函数极值 PPT课件
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函数的极 值
•函数极值的概念 •函数极值的求法
函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
能在区间的内部，也可能在区间的端
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) > f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；
取得极值的必要条件：
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。
y f(x)x3
O
x
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 观察与思考：极值与导数有何关系？
y yf(x)
O a x1
x2
x3
x4
x5 b x
f (x1)0 f (x2)0 f (x3)0
则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
并不意味着它在函数的整个的定义域 内最大或最小
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
f (x5)0
函数极值的判源自文库定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0 (1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负，
(1) 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f
(2)´若( x在0 )点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负； 在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正，
点
y
f(x5)
f(x3)
f(x1) f(x4)
a
x1
x2 O
x3 x4 x5
bx
f(b)
f(x2)
f(a)
例1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有 （ ）极小值A 点有（ ） B
y
y f ?( x)
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。
例: 求 yx33x218x24的单调区间和极值.
2
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´(x) =－3x²+ 3x + 18
(3) 令 f ´(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3
(4) 列表讨论，如下：
•函数极值的概念 •函数极值的求法
函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；
（ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大 值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无 确定的大小关系
即一个函数的极大值未必大于极小值
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可
能在区间的内部，也可能在区间的端
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) > f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；
取得极值的必要条件：
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。
y f(x)x3
O
x
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 观察与思考：极值与导数有何关系？
y yf(x)
O a x1
x2
x3
x4
x5 b x
f (x1)0 f (x2)0 f (x3)0
则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
y yf(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
注意： （ⅰ）极值是一个局部概念
由定义，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小
并不意味着它在函数的整个的定义域 内最大或最小
x (－∞,－2) －2
(－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5
f (x5)0
函数极值的判源自文库定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0 (1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负，
(1) 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f
(2)´若( x在0 )点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负； 在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正，
点
y
f(x5)
f(x3)
f(x1) f(x4)
a
x1
x2 O
x3 x4 x5
bx
f(b)
f(x2)
f(a)
例1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有 （ ）极小值A 点有（ ） B
y
y f ?( x)
a
O
b x
A．1个 C．3个
B．2个 D． 4个
函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4)用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。
例: 求 yx33x218x24的单调区间和极值.
2
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´(x) =－3x²+ 3x + 18
(3) 令 f ´(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3
(4) 列表讨论，如下：