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江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学(理)试题(解析版)

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【数学】江西省南昌市2019-2020学年高一上学期期末考试试题(解析版)

【数学】江西省南昌市2019-2020学年高一上学期期末考试试题(解析版)
江西省南昌市 2019-2020 学年
高一上学期期末考试试题
一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分）
1.若 是第二象限角，则点 P sin, cos 在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为 是第二象限角，所以 sin 0, cos 0 ，
5
A. 5 B. 5
25
2 5
C. 5 D. 5
【答案】A
【解析】
sin
4 3
sin
3
sin
3
5 5,
所以
sin
3
5 5
,故
cos
6
cos
2
3
sin
3
5 5.
故选：A.
8.已知 a sin 29,b cos 52, c tan 50 ，则（ ）
A. a b c B. c a b C. b c a D. c b a
tan
x
1，所以
4
k
x
2
k
，k
Z
．
即函数的定义域为
4
k
, 2
k
k
Z
．
故答案为：
4
k , 2
k
k
Z
．
sin2 cos2
14. 8
8 _____________.
2 【答案】 2
sin2 cos2
【解析】 8
8
cos2
8
sin2
8
cos 4
2 2．
2 故答案为： 2 ．
则
f
12
的值是（

江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题（5*12=60） 1．下面与角233π终边相同的角是 A ．43π B ．3π C ．53π D ．23π 2．计算sin (－1380°)的值为 A ．1-2B ．12C ．3-D ．3 3．已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．已知cos sin()0απα⋅+<,那么角α是A.第一或第二象限角B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角 5．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是 A ．3|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．7|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．57|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭6．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则 A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 7．已知()()()235121(11)521x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，若()2f x =，则x 的值是A ．1-B ．1-或45C ．22±D ． 1-或 22±8．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为A ．10-B ．10C ．10D ．10-9．已知奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当()0,1x ∈时，函数()2xf x =，则12log 23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A ．1623-B ．1623C ．2316-D ．231610．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A ．其图象关于直线4πx =-对称 B ．其图象关于点14π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 C ．其值域是[]1,3- D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到 11．先把函数()sin()6f x x π=-的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象，当3(,)44x ππ∈时，函数()g x 的值域为A ．(B ．1(,1]2- C ．( D ．[1,0)- 12．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是 A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)22二、填空题（5*4=20）13．已知tan =2α，则3sin(2)cos()2cos 2ππααα-⋅+= _________．14．函数()2sin(2),0,32f x x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的单调减区间___________ 15．已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____16．对于函数，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值是-1；③该函数的图象关于直线对称；④当且仅时，.其中正确命题的序号是_____(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题17．（本小题满分10分）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度. （1）求这个圆心角所对的弧长； （2）求这个扇形的面积.18．（本小题满分12分）已知函数f （x ）的定义域为A ，函数g （x ）（﹣1≤x ≤0）的值域为B ．（1）求A ∩B ；（2）若C ＝{x |a ≤x ≤2a ﹣1}且C ⊆B ，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）若函数2()3sin 22cos 3.f x x x =++ （I ）求()y f x =的最小正周期；（II ）求()y f x =在x ∈R 时的最小值，并求相应的x 取值集合.20．（本小题满分12分）已知43cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()sin4απ+的值； （2）若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值.21．（本小题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．（本小题满分12分）已知定义在上的函数是奇函数．（1）求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一．选择题二．填空题 13．43 14．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．2 16．③④ 三．解答题17.∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角α=2弧度，∴扇形半径为1sin1r =． （1）这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1l r α==⨯=． （2）扇形面积为21121122sin1sin1sin 1S lr ==⨯⨯=．19.（I ）()cos2132sin 246f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,T π∴=.（II ）()()min 2sin 24,2,6f x x f x π⎛⎫=++∴= ⎪⎝⎭()ππ,2x 2k πk Z 62+=-+∈此时 , ()ππx k πk Z ,x {x |x k π,k Z}.33∴=-+∈=-+∈即的取值集合为20.解：（1）由cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得17sin α===，所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭ 17==（2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,αβπ+∈，又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+===，所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111471472=-⨯=， 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=.21.（1）由条件，115212122T πππ=-=， ∴2,ππω= ∴2ω= 又5sin 21,12πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭∴3πϕ=- ∴()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∴()2sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭而325,,488636x x πππππ⎡⎤∈∴-≤-≤⎢⎥⎣⎦∴函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12-。

2022-2023学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上数学期末检测试题含解析

2022-2023学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上数学期末检测试题含解析
详解：由图象得 ，
∴ ，
∴
又由图象可得点B为函数图象的对称中心，
∴点D,E关于点B对称，
∴ ，
∴
故选B
点睛：本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数 ；另外，根据函数图象的对称中心将向量 进行化简，从而达到能求向量数量积的目的
2、A
【解析】根据所给数据，求出样本中心点 ，把样本中心点代入所给 四个选项中验证，即可得答案
【详解】解：由已知可得 ，
所以这组数据的样本中心点为 ，
因 样本中心必在回归直线上，
所以把样本中心点代入四个选项中验证，可得只有 成立，
故选：A.
3、D
【解析】由 ，可得 ，由向量加法可得 ，再结合向量模的运算即可得解.
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为 分别为 的中点，所以 ，由线面平行的判定定理，即可得到 平面 ；
（2）因为 为 的中点，得到 ，利用面面垂直的性质定理可证得 平面 ，由面面垂直的判定定理，即可得到平面 平面
【详解】（1）因为 、 分别为 、 的中点，所以 .
又因为 平面 ，所以 平面 ；
（1）若 ，求 的递增区间；
（2）若 时，若 的最大值与最小值之和为5，求 的值.
19．如图，在三棱锥 中，平面 平面 为等边三角形， 且 分别为 的中点
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
20．若函数 定义域为 ，且存在非零实数 ，使得对于任意 恒成立，称函数 满足性质
（1）分别判断下列函数是否满足性质 并说明理由
（2）因为 ， 为 的中点，所以
，又因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，

2019-2020学年南昌县莲塘一中高一(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)(含解析)

2019-2020学年南昌县莲塘一中高一(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)(含解析)

2019-2020学年南昌县莲塘一中高一(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等比数列{a n}中，a3=1，a6=18，则a2=()A. 2B. 12C. 14D. 162.在△ABC中，b=4√33，c=2√2，C=60°，则A等于()A. 150°B. 75°C. 105°D. 75°或105°3.在等差数列{a n}中，若3a2=32，3a12=118，则a4+a10=()A. 45B. 50C. 75D. 604.在△ABC中，若2acosA=bcosC+ccosB，则角A等于()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65.我国数列求和的概念起源很早，到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法，他在《张丘建算经》里给出如下问题：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”意思是说：“某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，问该女子织布每天增加多少尺？”则答案应为()(注：一匹等于四丈，一丈等于十尺)A. 1629B. 2 C. 3229D. 46.若sinAa =√3cosBb，且(acosB+bcosA)cosC=c2，则△ABC是()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角或等腰三角形D. 等腰直角三角形7.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离都等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为()A. a海里B. √2a海里C. √3a海里D. 2a海里8.数列{a n}满足a1=1，na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，且b n=a n cos2nπ3，记S n为数列{b n}的前n 项和，则S30=()A. 294B. 174C. 470D. 3049. 在等差数列{a n }中，a 6+a 8=6，则数列{a n }的前13项之和为( )A. 392B. 39C.1172D. 7810. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 15=a 6+7，则S 23=( )A. 121B. 161C. 141D. 15111. 在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足bcosC =(3a −c)cosB.若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，b =4√2，则ac 的值为A. 9B. 10C. 11D. 1212. 在正项等比数列{a n }中，a 5a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=( )A. 12B. 2+log 35C. 8D. 10二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，∠C =60°，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则ab+c +bc+a =______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,a)，b ⃗ =(−1,2)且(2a ⃗ +b ⃗ )//b ⃗ ，则实数a = ______ ． 15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +1，求a n = ______ ． 16. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，若1+tanAtanB =2c b，则a 2bc的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，已知∠A =30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a =4=√33b ，解此三角形．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2−c 2=ab ，sin2A =sinBcosA ，且A ≠π2． (Ⅰ)求b a 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为2√3，求a 与b 的值．19.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a23+a332+⋯+a n3n−1=3n(n∈N∗)，等差数列{b n}满足b1=a1，S3−b3=28．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=a nS n S n+1，求数列{c n}的前n项和T n．20.在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC=2√2，求BC．21.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，{b n}是等比数列，且a2=b2=1，a3−1=b3，a4−1=b4．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=a n·b n，求数列{c n}的前n项和S n；(3)若满足不等式2a n+ma n <m+8+b n+1b n成立的n恰有3个，求正整数m的值．22.数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=a n+1−12(n∈N∗)，(1)求{a n}的通项公式；(2)等差数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．【答案与解析】1.答案：A解析：解：等比数列{a n}中，a3=1，a6=18，则q3=a6a3=18，则q=12，则a2=a3q=2，故选：A．先通过a2和a6求得q2再根据a2=a3q求得a2本题主要考查了等比数列的通项公式．属基础题．2.答案：B解析：解：由题意，b=4√33，c=2√2，C=60°，正弦定理可得：bsinB =csin60，得B=45°．∵A=180°−B−C，∴A=75°故选B．利用正弦定理求解出B的大小，A=180°−B−C可得答案．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}中3a2=32，3a12=118，∴由等差数列的性质可得a4+a10=a2+a12=323+1183=50故选：B由已知数据可得a2和a12，由等差数列的性质可得a4+a10=a2+a12，代入计算可得．本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．4.答案：B解析：本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．由已知结合余弦定理进行化简即可求A．解：由余弦定理得2acosA=b·a2+b2−c22ab +c·a2+c2−b22ac=a，因为a≠0所以cosA=12，而A∈(0,π)，故A=π3．故选B．5.答案：A解析：本题主要考查等差数列此题等价于在等差数列{a n}中，a1=5，S30=390，求d．解：本题等价于在等差数列{a n}中，a1=5，S30=390，求d．由等差数列的前n项和公式得30×5+30×292×d=390解得1629．故选A．6.答案：A解析：解：∵sinAa =√3cosBb，又由正弦定理asinA =bsinB，∴sinB=√3cosB，可得tanB=√3，∵B∈(0,π)，∴B=π3，∵(acosB+bcosA)cosC=c2，∴由正弦定理可得：(sinAcosB+sinBcosA)⋅cosC=sinC2，即sin(A +B)⋅cosC =sinC 2，即sinC ⋅cosC =sinC 2，即cosC =12， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3，∴A =π−B −C =π3，可得A =B =C =π3，故△ABC 为等边三角形． 故选：A ．由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB =√3，结合范围B ∈(0,π)，可求B =π3，由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C =π3，可得A =B =C =π3，可得△ABC 为等边三角形．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式以及三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：∵∠NCA =75°，∠BCE =45°，∴∠BCA =60°， ∵AC =BC =a ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =a ． 故选：A ．由方位角可得∠BCA =60°，判断出△ABC 是等边三角形． 本题考查了解三角形的应用，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．na n+1=(n +1)a n +n(n +1)，可得an+1n+1−a n n=1，利用等差数列的定义通项公式可得a n =n 2，b n =n 2cos2nπ3，可得b 3k−2=(3k −2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k −2)2，同理可得b 3k−1=−12(3k −1)2，b 3k =(3k)2，k∈N∗.即可得出所求和．解：∵na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，∴a n+1n+1−a nn=1，∴数列{a nn}是等差数列，公差与首项都为1．∴a nn=1+(n−1)，可得a n=n2．∵b n=a n cos2nπ3，∴b n=n2cos2nπ3，∴b3k−2=(3k−2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k−2)2，同理可得b3k−1=−12(3k−1)2，b3k=(3k)2，k∈N∗．∴b3k−2+b3k−1+b3k=−12(3k−2)2−12(3k−1)2+(3k)2=9k−52，则S30=9×(1+2+⋯+10)−52×10=470，故选：C．9.答案：B解析：解：数列{a n}的前13项之和为：S13=13(a 1+a 13) 2=13(a 6+a 8)2=13×62=39．故选：B．直接利用等差数列前n项和公式，转化为a6+a8的关系，即可求出数列{a n}的前13项之和．本题是基础题，考查等差数列的基本性质，前n项和的求法，考查计算能力．10.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质与等差数列的前n项和，属于基础题．根据等差数列性质求解a12=7，然后利用等差数列前n项和公式求解S23=23(a1+a23)2=23a12．解：因为a3+a15=a6+7，由等差数列性质可知a3+a15=a6+a12，所以a12=7，所以S 23=23(a 1+a 23)2=23a 12=161，故选：B ．11.答案：D解析：本题考查正弦定理及向量的数量积运算．根据已知及正弦定理求得cosB =13，由向量的数量积解得ac 的值．解：由正弦定理bcosC =(3a −c)cosB 可化为sinBcosC =3sinAcosB −sinCcosB ， 即3sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA ， 由sin A 不为0，解得cosB =13，由BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，即accosB =4， 所以ac =12． 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 根据等比数列的性质：a 1a 10=a 2a 9=⋯=a 5a 6=9，再利用对数的运算性质即可得出． 解：根据等比数列的性质：a 1a 10=a 2a 9=⋯=a 5a 6=9，∴log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=log3(a1×a2…×a10) =log3(a5a6)5=log3310=10．故选D．13.答案：1解析：解：∵∠C=60°，∴根据余弦定理a2+b2=c2+ab，∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(c+a)，∴ab+c +bc+a=1，故答案为1．通过∠C=60°代入余弦定理可得a，b，c的关系，两边同时加上ac，bc化简后得出结果．本题主要考查了余弦定理的应用．解此类题有时需要对余弦定理进行适当变形，达到解题的目的．14.答案：−2解析：解：∵a⃗=(1,a)，b⃗ =(−1,2)∴2a⃗+b⃗ =2(1,a)+(−1,2)=(1,2a+2)，∵(2a⃗+b⃗ )//b⃗ ，∴−1×(2a+2)=2×1，∴a=−2，故答案为：−2．直接利用向量平行的充要条件列出方程求解即可．本题考查向量的平行的充要条件，考查计算能力．15.答案：n解析：解：∵a n+1=a n+1，∴a n+1−a n=1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列，则a n=1+(n−1)×1=n，故答案为：n根据数列的递推关系，构造等差数列，即可得到结论．本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系得到数列是等差数列是解决本题的关键．比较基础．16.答案：1解析：解：∵A、B、C为△ABC中的角，角A、B、C所对边分别为a，b，c，又1+tanAtanB =tanB+tanAtanB=sinBcosB+sinAcosAsinBcosB=sin(A+B)cosAcosB ×cosBsinB=sinCsinBcosA由正弦定理得：sinCsinBcosA =cbcosA，∴1+tanAtanB =cbcosA，而1+tanAtanB =2cb，∴cosA=12，又A为△ABC中的内角，∴A=π3；∴由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−2bc×12≥2bc−bc=bc(当且仅当b=c时取“=”)，∴a2bc的最小值为1．故答案为：1．利用正弦定理将1+tanAtanB =2cb转化为cosA=12，求得A，再利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，考查基本不等式，求得cosA=12是关键，属于中档题．17.答案：解：由正弦定理知asinA =bsinB，即4sin30°=4√3sinB，∴sinB =√32，b =4√3，∴∠B =60°或∠B =120°，∴∠C =90°或∠C =30°，即c =8或c =4．则b =4√3，c =8，∠C =90°，∠B =60°或b =4√3，c =4，∠C =30°，∠B =120°．解析：由sin A ，a 与b 的值，利用正弦定理求出sin B 的值，进而求出B 的度数，确定出C 的度数，进而求出c 的值，即可求出直角三角形的未知量．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 18.答案：解：(Ⅰ)∵sin2A =sinBcosA ，且sin2A =2sinAcosA ，∴可得：sinBcosA =2sinAcosA ，∵A ∈(0,π)且A ≠π2，可得：cosA ≠0，∴sinB =2sinA ，由正弦定理可得：b =2a ，可得：b a =2；(Ⅱ)∵a 2+b 2−c 2=ab ，∴由余弦定理可得：cosC =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12， ∵C ∈(0,π)，∴C =π3， ∵△ABC 的面积为2√3=12absinC =√34ab ，可得：ab =8， 又∵由(Ⅰ)可得b =2a ，∴解得：a =2，b =4．解析：本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由已知利用二倍角的正弦函数公式可得sinBcosA =2sinAcosA ，由A 的范围及A ≠π2，可得cosA ≠0，化简可得sinB =2sinA ，由正弦定理可得b a =2；(Ⅱ)由已知及余弦定理可得cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可得C =π3，利用三角形面积公式可求ab =8，根据(Ⅰ)可得b =2a ，进而解得a ，b 的值．19.答案：解：(1)∵a1+a23+a332+⋯+a n3n−1=3n，①∴当n≥2时，a1+a23+a332+⋯a n−13n−2=3(n−1)，②①−②得a n3n−1=3，∴a n=3n(n≥2).当n=1时，a1=3也满足上式，∴a n=3n，则S n=32(3n−1).∵S3−b3=39−b3=28，∴b3=11，设数列{b n}的公差为d，则b1+2d=11，又b1=a1=3，∴d=4，即b n=4n−1;(2)由(1)得c n=4·3n9(3n−1)(3n+1−1)=29(13n−1−13n+1−1)，T n=c1+c2+⋯+c n=29[(12−18)+(18−126)+⋯(13n−1−13n+1−1)]=29(12−13n+1−1)，∴T n=29(12−13n+1−1)．解析：本题考查求数列通项公式的方法及利用裂项相消法求数列的前n项和，同时考查等比数列与等差数列的的通项公式与求和.(1)由已知得当n≥2时，a1+a23+a332+⋯a n−13n−2=3(n−1)，然后两式相减得a n，进而求出b1和{b n}的公差d即可求解;(2)由(1)得c n=29(13n−1−13n+1−1)，然后裂项相消法求和即可．20.答案：解：(1)如图：∵∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5．∴由正弦定理得：AB sin∠ADB =BD sin∠A ，即2sin∠ADB =5sin45°，∴sin∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB <BD ，∴∠ADB <∠A ，∴cos∠ADB =√1−(√25)2=√235． (2)∵∠ADC =90°，∴cos∠BDC =sin∠ADB =√25，∵DC =2√2，在△BCD 中，由余弦定理得：BC 2=BD 2+CD 2−2BD ×CD ×cos∠BDC=25+8−2×5×2√2×√25=25，∴BC =5．解析：(1)由正弦定理得2sin∠ADB =5sin45°，求出sin∠ADB 的值，由此能求出cos∠ADB ；(2)由∠ADC =90°，得cos∠BDC =sin∠ADB =√25，再由DC =2√2，利用余弦定理能求出BC ． 本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力． 21.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，等比数列{b n }的公比为q ，由题意，a 2=b 2=1，a 3−1=b 3，a 4−1=b 4，则 (1+d)−1=q ，(1+2d)−1=q 2，解得d =2，q =2，所以a n =a 2+(n −2)d =2n −3，n ∈N ∗，b n =b 2q n−2=2n−2，n ∈N ∗；(2)因为a n =2n −3，b n =2n−2，所以c n =a n ·b n =(2n −3)·2n−2，所以S n=(−1)×2−1+1×20+3×21+⋯+(2n−3)·2n−2，2S n=(−1)×20+1×21+3×22+⋯+(2n−3)·2n−1，相减得，−S n=(−1)×2−1+2×[20+21+22+⋯+2n−2]−(2n−3)·2n−1=−1+2×1−2n−1−(2n−3)·2n−1=−52+(5−2n)·2n−1，即S n=52+(2n−5)·2n−1，n∈N∗；(3)由2a n+ma n <m+8+b n+1b n，得2(2m+2n−3)2n−3<m+8+2n−12n−2，即m2n−3<m+82n，当n=1时，显然成立；当n≥2时，有mm+8<2n−32n，记T n=2n−32n，则T n+1−T n=2n−12n+1−2n−32n=(2n−1)−2(2n−3)2n+1=5−2n2n+1，当n=2时，T n+1>T n，当n≥3时，T n+1<T n，又T2=14，T3=38，T4=516，T5=732，因为满足不等式2a n+ma n<m+8+b n+1b n成立的n恰有3个，所以14≤mm+8<516，又m为正整数，所以m=3．解析：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，错位相减法求和，属于较难题．(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知可得d和q，可得通项公式；(2)利用错位相减法可求和；(3)由题意可得m2n−3<m+82n，易得n=1时成立，当n≥2时，作差可得T n+1−T n=5−2n2n+1，由题意可得1 4≤mm+8<516，结合m为正整数可得m值．22.答案：解：(1)因为S n=a n+1−12，即a n+1=2S n+1，…①所以a n=2S n−1+1(n≥2)，…②所以①②两式相减得a n+1−a n=2a n，即a n+1=3a n(n≥2)，又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n−1；(2)设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5−d，b3=5+d，又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得(5−d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2，d2=−10∵等差数列{b n}的各项为正，∴d>0，∴d=2，∴T n=3n+n(n−1)2×2=n2+2n．解析：(1)由题意可得a n+1=2S n+1，当n≥2时，将n换为n−1，可得a n=2S n−1+1，两式相减，化简结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；(2)设{b n}的公差为d，运用等差数列和等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用数列的递推式和等比数列的中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题．。

江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末数学试卷(有解析)

江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末数学试卷(有解析)

江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列角与α=36°终边相同的角为( )A. 324°B. −324°C. 336°D. −336°2. 如果a ⃗ 与b ⃗ 是一组基底，则下列不能作为基底的是( )A. a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗B. a ⃗ +2b ⃗ 与2a ⃗ +b ⃗C. a ⃗ +b ⃗ 与−a ⃗ −b ⃗D. a ⃗ 与−b ⃗3. 化简sin 235°−12cos10°⋅cos80°的结果为( )A. −2B. −12C. −1D. 14. 已知向量e ⃗ 为单位向量，a ⃗ =(√2,−1)，e⃗ 与a ⃗ 的夹角为150∘，则a ⃗ ⋅e ⃗ =( ) A. √32 B. −√32C. 32D. −325. 若sin α+cos αsin α−cos α=12，则tan 2α等于( )A. −34B. 34C. −43D. 436. 若向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k =( )A. −1B. 1C. 4D. 07. 函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)与函数y =g(x)的图像关于点(π3,0)对称，且g(x)=f (x −π3)，则ω的最小值等于A. 1B. 2C. 3D. 48. 在边长为4的菱形ABCD 中∠BAD =120°，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. 2√3B. −2√3C. −2D. 29. 已知sin(α+π3)=13，则sin(2α−5π6)的值是( )A. −13B. 13C. −79D. 7910. 在ΔABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 23a ⃗ +13b ⃗ B. 13a ⃗ +23b ⃗ C. 13a ⃗ −23b ⃗ D. 23a ⃗ −13b ⃗ 11. 已知tanα，tanβ是方程6x 2−5x +1=0的两个实数根，若α，β∈(0,π)，则α+β=( )A. π4B. 3π4C. 5π4D. π4或5π412. 函数的一个对称中心是( )A. (π3,0)B. (π6,0)C. (−π6,0)D. (−π12,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为______ ．14. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,0)，B(1,1)，C(2,−1)，则点D的坐标为______ ．15. 已知P 是△ABC 内的一点，且满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，记△ABP 、△BCP 、△ACP 的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1：S 2：S 3= ______ ．16. 已知向量a ⃗ =(sinx,1)，b ⃗ =(t,x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ 在区间[0,π2]上是增函数，则实数t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求与向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,1)夹角相等的单位向量c⃗ 的坐标． 18. 已知．(1)求的值；(2)求的值．19. 已知函数f(x)=2cosxcos(x +π3)．(Ⅰ)求f(π12)的值； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．20. 如下图，E,F 分别是RtΔABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB =3,AC =6，求AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．21.平面向量a⃗，b⃗ 满足|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的取值范围______ ．22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象经过点,0)对称，求f(x)的解析式．(0,2)，又f(x)的图象关于点(3π4-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查终边相同角的表示，属于基础题．直接利用终边相同角的表示方法求解即可．解：与36°角终边相同的角为36°+k×360°，k∈Z，令k=−1，可得−324°．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量共线的充要条件，属于基础题．根据两个不共线的向量可以作为一组基底即可得结论．【解答】解：由题意知，a⃗与b⃗ 不共线，根据平行四边形法则可知a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ ，a⃗+2b⃗ 与2a⃗+b⃗ ，a⃗与−b⃗ 中的两个向量均不共线，都可以作为基底，而−a⃗−b⃗ =−(a⃗+b⃗ )，两者共线，不能作为基底．3.答案：C解析：解：sin235°−1 2cos10°⋅cos80°=2sin235°−12cos10∘⋅sin10∘=−cos70°cos70∘=−1故选：C．利用二倍角公式，化简可得结论．本题考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：本题主要考查向量的数量积，单位向量，以及向量的模，属于简单题．先求出|a⃗|，然后根据向量的数量积公式计算可得答案．解：∵向量e ⃗ 为单位向量，a ⃗ =(√2,−1)，e ⃗ 和a ⃗ 的夹角为150∘， ∴|a ⃗ |=√3，∴a ⃗ ⋅e ⃗ =|a ⃗ |⋅|e ⃗ |cos150°=√3×1×(−√32)=−32，故选D ．5.答案：B解析：本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题.由题可得tanα=3，由tan2α=2tanα1−tan 2α可得tan2α的值．解：由题意得，，解得tanα=−3， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=34． 故选B ．6.答案：B解析：解：∵向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2+2k =0， 解得实数k =1． 故选：B ．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.答案：D解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，利用两角和与差公式化简，结合三角函数的性质求出ω的值． 解：，则，因为函数f(x)与函数y =g(x)的图像关于点(π3,0)对称， 所以，所以即ω=6k −2,k ∈Z ，因为ω>0，所以当k =1时，ω取得最小值4． 故选D ．8.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，属于容易题． 根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，代入求出即可． 解：∵在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD =120°， ∴∠B =60°，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×4×cos120°=−8， ∴则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为：AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB |=−84=−2，故选：C ．9.答案：D解析：解：∵sin(α+π3)=13，∴sin(2α−5π6)=sin[2(α+π3)−3π2]=sin[2(α+π3)+π2]=cos2(α+π3)=1−2sin 2(α+π3)=1−2×(13)2=79， 故选：D ．利用诱导公式、二倍角公式求得sin(2α−5π6)=sin[2(α+π3)−3π2]的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：A解析：本题主要考查平面向量的基本运算法则，属于基础题． 解：由向量的运算法则可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +13b ⃗ ． 故选A ．11.答案：A解析：【分析】本题主要考查一元二次方程跟与系数的关系，正切的两角和差公式，属于基础题． 根据所给条件求出tanα+tanβ=56，tanαtanβ=16，再由两角和差公式计算，根据计算结果再分析α,β的取值范围即可求解．解：由根与系数之间的关系可得tanα+tanβ=56，tanαtanβ=16， 所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1， 又tanα+tanβ>0，tanαtanβ>0， 所以tanα>0，tanβ>0，又α，β∈(0,π)， 所以α，β∈(0,π2)，故α+β∈(0,π)， 所以α+β=π4． 故选A ．12.答案：D解析： 把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解． 对函数，由，，即对称中心为，由，，即对称轴为【详解】由题意f(x)=12cos2x +√32sin2x =sin(2x +π6)，由2x +π6=kπ得，因此是一个零点，(−π12,0)是一个对称中心．故选D ．13.答案：−12解析：解：cos43°cos77°+sin43°cos167° =cos43°cos77°−sin43°sin77° =cos120° =−12． 故答案为：−12先根据三角函数的诱导公式将cos167°化为−sin77°，再根据两角和的余弦公式可得答案． 本题主要考查三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式．属基础题．14.答案：(1,−2)解析：解：平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,0)，B(1,1)，C(2,−1)， 设点D 的坐标为(x,y)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即(1,1)=(2−x,−1−y)， ∴{2−x =1−1−y =1， 解得{x =1y =−2；∴点D 的坐标为(1,−2)． 故答案为：(1,−2)．根据平行四边形ABCD 中AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用坐标相等列出方程组，即可求出点D 的坐标． 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题．15.答案：5：1：3解析：解：记△ABC 的面积为S ， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴−18PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =38PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +58PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则D 在BC 上，且BD ：CD =5：3， 故PD ：AD =1：9，即以BC 为底时，△BCP 的高是△ABC 的19， ∴S 2=19S ，同理：S 1=59S ，S 3=13S ， ∴S 1：S 2：S 3=5：1：3， 故答案为：5：1：3记△ABC 的面积为S ，由已知可得S 1=59S ，S 2=19S ，S 3=13S ，从而求得S 1：S 2：S 3的值． 本题考查共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想．16.答案：[−1,+∞)解析：解：∵a ⃗ =(sinx,1)，b ⃗ =(t,x)， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sinx ⋅t +1⋅x =tsinx +x ，由此可得f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =tsinx +x ，在区间[0,π2]上是增函数， ∴f′(x)≥0区间[0,π2]上恒成立，∵对函数f(x)求导数，得f′(x)=tcosx +1， ∴不等式tcosx +1≥0区间[0,π2]上恒成立， 结合在区间[0,π2]上0≤cosx ≤1，可得t ≥−1 即实数t 的取值范围是：[−1,+∞) 故答案为：[−1,+∞)根据平面向量的数量积运算，可得f(x)=tsinx +x 在区间[0,π2]上是增函数．由导数与函数单调性的关系，得不等式 f′(x)≥0即tcosx +1≥0区间[0,π2]上恒成立，结合此时cos x 的值域即可得到实数t 的取值范围． 本题以向量数量积运算为载体，求函数恒成立时实数t 的取值范围，着重考查了运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等知识，属于中档题．17.答案：解：设c ⃗ =(x,y)，则cos <a ⃗ ,c ⃗ >=cos <b ⃗ ,c ⃗ >(2分)∴{x +2y =2x +y x 2+y 2=1∴{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22(8分) ∴c ⃗ =(√22,√22)，c ⃗ =(−√22,−√22)(10分)解析：设c ⃗ =(x,y)，则cos <a ⃗ ,c ⃗ >=cos <b ⃗ ,c ⃗ >可得{x +2y =2x +y x 2+y 2=1，解方程可求 本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式18.答案：解：(1)∵已知，又，， ．=−12×17−√32×4√37 ，且α∈(π2,π)，求得舍去)， 或，综上．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数公式，属于基础题．(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin(α−β)的值，再利用二倍角公式求得sin(2α−2β)的值；(2)利用两角和与差的三角函数公式求得cos2α=cos[(α+β)+(α−β)]的值，再利用二倍角公式求得cosα的值．19.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2cosxcos(x +π3)=2cosx(12cosx −√32sinx) =cos 2x −√3cosxsinx =12cos2x −√32sin2x +12=sin(π6−2x)+12. ∴f(π12)=12．(Ⅱ)因为f(x)=−sin(2x −π6)+12，故只需求y =sin(2x −π6)的递减区间，所以当2kπ+π2≤2x −π6≤3π2+2kπ(k ∈Z)时f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为[kπ+π3,5π6+kπ],(k ∈Z ).解析：本题考查三角函数的化简及单调性．(Ⅰ)将x 的值代入，利用特殊角即可求值．(Ⅱ)利用两角和的正弦公式展开，再用辅助角公式化简化成y =Asin(ω+φ)，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f(x)的单调增区间．20.答案：10解析：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系.则有B (3,0)，C (0,6)，则E (2,2)，F (1,4)，，21.答案：[−19,1]解析：解：设两个向量的夹角为θ，因为|2a ⃗ −b ⃗ |=1，|a ⃗ −2b ⃗ |=1，所以4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1，a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=1，所以a⃗2=b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ =5a⃗2−14所以5a⃗2−4a⃗2cosθ=1，所以a⃗2=15−4csoθ∈[19,1]，所以5a2−1∈[−49,4]，5a2−14∈[−19,1]，所以a⃗⋅b⃗ ∈[−19,1]；故答案为：[−19,1]．设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量a⃗的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．22.答案：解：根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2,0≤φ≤π)是R上的偶函数，故φ=π2．由于函数的图象过点(0,2)，可得Asinφ=Asinπ2=2，∴A=2，故函数y=2cosωx，再由f(x)的图象关于点(3π4,0)对称，可得ω⋅3π4=π2+kπ，k∈Z，可解得：ω=4k3+23，k∈Z，∵0<ω≤2，∴ω=23或2．∴f(x)=2sin(23x+π2)或f(x)=2sin(2x+π2).解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．。

江西省南昌县莲塘第一中学2020-2021学年高二上期末检测数学（理）试题含答案

江西省南昌县莲塘第一中学2020-2021学年高二上期末检测数学（理）试题含答案

江西省南昌县莲塘第一中学2020-2021学年高二上期末检测数学（理）试题含答案莲塘一中2020—2021学年上学期高二期末质量检测理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C.D. 平行或相交2.已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为A. 0B. 2C. 3D. 43.设命题P：N，，则为A. N，B. N，C. N，D. N，4.下列命题中正确的个数为平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两平面垂直．A. 0B. 1C. 2D. 35.菱形ABCD在平面内，，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直6.“”是“方程表示椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺9.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.10.在长方体中，若E，F分别为线段，的中点，则直线EF与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.11.四个面都是直角三角形的四面体中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为A. B. C. D. 112.如图，已知正方体的棱长为4，P是的中点，点M在侧面内．若，则面积的最小值为A.B. 4C.D. 8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13.在正方体的12条棱中，与平面平行的有________条．14.已知，，“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是．15.已知圆锥的底面半径为1，高为，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．16.将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有______．平面ABC；若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在平面直角坐标系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为．求直线l 的普通方程和线C的直角坐标方程；已知定点，设直线l与曲线C相交于两点，求的值．18.如图，在长方体中，，，点E在棱AB上．求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离．19.命题，，命题，使得成立．若为真，为假，求实数a的取值范围；已知，若r是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．20.如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，，AB，的中点．在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ．21.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，点E为AC的中点．将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF．Ⅰ确定点F的位置并说明理由；Ⅱ求证：平面平面BDC；Ⅲ求二面角的余弦值．莲塘一中2020—2021学年上学期高二期末质量检测理科数学试卷参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C.D. 平行或相交解：直线a，b是异面直线，，直线b不可能在平面内，b与平面的位置关系是平行或相交故选D．2.已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为A. 0B. 2C. 3D. 4解：已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则或与相交，知原命题为假命题，逆否命题也为假命题，原命题的逆命题为，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则，由面面平行易知原命题的逆命题为真命题，则否命题为真命题，故选B．3.设命题P：N，，则为A. N，B. N，C. N，D. N，解：命题P：N，为特称命题，则命题的否定为：N，．故选：D．4.下列命题中正确的个数为平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两平面垂直．A. 0B. 1C. 2D. 3解：对于，平行于同一平面的两直线可以相交、平行或异面，故错误对于，平行于同一平面的两个平面平行，故正确对于，由线面垂直的性质定理可知正确对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故错误．因此正确命题的个数为故选C．5.菱形ABCD在平面内，，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直解：菱形ABCD中，．又平面，，，又AC，平面PAC，平面PAC．又平面PAC，．显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．故选D．6.“”是“方程表示椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解：由方程得，所以要使方程的曲线是椭圆，则，即，且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：解：设这个圆柱的底面半径为r，高为h，圆柱的侧面展开图是一个正方形，，这个圆柱的侧面积与表面积之比为：．故选：A．8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺解：设圆锥底面半径为r，由题意，得，故选：C．9.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.解：由题意，由平面平面ABCD，，，底面ABCD矩形外接圆半径．四棱锥的高为：．球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，即，，解得：四棱锥的外接球的表面积．故选：A．10.在长方体中，若E，F分别为线段，的中点，则直线EF与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.解：取中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接，，易得，是EF在面上的投影．为所求的角．令，在中，，，，所以．故选B．11.四个面都是直角三角形的四面体中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为A. B. C. D. 1解：由题意可以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴与AB平行，建立空间直角坐标系如图所示，设，则1，，1，，0，，0，，，则，0，，设异面直线BM与CD夹角为，则．二面角的正弦值为故选C．12.如图，已知正方体的棱长为4，P是的中点，点M在侧面内．若，则面积的最小值为A.B. 4C.D. 8解：以AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则0，，4，，4，．设0，，则，．，，即．取AB的中点N，连接，则点M的轨迹即为线段过点B作，则当点M与点Q重合时，BM最小，且BM的最小值为．又平面，故BC，面积的最小值为．故选A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13.在正方体的12条棱中，与平面平行的有________条．解：如图，可知与平面平行的为棱与棱CD．故有两2条．故答案为2．14.已知，，“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是．解：，，是的必要条件，，即解得．实数a的取值范围为．故答案为．15.已知圆锥的底面半径为1，高为，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即，圆锥的母线长为扇形的圆心角，一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：．故答案为．16.将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有______．平面ABC；若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．解：由倒影三棱锥的几何特征可知平面故正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故不正确；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥的外接球半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，可设为R，则，所以，故不正确；由推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为的中心，即PQ的中点，故正确，故答案为：．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在平面直角坐标系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为．求直线l 的普通方程和线C的直角坐标方程；已知定点，设直线l与曲线C相交于两点，求的值．【答案】解：由得，所以曲线C的直角坐标方程为．直线l的参数方程为为参数，消参可得直线l的参数方程为为参数，代入中，得，设两点对应的参数分别为，则，，所以．18.如图，在长方体中，，，点E在棱AB上．求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离．【答案】解：连接，在长方体中，由是正方形知D.平面，是在平面内的射影．根据三垂线定理得，则异面直线与所成的角为．过点D作于F，连，则，由已知，则，设点B到平面的距离为h，，，，即，解得．点B到面的距离为．19.命题，，命题，使得成立．若为真，为假，求实数a的取值范围；已知，若r是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：对任意，不等式恒成立，，解得，即p为真命题时，；存在：，使得成立，即成立，，即命题q为真时，；为真，为假，、q一真一假，当p真q假时，则，且，即，当p假q真时，则或，且，即，综上所述，实数a的取值范围为．若，r是q的充分不必要条件，则，所以实数k的取值范围．20.如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，，AB，的中点．在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ．【答案】解：如右图所示：取的中点H，连接HQ，QN，NM，MH 则梯形MHQN是过M，N，Q三点的截面．证明：连接，．三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形．在矩形中：，N分别是，的中点，AB．平面，平面，平面．在中：，N分别是，的中点，．平面，平面，平面又，平面MNQ平面．是AB的中点，平面．故平面MNQ．21.定义椭圆的“蒙日圆”方程为已知抛物线的焦点是椭圆C的一个短轴端点，且椭圆C的离心率为．求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求的面积．【答案】解：抛物线的焦点为，则，又，且，所以，于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”E方程为．设直线：，，由可得：，令可得：，．“蒙日圆”E方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，，于是，．22.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，点E为AC的中点．将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF．Ⅰ确定点F的位置并说明理由；Ⅱ求证：平面平面BDC；Ⅲ求二面角的余弦值．【答案】Ⅰ解：F为线段CD的中点理由如下：平面BEF，平面ADC，平面平面，，为AC的中点，为CD的中点；Ⅱ证明：在原直角梯形ABCD中，可得，又，，折起后垂直关系不变，又平面平面ABC，其交线为AC，平面ABC，平面ADC，而面BCD，所以平面平面ADC；Ⅲ解：如图，连接DE，则，由于平面平面ABC，其交线为AC，平面ADC，平面ABC，所以，过E作，连接DG，，DE、平面DEG，所以平面DEG，又平面DEG，则，故是二面角的平面角，可得，，，，所以二面角的余弦值为．。

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2023届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2023届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析

18．（1）已知
x
0
，
y
0，
xy
4
，求
2 x
1 y
的最小值；
（2）把角 690 化成 2k 0 2, k Z 的形式.
19．某鲜奶店每天以每瓶 3 元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶 7 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的 鲜牛奶作垃圾处理.
（1）若鲜奶店一天购进 30 瓶鲜牛奶，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 n （单位：瓶， n N ）的函数
e 3e
3
3
故选：D
3、D
【解析】A，B 两选项定义域不同，C 选项对应法则不同，D 选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A. y x2 1 x 1， x 1，两个函数的定义域不同，不是同一函数， x 1
B. y x0 1 ， x 0 ，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C. y x2 2 x 2 ，两个的对应法则不相同，不是同一函数
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数 f x 5x 2x a 在 1, 2 上存在零点，则 a 的取值范围为（）
A. 7,29
B. 7,
C. 1,29
D. 7,14
2．设函数 f (x)＝ 1 x－ln x，则函数 y＝f (x)（） 3
7．圆 (x 4)2 y2 9 与圆 x2 ( y 3)2 4 的位置关系是（ ）
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切
8．下列关系中正确 个数是（）
的 ①1Q② 2
2 R③0N*④πZ
A.1

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二第一学期期末考试试题理数学【含解析】

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二第一学期期末考试试题理数学【含解析】

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二第一学期期末考试试题理数学【含解析】一、选择题（仅有一个选项是正确的.）1.已知复数z 满足()34i 12i z -=+，则z 的共轭复数是（ ） A. 12i 55-- B. 12i 55-+ C.12i 55+ D.12i 55- 【答案】A 【解析】 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由()34i 12i z -=+得到()()()()1234i 12i 5101212,i 34i 34i 34i 25555i i i z z +++-+-+=====----+ 故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ） A. ()()()21232n n n n n ++++++-= B. ()()()21231n n n n n ++++++-=C. ()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D. ()()()()2123121n n n n n ++++++-=-【答案】C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 3.()1xx ee dx -+=⎰ ( )A. 1e e +B. 2eC.2eD. 1e e-【答案】D 【解析】由微积分基本定理可得：()1101()x xx xe e dx e ee e--+=-=-⎰，故选D.4.“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-. 若1a <-，得1tan θ>，可知倾斜角θ大于4π； 由倾斜角θ大于4π得1a ->，或0a -<，即1a <-或0a >， 所以“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.5.函数ln y x x =的单调递减区间是 （ ） A. 1(,)e -+∞ B. 1()e --∞,C. 1(0)e -,D. (,)e +∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得()f x '和定义域，由()0f x '<，即可求解函数的递减区间. 【详解】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0)e -,.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用()0f x '<求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.若函数43219(),(,)42f x x ax x b a b R =++-∈仅在0x =处有极值，则a 的取值范围为（ ） A. [2,2]- B. [1,1]-C. (2,2)-D. [1,4]-【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，要保证函数()f x 仅在0x =处有极值，必须满足'()f x 在0x =两侧异号．【详解】由题意，322'()39(39)f x x ax x x x ax =++=++ 要保证函数()f x 仅在x ＝0处有极值，必须满足'()f x 在x ＝0两侧异号，所以要2390x ax ++≥恒成立，由判别式有：2(3)360a -≤，∴2936a ≤ ∴22a -≤≤，∴a 的取值范围是[2,2]- 故选A ．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 7.下列命题正确的是( )A. “1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B. 若给定命题:p x ∃∈R ,使得210x x +-<,则:p x ⌝∀∈R ,均有210x x +-≥C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题D. 命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+=,则2x ≠” 【答案】B【解析】因为2320x x -+>，所以2,1x x ><或，因此“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件； 命题:p x R ∃∈,使得210x x +-<的否定为x R ∀∈,均有210x x +-≥； 若p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个为假命题；命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠,则2x ≠”； 选B. 8.曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A. 在直线2y x =上B. 在直线2y x =-上C. 在直线1y x =-上D. 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.9.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）A. sin y x =B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．考点：导数及其性质.10.已知函数()()2ln f x x kxk =-∈R ，若()f x 在定义域内不大于0，则实数k 的取值范围为（ ）.A. 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 2e ⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. e ⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】由()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，分离参数2ln ,(0,)x k x x ≥∈+∞上恒成立，设2ln ()xg x x=，只需max ()k g x ≥，求()g x '，求出单调区间，进而求出极值，最大值，即可求解. 【详解】依题意()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，即2ln ,(0,)xk x x≥∈+∞上恒成立， 设2ln (),(0,)xg x x x=∈+∞，只需max ()k g x ≥，432ln 12ln ()x x x xg x x x --'==，令()0,g x x e '==当()0,0g x x e '><<()0,g x x e '<>()g x 单调递增区间是)e ，单调递减区间是,)e +∞，所以x e =()g x 取得极大值为12e，也是最大值， 所以12k e≥. 故选:A.【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数，构造函数，转化为参数与函数的最值关系，考查应用导数求最值，属于中档题.11.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ） A. {|1}x x ≠± B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,1)-D. (1,0)(0,1)-【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数()()22g x x f x x =-，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数x 的取值范围即可.【详解】()f x 是R 上的偶函数，则函数()()22g x x f x x =-也是R 上的偶函数，对任意的实数x ，都有()()2'2f x xf x +<恒成立， 则()()()'2'2g x x f x xf x ⎡⎤=+-⎣⎦.当0x ≥时，()'0g x <，当0x <时，()'0g x >，即偶函数()g x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()0,∞+上单调递减， 不等式()()2211x f x f x -<-即()()2222111x f x x f -<-，据此可知()()1g x g <，则1x <-或1x >. 即实数x 的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 本题选择B 选项.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 12.已知函数()()()2ln 20f x x ax a x a =+++<，()2x xg x e=-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，则实数a 的取值范围为（ ）（其中 2.71828e =为自然对数的底数）.A. 1,0e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. [),0e -D. (],e -∞-【答案】C 【解析】 【分析】 设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，通过求导数法，求出1(2,2]A e=--， 设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，由已知可得A B ⊆，当0,()x f x +→→-∞，只需函数()f x 在(]0,e 上的最大值1()2max f x e≥-，用导数法求()f x 的最大值，解关于a 的不等式，即可求出结论.【详解】()2,(0,2]x xg x x e=-∈,()21()x x x x e xe x g x e e --'==, 令()0,1g x x '==，当0g x 时，01x <<，当0g x时，12x <≤，当1x =时()g x 取得极大值为12e-，也是最大值，22(0)2,(2)22g g e=-=->-，设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，则1(2,2]A e=--，设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，所以A B ⊆.当0,()x f x +→→-∞，所以只需1()2max f x e≥-， ()()1(21)(1)22x ax f x ax a x x++'=+++=， 令1()0,f x x a'==-或12x =-（舍去），当11,0e a a e-≥-≤<时，()f x 在(]0,e 上是增函数，2max 1()()122f x f e ae e ae e==+++≥-解得3221()e a e e e -≥-++，10a e ∴-≤<， 当11,e a a e -<<-时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,]e a -上单调递减，max 11121()()ln()12f x f a a a a e =-=-+--≥-， 111ln()1a a e --≥-，令()ln h x x x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，而11()1h e e =-， 于是11a e -≥，解得1e a e-≤<-.综上，0e a -≤<. 故选:C.【点睛】本题考查方程的根，等价转化为两个函数的值域关系，考查用导数求函数的最值，考查分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（把正确答案填写在横线上.） 13.67225．【答案】> 【解析】【详解】试题分析：要比较67、225的大小，只须比较2(67)13242=+、2(225)134101340=+=+要比较13242+1340+42,404240>67>225考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．14.20191i 1i--=_________．【答案】i ． 【解析】 【分析】由41i =结合复数的除法运算求解即可.【详解】解法一：2019321i 1i 1i (1i)2ii 1i 1i 1i (1i)(1i)2--++=====----+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题.15.若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.【答案】-18 【解析】 【分析】先求()'f x ，再令2x =求出()'2f 后得到()f x ，最后根据莱布尼兹公式计算定积分. 【详解】()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，从而()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-. 【点睛】定积分的计算，需要找出被积函数的原函数，因此知道一些常见函数的原函数是求定积分的基础，比如()1xαα≠-的原函数为111x αα++，1x的原函数为ln x ，x e 的原函数为x e . 16.对于函数()y f x =，若存在区间,a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()xf x e x =+是x ∈R 上k 倍值函数，则实数k 的取值范围是______.【答案】()1,e ++∞ 【解析】 【分析】由已知可得()xf x e x =+，当[],x a b ∈时，值域为[](),0ka kb k >，而()y f x =在[],a b 上单调递增，所以有(),()f a ka f b kb ==，,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx +=在R 由两个解，显然0x =不是方程的解，分离参数可得1xe k x=-，设(),1xe g x y k x==-，转化为(),1g x y k =-的图像有两个交点，通过求导，求出()g x 的单调区间，极值，分析函数值的变化趋势，即可求出k 的取值范围.【详解】()xf x e x =+在[],a b 上单调递增，依题意(),()f a ka f b kb ==，所以,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx +=在R 有两个解，显然0x =不是方程的解，1xe k x=-，设(),1x e g x y k x ==-，只需(),1g x y k =-图像有两个交点，2(1)()x e x g x x'-=，当()0g x '<时，0x <或01x << 当()0g x '>时，1x >，所以()g x 单调递减区间是(0,1)，(,0)-∞，递增区间是(1,)+∞， 所以1x =时，()g x 取得极小值为(1)g e =， 当0x <时，()0<g x ，当0,x >时，()g x e ≥， 当0,()x g x +→→+∞，,()x g x →+∞→+∞， 要使(),1g x y k =-的图像有两个交点， 需1,1k e k e ->>+. 故答案为:()1,e ++∞.【点睛】本题考查新定义问题，等价转化为方程的解，分离参数，构造函数，利用导数求函数的单调区间、极值，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤.）17.设命题():220p a x a a -≤≤+>，2:60q x x +-≤．（1）若1a =，且p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)(]3,12,3-⋃；（2）5a ≥ 【解析】 【分析】（1）1a =时，:13p x ≤≤； 2:60q x x +-，解得32x -．根据p q ∧为假，p q ∨为真，可得p 与q 必然一真一假．（2）q 是p 的充分不必要条件，则2322a a--⎧⎨+⎩，0a >，解得a 范围．【详解】（1）当1a =时，:13p x ≤≤，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以“p ，q ”一真一假．p 真q 假时，得1332x x x ≤≤⎧⎨-⎩或，∴23x <≤．p 假q 真时，得1332x x x ⎧⎨-≤≤⎩或，∴31x -≤<．综上，实数x 的取值范围是[)(]3,12,3-⋃． （2）由260x x +-≤得32x -≤≤ 若q 是p 的充分不必要条件，则[][]3,22,2a a --+，即023a a >⎧⎨-≤-⎩，所以5a ≥．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线12:(312x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线C 交于,A B 两点，于y 轴交于点E ，求11EA EB+的值．【答案】（1）22(1)(1)2x y -+-= （2）5 【解析】 【详解】（1）则的直角坐标方程为，即．（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得， 设点对应的参数分别为，则．19.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值， 并求出此定值．【答案】(1) f(x)＝x ＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解 f′(x)＝a －，()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x ＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线方程为y －＝[1－] (x －x 0)．令x ＝1，得y ＝， 切线与直线x ＝1的交点为 (1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2. 20.已知函数()()()354log 0,1x ax a af x a a -+-=>≠．（1）当3a =时，方程()log a f x k =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增，求实数a 取值范围．【答案】（1）()9,13k ∈；（2）4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，利用导数求出函数极值，即可得到参数的取值范围.（2）分01a <<和1a >两种情况讨论，参变分离即可求出参数的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，()233g x x '∴=-令()()()2333110g x x x x '=-=+-=1x ∴=-或1x =，易得：()()113g x g =-=极大值，()()19g x g ==极小值， 欲使方程()log a f x k =有三个不同的实数解， ∴()9,13k ∈．（2）令()354g x x ax a =-+-，∵()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，①若01a <<，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，即()230g x x a '=-≤在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，∴213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 又因为()0gx >在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()()405405g x g a a >=-≥⇒≥，此时，451a ≤<．②若1a >，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，须使()230g x x a '=-≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≤在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立，即0a ≤，不合题意，故舍去． 综上，4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值问题，属于中档题.21.设椭圆G 的中心在坐标原点O ，其中一个焦点为圆22:20F x y x +-=的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.已知椭圆G 与直线:10l x my --=相交于A 、B 两点，延长AO 与椭圆G 交于点C . （1）求椭圆的方程；（2）求ABC 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】 【分析】（1）求出22:20F x y x +-=圆心，以及与x 轴的的交点（圆心右侧），为椭圆的右顶点，即可求出椭圆方程；（2）根据椭圆的对称性2ABC AOB S S ∆∆=，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 过(1,0)，122||ABC AOB S S y y ∆∆==-，椭圆方程与直线方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，利用韦达定理，求出ABC S ∆关于m 为变量的函数，运用换元法，结合求导，求出函数的最值，即为ABC 面积的最大值.【详解】（1）圆22:20F x y x +-=，化为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)F ，与x 轴交点坐标(0,0),(2,0)，右顶点为(2,0)，所求的椭圆方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，||2||,2ABC AOB AC OA S S =∴=△△，由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得，()2234690m y my ++-=. 122634m y y m -+=+，122934y y m -=⋅+ ()221222236361213434m m y y m m+-=+=++2122112122234ABC AOBm S S OF y y m +==⋅⋅⋅-=+△△， 21m t +=，则1t ≥，221m t =-，212121313ABC t S t t t==++△，设1()3,1f t t t t =+≥，21()30,1f t t t'=->≥恒成立， 1()3,1f t t t t=+≥单调递增，当1t =时，()f t 取得最小值，此时ABC S ∆取得最大值为3.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查用函数思想求最值，正确表示三角形的面积是关键，属于中档题. 22.已知函数()()1ln f x a x x =--，()xg x e =.（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =⋅在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】 （1）求()1ax f x x-'=，()0,x ∈+∞，对参数a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解的区间，即可得出结论；（2）根据条件即求()0F x '≥在[)1,+∞恒成立a 的取值范围，求出()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭，即1ln 0ax x x --≥，分离参数2ln 1x a x x ≥+，在[)1,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln 1x h x x x=+，只需max ()a h x ≥，通过二次求导判断()h x '的正负，进而判断()h x 的单调性，求出max ()h x ；或()1ln h x ax x x=--，则至少有()10h ≥，1a ≥，然后求()h x '，求出单调区间，进而求出min ()h x ，解不等式min ()0h x ≥，即可得出结论. 【详解】（1）()y f x =的定义域为()0,∞+，()1ax f x x-'=，当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立， 所以()y f x =在()0,∞+上递减； 当0a >时，令()10,f x x a'==， 当()0f x '<时，10x a <<，当()0f x '>时，1x a>， 则()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增.（2）()()1ln xF x a x x e =--⋅⎡⎤⎣⎦()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭在[)1,+∞恒成立，所以1ln 0ax x x --≥，即2ln 1x a x x≥+ 令()2ln 1x h x x x =+，则有()()31ln 2x x h x x--'=， 令()()1ln 2g x x x =--，则有()ln 0g x x '=-≤在[)1,+∞上恒成立. 故()g x 在[)1,+∞上为减函数，所以()()()()11,0,g x g h x h x '≤=-∴<∴在[)1,+∞上为减函数， 则()()max 11h x h ==，故1a ≥. 另解令()1ln h x ax x x=--，则至少有()10101h a a ≥⇒-≥⇒≥. 当1a ≥时，则有()222111ax x h x a x x x-+'=-+=， 令()21x ax x ϕ=-+，开口向上，对称轴110,22x a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 故()x ϕ在[)1,+∞上为增函数，所以()()()()10,0,x a h x h x ϕϕ'≥=>∴>∴在[)1,+∞上为增函数， 则()()110h x h a >=-≥，故1a ≥.【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用，涉及到单调区间、最值，解题的关键要注意等价转化构造函数，考查分类讨论思想，属于较难题.。

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学(文)试题

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学(文)试题

莲塘一中2019-2020学年上学期高一期末检测文科数学试题一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1.下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A. 150︒-B. 680°C. 220°D. 320°2.下列各组向量中,可以作为基底的是( )A. 12(0,0),(1,2)e e ==u r u u rB. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u rD. 12(2,3),(6,9)e e =-=-u r u u r3.计算2sin 2105°-1的结果等于（ ）A. -B. 12-C.12D.4.已知平面四边形ABCD 满足,0AB DC AC BD =⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v，则四边形ABCD 为（ ）A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形5.若sin cos 2sin cos αααα+=-，则tan2α=（ ）A. 34-B.34C. 43-D.436.已知向量(1,3)a m =--r,(,2)b m =r,若a b ⊥rr,则实数m =( ) A. 2-B. 3C. 3-或2D. 2-或37.若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭最小正周期为π,则( )A. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 8.已知||2a =v ，(2)a b a -⊥v v v，则b v 在a v 方向上的投影为（ ） A -4B. -2C. 2D. 49.若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A.59 B. 59-C.79D. 79-10.如图，在ABC ∆中，23AD AC =u u u v u u u v ，13BP BD =u u u v u u u v ，若AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则=λμ( )A. 3-B. 3C. 2D. 2-11.已知,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程250x -+=的两根，则αβ+=（ ）A. 3π-或23πB. 3π-C.23π D.56π 12.若不等式24sin cos 5x x x m ++…在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的最小值为（ ） A. 11B. 5C. 5-D. 11-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________.14.若ABCD Y 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________.15.点M 是ABC ∆所在平面内一点，若3144AM AB AC =+u u u u v u u u v u u u v，则:ABM ABC S S ∆∆=_______.16.设(sin ,sin )a x x =-v ，(sin ,1)b x m =+v ，若函数()f x a b m =⋅+v v在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个零点，则实数m 的取值范围为_________.三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）17.已知向量(4,3)a =v，(1,2)b =v ，（1）设a v 与bv 夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a b λ-vv与2a b +vv 平行，求实数λ的值.18.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．．1）求sin 2α值；（2）若()3sin 5αβ+=-．0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值． 19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+.(1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.20.如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v,求λμ+的值(2)若2AB BC ==,当1AE BF ⋅=u u u v u u u v时,求DF 的长 21.在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v，（1）求证：AB BC =u u u v u u u v；（2）若2BA BC +=u u u v u u u v ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BA BC u u u v u u u v ⋅的取值范围. 22.已知函数()sin()(,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+><<，最小正周期为π，且点,212π⎛⎫⎪⎝⎭是该函数图象上一个最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()2(sin 2)f x k x =+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根，求实数k 的取值范围.的。

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一第一学期期末考试试题文数学【含解析】

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一第一学期期末考试试题文数学【含解析】

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一第一学期期末考试试题文数学【含解析】一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分） 1.下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A. 150︒- B. 680°C. 220°D. 320°【答案】C 【解析】 【分析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题 2.下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A. 12(0,0),(1,2)e e == B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 12(2,3),(6,9)e e =-=-【答案】B 【解析】 【分析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =,()22,b x y =,若//a b ,则12120y x x y -=, 对于选项A,10e =,0与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e 与2e 不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e ,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e ,故D 错误, 故选:B【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3.计算2sin 2105°-1的结果等于（ ） A. 3-B. 12-C.123【答案】D 【解析】232sin 1051cos 210cos30-=-==．选D ． 4.已知平面四边形ABCD 满足,0AB DC AC BD =⋅=，则四边形ABCD 为（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的性质得出四边形边的关系再分析即可.【详解】因为AB DC =,故四边形ABCD 的对边,AB DC 平行且相等.故四边形ABCD 为平行四边形.又0AC BD ⋅=故对角线互相垂直.故四边形ABCD 为菱形.故选：C【点睛】本题考查了向量的性质与菱形的判定,属于基础题型. 5.若sin cos 2sin cos αααα+=-，则tan2α=（ ）A. 34-B.34C. 43-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分式上下同除以cos α可得tan α,再利用二倍角公式求解tan2α即可. 【详解】由sin cos 2sin cos αααα+=-有tan 12tan 3tan 1ααα+=⇒=-.故22tan 63tan 21tan 194ααα===---. 故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数的方法以及二倍角的正切公式,属于基础题型.6.已知向量(1,3)a m =--,(,2)b m =,若a b ⊥,则实数m =( ) A. 2- B. 3C. 3-或2D. 2-或3【答案】D 【解析】 【分析】若a b ⊥,则0a b ⋅=,求解即可【详解】若a b ⊥,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=, 解得3m =或2m =-, 故选:D【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7.若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性和周期性可得()2f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可【详解】由题,()24f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()2f x x =,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减； 当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 故选:B【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间 8.已知||2a =，(2)a b a -⊥，则b 在a 方向上的投影为（ ） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】【详解】分析：首先根据向量垂直，得到其数量积等于零，即(2)0a b a -⋅=，从而求得8a b ⋅=，之后应用向量的投影的定义求得结果.详解：由(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=， 即220a a b -⋅=，又2a =，所以8a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为842a b a ⋅==，故选D. 点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用. 9.若2sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为( )A.59 B. 59-C.79D. 79-【答案】A 【解析】 【分析】由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】由题,2225sin 2sin 2cos 212sin 126626639πππππαααα⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10.如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A. 3-B. 3C. 2D. 2-【答案】B 【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B. 11.已知,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根，则αβ+=（ ）A. 3π-或23πB. 3π-C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理可得tan ,tan αβ的和与积关系, 再根据,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭判断,αβ的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断αβ+的大小即可.【详解】因为tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根可得tan tan 3,αβ+=tan tan 5αβ⋅=.所以tan ,tan αβ均为正数,又,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()tan tan 43tan 31tan tan 15αβαβαβ++===--⋅-又()0,αβπ+∈.故23παβ+=.故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.12.若不等式24sin 43cos 5x x x m ++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的最小值为（ ） A. 11 B. 5C. 5-D. 11-【答案】B 【解析】 【分析】利用降幂公式化简24sin 3cos 5y x x x =++,再根据其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围,利用能成立的性质求解实数m 的最小值即可.【详解】设()24sin 43cos 521cos 223254sin(2)76y x x x x x x π=++=-++=-+.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以[]4sin(2)75,116y x π=-+∈. 又y m ≤有解,故实数m 的最小值为5. 故选：B【点睛】本题主要考查了降幂公式与根据定义域求正弦函数的值域问题,同时也考查了能成立问题求最值的做法.属于中等题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】 【分析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14.若ABCD 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1-- 【解析】 【分析】由ABCD 可得AB DC =,进而求解即可 【详解】由题,因为ABCD ,所以AB DC =, 设(),D x y ,所以()4,3AB =,(),2DC x y =--,所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩,故答案为:()4,1--【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示 15.点M 是ABC ∆所在平面内一点，若3144AM AB AC =+，则:ABM ABC S S ∆∆=_______. 【答案】1:4 【解析】 【分析】画出三角形,根据3144AM AB AC =+可知M 在BC 上且3CM BM =再判断即可. 【详解】如图所示,∵点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足3144AM AB AC =+, ∴点M 在边BC 上且3CM BM =. ∴::1:4ABM ABC S S BM BC ∆∆==. 故答案为：1:4【点睛】本题主要考查了平面向量的共线定理应用,属于基础题型.16.设(sin ,sin )a x x =-，(sin ,1)b x m =+，若函数()f x a b m =⋅+在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个零点，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意有0a b m ⋅+=在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根.故求得y a b m =⋅+再数形结合,分情况讨论分析即可.【详解】由题0y a b m =⋅+=在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根, 又()2sin 1sin y a b m x m x m =⋅+=-++()()sin 1sin x x m =--,解得sin 1x =或sin x m =.当sin 1x =时,2x π=,只有一个解.故当sin x m =时,有两个解,因为5,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故此时112m <<,故m 的范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了正弦型二次复合函数的值域问题,需要根据题意分情况讨论正弦值再根据图像分析正弦函数的取值范围.属于中等题型.三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分） 17.已知向量(4,3)a =，(1,2)b =，（1）设a 与b 的夹角为θ，求cos θ的值； （2）若a b λ-与2a b +平行，求实数λ的值. 【答案】(1)25; (2) 12λ=- 【解析】 【分析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可. 【详解】(1) 22225cos 5554312a b a bθ⋅====⋅+⋅+.(2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--,()()()4,312,82,29a b ++==. 又a b λ-与2a b +平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型. 18.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．（1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值． 【答案】(1) 429-. (2)4215+. 【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解： （Ⅰ）2（，）παπ∈，且1sin 3α=，2cos 3α∴=-，-------2分于是 42sin22sin cos 9ααα==-； （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-，于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦ 32241462553⎛+⎛⎫=-⋅--⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 12f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 （1）化简()2214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可；（2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 22214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 12f x =（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20.如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+,求λμ+的值(2)若3,2AB BC ==,当1AE BF ⋅=时,求DF 的长 【答案】(1)1623【解析】【详解】（1）EF EC CF =+ ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+，又∵BC AD =,CD AB =-,∴1132EF AB AD =-+， 111326λμ+=-+=； （2）设(0)DF mDC m =>，则()1CF m DC =-，以AB ，AD 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+ ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+ ， 又0AB AD ⋅=，∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭，解得23m =,故DF 23 21.在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅，（1）求证：AB BC =； （2）若2BA BC +=，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BA BC ⋅的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据BC CA CA AB ⋅=⋅,利用向量,AB BC 去表达,化简求解即可.(2)由(1)||||AB BC =,再将||2BA BC +=两边平方,再将BA BC ⋅化简成关于cos B 的函数再分析取值范围即可.【详解】(1)因为BC CA CA AB ⋅=⋅,故()()()00BC AB CA BC AB BA BC -⋅=⇔-⋅-= 即()()0BC AB BC AB -⋅+=即22BC AB =.故||||AB BC =.(2)由(1)设||||AB BC a ==,因为||2BA BC +=,故22222+242cos 4BA BC BA BC a a a B +⋅=⇒++=.化简得221cos a B =+. 又22cos 2cos cos 21cos 1cos B BA BC BA BC B a B B B ⋅=⋅⋅===-++. 因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故11cos 22B -≤≤.所以131cos 22B ≤+≤,42431cos B ≤≤+. 故 2222,1cos 3B ⎡⎤-∈-⎢⎥+⎣⎦. 即BA BC ⋅22,3⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,同时也考查了根据角度范围求三角函数范围的问题,属于中等题型.22.已知函数()sin()(,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+><<，最小正周期为π，且点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()2(sin 2)f x k x =+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) {}3112k ⎛⎤∈-⋃ ⎥ ⎝⎦ 【解析】【分析】(1)先根据最高点求A ,再根据最小正周期求ω,再代入最高点求ϕ即可.(2)由题意2sin(2)2(sin 2)3k x x π+=+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根.化简得cos 26x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再数形结合分析即可.【详解】(1)因为点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭是该函数图像上的一个最高点,故2A =. 又最小正周期为π故22ππωω=⇒=.故()2sin(2)f x x ϕ=+.代入最高点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭可得sin(2)112πϕ⨯+=,故22623k k πππϕπϕπ+=+⇒=+,因为0ϕπ<<故3πϕ=. 故()2sin(2)3f x x π=+(2)由题2sin(2)2(sin 2)3k x x π+=+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根, 312sin 2c 2os 26x k x x k π⎛⎫⇒+ ⎝==⎪⎭-在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根. 又72,636t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,且cos y t =在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,在76ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增, 且173cos ,cos 3262ππ==-.又cos 26x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根 故1k =-或312k ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.即{}3112k ⎛⎤∈-⋃ ⎥ ⎝⎦.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的方法,同时也考查了根据三角函数图像求解零点个数的问题,属于中等题型.。

2019-2020学年 江西省南昌县莲塘第一中学 高一上学期月考数学试题(解析版)

2019-2020学年 江西省南昌县莲塘第一中学 高一上学期月考数学试题(解析版)

2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高一上学期月考数学试题一、单选题 1．若2019α︒=，则点(tan ,cos )P αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据终边相同的角确定α终边所在象限，由三角函数的符号确定点所在的象限即可. 【详解】=53602019+219︒⨯︒︒Q ，∴2019α︒=的终边在第三象限，tan 0,cos 0αα∴><，∴点(tan ,cos )P αα位于第四象限，故选：D 【点睛】本题主要考查了终边相同的角，三角函数在各象限的符号，属于容易题. 2．若扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则该扇形的面积是（ ）2cm A ．40π B ．80πC ．40D ．80【答案】D【解析】根据扇形面积公式及角度制与弧度制的互化求解即可. 【详解】由扇形面积公式可知；221172208022180S r παπ==⨯⨯=，故选：D 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，角度制与弧度制的互化，属于容易题. 3．已知1sin cos 2αα+=-，则sin cos αα⋅=（ ）A ．38-B ．38±C ．34-D ．34±【答案】A【解析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的关系即可求解. 【详解】1sin cos 2αα+=-Q ，221(sin cos )()2αα∴+=-，即112sin cos 4αα+⋅=，3sin cos 8αα∴⋅=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题. 4．下列函数中，既是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的是（ ） A ．cos 2y x = B ．|sin |y x =C ．|sin 2|y x =D ．sin ||y x =【答案】B【解析】直接利用正余弦函数的单调性和奇偶性的性质依次判断． 【详解】 对于A ：在(0,)2π上的减函数，周期为π，是偶函数．故A 不对．对于B ：是偶函数，在(0,)2π上的增函数，sin x 加了绝对值，函数sin y x =图象x 轴下部分翻折到上面来，周期变为π．故B 对．对于C ：sin 2x 加了绝对值，函数sin 2y x =图象x 轴下部分翻折到上面来，周期变为2π，是偶函数，在(0,)2π上不是增函数，故C 不对．对于D ：x 加了绝对值，函数sin y x =图象保留y 轴部分，再作关于y 对称的图象，不是周期函数，在 (0,)2π上是增函数，故D 不对．故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，涉及周期、单调性、奇偶性，图象的翻折、对称变换．比较基础．5．若角α的终边落在直线0x y +=cos α+的值等于（ ） A ．0 B ．2-C ．2D ．2-或2【答案】A【解析】由角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，求得sin ,cos αα的值，代入即可求解． 【详解】由题意，若角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，当角α的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=；当角α的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答中熟记三角函数的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 6．已知函数()5sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图像关于（ ）对称 A ．直线3x π=B ．直线4x π=C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭D ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】Q 函数()5sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，∴2ππω=，2ω∴=，()sin(2)3f x x π=+，令3x π=，则23x ππ+=，()0f x =，故函数的图象关于点(3π，0)对称，故D 满足条件， A 不满足条件；令4x π=，则5236x ππ+=，1()2f x =， 故函数的图象不关于直线4x π=对称，也不关于点(4π，0)对称，故B 、C 不满足条件，故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题． 7．已知tan1a =，tan2b =，tan3c =，则（ ）． A ．a b c ＜＜ B ．c b a ＜＜C ．b c a ＜＜D ．b a c ＜＜【答案】C【解析】根据角的范围，利用诱导公式和正切函数的单调性，即可判断,,a b c 的大小关系． 【详解】由题意可知tan11a =>，tan2tan(π2)0b ==--<，tan3tan(π3)0c ==--<． 再根据ππ2π302>->->，∴tan(π2)tan(π3)0--＞＞，∴tan(π2)tan(π3)0----＜＜．综上可得，0a c b ＞＞＞， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和正切函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．函数()()()sin 0,2f xx x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A ．3B ．12-C ．12D ．32【答案】A【解析】由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得1256x x π+=,从而可得()12f x x +的值. 【详解】由函数()sin()()0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象, 可得122,2236πππωω⨯=-∴=, 再根据五点法作图可得20,63ππϕϕ⨯+=∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为122,,63x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上，且()()12f x f x =， 所以()12216322x x ππ++=,1256x x π∴+=，()12543sin 2sin sin 6333f x x ππππ⎛⎫+=⨯-==-= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.9．要得到函数3cos y x =的图像，只需将函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的（）A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移23π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度 【答案】C【解析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果 【详解】 因为3cos 3sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以将函数3sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移23π个单位长度，就可得到函数3cos y x =的图像. 故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的变换，注意伸缩变换时不变换初相．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是 （ ） A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(cos )f f αβ< C ．(cos )(cos )f f αβ> D ．(sin )(cos )f f αβ<【答案】D【解析】由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°,即0°＜α＜90°-β，从而有0＜sin α＜sin （90°-β）=cos β＜1，由f （x ）满足f （2-x ）=f （x ）函数为偶函数，即f （-x ）=f （x ），可得f （2-x ）=f （x ），即函数的周期为2，因为函数在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断. 【详解】∵α，β是钝角三角形的两个锐角，可得0°＜α+β＜90°， 即0°＜α＜90°-β，∴0＜sin α＜sin （90°-β）=cos β＜1，∵f （x ）满足f （2-x ）=f （x ），∴函数关于x=1对称 ∵函数为偶函数，即f （-x ）=f （x ）， ∴f （2-x ）=f （x ），即函数的周期为2， ∴函数在在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增， 根据周期性可知在0，1]单调递增， ∴f （sin α）＜f （cos β） 故选D.点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f （2-x ）=f （x ），偶函数满足的f （-x ）=f （x ），可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°，即0°＜α＜90°-β．本题是综合性较好的试题． 【考点】偶函数；函数单调性的性质． 11．函数()||sin f x x x =-在R 上零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．作出函数的图象可得答案． 【详解】由()||sin 0f x x x =-=，得||sin x x = 作出sin ,||y x y x ==的图象；由图象可知sin ,||y x y x ==的图象只有一个交点(0,0)， 所以()||sin f x x x =-在R 上零点只有1个，故选：B 【点睛】本题考查的是函数零点的个数判定问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．已知函数()252sin ,3036{log ,0x x f x x x ππ⎛⎫+-≤≤ ⎪=⎝⎭>，若方程()f x a =有四个不同解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．71,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．71,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】试题分析：作()f x 的图象，易知1x =-是52sin()36x y ππ=+图象的一个对称轴，最大值为2，所以122x x +=-，又2324log log x x =，则2324log log x x -=，所以341x x =，31142x <≤，()3122341x x x x x ++3312x x =-+．显然3312y x x =-+是减函数，因此当31142x <≤时，3317122x x ≤-+<．故选A ．【考点】函数与方程．【名师点睛】本题考查函数与方程．在解决与方程根有关问题，常常把方程的根转化为函数图象交点（特别是一个函数的图象与一条直线的交点），在方程含有参数时，利用它们相交的情况可以确定交点个数即方程根的个数，在方程不含参数（象本题）要讨论根的范围时，由图象可以很快估计出其中根的范围，根的关系，如122x x +=-，341x x =，31142x <≤等等，从而有助于问题的解决．二、填空题13．232313sin cos tan(2019)cos 673ππππ⎛⎫-+⋅-= ⎪⎝⎭_______. 【答案】0【解析】先利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】232313sin cos tan(2019)cos 673ππππ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭2sin(4)cos(2)tan2019cos(4)673ππππππππ=-++++-+sin0cos63ππ=+-11022=+- 0=故答案为：0 【点睛】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 14．函数()13tan f x x =-的单调递减区间为______.【答案】(,)()26k k k Z ππππ-+∈【解析】先求出函数的定义域，再根据正切函数的单调性即可求解.【详解】()f x =Q∴10x ≥,解得26k x k ππππ-<≤+，k Z ∈,当(,)()26x k k k Z ππππ∈-+∈时， 3tan y x =是增函数，y ∴=即()f x =(,)()26k k k Z ππππ-+∈，故答案为：(,)()26k k k Z ππππ-+∈【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，单调性，属于中档题. 15．已知函数3cos 1()cos 2x f x x +=+，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为_____.【答案】4[1,]3【解析】函数式变形为5()3cos 2f x x =-+，再根据余弦函数的图象和性质及不等式的性质求解即可. 【详解】3cos 13(cos +25()3cos 2cos +2cos +2x x f x x x x +===-+)-5, 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos 12x ≤≤，5523cos +2x ∴≤≤， 54()3[1,]cos 23f x x ∴=-∈+，故答案为：4[1,]3【点睛】本题主要考查了余弦函数的图像和性质，不等式的性质，分式的化简变形，属于中档题. 16．以下说法中，正确的是_____.（填上所有正确说法的序号）：①已知角α终边上一点(4,3)P -，则3sin tan 20αα+=； ②函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是π；③把函数cos 23yx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到cos 2y x =的图象；④数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；⑤函数sin 23y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数m 的取值范图是22⎡-⎢⎣⎦. 【答案】③④【解析】①由角的三角函数定义求解，判断即可；②由函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知最小正周期；③由函数图象的平移变换即可判断；④计算12232πππ⨯+=，可判断函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；⑤计算函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域即可. 【详解】①已知角α终边上一点(4,3)P -，则33sin ,tan 54αα==-,所以3sin tan 20αα+=-，故错误；②函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象x 轴下方的翻折到x 轴上方，最小正周期是2π，错误； ③把函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到cos[2()]cos 263y x x ππ=-+=的图象，正确；④令12x π=，21232πππ⨯+=Q ，tan 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，正确；⑤Q0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42[,]333x πππ∴+∈，∴函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数m的取值范图是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误. 故答案为：③④ 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，周期性，对称性，值域，平移变换，属于中档题.三、解答题17．已知11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)37sin()cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）化简()f α；（2）若()f α=，求11sin cos αα+的值.【答案】（1）()sin cos f ααα=+（2）-【解析】（1）利用诱导公式化简即可求出（2）根据同角三角函数关系求解. 【详解】（1）11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)37sin()cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos sin (sin )cos sin (sin )cos αααααααα-=+-sin cos αα=+（2）()f α=，即sin cos αα+=两边平方得：112sin cos 5αα+⋅=， 所以2sin cos 5αα⋅=-，11sin cos 555()sin cos sin cos 522αααααα+∴+==⨯-=-【点睛】本题主要考查了三角函数值的化简和求值，利用诱导公式及同角三角函数的关系是解决本题的关键.18．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，（1）请用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的区间上的简图； （2）求()f x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值和相应的x 的值. 【答案】（1）见解析（2）1，12-【解析】（1）利用列表、描点、连线法画出()f x 在一个周期上的图象； （2）利用正弦函数的性质求出()f x 在[12x π∈，]2π上的最大、最小值；【详解】 （1）列表如下：26x π+2ππ32π 2πx12π-6π 512π 23π 1112π()f x11-画出函数()f x 在[12π，]2π上的图象如图所示；（2）由()sin(2)6f x x π=+知，因为122xππ剟，所以72366x πππ+剟， 当262x ππ+=，即6x π=时，sin(2)6x π+最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；当7266x ππ+=，即2x π=时，sin(2)6x π+最小值等于12-，即()f x 的最小值等于12-；所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为12-； 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题． 19．已知函数()sin()(,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+><的一段图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在(2,2)ππ-上的单调递减区间. 【答案】（1）()2sin()66f x x ππ=+（2）(2,4)π--和(2,2)π【解析】（1）首先，确定振幅A ，然后，根据周期公式确定2ωπ=，最后，利用特殊点，确定ϕ的值，即可得解函数解析式（2）利用正弦函数的单调性即可得解． 【详解】（1）由题意得：2A =，12T=，∴26T ππω==， 可得：()2sin()6f x x πϕ=+．由图象可知()2sin()6f x x πϕ=+经过点(2,2)，所以2sin(2)26πϕ⨯+=即sin()13πϕ+=，所以232k ππϕπ+=+，且||ϕπ<，所以6π=ϕ 故函数()f x 的解析式为：()2sin()66f x x ππ=+． （2）由图可知()2sin()6f x x πϕ=+的单调减区间为：[212k +，812]()k k Z +∈利用数轴可知函数()f x 在(2,2)ππ-上的单调递减区间：(2,4)π--和(2,2)π． 【点睛】本题重点考查了由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，属于中档题．解题关键是准确理解所给图象的信息．20．已知函数2()12cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()g a ，a R ∈， （1）求()g a 的表达式； （2）若1()2g a =-，求a 及此时()f x 的最大值. 【答案】（1）21(2)()21(22)214(2).a ag a a a aa <-⎧⎪⎪=----⎨⎪->⎪⎩剟（2）1,5- 【解析】（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①2a小于1-时②2a 大于1-而小于1时③2a大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出()f x 的最小值g （a ）的值即可；（2）把12代入到第一问的g （a ）的第二和第三个解析式中，求出a的值，代入()f x 中得到()f x 的解析式，利用配方可得()f x 的最大值．【详解】（1）2()122cos 2(1cos )f x a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )2122a a x a =----．若12a<-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 有最小值g （a ）222(1)21122a a a =-----=；若112a -剟，即22a -剟，则当cos 2a x =时，()f x 有最小值g （a ）2212aa =---；若12a>，即2a >，则当cos 1x =时，()f x 有最小值g （a ）222(1)211422a a a a =----=-．21(2)()21(22)214(2).a ag a a a aa <-⎧⎪⎪∴=----⎨⎪->⎪⎩剟（2）若g （a ）12=，由所求g （a ）的解析式知只能是212122a a ---=或1142a -=．由222112122a a a a -⎧⎪⇒=-⎨---=⎪⎩剟或3a =-（舍)． 由2118142a a a >⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩（舍)．此时211()2(cos )22f x x =++，得()5max f x =． ∴若g （a ）12=，应1a =-，此时()f x 的最大值是5． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性，属于难题．21．已知点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））是函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）002πωϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，＜＜图象上的任意两点，且角φ的终边经过点(1P ，，若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4时，|x 1﹣x 2|的最小值为3π． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，不等式mf （x ）+2m ≥f （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()233f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）252,183183k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，；（3）13m ≥ 【解析】（1）由ϕ角终边所过点求出tan ϕ，从而确定ϕ角，由|x 1﹣x 2|的最小值确定函数的周期，从而确定ω，得函数解析式；（2）由正弦函数的单调性可得f （x ）的单调递增区间； （3）先得出()f x 的范围，知()2f x +大于0，因此恒成立的不等式可用分离参数法变为()()()2122f x m f x f x ≥=-++，因此只要求得()212f x -+的最大值即可得m 的取值范围．【详解】（1）角φ的终边经过点(1P ，，∴tan ϕ= ∵02πϕ-＜＜，∴3πϕ=-．由|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4时，|x 1﹣x 2|的最小值为3π，得23T π=， 即223ππω=，∴ω＝3 ∴()233f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由232232k x k πππππ-+≤-≤+，可得252183183k k x ππππ-+≤≤+， ∴函数f （x ）的单调递增区间为252183183k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k ∈z（3 ） 当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()1f x ≤≤，于是，2+f （x ）＞0，∴mf （x ）+2m ≥f （x ）等价于()()()2122f x m f x f x ≥=-++由()1f x ≤≤，得()()2f x f x +的最大值为13∴实数m 的取值范围是13m ≥． 【点睛】本题考查求三角函数解析式，求单调区间，考查不等式恒成立问题．三角函数求解析式一般要结合“五点法”求解，三角函数的性质一般结合正弦函数性质求解，本题中不等式恒成立可采用分离参数法把问题转化为求函数的最值． 22．设D 是函数()y f x =定义域的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，则称0x 是()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点，已知()()12log 421x x f x a =+⋅-，[]0,1x ∈.（1）若1a =，求函数()f x 的准不动点；（2）若函数()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）00x =；（2）(]0,1【解析】（1）由题意，当1a =时，可得()12()log 421x xf x x =+-=-，[]0,1x ∈，可解得函数()f x 的准不动点． （2）依()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，可得4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根．通过分离变量，可转化为1212xxa -=--，令[]21,2x t =∈，只需求出11y t t=--在[]1,2上的值域，即可得112a -≤≤，最后根据4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，解得0a >，取交集得实数a 的最终范围． 【详解】（1）由题意，可得()12()log 421x x f x x =+-=-，即4212xx x +-=，41x ∴=，0x ∴=．故当1a =，函数()f x 的准不动点为00x =．（2）由题意知，()12()log 421x xf x a x =+⋅-=-即4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根，4212xxxa +⋅-=变形为1212xxa -=--，令[]21,2xt =∈，而11y t t=--在[]1,2上单调递增，所以112y -≤≤，即112a -≤-≤，所以112a -≤≤．又4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，所以122xx a >-．令[]21,2x t =∈，而1y tt =-在[]1,2上单调递减，所以max 0y =，即有0a >， 综上，01a <≤，即实数a 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，新定义的理解，含参的不等式在闭区间上恒成立问题的解法，以及分离参数法的应用，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题．。

2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学(文)试题(解析版)

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A ．150︒- B ．680°C ．220°D ．320°【答案】C【解析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题2．下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A ．12(0,0),(1,2)e e ==u r u rB ．12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC ．12(3,5),(6,10)e e ==u r u rD ．12(2,3),(6,9)e e =-=-u r u r【答案】B【解析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可 【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,若//a b r r ,则12120y x x y -=,对于选项A,10e =u r r ,0r与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e u r 与2e u u r不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e u r u u r,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e u r u u r,故D 错误,故选:B 【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3．计算2sin 2105°-1的结果等于（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】D【解析】22sin 1051cos 210cos30-=-==o o o D ． 4．已知平面四边形ABCD 满足,0AB DC AC BD =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 为（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【答案】C【解析】根据向量的性质得出四边形边的关系再分析即可. 【详解】因为AB DC =u u u r u u u r,故四边形ABCD 的对边,AB DC 平行且相等.故四边形ABCD 为平行四边形.又0AC BD ⋅=u u u r u u u r 故对角线互相垂直.故四边形ABCD 为菱形.故选：C 【点睛】本题考查了向量的性质与菱形的判定,属于基础题型. 5．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则tan2α=（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】A【解析】分式上下同除以cos α可得tan α,再利用二倍角公式求解tan2α即可. 【详解】 由sin cos 2sin cos αααα+=-有tan 12tan 3tan 1ααα+=⇒=-.故22tan 63tan 21tan 194ααα===---. 故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的方法以及二倍角的正切公式,属于基础题型.6．已知向量(1,3)a m =--r ,(,2)b m =r ,若a b ⊥r r,则实数m =( )A ．2-B ．3C ．3-或2D ．2-或3【答案】D【解析】若a b ⊥r r ,则0a b ⋅=rr ,求解即可【详解】若a b ⊥r r ,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=rr ,解得3m =或2m =-, 故选:D 【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7．若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】B【解析】根据奇偶性和周期性可得()f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可 【详解】由题,()4f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 是偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()f x x =,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减； 当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 故选:B【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间8．已知||2a =r ，(2)a b a -⊥r r r ，则b r 在a r方向上的投影为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】D 【解析】【详解】分析：首先根据向量垂直，得到其数量积等于零，即(2)0a b a -⋅=v v v，从而求得8a b ⋅=vv ，之后应用向量的投影的定义求得结果.详解：由(2)a b a -⊥r r r ，则(2)0a b a -⋅=v v v，即220a a b -⋅=v v v ，又2a =r ，所以8a b ⋅=v v ， 所以b v 在a v方向上的投影为842a b a ⋅==v v v ，故选D.点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用.9．若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．59 B ．59-C ．79D ．79-【答案】A 【解析】由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】 由题,225sin 2sin 2cos 212sin 126626639πππππαααα⎛⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A 【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10．如图，在ABC ∆中，23AD AC =u u u r u u u r ，13BP BD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-【答案】B【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=u u u v u u u v u u u v u u u v 121()393AD AB AC AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v∴2239AP AB BP AB AC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，∴22,,339λλμμ=== 故选B.11．已知,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根，则αβ+=（ ） A ．3π-或23πB ．3π-C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】根据韦达定理可得tan ,tan αβ的和与积关系, 再根据,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭判断,αβ的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断αβ+的大小即可.【详解】因为tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根可得tan tan 43,αβ+= tan tan 5αβ⋅=.所以tan ,tan αβ均为正数,又,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()tan tan 43tan 31tan tan 15αβαβαβ++===--⋅-.又()0,αβπ+∈.故23παβ+=.故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.12．若不等式24sin cos 5x x x m ++…在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的最小值为（ ） A ．11 B ．5C ．5-D ．11-【答案】B【解析】利用降幂公式化简24sin cos 5y x x x =++,再根据其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围,利用能成立的性质求解实数m 的最小值即可. 【详解】 设()24sin cos 521cos 2254sin(2)76y x x x x x x π=++=-++=-+.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以[]4sin(2)75,116y x π=-+∈. 又y m ≤有解,故实数m 的最小值为5. 故选：B 【点睛】本题主要考查了降幂公式与根据定义域求正弦函数的值域问题,同时也考查了能成立问题求最值的做法.属于中等题型.二、填空题13．计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可 【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案为:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14．若ABCD Y 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1--【解析】由ABCD Y 可得AB DC =u u u r u u u r,进而求解即可【详解】由题,因为ABCD Y ,所以AB DC =u u u r u u u r,设(),D x y ,所以()4,3AB =uu u r,(),2DC x y =--u u u r , 所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩, 故答案为:()4,1-- 【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示15．点M 是ABC ∆所在平面内一点，若3144AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则:ABM ABC S S ∆∆=_______.【答案】1:4【解析】画出三角形,根据3144AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r可知M 在BC 上且3CM BM =再判断即可. 【详解】 如图所示,∵点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足3144AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r,∴点M 在边BC 上且3CM BM =. ∴::1:4ABM ABC S S BM BC ∆∆==. 故答案为：1:4 【点睛】本题主要考查了平面向量的共线定理应用,属于基础题型.16．设(sin ,sin )a x x =-r ，(sin ,1)b x m =+r ，若函数()f x a b m =⋅+r r在区间5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有三个零点，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据题意有0a b m ⋅+=r r在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根.故求得y a b m =⋅+r r 再数形结合,分情况讨论分析即可. 【详解】由题0y a b m =⋅+=r r 在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根,又()2sin 1sin y a b m x m x m =⋅+=-++r r()()sin 1sin x x m =--,解得sin 1x =或sin x m =.当sin 1x =时,2x π=,只有一个解.故当sin x m =时,有两个解,因为5,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故此时112m <<, 故m 的范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了正弦型二次复合函数的值域问题,需要根据题意分情况讨论正弦值再根据图像分析正弦函数的取值范围.属于中等题型.三、解答题17．已知向量(4,3)a =r ，(1,2)b =r，（1）设a r 与b r的夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a b λ-r r 与2a b +r r平行，求实数λ的值.【答案】; (2) 12λ=- 【解析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可.【详解】(1) cosa ba bθ⋅====⋅r rr r.(2)因为()()()4,31,24,32a bλλλλ-=-=--r r,()()()4,312,82,29a b++==r r.又a bλ-r r与2a b+r r平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+=,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型.18．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin3α=．（1）求sin2α的值；（2）若()3sin5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值．【答案】(1) .(2) .【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可.详解：（Ⅰ）Q2（，）παπ∈，且1sin3α=，cos3α∴=-，-------2分于是sin22sin cos9ααα==-；（Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin5αβ+=-得：()4cos5αβ+=-，于是()()()sin sin sin cos cos sinβαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛⎫+⎛⎫=-⋅---⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题. 19．已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）化简()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可； （2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增,当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间 20．如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ,求λμ+的值(2)若3,2AB BC ==,当1AE BF ⋅=u u u r u u u r 时,求DF 的长【答案】(1)16;(2) 33. 【解析】【详解】 （1）EF EC CF =+u u u ru u u r u u u r ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r ，又∵BC AD =u u u r u u u r ,CD AB =-u u u r u u u r ,∴1132EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ， 111326λμ+=-+=； （2）设(0)DF mDC m =>u u u r u u u r ，则()1CF m DC =-u u u r u u u r ，以AB u u u r ，AD u u u r 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u u r u u u r， ∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得23m =,故DF 23． 21．在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， （1）求证：||||AB BC =u u u r u u u r ；（2）若||2BA BC +=u u u r u u u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】(1)根据BC CA CA AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,利用向量,AB BC u u u r u u u r 去表达,化简求解即可.(2)由(1)||||AB BC =u u u r u u u r ,再将||2BA BC +=u u u r u u u r 两边平方,再将BA BC ⋅u u u r u u u r化简成关于cos B 的函数再分析取值范围即可.【详解】 (1)因为BC CA CA AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,故()()()00BC AB CA BC AB BA BC -⋅=⇔-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即()()0BC AB BC AB -⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r 即22BC AB =u u u r u u u r .故||||AB BC =u u u r u u u r . (2)由(1)设||||AB BC a ==u u u r u u u r ,因为||2BA BC +=u u u r u u u r ,故22222+242cos 4BA BC BA BC a a a B +⋅=⇒++=u u u r u u u r u u u r u u u r .化简得221cos a B =+. 又22cos 2cos cos 21cos 1cos B BA BC BA BC B a B B B⋅=⋅⋅===-++u u u r u u u r u u u r u u u r . 因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故11cos 22B -≤≤.所以131cos 22B ≤+≤,42431cos B ≤≤+. 故 2222,1cos 3B ⎡⎤-∈-⎢⎥+⎣⎦. 即BA BC ⋅u u u r u u u r 22,3⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,同时也考查了根据角度范围求三角函数范围的问题,属于中等题型.22．已知函数()sin()(,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+><<，最小正周期为π，且点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个最高点. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()2(sin 2)f x k x =+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根，求实数k 的取值范围.【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) {}112k ⎛⎤∈-⋃ ⎥ ⎝⎦【解析】(1)先根据最高点求A ,再根据最小正周期求ω,再代入最高点求ϕ即可.(2)由题意2sin(2)2(sin 2)3k x x π+=+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根.化简得cos 26x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再数形结合分析即可. 【详解】(1)因为点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭是该函数图像上的一个最高点,故2A =. 又最小正周期为π故22ππωω=⇒=.故()2sin(2)f x x ϕ=+.代入最高点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭可得sin(2)112πϕ⨯+=,故22623k k πππϕπϕπ+=+⇒=+,因为0ϕπ<<故3πϕ=. 故()2sin(2)3f x x π=+(2)由题2sin(2)2(sin 2)3k x x π+=+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根,即12sin 22c 2os 26x k x x k π⎛⎫⇒+ ⎝==⎪⎭-在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根. 又72,636t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,且cos y t =在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,在76ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增,且17cos ,cos 326ππ==.又cos 26x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根故1k =-或122k ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.即{}1122k ⎛⎤∈-⋃- ⎥ ⎝⎦.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的方法,同时也考查了根据三角函数图像求解零点个数的问题,属于中等题型.。

2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高一(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高一(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高一（上）期末数学试卷（理科）一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1. 下列各个角中与2020∘终边相同的是（ ） A.−150∘B.680∘C.220∘D.320∘2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A.e 1→=(0,0),e 2→=(1,2) B.e 1→=(−1,2),e 2→=(5,7)C.e 1→=(3,5),e 2→=(6,10)D.e 1→=(2,−3),e 2→=(−6,9)3. 计算2sin 2105∘−1的结果等于（ ） A.−√32B.−12C.12D.√324. 在平面上，四边形ABCD 满足AB →=DC →，AC →⋅BD →=0，则四边形ABCD 为（ ） A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形5. 若sin α+cos αsin α−cos α=2，则tan 2α＝（ ） A.−34B.34C.−35D.356. 已知向量a →=(m −1, −3)，b →=(m, 2)，若a →⊥b →，则实数m ＝（ ） A.−2或3 B.35C.2或−3D.37. 设函数f(x)=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则（ ） A.f(x)在(0,π2)单调递减 B.f(x)在(π4, 3π4)单调递减 C.f(x)在(0, π2)单调递增 D.f(x)在(π4, 3π4)单调递增8. 已知a →，b →为单位向量，|a →+b →|=√2|a →−b →|，则a →在a →+b →的投影为( ) A.13B.−2√63C.√63D.2√239. 若sin (α−π6)=√23，则sin (2α+π6)的值为（ ）A.59 B.−59 C.79D.−7910. 如图，在△ABC 中， AD →=23AC →，BP →=13BD →，若AP →=λAB →+μAC →，则λμ的值为( )A.−3B.−2C.2D.311. 已知a =1+tan 161−tan 16，b ＝cos 330∘，c =√1+cos 582，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c12. 已知函数f(x)={73x +3(x ≤0)−x 2+2x +3(x >0) ，g(x)=√3sin x +cos x +4，若对任意t ∈[−3, 3]，总存在s ∈[0, π2]，使得f(t)+a ≤g(s)(a >0)成立，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0, 1] B.(0, 2] C.[1, 2] D.[2, 9]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）计算：sin 17∘sin 223∘+cos 17∘cos 43∘＝________．若平行四边形ABCD 的三个顶点A(−1, −2)，B(3, 1)，C(0, 2)，则顶点D 的坐标为________．已知函数f(x)＝cos x(x ∈[0, 2π])与函数g(x)＝tan x 的图象交于M ，N 两点，则|OM →+ON →|＝________．设A 是平面向量的集合，a →是定向量，对x →属于集合A ，定义f(x →)=x →−2(a →⋅x →)⋅a →．现给出如下四个向量： ①a →=(0,0)，②a →=(√24,√24)，③a →=(√22,√22)，④a →=(−12,√32)． 那么对于任意x →、y →∈A ，使f(x →)⋅f(y →)=x →⋅y →恒成立的向量a →的序号是________． 三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）已知向量a →=(4,3)，b →=(1,2)， （1）设a →与b →的夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a →−λb →与2a →+b →平行，求实数λ的值．已知α∈(π2, π)，且sin α=13． （1）求sin 2α的值；（2）若sin (α+β)=−35，β∈(0, π2)，求sin β的值．已知函数f(x)＝2sin x(sin x +cos x)，（1）求函数f(x)的最小值以及取最小值时x 的值；（2）求函数f(x)在[0, π]上的单增区间．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF →=λAB →+μAD →，求λ+μ的值．（2）若AB =√3，BC ＝2，当AE →⋅BF →=1时，求DF 的长．已知a →=(sin x,√3cos x)，b →=(cos x,−cos x)，函数f(x)=a →⋅b →+√32． (Ⅰ)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程；(Ⅱ)若方程f(x)=13在(0, π)上的解为x 1，x 2，求cos (x 1−x 2)的值．已知函数f(x)，若存在实数m ，k(k ≠0)，使得等式mf(x)＝f(x +k)+f(x −k)对于定义域内的任意实数x均成立，则称函数f(x)为“可平衡”函数，有序数对(m, k)称为函数f(x)的“平衡”数对， （1）若m =√3，判断f(x)＝sin x 是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若m 1，m 2∈R 且(m 1,π2)，(m 2,π4)均为f(x)＝sin 2x 的“可平衡”数对，当0<x <π3时，方程m 1+m 2＝0有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高一（上）期末数学试卷（理科）一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1.【答案】C【考点】终边相同的角【解析】直接由2020∘＝5×360∘+220∘得答案．【解答】∵2020∘＝5×360∘+220∘，∴与2020∘终边相同的是220∘．2.【答案】B【考点】平面向量的基本定理【解析】可知，只要两个向量不共线即可作为基底，根据共线向量的坐标关系即可判断选项A，C，D的两向量都共线，都不能作为基底，从而只能选B．【解答】只要两向量不共线即可作为基底，A.e1→=0⋅e2→，∴e1→,e2→共线，不能作为基底；B．−1×7−2×5≠0，∴e1→,e2→不共线，可以作为基底；C.3×10−5×6＝0，∴e1→∥e2→，∴不能作为基底；D.2×9−3×6＝0，∴e1→∥e2→，∴不能作为基底．3.【答案】D【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用二倍角公式、诱导公式，求得2sin2105∘−1的值．【解答】2sin2105−1=−cos210=cos30=√32，4. 【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据向量相等单调四边形是平行四边形，利用数量积等于0，得对角线互相垂直即可得到结论．【解答】∵AB→=DC→，∴|AB→|＝|DC→|，且AB→ // DC→，即四边形ABCD是平行四边形，∵AC→⋅BD→=0，∴AC→⊥BD→，即AC⊥BD，即平行四边形的对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，5.【答案】A【考点】二倍角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】∵sinα+cosαsinα−cosα=2=tanα+1tanα−1，∴tanα＝3，则tan2α=2tanα1−tan2α=61−9=−34，6.【答案】A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】向量a→=(m−1,−3),b→=(m,2)，a→⊥b→，∴a→⋅b→=(m−1)⋅m−6＝0，解得m＝−2或m＝3．7.【答案】A【考点】正弦函数的单调性由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】 此题暂无解析 【解答】由于f(x)=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)=√2sin (ωx +φ+π4)， 由于该函数的最小正周期为T =2πω，得出ω＝2，又根据f(−x)＝f(x)，以及|φ|<π2，得出φ=π4． 因此，f(x)=√2sin (2x +π2)=√2cos 2x ，若x ∈(0,π2)，则2x ∈(0, π)，从而f(x)在(0,π2)单调递减， 若x ∈(π4, 3π4)，则2x ∈(π2, 3π2)，该区间不为余弦函数的单调区间，故B ，C ，D 都错，A 正确． 8. 【答案】 C【考点】 向量的投影平面向量数量积的运算 【解析】可知|a →|=1,|b →|=1，这样对|a →+b →|=√2|a →−b →|两边平方，进行数量积的运算便可得出a →⋅b →=13，从而可以求出(a →+b →)2，进而得出|a →+b →|的值，而a →在a →+b →的投影为a →⋅(a →+b →)|a →+b →|，进行数量积的运算可以求出a →⋅(a →+b →)的值，从而便可得出a →在a →+b →的投影． 【解答】解：根据条件，|a →|=|b →|=1，由|a →+b →|=√2|a →−b →|得：|a →+b →|2=2|a →−b →|2， ∴ 1+2a →⋅b →+1=2(1−2a →⋅b →+1)， ∴ a →⋅b →=13，∴ |a →+b →|2=1+23+1=83，∴ |a →+b →|=√83，∴ a →在a →+b →的投影为： |a →|cos <a →,a →+b →>=|a →|⋅a →⋅(a →+b →)|a →||a →+b →|=a →2+a →⋅b →|a →+b →|=1+13√3=√63． 故选C . 9.【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求值得解． 【解答】 ∵ sin (α−π6)=√23， ∴ sin (2α+π6)=cos [π2−(2α+π6)]＝cos (2α−π3)＝1−2sin 2(α−π6)＝1−2×(√23)2=59． 10.【答案】D【考点】向量的三角形法则 【解析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可． 【解答】解：∵ AP →=AB →+BP →，BP →=13BD →=13(AD →−AB →) =13AD →−13AB → =13×23AC →−13AB → =29AC →−13AB →，∴ AP →=AB →+(29AC →−13AB →)=23AB →+29AC →. 又AP →=λAB →+μAC →， ∴ λ=23，μ=29， ∴ λμ=23×92=3． 故选D . 11.【答案】 C【考点】 三角函数线 【解析】根据三角函数公式化简，再根据函数的单调性判断即可． 【解答】a =1+tan 161−tan 16=tan 61∘>tan 45∘＝1，b ＝cos 330∘＝cos 30∘=√32，c =√1+cos 582=cos 29∘>cos 30∘，故a >c >b ， 12.【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】分别求出f(x)在[−3, 3]的值域，以及g(x)在[0, π2]的值域，对任意t ∈[−3, 3]，总存在s ∈[0, π2]，使得f(t)+a ≤g(s)(a >0)成立，得到a 的关系式，解出即可 【解答】对于函数f(x)，当x ≤0时，f(x)=73x +3，由−3≤x ≤0，可得f(t)∈[−4, 3]，当x >0时，f(x)＝−x 2+2x +3＝−(x −1)2+4，由0<x ≤3，可得f(x)∈[0, 4]， ∴ 对任意t ∈[−3, 3]，f(t)∈[−4, 4]，对于函数g(x)=√3sin x +cos x +4＝2sin (x +π6)+4， ∵ x ∈[0, π2]， ∴ (x +π6)∈[π6, 23π]， ∴ g(x)∈[5, 6]，∴ 对于s ∈[0, π2]，使得g(s)∈[5, 6]，∵ 对任意t ∈[−3, 3]，总存在s ∈[0, π2]，使得f(t)+a ≤g(s)(a >0)成立，∴ a +4≤6，解得0<a ≤2，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 【答案】12【考点】两角和与差的三角函数 【解析】结合诱导公式及两角和的余弦公式即可求解． 【解答】sin 17∘sin 223∘+cos 17∘cos 43∘＝−sin 17∘sin 43∘+cos 17∘cos 43∘＝cos (17∘+43∘)＝cos 60∘=12． 【答案】 (−4, −1) 【考点】平面向量的基本定理 【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形即可得出AB →=DC →，可设D(x, y)，从而得出(−x, 2−y)＝(4, 3)，从而可解出x ，y ，即得出点D 的坐标． 【解答】∵ ABCD 是平行四边形， ∴ AB →=DC →，设D(x, y)，则DC →=(−x,2−y)，且AB →=(4,3)， ∴ {−x =42−y =3 ，解得{x =−4y =−1 ，∴ D(−4, −1)． 【答案】 π【考点】余弦函数的图象平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意，M ，N 关于点(π2, 0)对称，即可求出|OM →+ON →|． 【解答】由题意，M ，N 关于点(π2, 0)对称， ∴ |OM →+ON →|＝2×π2=π，【答案】 ①③④ 【考点】 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 由于①是零向量代入f(x)检验是否满足要求即可；对于一般情况，利用向量的数量积的运算律求出f(x)f(y)；要满足条件得到a →2=1，再判断②③④哪个满足即可． 【解答】对于①当a →=(0,0)时，f(x →)=x →满足f(x →)⋅f(y →)=x →⋅y →当a ≠→0→时，f(x →)⋅f(y →)=[x →−2(a →⋅x →)⋅a →][y →−2(a →⋅y →)⋅a →] =x →⋅y →−4(a →⋅x →)(a →⋅y →)+4(a →⋅x →)(a →⋅y →)a →2 要满足f(x →)⋅f(y →)=x →⋅y →需4(a →⋅x →)(a →⋅y →)a →2=4(a →⋅x →)(a →⋅y →) ∴ a →2=1 对于③④a →2=1三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分） 【答案】∵ a →⋅b →=4+6=10，|a →|=5,|b →|=√5， ∴ cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=55=2√55； a →−λb →=(4−λ,3−2λ),2a →+b →=(9,8)， 又a →−λb →与2a →+b →平行，∴ 8(4−λ)−9(3−2λ)＝0，解得λ=−12．【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】（1）根据向量a →,b →的坐标即可求出a →⋅b →=10,|a →|=5,|b →|=√5，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ的值；（2）可以求出a →−λb →=(4−λ,3−2λ),2a →+b →=(9,8)，然后根据向量平行的坐标关系即可得出关于λ的方程，解出λ即可． 【解答】∵ a →⋅b →=4+6=10，|a →|=5,|b →|=√5，∴ cos θ=a →⋅b →|a →||b →|=5√5=2√55；a →−λb →=(4−λ,3−2λ),2a →+b →=(9,8)，又a →−λb →与2a →+b →平行，∴ 8(4−λ)−9(3−2λ)＝0，解得λ=−12． 【答案】∵ α∈(π2, π)，且sin α=13，∴ cos α=−√1−sin 2α=−2√23， ∴ sin 2α＝2sin αcos α＝2⋅13⋅(−2√23)=−4√29． ∵ sin (α+β)=−35，β∈(0, π2)，α∈(π2, π)，∴ α+β∈α∈(π, 3π2)， ∴ cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−45，∴ sin β＝sin [(α+β)−α]＝sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α=−35⋅(−2√23)−(−45)⋅13=6√2+415．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得cos α的值，再利用二倍角的正弦公式求得 sin 2α的值．（2）先确定α+β∈α∈(π, 3π2)，可得 cos (α+β)的值，再根据sin β＝sin [(α+β)−α]，利用两角差的正弦公式求得结果． 【解答】∵ α∈(π2, π)，且sin α=13，∴ cos α=−√1−sin 2α=−2√23， ∴ sin 2α＝2sin αcos α＝2⋅13⋅(−2√23)=−4√29． ∵ sin (α+β)=−35，β∈(0, π2)，α∈(π2, π)，∴ α+β∈α∈(π, 3π2)， ∴ cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−45，∴ sin β＝sin [(α+β)−α]＝sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α=−35⋅(−2√23)−(−45)⋅13=6√2+415．【答案】根据正弦函数的性质可知，当2x −π4=−12π+2kπ即x ＝kπ−π8，k ∈Z 时，函数f(x)的最小值1−√2， 令−12π+2kπ≤2x −π4≤12π+2kπ，k ∈Z ， 可得，kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z ，又x ∈[0, π]，故函数的单调递增区间[0, 3π8]，[7π8,π]． 【考点】正弦函数的单调性 两角和与差的三角函数【解析】（1）先利用二倍角及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的最值性质即可求解； （2）结合正弦函数的单调性可求． 【解答】根据正弦函数的性质可知，当2x −π4=−12π+2kπ即x ＝kπ−π8，k ∈Z 时，函数f(x)的最小值1−√2， 令−12π+2kπ≤2x −π4≤12π+2kπ，k ∈Z ，可得，kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z ，又x ∈[0, π]，故函数的单调递增区间[0, 3π8]，[7π8,π]． 【答案】EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DC →−(AB →+12BC →)=AD →+23AB →−(AB →+12AD →)=12AD →−13AB →=λAB →+μAD →， ∴ λ=−13，μ=12， ∴ λ+μ=16．以AB ，AD 为x ，y 轴建立直角坐标系如图：AB =√3，BC ＝2 则A(0, 0)，B(√3, 0)，E(√3, 1)， 设F(x, 2)，∴ AE →=(√3, 1)，BF →=(x −√3, 2)， ∵ AE →⋅BF →=1， ∴ √3(x −√3)+2＝1， ∴ x =2√33， ∴ |DF|=2√33．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）根据向量的加减的几何意义即可求出；（2）建立平面直角坐标系，设F(x, 2)，根据向量坐标的数量积求出x =2√33，即求出DF 的长． 【解答】EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DC →−(AB →+12BC →)=AD →+23AB →−(AB →+12AD →)=12AD →−13AB →=λAB →+μAD →， ∴ λ=−13，μ=12， ∴ λ+μ=16．以AB ，AD 为x ，y 轴建立直角坐标系如图：AB =√3，BC ＝2则A(0, 0)，B(√3, 0)，E(√3, 1)， 设F(x, 2)，∴ AE →=(√3, 1)，BF →=(x −√3, 2)， ∵ AE →⋅BF →=1， ∴ √3(x −√3)+2＝1， ∴ x =2√33， ∴ |DF|=2√33．【答案】（1）f(x)=a →⋅b →+√32=(sin x,√3cos x)⋅(cos x,−cos x)+√32=sin x ⋅cos x −√3cos 2x +√32=12sin 2x −√32cos 2x =sin (2x −π3)，令2x −π3=kπ+π2，得x =5π12+k 2π(k ∈Z)，即y ＝f(x)的对称轴方程为x =5π12+k2π，(k ∈Z)．（2）由条件知sin (2x 1−π3)=sin (2x 2−π3)=13>0，且0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知（x 1, f(x 1)）与（x 2, f(x 2)）关于x =5π12对称，则x 1+x 2=5π6，∴ cos (x 1−x 2)=cos [x 1−(5π6−x 1)]=cos (2x 1−5π6)=cos [(2x 1−π3)−π2]=sin (2x 1−π3)=13．【考点】两角和与差的三角函数平面向量数量积的性质及其运算 【解析】(Ⅰ)由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f(x)＝sin (2x −π3)，利用正弦函数的对称性即可得解．(Ⅱ)由条件知sin (2x 1−π3)=sin (2x 2−π3)=13>0，且0<x 1<5π12<x 2<2π3，可求x 1+x 2=5π6，利用诱导公式即可化简求值得解． 【解答】（1）f(x)=a →⋅b →+√32=(sin x,√3cos x)⋅(cos x,−cos x)+√32=sin x ⋅cos x −√3cos 2x+√32=12sin 2x −√32cos 2x =sin (2x −π3)，令2x −π3=kπ+π2，得x =5π12+k2π(k ∈Z)，即y ＝f(x)的对称轴方程为x =5π12+k2π，(k ∈Z)．（2）由条件知sin (2x 1−π3)=sin (2x 2−π3)=13>0，且0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知（x 1, f(x 1)）与（x 2, f(x 2)）关于x =5π12对称，则x 1+x 2=5π6，∴ cos (x 1−x 2)=cos [x 1−(5π6−x 1)]=cos (2x 1−5π6)=cos [(2x 1−π3)−π2]=sin (2x 1−π3)=13． 【答案】假设f(x)＝sin x 是“可平衡”函数，则由题意应有：√3sin x ＝sin (x +k)+sin (x −k)＝sin x cos k +cos x sin k +sin x cos k −cos x sin k ＝2sin x cos k ，∴ cos k =√32，解得 k ＝2tπ±π6，t ∈Z ；∴ 存在实数m 、k(m ≠0)，使得对于定义域内的任意实数x ，均有m ⋅f(x)＝f(x +k)+f(x −k)成立； ∴ f(x)＝sin x 是“可平衡”函数，且 cos k =√32． ∴ f(x)＝sin x 是“可平衡”函数．由题意m 1sin 2x ＝sin 2(x +π2)+sin 2(x −π2)＝2cos 2x ，∴ m 1=2cos 2x sin 2x，m 2sin 2x ＝sin 2(x +π4)+sin 2 (x −π4)＝sin 2(x +π4)+cos 2(x +π4)＝1，解得m 2=1sin 2x ， ∴ m 1+m 2=2cos 2x+1sin 2x=2cos 2x+41−cos 2x=a ，解得cos 2x =a−4a+2，∵ 0<x <π3，∴ 0<2x <2π3，∴ −12<cos 2x <1，且y ＝cos 2x 是单调递减，∴ 方程m 1+m 2＝a 不会有两个不相等的实根，即a 的取值范围为⌀． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）假设f(x)＝sin x 是“可平衡”函数，由题意√3sin x ＝sin (x +k)+sin (x −k)，由此求出m 、k 的值； （2）由题意求出m 1、m 2的值，利用m 1+m 2＝a ，结合三角函数的图象与性质求出a 的取值范围． 【解答】假设f(x)＝sin x 是“可平衡”函数，则由题意应有： √3sin x ＝sin (x +k)+sin (x −k)＝sin x cos k +cos x sin k +sin x cos k −cos x sin k ＝2sin x cos k ，∴cos k=√32，解得k＝2tπ±π6，t∈Z；∴存在实数m、k(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数x，均有m⋅f(x)＝f(x+k)+f(x−k)成立；∴f(x)＝sin x是“可平衡”函数，且cos k=√32．∴f(x)＝sin x是“可平衡”函数．由题意m1sin2x＝sin2(x+π2)+sin2(x−π2)＝2cos2x，∴m1=2cos2xsin2x，m2sin2x＝sin2(x+π4)+sin2 (x−π4)＝sin2(x+π4)+cos2(x+π4)＝1，解得m2=1sin2x，∴m1+m2=2cos2x+1sin2x =2cos2x+41−cos2x=a，解得cos2x=a−4a+2，∵0<x<π3，∴0<2x<2π3，∴−12<cos2x<1，且y＝cos2x是单调递减，∴方程m1+m2＝a不会有两个不相等的实根，即a的取值范围为⌀．。

江西省南昌市南昌县莲塘一中19-20学年高二上学期期末数学复习题 (附答案解析)

江西省南昌市南昌县莲塘一中19-20学年高二上学期期末数学复习题 (附答案解析)

江西省南昌市南昌县莲塘一中19-20学年高二上学期期末数学复习题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 若复数z =i 2(1+i)，则z 的共轭复数是( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2. 函数y =sinx ⋅cosx 的导数是( )A. cosx ⋅sinxB. cos 2x +sin 2xC. 2cosx ⋅sinxD. cos 2x −sin 2x3. 已知p 、q 是两个命题，若“￢(p ∨q)”是真命题，则( )A. p 、q 都是真命题B. p 、q 都是假命题C. p 是假命题且q 是真命题D. p 是真命题且q 是假命题4. “a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 函数y =xlnx 的单调递减区间是( )A. (e −1,+∞)B. (−∞,e −1)C. (0,e −1)D. (e,+∞)6. 若函数f (x )=14x 4+ax 3+92x 2−b (a,b ∈R )仅在x =0处有极值，则a 的取值范围为( )A. [−2,2]B. [−1,1]C. [2,6]D. [−1,4]7. 下列命题正确的是( )A. “x <−2”是“x 2+3x +2>0”的必要不充分条件B. 对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 02+x 0−1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0C. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =2”的否命题为若x 2−3x +2=0，则x ≠2D. 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题8. 曲线{x =−1+cosθy =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ) A. 在直线y =2x 上 B. 在直线y =−2x 上 C. 在直线y =x −1上D. 在直线y =x +1上9. 若函数y =f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A. y =sinxB. y =lnxC. y =e xD. y =x 310. 已知函数f(x)=x −1−lnx ，对定义域内任意x 都有f(x)≥kx −2，则实数k 的取值范围是( )A. B. (−∞,−1e2] C. [−1e2,+∞) D. [1−1e2,+∞)11.已知函数f(x)(x∈R)满足f(2)=3，且f′(x)<1，则不等式f(x2)<x2+1的解集是()．A. (−∞,−√2)B. (√2,+∞)C. (−√2,√2)D. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)12.已知f(x)=(ae x+x+1)(e x+x+1)与的图像g(x)=e2x至少有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围是()A. (−12,√22) B. (−12,1) C. (√22,1) D. (1,√2)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.复数3−i1−i的虚部=_______．14.若函数f(x)=x n在x=2处的导数为12，则n=_________．15.已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____．16.对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时，f(x)的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数．若f(x)=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设命题p：实数x满足|x−1|>a(其中a>0)；命题q：实数x满足3x2−x−6<1．(1)若命题p中a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为{x=12ty=√32t+2(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=4√2sin(π4+θ)．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于两点A,B，求线段AB的长．19.设函数f(x)=ax−bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0.求y=f(x)的解析式．20.已知函数f(x)=3xa−2x2+lnx．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．21.椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(√3,0)，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．22.设函数f(x)=alnx+x2−1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．解：复数z=i2(1+i)=−(1+i)=−1−i的共轭复数为−1+i．故选B．2.答案：D解析：解：y′=cos2x−sin2x，故选：D根据导数的运算法则和基本导数公式即可．本题考查了导数的运算法则和基本导数公式，属于基础题．3.答案：B解析：由复合命题真值表判断命题“p∨q”为假命题，进而得到命题p、q都是假命题．本题考查了复合命题的真假判定规律，对复合命题真值表要熟练掌握．解：由复合命题真值表得：若“￢(p∨q)”是真命题，则p∨q为假命题，则命题p、q都是假命题．故选B．4.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解：若a >b ，①a >b ≥0，不等式a|a|>b|b|等价为a ⋅a >b ⋅b ，此时成立．②0>a >b ，不等式a|a|>b|b|等价为−a ⋅a >−b ⋅b ，即a 2<b 2，此时成立．③a ≥0>b ，不等式a|a|>b|b|等价为a ⋅a >−b ⋅b ，即a 2>−b 2，此时成立，即充分性成立． 若a|a|>b|b|，①当a >0，b >0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a −b)(a +b)>0，因为a +b >0，所以a −b >0，即a >b ．②当a >0，b <0时，a >b ．③当a <0，b <0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a −b)(a +b)<0，因为a +b <0，所以a −b >0，即a >b ．④当a =0，b <0或a >0，b =0时，a >b; 即必要性成立，综上“a >b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件， 故选C ．5.答案：C解析：本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定义域与单调区间．注意函数的定义域，是基础题．求出该函数的导函数，由导数小于0列出不等式，解此不等式求得正实数x 的取值范围即为所求． 解：函数y =xlnx 的导数为y′=(x)′lnx +x ⋅(lnx)′=lnx +1， 由lnx +1<0得，0<x <1e ，故函数y =xlnx 的减区间为(0,1e )， 故选：C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的极值．函数仅有一个极值点，即f ′(x)=0仅有一个变号零点，结合f ′(x)=x(x 2+3ax +9)，因此t =x 2+3ax +9不可能有变号零点，利用二次函数的图象和性质即可求解．【解答】由题意可得f ′(x)=x 3+3ax 2+9x =x(x 2+3ax +9)． 由于x =0不满足方程x 2+3ax +9=0，要保证函数f(x)仅在x =0处有极值，所以x 2+3ax +9⩾0恒成立， 所以(3a)2−36⩽0，所以9a 2⩽36，所以−2≤a ≤2． 所以a 的取值范围是[−2,2]， 故选A ．7.答案：B解析：解：对于A ，“x <−2”是“x 2+3x +2>0”的充分不必要条件，所以A 不正确；对于B ，对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 02+x 0−1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0，满足命题的否定形式，正确；对于C ，命题“若x 2−3x +2=0，则x =2”的否命题为若x 2−3x +2≠0，则x ≠2，所以C 不正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题，不满足且命题的形式，所以D 不正确； 故选：B ．利用充要条件判断A 的正误；利用命题的否定判断B 的正误；否命题的形式判断C 的正误；复合命题的真假判断D 的正误；本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，否命题以及复合命题的真假的判断，是基础题．8.答案：B解析：此题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题.曲线{x =−1+cosθy =2+sinθ(θ为参数)表示圆，对称中心为圆心，可得结论.解：曲线{x =−1+cosθy =2+sinθ(θ为参数)表示圆，圆心为(−1,2)，在直线y =−2x 上． 故选B ．9.答案：A解析：本题考查导数的几何意义及两直线垂直的条件，由已知存在函数的两个导数值斜率之积为−1，逐一分析求解即可．解：函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则两切线的斜率之积等于−1，即两点处的导函数值之积等于−1，设两切点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，当y=sinx时，y′=cosx，由cosx1×cosx2=−1，知有无数组解符合，∴y=sinx具有T性质，当y=lnx时，y′=1x>0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x>0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2≥0恒成立，不满足条件．故选A．10.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．问题转化为k≤1+1x −lnxx对x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=1+1x−lnxx，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，从而求出k的范围即可．解：f(x)=x−1−lnx，若对定义域内任意x都有f(x)≥kx−2，则k≤1+1x −lnxx对x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=1+1x −lnxx，则g′(x)=lnx−2x2，令g′(x)>0，解得：x>e2，令g′(x)<0，解得：0<x<e2，故g(x)在(0,e2)递减，在(e2,+∞)递增，故g(x)的最小值是g(e2)=1−1e2，故k ≤1−1e 2， 故选A ．11.答案：D解析：本题考查利用导数研究函数单调性，以及利用构造法构造新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．根据条件构造F(x)=f(x)−x ，利用导数研究函数的单调性，然后将f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2即F(x 2)<F(2)，根据单调性建立关系，解之即可． 解：令F(x)=f(x)−x ，又f ′(x )<1， 则F′(x)=f ′(x )−1<0， ∴F(x)在R 上单调递减． ∵f(2)=3，∴f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2， 即F(x 2)<F(2)．根据F(x)在R 上单调递减则x 2>2， 解得x ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞)． 故选：D ．12.答案：B解析：本题考查运用导数研究函数的单调性及零点问题，属于考查能力的题，分类讨论、等价转化是基本的解题思想．解：由f(x)=g(x)得(ae x +x +1)(e x +x +1)=e 2x ，即(a +x+1e x)(1+x+1e x)=1，设t =x+1e x，则(a +t)(1+t)=1⇒t 2+(a +1)t +a −1=0， 由t =x+1e x，得t′=−x e x，∴t 在(0,+∞)单调递减，在(−∞,0)单调递增，如图所示：若f(x)=g(x)有4个解，则(a +t)(1+t)=1⇒t 2+(a +1)t +a −1=0在(0,1)有2个不相等的实数根，如图：则{ △=(a +1)2−4(a −1)>0a −1>01+(a +1)+(a −1)>00<−a+12<1，无解， 若f(x)=g(x)有3个解，则(a +t)(1+t)=1⇒t 2+(a +1)t +a −1=0在(−∞,0)，(0,1)各有1个实数根，如图：则{a −1<01+(1+a)+(a −1)>0⇒−12<a <1． 特别地，若t =0，则a =1，此时t 2+2t =0，则t 1=0，t 2=−2，不合题意， 若t =1，则1+(1+a)+(a −1)=0，∴a =−12， t 2+12t −32=0，则t 1=1，t 2=−32不合题意，综上所述，−12<a <1． 故选B ．13.答案：1解析：本题考查复数的四则运算、复数的概念.化简复数为代数形式即可求出结果． 解：∵3−i1−i=(3−i )(1+i )2=3+3i−i−i 22=4+2i 2=2+i ，∴复数3−i 1−i 的虚部为1．故答案为1．14.答案：3解析：本题考查导数的运算，求出函数f(x)=xn的导函数，把x=2代入导函数解析式可求n的值．解：由f(x)=x n，得f′(x)=nx n−1，又函数f(x)=x n在x=2处的导数为12，所以n⋅2n−1=12，n=3．故答案为3．15.答案：e≤a≤4解析：解：对于命题p：∀x∈[0,1]，a≥e x，∴a≥(e x)max，x∈[0,1]，∵e x在x∈[0,1]上单调递增，∴当x=1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42−4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．故答案为：e≤a≤4．对于命题p：利用e x在x∈[0,1]上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式△≥0即可得出a的取值范围，再利用命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，求其交集即可．本题考查了指数函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的有关知识，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．)16.答案：(1,1+1e解析：解：∵f(x)=lnx+x，定义域为{x|x>0}，f(x)在定义域为单调增函数，因此有：f(a)=ka，f(b)=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx的两个不同根．∴k =1+lnx x，令1+lnx x =g(x)，令g′(x)=1−lnx x 2=0，可得极大值点x =e ，故g(x)的极大值为：g(e)=1+1e ，当x 趋于0时，g(x)趋于−∞，当x 趋于∞时，g(x)趋于1，因此当1<k <1+1e 时，直线y =k 与曲线y =g(x)的图象有两个交点，方程k =1+lnx x 有两个解．故所求的k 的取值范围为(1,1+1e )，故答案为(1,1+1e ).由于f(x)在定义域{x|x >0}内为单调增函数，利用导数求得g(x)的极大值为：g(e)=1+1e ，当x 趋于0时，g(x)趋于−∞，当x 趋于∞时，g(x)趋于1，因此当1<k <1+1e 时，直线y =k 与曲线y =g(x)的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题． 17.答案：解：(1)当a =1时，p ：{x|x >2或x <0}．命题q ：实数x 满足3x 2−x−6<1=30.可得x 2−x −6<0，解得：−2<x <3．∴q ：{x|−2<x <3}，又p ∧q 真，所以p ，q 都为真，由{x >2或x <0−2<x <3，得−2<x <0或2<x <3． (2)p ：|x −1|>a ，∴x <1−a 或x >1+a(a >0)，¬p ：1−a ≤x ≤1+a(a >0)，∴满足条件¬p 的解集A ={x|1−a ≤x ≤1+a(a >0)}，q ：B ={x|−2<x <3}，∵¬p 是q 的必要不充分条件，∴B ⊊A ，∴{a >0a +1≥31−a ≤−2，得a ≥3．解析：(1)当a =1时，p ：{x|x >2或x <0}.命题q ：实数x 满足3x2−x−6<1=30.可得x 2−x −6<0，又p ∧q 真，所以p ，q 都为真．(2)p ：|x −1|>a ，可得x <1−a 或x >1+a(a >0)，¬p ：1−a ≤x ≤1+a(a >0)，记满足条件¬p 的解集A ，q ：B ={x|−2<x <3}，根据¬p 是q 的必要不充分条件，可得B ⊊A ．本题考查了函数与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由题意可得直线l:√3x −y +2=0，由ρ=4√2sin(π4+θ)，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，即x 2+y 2=4x +4y所以曲线C ：(x −2)2+(y −2)2=8；(2)由(1)知圆C 半径r =2√2，又d =|2√3−2+2|2=√3，所以AB =2√r 2−d 2=2√8−3=2√5．解析：本题考查直线与圆的位置关系及判定、简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程，属于中档题．(1)消去参数t ，得出直线l 的普通方程，把ρ=4√2sin(π4+θ)化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，代入互化公式，即可求出曲线C 的直角坐标方程；(2)求出半径和圆心到直线的距离，利用弦长公式，即可求出结果． 19.答案：解：∵f(x)=ax −b x ，∴f′(x)=a +bx ，∵曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x −4y −12=0∴切点为(2,12)，∴f′(2)=74，f(2)=12， ∴a +b 4=74，2a −b 2=12， ∴a =1，b =3，∴f(x)=x −3x ．解析：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．欲求函数f(x)的解析式，只须求出切线斜率的值、切点的坐标，列出方程组即可．20.答案：解：(Ⅰ)a =1时，f(x)=3x −2x 2+lnx ，定义域为(0,+∞)．f′(x)=1x −4x +3=−4x 2+3x+1x =−(4x+1)(x−1)x (x >0)，当x ∈(0,1)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；．当x ∈(1,+∞)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)有极大值f(1)=1，无极小值．(Ⅱ)f′(x)=3a −4x +1x ，∵函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数，∴x ∈[1,2]时，f′(x)=3a −4x +1x ≥0恒成立．即 3a ≥4x −1x 在[1,2]恒成立，令ℎ(x)=4x −1x ，因函数ℎ(x)在[1,2]上单调递增，所以3a ≥ℎ(2)，即3a ≥152， 解得0<a ≤25，即a 的取值范围是(0,25]．解析：本题考查利用导数研究函数的极值和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．(Ⅰ)先对函数f(x)进行求导，令导函数等于0求出x 的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．(Ⅱ)已知函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数，即f′(x)≥0在区间[1,2]上恒成立，然后用分离参数求最值即可．21.答案：解：(Ⅰ)由右焦点为F(√3,0)，得c =√3，由点F 到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a =2c ，即a =2√3则b 2=a 2−c 2=9所以椭圆C 的方程为x 212+y 29=1；(Ⅱ)设点A(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则y 0=kx 0，设AB 交x 轴于点D ，由对称性知：S △OAB =2S △OAD =2×12x 0y 0=kx 02， 由{y 0=kx 0x 0212+y 029=1得得x 02=363+4k 2， 所以S △OAB =k 363+4k 2=363k +4k ≤2√k ⋅4k =3√3，当且仅当3k =4k，k=√32时取等号，所以△OAB面积的最大值3√3．解析：(Ⅰ)由题意可得c，再由a=2c，及a，b，c的关系，可得a，b的值，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，则y0=kx0，代入椭圆方程求得A的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式可得最大值．本题考查椭圆的方程的求法，注意椭圆的性质和a，b，c的关系，考查椭圆的对称性和直线与椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=ax +2x=2x2+ax，①a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，②a<0时，令f′(x)>0，解得：x>√−a2，令f′(x)<0，解得：0<x<√−a2，故f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，当a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；(2)由(1)a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，而f(1)=0，故x∈[1,+∞)时，f(x)≥0，故当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0成立，故a≥0符合题意，a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；令√−a2=√2，解得：a=−4，−4≤a<0时，√−a2≤√2，故f(x)在[√2,+∞)递增，故f(x)min=f(√2)=aln√2+1≥0，解得：−2ln2≤a<0，a<−4时，√−a2>√2，故f(x)在[√2,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增，f(x)min=f(√−a2)=a2ln(−a2)−a2−1，当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，只需a2ln(−a2)−a2−1≥0即可，令g(a)=a2ln(−a2)−a2−1，(a<−4)，g′(a)=12ln(−a2)>0，g(a)在(−∞,−4)递增，故g(a)<g(−4)=1−2ln2<0，不合题意；综上，a∈[−2ln2,+∞)．解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)结合(1)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二12月月考数学(理)试题 Word版含解析

江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二12月月考数学(理)试题 Word版含解析

莲塘一中2019—2020学年度高二12月检测数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等 ③命题：“若tan 3x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是( ) A. ①②③ B. ①②C. ①③D. ②③【答案】C 【解析】 【分析】①根据命题的否定的形式可知其正确；②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种结果，所以错误；③根据原命题和逆否命题等价可知其正确； 从而得到答案.【详解】①根据命题的否定的形式可知，命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x >，所以是正确的；②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则有2A =2B 或2A +2B =π,所以角A 与角B 相等或互余，所以错误；③因为命题：“若tan 3x =3x π=”是假命题，所以其逆否命题是假命题，所以正确；所以正确命题的序号是①③， 故选C .【点睛】该题考查的是有关命题真假的判断问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，三角函数公式，原命题和逆否命题等价，属于简单题目.2.已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ∧⌝ C. p q ⌝∧ D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题． 故选B ．3.设抛物线2y 4x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-．因为P 到y 轴的距离为2，所以P 到准线1x =-的距离为3.由抛物线的几何性质可知，P 到抛物线焦点的距离为3，故选C 4.在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）A. 外离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B 【解析】 【分析】将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系.【详解】在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，即()2224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，同理可知，曲线2C 的普通方程为(2212x y -+=，则曲线2C 是以点()2C 为圆心，以2r =两圆圆心距为4d ==，1222r r -=-=，122r r +=+1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选B.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A. 62B. 92C. 122D. 152【答案】C 【解析】 【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果. 【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅ ()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系. 6.已知θ是ABC ∆的一个内角，且3sin cos 4θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示（ ）A. 焦点在x 轴上的双曲线B. 焦点在y 轴上的双曲线C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在x 轴上的椭圆【答案】C【解析】 【分析】先由题意，根据同角三角函数基本关系，判断sin 0θ>，cos 0θ<，再由3sin cos 04θθ+=>，得到110cos sin θθ>>-，将方程22sin cos 1x y θθ-=化为22111sin cos θθ+=-x y ，即可得出结果.【详解】因为θ是ABC ∆的一个内角，且3sin cos 4θθ+=， 又22sin cos 1θθ+=，所以()29sin cos 16θθ+=，即912sin cos 16θθ+=， 即7sin cos 32θθ=-，所以sin 0θ>，cos 0θ<， 又3sin cos 04θθ+=>，所以sin cos 0θθ>->，因此110cos sin θθ>>-， 因为方程22sin cos 1x y θθ-=可化为22111sin cos θθ+=-x y ， 所以，该方程表示焦点在y 轴上的椭圆. 故选：C【点睛】本题主要考查判断方程所表示的曲线，熟记椭圆的标准方程，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.7.已如函数()y f x =（x ∈R ）上任()()00,x f x 处的切线斜率()()20021k x x =-+，则该函数的单调减区间为（ ） A. [)1,-+∞B. [)2,+∞C. (),1-∞-，()1,2-D. (],2-∞【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数的导函数为()()()221f x x x =-+，求函数的单调减区间，即导函数小于等于0即可.【详解】由题意可知函数的导函数为()()()221f x x x =-+， 要求函数的单调减区间，即函数的导函数小于等于0的解集， 所以()()2210x x -+≤，解得2x ≤， 所以函数的单调减区间为(],2-∞. 故选：D.【点睛】本题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查运算能力，属于基础题. 8.已知函数()()sin x f x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A. ()1,1-B. []1,1-C. ⎡⎣D.(【答案】D 【解析】 【分析】 由函数()()sin xf x ex a =-有极值，等价于sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x均有解，又()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即00a a ⎧<⎪>，运算即可得解. 【详解】解：因为()()sin xf x e x a =-，所以()()'sin cos x fx e x x a =+-，令()sin cos g x x x a =+-， 由函数()()sin xf x ex a =-有极值，则sin cos x x a +-=0有变号根， 即()0>g x ，()0<g x 均有解，又()sin cos )4g x x x a x a π=+-=+-，即()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，即a <<故选D.【点睛】本题考查了导数的运算、函数的极值及三角函数的值域，重点考查了方程有解问题，属中档题.9.若322()7f x x ax bx a a =++--在x=1处取得极大值10，则ba的值为（ ） A. 32-或12- B. 32-或12C. 32-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】 由于2'()32f x x ax b=++，依题意知，'(1)320f a b =++=，2(1)1710f a b a a =++--=，于是有32b a =--，代入f （1）=10即可求得,a b ，从而可得答案．【详解】∵322()7f x x ax bx a a =++--，∴2'()32f x x ax b =++，又322()7f x x ax bx a a =++--在x=1处取得极大值10，∴'(1)320f a b =++=，2(1)1710f a b a a =++--=，∴28120a a ++=，∴2,1a b =-=或6,9a b =-=．当2,1a b =-=时，3'()341(31)(1)f x x x x x =-+=--， 当13＜x ＜1时，'()0f x <，当x ＞1时，'()0f x >， ∴f（x ）在x=1处取得极小值，与题意不符；当6,9a b =-=时，2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--， 当x ＜1时，'()0f x >，当＜x ＜3时，'()0f x <， ∴f （x ）在x=1处取得极大值，符合题意；则9362b a =-=--， 故选C ．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得2'()32f x x ax b =++，利用'(1)0f =，f （1）=10求得,a b 是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．10.已知函数()3269f x x x x =-+-，过点()1,P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围为（ ）A. ()11,16-B. ()5,19-C. ()15,9-D. [)9,17-【答案】A 【解析】 【分析】先设切点()32,69-+-Q t t t t ，对函数求导，得到切线斜率为()'=k f t ，得到切线方程，再由切线过点()1,P m -，得到3223129=--+m t t t ，令32()23129=--+-g t t t t m ，对其求导，用导数的方法求其极值，根据题意，()0g t =有三个根，只需极大值大于0，极小值小于0，即可得出结果.【详解】由题意，设切点()32,69-+-Q t t t t ，因为()3269f x x x x =-+-，所以()23129'=-+-f x x x ，因此，函数在点Q 处的切线斜率为()23129'==-+-k f t t t ，所以切线方程为：()()()232312969y t t x t tt t =-+--+-+-，即()()22312926=-+-+-y t t x t t t ； 又该切斜过点()1,P m -，所以()()23232312912623129=-+--+-=--+m t t t t t t t ，令32()23129=--+-g t t t t m ，则22()6612'=--g t t t 令()()226612620g t t t t t '=--=--=，得：1t =-，2t =，由()()2620'=-->g t t t 得2t >或1t <-；由()()2620'=--<g t t t 得12t -<<，所以函数32()23129=--+-g t t t t m 在(),1-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增；因此函数()g t 有极小值(2)161224911=--+-=--g m m ； 有极大值(1)2312916-=--++-=-g m m ， 因为过点()1,P m -可作曲线()y f x =的三条切线， 所以方程()0g t =有三个根，因此，只需：()()1020g g ⎧->⎪⎨<⎪⎩，即160110m m ->⎧⎨--<⎩，解得：1116m -<<.故选：A【点睛】本题主要考查由曲线过某点的切线个数求参数，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究方程的根即可，通常需要对函数求导，用导数的方法判断函数单调性，求极值等，属于常考题型.11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D 【解析】【详解】()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增；()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L­距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=，当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=；当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-；当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=；当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 考点：轨迹方程．【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，属于中档试题，本题的解答中设出设12(,0),(,0)F c F c -和动点(,)M x y 的坐标，根据题设条件列出关系式后，分类讨论去掉绝对值号，从而确定动点的轨迹方程，结合本题的选项可得动点的轨迹，得到答案．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.设1p ≤，()():10q x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是______. 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】解对应的不等式，得到1:12p x ≤≤；1q a x a ≤≤+:；根据q 是p 的必要而不充分条件，得到1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是[],1a a +的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.1≤得0211x ≤-≤，所以112x ≤≤，即1:12p x ≤≤； 由()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦得1a x a ≤≤+，即1q a x a ≤≤+:； 因为q 是p 的必要而不充分条件， 所以1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是[],1a a +的真子集；因此1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得102a ≤≤.故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.14.设函数()f x 在()0,∞+内可导，其导函数为()f x '，且()ln 2ln =-x f x x ，则()1f '=______.【答案】21e -【解析】 【分析】先由()ln 2ln =-x f x x ，根据换元法求出()2=-xf x e x ，对函数求导，将1x =代入导函数，即可得出结果.【详解】因为()ln 2ln =-x f x x ，令ln t x =，则t x e =，所以()2=-tf t e t ，即()2=-xf x e x ，所以()21xf x e '=-，因此()112=-f e . 故答案为：21e -【点睛】本题主要考查求导函数值，熟记导数的计算公式，以及求解析式的方法即可，属于常考题型.15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与y 轴及双曲线的右支分别交于,A B 两点，若1F A AB =，则双曲线的离心率为__．【解析】 【分析】由1F A AB =知A 为1F B 的中点，连接2BF ，利用中位线的性质得出2//OA BF ，利用直线1BF 的斜率得出212BF F F =2BF ，由勾股定理得出1BF ，最后利用双曲线的定义得出a 与c 的等量关系，从而可求出双曲线离心率的值．【详解】设双曲线的右焦点为2F ，连接2BF ，1||||F A AB =，可得A 为1F B 的中点，即有2BF x ⊥轴，由题意可得21221tan BF BF F F F ∠==2||BF =，可得1||BF ==，由双曲线的定义可得12|||2BF BF a -=-=，可得c e a ==．【点睛】本题考查双曲线的离心率，充分分析焦点三角形的性质、利用三角形中相关定理以及双曲线的定义来解题，是解本题的关键，综合性较强，着重考查学生分析能力和运算求解能力，属于中等题． 16.若函数()22xk f x e x kx =-+在[]0,2上单调递增，则实数k 的取值范围是________． 【答案】21,e ⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】 由()'x fx e kx k =-+，利用导数再分情况讨论当0k ≤，当2k e ≥，当01k <≤时，当21k e <<时函数()xg x e kx k =-+的最小值，即可求得实数k 的取值范围.【详解】解：由()22xk f x e x kx =-+， 则()'x fx e kx k =-+，由函数()f x 在[]0,2上单调递增， 则()'0x fx e kx k =-+≥在[]0,2恒成立，设()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈①当0k ≤时，()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈为增函数，要使()0g x ≥，则只需()00g ≥，求得10k -≤≤， ②由()'xg x e k =-，1 当2k e ≥时，()'0g x ≤，即函数()g x 为减函数，即()2min (2)g x g e k ==-，要使()0g x ≥，则只需()2min 0g x e k =-≥，即2k e =，2当01k <≤时，有()'0xg x e k =-≥，即函数()g x 增函数，要使()0g x ≥，则只需()min (0)10g x g k ==-≥，即01k <≤，3当21k e <<时，有当0ln x k <<时，()'0g x <，当2ln k x e <<时，()'0g x >， 即函数()g x 在(0,ln )k 为减函数，在2(ln ,)k e 为增函数，即()min (ln )2ln g x g k k k k ==-，要使()0g x ≥，则只需()min 2ln 0g x k k k =-≥， 即2k e <，综上可得实数k 的取值范围是21,e ⎡⎤-⎣⎦， 故答案为21,e ⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤共70分）17.给定实数 t ，已知命题 p ：函数2()21f x x tx =-+ 有零点；命题 q ：∀ x∈[1，＋∞)1x x-≤42t －1. (Ⅰ)当 t ＝1 时，判断命题 q 的真假； (Ⅱ)若 p ∨q 为假命题，求 t 的取值范围． 【答案】（1）命题 q 为真命题． （2）1(,2-1)2. 【解析】 【分析】(1) t ＝1 时，max10x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,进而得到结果；（2）若 p∨q 为假命题，则 p ，q 都是假命题，当 p 为假命题时，Δ＝()2-2t －4<0 ，q 为真命题时，max1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤24t －1，即 42t －1≥0，取补集即可得到q 为假命题时，12t-12，最终两者取交集. 【详解】(Ⅰ)当 t ＝1 时，max10x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭1x x-≤3 在[1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题． (Ⅱ)若 p∨q 为假命题，则 p ，q 都是假命题． 当 p 为假命题时，Δ＝()2-2t －4<0，解得－1<t<1；当 q 为真命题时，max1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤42t －1，即24t －1≥0，解得 t≤12-或 t≥12∴当 q 为假命题时，12t-12∴t 的取值范围是1(,2-1)2. 【点睛】（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少有一个假．（2）可把“p 或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．18.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为122t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线C 交于A B 、两点，点(12)P ，，求PA PB +的值. 【答案】（1）l的普通方程为：2y =++C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=；（2）1+ 【解析】 【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）利用参数的几何意义，建立方程，即可求得PA PB +的值.【详解】由1222t x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得21)y x -=-∴l的普通方程为：2y =++C 的极坐标方程是4cos ρθ=24cos ρρθ∴=，224x y x ∴+= ∴C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=②将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程22(1)(2)4(1)0222t t ++--+=21)10t t ∴-+=12121,1t t t t ∴=+=，12,t t ∴同号1212||||||||||1PA PB t t t t ∴+=+=+=.【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有三种方程的转化方法，直线参数方程中参数的几何意义，属于简单题目.19.设函数()332f x x x =-++分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值．xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为()()11,x f x 、()()22,x f x ，该平面上动点P 满足4PA PB =⋅，点Q 是点P 关于直线y x =的对称点． （Ⅰ）求点A 、B 的坐标； （Ⅱ）求动点Q 的轨迹方程．【答案】（Ⅰ）()1,0A -，()1,4B ；（Ⅱ）22450y x x +--=【解析】 【分析】（Ⅰ）先对函数求导，得到()233'=-+f x x ，解对应方程()2330f x x '=-+=，判断函数单调性，从而可求出函数在1x =-处取得极小值，在1x =取得极大值，进而可求出结果； （Ⅱ）设(),Q x y ，()00,P x y ，得到PA ，PB 的坐标，根据4PA PB =⋅，得到22000450+--=x y y ，再由题意，得到00x y y x=⎧⎨=⎩代入22000450+--=x y y ，化简整理，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为()332f x x x =-++，所以()233'=-+f x x ，令()2330f x x '=-+=，解得1x =-或1x =，当1x <-时，()0f x '<， 当11x -<<时，()0f x '>， 当1x >时，()0f x '<，所以函数()332f x x x =-++在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以，函数在1x =-处取得极小值，在1x =取得极大值， 故11x =-，21x =，又()10f -=，()14f =；∴点()1,0A -，()1,4B ；（Ⅱ）设(),Q x y ，()00,P x y ，则()001,=---PA x y ，()001,4=--PB x y ，4⋅=PA PB ，22000144∴--+=x y y ，22000450x y y ∴+--= ①又点Q 是点P 关于直线y x =的对称点00x y y x=⎧∴⎨=⎩代入①得：22450y x x +--=，即为Q 的轨迹方程. 【点睛】本题主要考查求极值点对应的坐标，以及求动点的轨迹方程，灵活运用导数的方法求函数极值，根据相关点法求轨迹方程即可，属于常考题型. 20.已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．【答案】（I ）2cos ,{3sin ,x y θθ==260x y +-=；（II .【解析】试题分析：（I ）由椭圆的标准方程设cos ,sin 22x yθθ==，得椭圆的参数方程为2cos ,{3sin ,x y θθ==，消去参数t 即得直线的普通方程为260x y +-=；（II ）关键是处理好PA 与角30︒的关系．过点P 作与l 垂直的直线，垂足为H ，则在PHA ∆中，12PH d PA ==，故将PA 的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cos P θ，3sin )θ到定直线260x y +-=的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I ）曲线C 的参数方程为2cos ,{3sin ,x y θθ==（θ为参数）．直线l 的普通方程为260x y +-=．（II ）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为3sin 6d θθ=+-．则)6sin 30d PA θα==+-．其中α为锐角，且4tan 3α=．当sin()1θα+=-时，PA 取到最大值，最大值为5．当sin()1θα+=时，PA ． 【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形． 21.已知函数()()ln 0f x kx x k =->． （1）若1k =，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值；【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）1k e=； 【解析】 【分析】（1）先由1k =得()ln f x x x =-，对其求导，解对应不等式，即可得出单调区间； （2）先由题意，得到方程ln 0kx x -=仅有一个实根，令()()ln 0xg x x x=>，则()ln ()0=>xg x x x 与y k =有且仅有一个交点，对()ln x g x x=求导，用导数的方法判断函数单调性，进而可确定结果.【详解】（1）由1k =得()ln f x x x =-，定义域为()0,∞+， 则()111x f x x x-'=-=， 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. （2）由题意知方程ln 0kx x -=仅有一个实根，由ln 0kx x -=得()ln 0xk x x=>， 令()()ln 0x g x x x=>，则()ln ()0=>xg x x x 与y k =有且仅有一个交点，又()21ln xg x x-'=， 由()21ln 0-'=>x g x x 得0x e <<；由()21ln 0-'=<xg x x得x e >； 所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以()()max 1g x g e e==. 当x →+∞时，()0g x →.又0k >，所以要使()f x 仅有一个零点，则1k e=. 【点睛】本题主要考查求函数单调区间，以及导数的方法研究函数零点，通常需要对函数求导，利用导函数判断函数单调性等，属于常考题型.22.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上动点P 到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为2+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点B 为椭圆的上顶点，若直线l 与椭圆C 交于两点,M N （,M N 不是上下顶点）BM BN ⊥．试问：直线l 是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，求BMN ∆面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=；（2）30,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)先根据已知得到a,c 的值，再求b 的值，即得椭圆的方程.(2) 设直线:l y kx m =+（k 必存在），()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理化简BM BN ⊥得到3 5m =-，再求出直线l 所经过的定点.(3)先求出3225BMN S ∆=，再换元利用基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）由已知得：2a=4∴a=2，，c =，b=1，∴方程为：2214x y +=.（2）依题意可设直线:l y kx m =+（k 必存在），()()1122,,,M x y N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程得()222418440k x kmx m +++-=．()()222264161410k m m k ∆=--+>，2121222844,4141km m x x x x k k --+==++∵ 1122,,y kx m y kx m =+=+∴()121222241my y k x x m k +=++=+∴()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 22122441m k y y k -⇒=+，∵点B 为椭圆的上顶点，且BM BN ⊥，∴()()()1122121212,1,1010BM BN x y x y x x y y y y ⊥⇒-⋅-=⇒+-++=，222222444210414141m m k m k k k --⇒+-+=+++，2352305m m m ⇒--=⇒=-或1m =（舍去），∴直线l3:5y kx=-必过定点30,5P⎛⎫-⎪⎝⎭（3）不难得到：1212BMNS BP x x∆=-=3225BMNS∆===令2t t=≥，则2249412525k t+=+，∴23213264324999252544225252BMNtSt tt∆=⋅=⋅≤=++⨯+（当2t=，即0k=时取等号）. 【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第3问的关键有两点，其一是求出2322541 BMNSk ∆===⨯+，其二是换元得到23249252525BMNtSt∆=⋅+再利用基本不等式求函数的最大值.。

2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题1．给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是( ) A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C【解析】①根据命题的否定的形式可知其正确；②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种结果，所以错误；③根据原命题和逆否命题等价可知其正确； 从而得到答案. 【详解】①根据命题的否定的形式可知，命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x >，所以是正确的；②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则有2A =2B 或2A +2B =π,所以角A 与角B 相等或互余，所以错误；③因为命题：“若tan x =3x π=”是假命题，所以其逆否命题是假命题，所以正确；所以正确命题的序号是①③， 故选C . 【点睛】该题考查的是有关命题真假的判断问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，三角函数公式，原命题和逆否命题等价，属于简单题目.2．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．3．设抛物线2y 4x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-。

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莲塘一中2019-2020学年上学期高一期末检测理科数学试题一､填空题(本题共有12小题,四个选项中只有一个是正确的,每小题5分,共60分)1.下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A. 150︒- B. 680°C. 220°D. 320°【答案】C 【解析】 【分析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题 2.下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A. 12(0,0),(1,2)e e ==u r u u rB. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u rD. 12(2,3),(6,9)e e =-=-u r u u r【答案】B 【解析】 【分析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,若//a b r r ,则12120y x x y -=,对于选项A,10e =u r r ,0r与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e u r 与2e u u r不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e u r u u r,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e u r u u r,故D 错误, 故选:B【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3.计算2sin 2105°-1的结果等于（ ）A. -B. 12-C.12【答案】D 【解析】22sin 1051cos 210cos30-=-==o o o D ． 4.在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u v u u u v ，且0AB AD ⋅=u u u v u u u v，则四边形ABCD 是（ ） A. 矩形 B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】A 【解析】 【分析】根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形. 【详解】AB DC =uu u r uuu rQ ，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形 由0AB AD ⋅=uu u r uuu r可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形 本题正确选项：A【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题. 5.若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A. 34-B.34C. 43-D.43【答案】B 【解析】 试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．6.已知向量(1,3)a m =--r ,(,2)b m =r ,若a b ⊥r r,则实数m =( )A. 2-B. 3C. 3-或2D. 2-或3【答案】D 【解析】 【分析】若a b ⊥r r,则0a b ⋅=r r ,求解即可【详解】若a b ⊥r r,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=r r ,解得3m =或2m =-, 故选:D【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7.若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】B 【解析】 分析】根据奇偶性和周期性可得()f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可【详解】由题,()4f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 是偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()f x x =,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x ,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减； 当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 故选:B【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式,考查余弦函数的单调区间8.已知a r ，b r 为单位向量，且a b a b +=-r r r r ，则a r 在a b +rr 上的投影为（ ）A.13C. D.3【答案】B 【解析】a r 由，b r 为单位向量，又a b b +=-r r r r ，则22|2|a b a b +=-r r r r ，可得13a b ⋅=r r，则a b +=r r ， 1cos ,3a b 〈〉=r r ．又()cos ,3a a b a a b a a b⋅+〈+〉==+r r r r r r r r r a r 在a b +r r上的投影为cos ,a a a b 〈+〉=rr r r ．故本题答案选B ．9.若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A.59B. 59-C.79D. 79-【答案】A 【解析】 【分析】的由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】由题,225sin 2sin 2cos 212sin 12662669πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10.如图，在ABC ∆中，23AD AC =u u u v u u u v ，13BP BD =u u u v u u u v ，若AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则=λμ( )A. 3-B. 3C. 2D. 2-【答案】B 【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=u u u v u u u v u u u v u u u v 121()393AD AB AC AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v∴2239AP AB BP AB AC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，∴22,,339λλμμ=== 故选B.11.已知1tan161tan16a ︒︒+=-,cos330b ︒=,c =则,,a b c 的大小关系为( ) A. c a b >> B. c b a >>C. a c b >>D. b a c >>【答案】C 【解析】 【分析】化简,,a b c 可得tan61a =︒,cos30b =︒,cos29c =︒,进而比较大小即可【详解】由题,因为tan 451︒=,所以1tan16tan 45tan16tan 61tan 4511tan161tan 45tan16a +︒︒+︒===︒>︒=-︒-︒︒；()cos330cos 30360cos30b =︒=-︒+︒=︒；cos 29c ====︒；由cos y x =的单调性可知1cos29cos30>︒>︒,所以tan 45cos29cos30︒>︒>︒, 即a c b >>, 故选:C【点睛】本题考查正切的和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查诱导公式的应用,考查三角函数值的比较大小问题12.已知函数()()2730323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数a 的取值范围为( )A. (]0,1B. (]0,2 C. []1,2D. []2,9【答案】B 【解析】 【分析】分别求出()f x a +在[]3,3-的值域，以及()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，令()f x a +在[]3,3-的最大值不小于()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，得到a 的关系式，解出即可.【详解】对于函数()f x ，当0x ≤时，()733f x x =+， 由30x -≤≤，可得()[]4,3f t ∈-，当0x >时，()()222314f x x x x =-++=--+， 由03x <≤，可得()[]0,4f x ∈，∴对任意[]3,3t ∈-，()[]4,4f t ∈-，()[]4,4f t a a a +∈-+对于函数()cos 42sin 46g x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，2,663x πππ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()4g x ⎡⎤∴∈+⎣⎦，∴对于0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()4g s ⎡⎤∈⎣⎦，Q 对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，46a ∴+≤，解得02a <≤，实数a 的取值范围为(]0,2，故选B ．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈ 2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥ ()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥ ()min g x .二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】 【分析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可 【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=,故答案为:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14.若ABCD Y 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1-- 【解析】 【分析】由ABCD Y 可得AB DC =u u u r u u u r,进而求解即可【详解】由题,因为ABCD Y ,所以AB DC =u u u r u u u r,设(),D x y ,所以()4,3AB =uu u r,(),2DC x y =--u u u r ,所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩,故答案为:()4,1--【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示15.若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则OM ON +=u u u u v u u u v_______.【答案】π 【解析】 【分析】画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,进而求解即可 【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,则M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 所以(),0OM ON π+=u u u u r u u u r,所以||OM ON π+=u u u u r u u u r,故答案为:π【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想16.设A 是平面向量的集合,a v是定向量,对x A ∈v ，定义()()2f x x a x a =-⋅⋅v v v v v，现给出如下四个向量： ()10044222a a a a ⎛⎛⎛====- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭v v v v ①，；②，；③，；④，那么对于任意x y A ∈v v ，，使()()f x f y x y ⋅=⋅v v v v 恒成立的向量a v的序号是________(写出满足条件的所有向量a v的序号). 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得.【详解】对于①，当()00a =r，时，()f x x =r r 满足()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r ； 当0a ≠r r，因为()()2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，()()2f y y a y a =-⋅⋅u r u r r u r r ，所以()()24()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅r u r r u r r u r r r r r r u r r若使得()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立，则只需21a=r，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④.【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()f x f y ⋅r u r的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题(本大题共6小题,满分10+12+12+12+12+12=70分)17.已知向量(4,3)a =v，(1,2)b =v ， （1）设a v 与b v的夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a b λ-vv与2a b +vv 平行，求实数λ的值. 【答案】; (2) 12λ=- 【解析】 【分析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可.【详解】(1) cos a b a b θ⋅====⋅r rr r .(2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--r r ,()()()4,312,82,29a b ++==r r.又a b λ-r r 与2a b +r r平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型. 18.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．．1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-．0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．【答案】(1) 9-.(2)415+. 【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解：（Ⅰ）Q 2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos α∴=，-------2分 于是sin22sin cos ααα==（Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭Q ,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是 ()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+.(1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值;(2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）化简()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可； （2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈, 则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20.如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ,求λμ+的值(2)若2AB BC ==,当1AE BF ⋅=u u u v u u u v 时,求DF 的长【答案】(1)16【解析】 【详解】（1）EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r ，又∵BC AD =u u u r u u u r ,CD AB =-u u u r u u u r ,∴1132EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ， 111326λμ+=-+=； （2）设(0)DF mDC m =>u u u r u u u r ，则()1CF m DC =-u u u r u u u r ，以AB u u u r ，AD u u u r 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u u r u u u r ， ∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得23m =,故DF21.已知(sin )a x x =r ,(cos ,cos )b x x =-r ,函数()f x a b =⋅r r.(1)求函数()f x 图象的对称轴方程;(2)若方程1()3f x =在(0,)π上的解为12,x x ,求()12cos x x -的值. 【答案】（1）5122k x ππ=+,k Z ∈；（2）13 【解析】【分析】（1）化简()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令232x k πππ-=+,k Z ∈,进而求解即可； （2）设12x x <,由2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得12526123x x πππ<<<<,且1256x x π+=,则()1211155cos cos cos 266x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,进而求解即可 【详解】（1）由题,()()211sin cos sin 21cos 2sin 2cos 2222222f x x x x x x x x =+=-++=- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令232x k πππ-=+,k Z ∈,则对称轴为:5122k x ππ=+,k Z ∈ （2）由题,121sin 2sin 20333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设12x x <,因为2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12526123x x πππ<<<<, 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=对称, 所以1256x x π+=, 所以 ()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663233x x x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积,考查正弦型函数的对称性的应用,考查诱导公式的应用22.已知函数()f x ,若存在实数,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立,则称函数()f x 为“可平衡”函数,有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.(1)若m ,判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数,并说明理由;(2)若12,m m R ∈且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为2()sin f x x =的“可平衡”数对,当03x π<<时,方程12m m a +=有两个不相等的实根,求实数a 的取值范围.【答案】（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,理由见解析；（2）∅【解析】【分析】（1）()()sin sin x x k x k =++-,2sin cos x x k =,即可求解；（2）分别将“可平衡”数对代入可得2122cos sin x m x=,221sin m x =,则122cos 241cos 2x m m a x ++==-,则可转化为4cos 22a x a -=+有两个解,进而求解即可 【详解】（1）假设()sin f x x =是“可平衡”函数,则由题意应有:()()sin sin x x k x k =++-,sin cos cos sin sin cos cos sin x x k x k x k x k =++-,2sin cos x x k =,则cos k =,所以2,6k n n Z ππ=±∈, 所以存在,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立, 所以()sin f x x =是“可平衡”函数（2）由题,22221sin sin sin 2cos 22m x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以2122cos sin x m x=；又222222sin sin sin sin cos 14444m x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以221sin m x=, 所以()22122222cos 12cos 1cos 222cos 241sin sin sin 1cos 21cos 22x x x x m m a x x x xx ++++=+====--, 所以4cos 22a x a -=+有两个解, 因为03x π<<,cos 2y x =单调递减, 故4cos 22a x a -=+不存在两个解, 故a 的解集为∅【点睛】本题考查和角公式的应用,考查倍角公式的应用,考查新定义的理解,考查运算能力。

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