知道(dW)^2 = dt。
因此，上述等式可以简化为：dX = (∂f/∂t) dt + (∂f/∂W) dW dY = (∂g/∂t) dt + (∂g/∂W) dW伊藤引理则给出了更一般的形式：dX = (∂f/∂t) dt + (∂f/∂W) dW + (1/2)(∂2f/∂W2) dt 其中，(1/2)(∂2f/∂W2) dt表示了由于随机变量W的波动性而引入的附加项。
维纳过程一定是二阶矩过程-概述说明以及解释
维纳过程一定是二阶矩过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以对维纳过程和二阶矩过程进行简要介绍，说明它们在随机过程理论中的重要性和应用。
同时，可以提出维纳过程是否一定是二阶矩过程的问题，为后续文章的证明部分做引子。
以下是一个概述部分的例子：在随机过程理论中，维纳过程和二阶矩过程是两个关键概念。
维纳过程最早由数学家尼科拉斯·维纳(Norbert Wiener)在20世纪20年代提出，是一种描述连续时间和连续状态变化的数学模型。
维纳过程具有许多重要特性，如连续性、Markov性和统计独立增量等，被广泛应用于物理学、金融学、工程学和生物学等领域。
与之相对应的，二阶矩过程是指具有有限二阶矩的随机过程。
二阶矩过程在统计学中具有重要的意义，它描述了随机变量间相关性的程度。
二阶矩过程的性质被广泛应用于时间序列分析、信号处理和金融风险管理等领域。
本文将探讨维纳过程是否一定是二阶矩过程的问题。
这个问题具有一定的理论和实际意义。
理论上，回答这个问题将有助于深入理解维纳过程和二阶矩过程的关系，并对随机过程的性质和应用提供更全面的认识。
实际上，如果能证明维纳过程一定是二阶矩过程，将为维纳过程的建模和分析提供更多的可行性和适用性。
接下来的正文将围绕维纳过程的定义和特性以及二阶矩过程的定义和特性展开，从理论和数学层面解答维纳过程是否一定是二阶矩过程的问题。
最后，我们将总结维纳过程和二阶矩过程的关系，并探讨其在实际应用中的意义和未来研究的方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以是关于文章的整体结构和各个部分的简要介绍。
可以按如下方式编写：文章结构：本文共分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的三个子部分。
在概述中，对维纳过程和二阶矩过程进行简要介绍，引发读者对这两个概念之间关系的思考。
文章结构部分介绍了本文的框架，并列出了各个部分的主要内容。
目的部分明确了本文的研究目标，即通过证明维纳过程一定是二阶矩过程，加深对这些概念间关系的理解。
维纳过程样本轨道特性
高 教 视 野
２
ＧＡＯＪＩＡＯ ＳＨＩＹＥ
维
纳过程样本轨道特性
维纳过程样本轨道特性
◎高 宏 ( 清华大学ꎬ北京 １０００８４)
【 摘要】 维纳过程( Ｗｉｅｎｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓ) 是一种具有连续时
动过程. 当 σ ＝ １ 时ꎬ称{ Ｗ( ｔ) ꎬｔ ≥ ０} 为标准布朗运动.
的参数集ꎬ参数 ｔ 通常表示时间.
对固定的 ｔ ∈ ＴꎬＷ( ｔ) 是随机变量ꎬ它是定义在样本空
从随机过程样本函数角度重新定义了维纳过程ꎬ推导出了
间 Ω 上的单值函数ꎬ其自变量是样本点 ωꎬ而非时间 ｔ. 在样
维纳过程样本函数的自相关函数、位移公式和幅频特性ꎬ可
本空间 Ω 上研究随机过程的随机变量通常使用随机模型和
直接用于描述自然科学、工程技术和社会科学中的随机运
概率方法.
对固定的 ω ∈ ΩꎬＷ( ｔ) 是一个定义在 Ｔ 上的确定性时
动现象、特性及规律.
【 关键词】 维纳过程ꎻ布朗运动ꎻ样本轨道
间函数ꎬ通常被称为样本函数或样本轨道. 一个样本函数对
应着随机试验中的一次“ 测量结果” ꎬ即人们观察到的实际
随机现象随时间演变的过程. 在参数集 Ｔ 上研究随机过程
表示随机过程ꎬ用小写字母 ｗ( ｔ) 表示样本函数. 因此ꎬ维纳
定义的ꎬ没有给出样本函数模型和样本轨道性质ꎬ在实际应
过程 Ｗ( ｔ) 是一族样本函数 ｗ( ｔ) 的集合. 时间 ｔ 取连续值
用中十分不便. 本文从随机过程样本函数的角度重新定义
时ꎬ称为连续维纳过程ꎻ时间 ｔ 以时间间隔 △ｔ 取离散整数值
理模型
[１]
. １９２３ 年ꎬ美国数学家 Ｗｉｅｎｅｒ 将 Ｅｉｎｓｔｅｉｎ 的布朗运
２
ＧＡＯＪＩＡＯ ＳＨＩＹＥ
维
纳过程样本轨道特性
维纳过程样本轨道特性
◎高 宏 ( 清华大学ꎬ北京 １０００８４)
【 摘要】 维纳过程( Ｗｉｅｎｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓ) 是一种具有连续时
动过程. 当 σ ＝ １ 时ꎬ称{ Ｗ( ｔ) ꎬｔ ≥ ０} 为标准布朗运动.
的参数集ꎬ参数 ｔ 通常表示时间.
对固定的 ｔ ∈ ＴꎬＷ( ｔ) 是随机变量ꎬ它是定义在样本空
从随机过程样本函数角度重新定义了维纳过程ꎬ推导出了
间 Ω 上的单值函数ꎬ其自变量是样本点 ωꎬ而非时间 ｔ. 在样
维纳过程样本函数的自相关函数、位移公式和幅频特性ꎬ可
本空间 Ω 上研究随机过程的随机变量通常使用随机模型和
直接用于描述自然科学、工程技术和社会科学中的随机运
概率方法.
对固定的 ω ∈ ΩꎬＷ( ｔ) 是一个定义在 Ｔ 上的确定性时
动现象、特性及规律.
【 关键词】 维纳过程ꎻ布朗运动ꎻ样本轨道
间函数ꎬ通常被称为样本函数或样本轨道. 一个样本函数对
应着随机试验中的一次“ 测量结果” ꎬ即人们观察到的实际
随机现象随时间演变的过程. 在参数集 Ｔ 上研究随机过程
表示随机过程ꎬ用小写字母 ｗ( ｔ) 表示样本函数. 因此ꎬ维纳
定义的ꎬ没有给出样本函数模型和样本轨道性质ꎬ在实际应
过程 Ｗ( ｔ) 是一族样本函数 ｗ( ｔ) 的集合. 时间 ｔ 取连续值
用中十分不便. 本文从随机过程样本函数的角度重新定义
时ꎬ称为连续维纳过程ꎻ时间 ｔ 以时间间隔 △ｔ 取离散整数值
理模型
[１]
. １９２３ 年ꎬ美国数学家 Ｗｉｅｎｅｒ 将 Ｅｉｎｓｔｅｉｎ 的布朗运
郑振龙《金融工程》笔记和课后习题详解-布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型【圣才出品】
第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型11.1复习笔记一、布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的基本思路以下对B-S-M模型的整体思路作一个简要的归纳：要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。
通过观察市场中的股票价格可知，股票价格的变化过程是一个随机过程——几何布朗运动，其具体形式如下：（11．1）当股票价格服从式（11．1）时，作为股票衍生产品的期权价格，将服从（11．2）将式（11．1）和（11．2）联立方程组，就可以解出一个期权价格所满足的微分方程，求解这一方程，就得到了期权价格的最终公式。
二、股票价格的变化过程通常用形如的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程，几何布朗运动中最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因素，通常称之为标准布朗运动或维纳过程。
1．标准布朗运动设△￡代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在△t时间内的变化，如果变量z遵循标准布朗运动，则Δz具有以下两种特征：特征l：Δz和△t的关系满足（11．3）其中，ε～φ[0，1]。
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立。
用z（T）-z（t）表示变量z在T-t中的变化量，它可被看做是在N个长度为△t的小时间间隔中z的变化总量，其中N=（T—t）／Δt，因此，其中εi（i=1，2，…，N）是标准正态分布的随机抽样值。
由此可见：①在任意长度的时间间隔T-t中，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从均值为0、标准差为根号下T-t的正态分布；②在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可加性，总是等于时间长度，不受△t如何划分的影响，但标准差就不具有可加性。
当△t→0时，就可以得到极限的或者说连续的标准布朗运动（11．4）下面直接引用维纳过程的一些数学性质来大致解释其在股价建模中应用的原因：首先，维纳过程中用ε即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。
其次，数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程，这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
欧式看涨期权的下限：c S D XerT 欧式看跌期权的下限：p D XerT S
其中：D表示期权有效期内红利的现值
Sichuan University
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在பைடு நூலகம்来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
Sichuan University
3、股价过程是马尔科夫过程等于股票市场的弱有效性。
Sichuan University
二、随机过程
➢（二）标准布朗运动或维纳过程： 变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为Δt，
定义Δz为在Δt时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须 满足两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式:
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
所以有： XerT p 。
如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以 无风险利率进行投资，可以轻易获得无风险收益。
其中：D表示期权有效期内红利的现值
Sichuan University
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在பைடு நூலகம்来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
Sichuan University
3、股价过程是马尔科夫过程等于股票市场的弱有效性。
Sichuan University
二、随机过程
➢（二）标准布朗运动或维纳过程： 变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为Δt，
定义Δz为在Δt时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须 满足两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式:
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
所以有： XerT p 。
如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以 无风险利率进行投资，可以轻易获得无风险收益。
控制论之父--维纳（N.
控制论之⽗--维纳（N. Wiener）维纳是美国数学家，控制论的创始⼈。
维纳1894年11⽉26⽇⽣于密苏⾥州的哥伦⽐亚，1964年3⽉18⽇卒于斯德哥尔摩。
(⼀)昔⽇神童 1、幼受庭训 维纳是⼀个名符其实的神童。
维纳的⽗亲列奥很早就发现了⼉⼦的天赋，并坚信借助于环境进⾏教育的重要性，他从⼀开始学习就实施的教育计划，⽤⼀种多少⽆情的⽅式驱使他不寻常的⼉⼦。
维纳三岁半开始读书，⽣物学和天⽂学的初级科学读物就成了他在科学⽅⾯的启蒙书籍。
从此，他兴致勃勃，爱不释卷的埋⾸于五花⼋门的科学读本。
七岁时，开始深⼊物理学和⽣物学的领域，甚⾄超出了他⽗亲的知识范围。
从达尔⽂的进化论、⾦斯利的《⾃然史》到夏尔科、雅内的精神病学著作，从儒勒．凡尔纳的科学幻想⼩说到18、19世纪的⽂学名著等等，⼏乎⽆所不读。
维纳怀有强烈的好奇⼼，⽽他⽗亲却以系统教育为座右铭，两者正好相得益彰。
维纳⾃⼰学习科学，⽽他⽗亲则⽤严厉的态度坚持以数学和语⾔学为核⼼的教学计划。
维纳极好地经受了这种严格的训练，他的数学长进显著。
六岁那年，维纳有⼀次被A乘B等于B乘A之类的运算法则迷住了。
为了设法弄清楚，他画了⼀个矩形，然后移转90°，长变宽、宽变长，⾯积并没变。
维纳的拉丁语、希腊语、德语和英语也变成⼀种印在记忆中的书库，不论何时何处，都可以拿出来就⽤。
在其他⼩男孩想当警察和⽕车司机的时候，维纳就渴望当⼀名博物学家，⽴志献⾝于科学了。
⽗母⼏次设法送他到学校去受教育，但不寻常的智⼒和训练使维纳在学校⾥很难被安排。
他的阅读远远地⾛在书写的前⾯，他刻苦地学习并掌握了初等数学，但仍需要扳着⼿指做算术。
直到9岁时，才作为⼀名特殊的学⽣，进了艾尔中学，不满12岁就毕业了。
2、通才教育 列奥很明智，决定送维纳进塔夫茨学院数学系就读，⽽不让他冒参加哈佛⼤学紧张的⼊学考试的风险，并避免由于把⼀个神童送进哈佛，⽽过分惹起⼈们的注意。
在数学⽅⾯，维纳已超过⼤学⼀年级学⽣的⽔平，没有什么课程能确切地适合他的要求。
维纳过程和伊藤引理
Stock Returns
Recall the multiplicative model log S(k+1) = log S(k)+w(k), w(k) iid N(2). The continuous-time approximation is dlog S(t) = dt + dW(t). Integrating this equation, we have log S(t) = log S(0) + t + W(t). For t fixed, the right-hand side is a normally distributed random variable with mean logS(0) + t and variance 2t. The process S(t) is known as the geometric Brownian motion.
Let S(0)=z. An equivalent way of defining a geometric Brownian motion is that the process S(t) satisfies S(t) = z e X(t) = z exp{t + W(t)} =z exp{(-2/2)t + W(t)}. Consider the successive ratios S(t1)/S(t0), S(t2)/S(t1), …,S(tn)/S(tn-1). Since the Brownian motion has independent increments, these ratios are independent random variables. log S(t) = X(t) ~ N(logS(0) + t, 2 t). As S(t)=ze X(t), to find the moments of S(t), consider E(S(t)) = E(E(S(t)|S(0)=z)) =E(E(z exp{(-2/2)t + W(t)}|S(0)=z)) = z exp{(-2/2)t}E(eW(t))
维纳过程和伊藤引理
5
Weak-Form Market Efficiency
市场弱式有效
This asserts that it is impossible to produce consistently superior returns with a trading rule based on the past history of stock prices. In other words technical analysis does not work. 这表明不可能利用基于历史股价的交易规则来获取持续的超额 收益
12
Generalized Wiener Processes
广义维纳过程
A Wiener process has a drift rate (i.e. average change per unit time) of 0 and a variance rate of 1 维纳过程的漂移率（即变量每单位时间的平均变 化）为0，方差率为1
In this respect, stochastic calculus is analogous to ordinary calculus 随机微积分可以类比于普通微积分
15
Taking Limits . . .取极限
16
The Example Revisited 回到上面例子
A stock price starts at 40 and has a probability distribution of f(40,100) at the end of the year 股票价格开始为40美元，年末股票价格服从f(40,100) 的正态 分布
为什么广义维纳过程对股票不合适
For a stock price we can conjecture that its expected percentage change in a short period of time remains constant (not its expected actual change) 对于股票价格，我们可以猜测在短期内股票价格百分比变化的期望 保持不变（不是实际价格变化的期望）
Weak-Form Market Efficiency
市场弱式有效
This asserts that it is impossible to produce consistently superior returns with a trading rule based on the past history of stock prices. In other words technical analysis does not work. 这表明不可能利用基于历史股价的交易规则来获取持续的超额 收益
12
Generalized Wiener Processes
广义维纳过程
A Wiener process has a drift rate (i.e. average change per unit time) of 0 and a variance rate of 1 维纳过程的漂移率（即变量每单位时间的平均变 化）为0，方差率为1
In this respect, stochastic calculus is analogous to ordinary calculus 随机微积分可以类比于普通微积分
15
Taking Limits . . .取极限
16
The Example Revisited 回到上面例子
A stock price starts at 40 and has a probability distribution of f(40,100) at the end of the year 股票价格开始为40美元，年末股票价格服从f(40,100) 的正态 分布
为什么广义维纳过程对股票不合适
For a stock price we can conjecture that its expected percentage change in a short period of time remains constant (not its expected actual change) 对于股票价格，我们可以猜测在短期内股票价格百分比变化的期望 保持不变（不是实际价格变化的期望）
[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第13章 维纳过程和伊藤引理
![[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第13章 维纳过程和伊藤引理](https://img.taocdn.com/s3/m/1a26656502768e9951e73844.png)
时，维纳过程的产
生方式
（2）广义维纳过程
广义的维纳过程描述了单位时间内漂移a,
方差率为b2的正态分布变量的变化过程，其中 a和b为常数。这就是说，若零时刻变量的值 为x，在T时刻它是均值为aT，标准差为b T 的 正态分布。变量x的广义维纳过程用dz定义如 下：
（13-6）
股票价格随时间变化的行为，是一个马尔 科夫过程。这个过程广泛地用于衍生证券的定
价中。在此过程中，股票持有者在任何短时间
后的收益率都是正态分布，且任何两个时间间 隔的收益率相互独立。
（2）蒙特卡罗模拟法
蒙特卡罗模拟法是一种工具，可用来评估
在未来某个时期可能实现的各种不同损益的可 能性。它是通过模拟市场价格和波动率的变动, 得到在某个指定时期该证券组合盈亏的整个概 率分布。对于包含许多不同标的资产的某个证 券组合，在已知这些标的资产之间相关性的条 件下，蒙特卡罗模拟法可用于评估该组合的风 险。
（13-4）
该方程是描述股票价格行为最为广泛使
用的一种模型。变量σ通常被称为股票价格 波动率，变量 为股票价格的预期收益率。
如果用下述伊藤过程来描述股价行为， 则股票价格可取负值：
dS dt dz
（1）离散时间模型 股票价格行为模型也称为几何布朗运动 （geometrie Brownian motion），该模型的
国内外经典教材名师讲堂
赫尔
《期权、期货及其他衍生产品》
第13章 维纳过程和伊藤引理
第13章 维纳过程和伊藤引理
13.1 本章重难点
• 伊藤引理的运用 • 资产价格方程的推导
13.2
一、马尔科夫性质
重难点导学
马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。 这个过程所具有的马尔可夫性是指要知道未来状 态的概率分布只要知道当前状态即可，知道现在 之前状态的历史并不增加任何关于未来状态的概 率分布的信息。
维纳过程
1 2 t1
e
u2 2t 1
du
RX (t 1 , t 2 ) E[ X (t 1 )X (t 2 )] E[ X 2(t )] t
② 、当t1>t2,并将X(t1)写成：
X (t 1 ) X (t 2 ) X (t 1 ) X (t 2 ), R X (t 1 , t 2 ) E[ X (t 1 )X (t 2 )] E[( X (t 2 ) X (t 1 ) X (t 2 ))X (t 2 )] E[ X 2(t 2 )] E[( X (t 1 ) X (t 2 ))( X (t 2 ) X (t 0 ))] E[ X 2(t 2 )] t 2
二、维纳过程的定义
1. 如独立增量过程X(t)，其增量的概率分布服从 高斯分布， 即：
P { X(t 2 ) X(t 1) } 1 2 (t 2 t1
u2 2 ( t 2 t1 )
e2
则称X(t)为维纳过程。 2. 对于所有的样本函数几乎处处连续的齐次独立增量（或齐 次独立增量过程 X (t , ) ，几乎都有对所有的 在时间轴 上连续），称为维纳过程。
过程的增量服从高斯分布的证明
令 (t 2 t1 )/ n, t 2 t1 由于：
X (t 2 ) X (t 1 ) [ X (t 2 ) X (t 2 )] [ X (t 2 ) X (t 2 2 )] ... [ X (t 2 (n 1) ) X (t 1 )] Yi
f f b( x1 , t 1 ) f ( x1 , t 1 ) 0 2 x1 2 x1 t 1 f 1 2 [ ( x2 , t 2 ) f ] [b( x2 , t 2 ) f ] 0 2 t 2 x2 2 x2
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13.1 弱式效率市场假说与马尔可夫过程
有效市场假说EMH
1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为： 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息； 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新 信息相应的价格变动是相互独立的。
股票价格有随时间推移增长的稳定趋势； 股票“实际”价格变动为布朗运动；
S
S
~ t, 2t
15
上证指数
2500
2000
1500
1000
500
0 19901219 19920929 19940804 19960709 19980629 20000626 20020628
13.6 伊藤引理 Ito’s Lemma
9
13.2.1 标准维纳过程（ Wiener Process ）
维纳过程（WLeabharlann ener Process）
性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积。 （ε服从标准正态分布） ~ N (0,1) z t 性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立。
Corr(z1 , z2 ) 0
2
期权及其他衍生证券的价格变动
dS Sdt Sdz 股票价格服从维纳过程： G 那么： G 1 2G G 2 2
dG
S
S
t
2 S
2
S dt
S
Sdz
17
证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：
x a( x, t )t b( x, t )z
x ~ a t ,b 2t
11
Dr. Fan
13.2.3 伊藤过程 ito process:更广义的维纳过程
a,b都是变量x和时间t的函数： dx=a(x,t) dt+b a(x,t)dz
Dr. Fan
12
13.3描述股票价格的过程
假定股票价格服从广义维纳过程（几何布朗运动），即
8
13.2.1
维纳过程（ Wiener Process ）
布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动 的描述，以发现这种现象的英国植物学家Robert Brown命名。 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的，因此布朗运 动又称维纳过程 股价行为模型通常用布朗运动来描述。 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。
ST S0e
T
1 ST , ln , T S0
2
2
ln ST ln S0 ~ [(
)T , 2T ],
~ [( 2 ),
2
2
T
]
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程。
dS=μSdt+σSdz,其中μ和σ均为常数， μ 为股票价格的收益率期望值，
依赖于股票收益的风险； σ为股票价格的波动率。dz遵循标准布朗运 动。
13
当股票价格服从几何布朗运动时的走势图
14
13.3.1 离散时间模型
股票价格的变动 S S t S t
S
S
= St+ S t
其中
z t
利用泰勒展开，忽略高阶项，Δ G(x,t)可以展开为
2 G G 1 2G 1 G 2 2 G ( x, t ) t x t x 2 2 t x 2 t 2 x 2 1 G xt o( x, t ) 2 xt
有效市场分类：
5
一、弱式有效市场假说(Weak-Form Market Efficiency) 该假说认为在弱式有效的情况下，市场价格已充分反映出所有过去历史的 证券价格信息，包括股票的成交价、成交量，卖空金额、融资金额等； 推论一：如果弱式有效市场假说成立，则股票价格的技术分析失去作用， 基本分析还可能帮助投资者获得超额利润. 二、半强式有效市场假说(Semi-Strong-Form Market Efficiency) 该假说认为价格已充分反映出所有已公开的有关公司营运前景的信息。这 些信息有成交价、成交量、盈利资料、盈利预测值、公司管理状况及其它 公开披露的财务信息等。假如投资者能迅速获得这些信息，股价应迅速作 出反应。 推论二：如果半强式有效假说成立，则在市场中利用技术分析和基本分析 都失去作用，内幕消息可能获得超额利润。
6
三、强式有效市场假说(Strong-Form Market Efficiency) 强式有效市场假说认为价格已充分地反映了所有关于公司营运的信息， 这些信息包括已公开的或内部未公开的信息。 推论三：在强式有效市场中，没有任何方法能帮助投资者获得超额利 润，即使基金和有内幕消息者也一样。
有效市场市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分 析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
从性质一，我们知道△z服从正态分布，性质2则隐含z遵循马尔科夫过 程。 维纳过程/标准布朗运动的特征： z ~ 0,t 股票价格在任意时段变动的均值都为0。 股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度。
10
13.2.2 广义维纳过程
漂移率（drift rate）：变量在每单位时间内变化的期望值； 方差率（variance rate）：变量在单位时间内变化的方差。 dx=adt+bdz adt说明变量x的单位时间漂移率为a，bdz可看作附加在变量x路 径上的噪音或扰动，dx单位时间方差率为b2。
2 2
由此得到
E (x ) b t
2 2
代入前述公式可得到伊藤引理。
21
13.7 对数正态分布的性质
对数正态分布：
股票价格服从维纳过程 股票价格的分布为对数正态分布
公式：
dS Sdt Sdz
S t S t
S
S
~ t, 2t
22
2
ln ST ~ [ln S ( 2 / 2) , 2 ],
T t , t [0, T ]
23
对数正态分布
24
（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。
令0时刻G的值为lnS0，T时刻G的值为lnST，其中S0表示0时刻（当前 时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－ ln ST ln S0 0期间G的变化为： 这意味着： 进一步从正态分布的性质可以得到 ln ST ~ [ln S0 ( 2 )T , 2T ] 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服 从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正 态分布。 T 2 2 T T
Dr. Fan
7
13.1马尔科夫过程
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来 表述。 马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程。 未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从过去 到现在的演变方式不相关。 股 价 的 马 尔 科 夫 性 质 与 弱 型 市 场 有 效 性 (the weak form of market efficiency)相一致： 一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。 如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师不可能通过分析股价的过去 历史数据图表获得高于平均收益率的收益的。 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。
2
ln ST ln S0 ~ [( 2 )T , 2T ]
2
E ( ST ) S0e
var( ST ) S0 e
[e
2
1]
这正好与μ作为预期收益率的定义相符。
（2）股票价格对数收益率服从正态分布
由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因此几何布朗运动实 际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化服 从正态分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比例。 将0与T之间的连续复利年收益率定义为η，则
衍生产品的价格是标的股票价格和时间的函数 Ito’s Lemma 假设x的值服从伊藤过程： dx a (x , t) dt b(x , t) dz
如果G是x和t的函数，即：G=G(x,t) 那么： G G 1 2G
dG
x
a
t
2 x 2
G b dt bdz x
关于对数正态分布
2 G 1 G 1 G 定义G=lnS，由于： ， 2 2, 0 S S S S t G G 1 2G G 2 2 dG S S dt Sdz 2 t 2 S S S
) dt dz 所以有： dG ( 2 即： 2 d ln S ( )dt dz 2 2 显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 ( 2 )，波动率为常数 2 。 因此，lnS的变化服从正态分布：
第13章 维纳过程和伊藤引理
金融工程
1
教学目的与要求 掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点，掌握维纳过程 的特点和性质，掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率和方差率， 维纳过程的均值和标准差。掌握Ito过程的特征。