阿基米德三角形的由来
抛物线的阿基米德三角形
抛物线的阿基米德三角形1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊点数学上酷炫的东西——抛物线的阿基米德三角形。
虽然这名字听上去有点儿拗口，但别担心，我会尽量让它变得轻松易懂。
准备好了吗？那咱们就开聊吧！2. 阿基米德三角形的由来阿基米德三角形，这个名字听起来是不是有点像古老的魔法咒语？其实，它的名字是为了纪念古希腊的大数学家阿基米德。
阿基米德不仅仅是在古代数学界的超级明星，还是个真正的天才。
他研究了各种几何图形，其中就包括了抛物线。
阿基米德三角形就是他研究抛物线时发现的一个有趣的特性。
2.1 阿基米德的巧思阿基米德观察到，当你在抛物线上选择一个点，然后拉一条直线与坐标轴交点，这条直线与抛物线所围成的三角形，总是有一个神奇的性质：无论你选择哪个点，这个三角形的面积都是相同的。
简而言之，就是这个三角形的面积不受点的位置影响，都是“铁板一块”。
2.2 抛物线的妙趣横生抛物线，听着是不是有点高深莫测？其实，它就是你在做草地上的小石子抛掷实验时产生的轨迹。
抛物线在数学中有许多妙趣横生的特性，比如它的对称性和焦点的概念。
这些特性不仅能帮助我们解各种数学难题，还能在现实生活中找到应用。
3. 如何理解阿基米德三角形那么，阿基米德三角形到底有什么特别的地方呢？这就要从它的“超能力”谈起了。
你可以把它想象成一个数学界的“万能钥匙”，它可以帮助你解决很多涉及抛物线的问题。
3.1 区域稳定性比如说，咱们可以想象把一个点在抛物线上移动，无论点移动到哪里，只要它还是在那条抛物线上，那个三角形的面积始终不变。
这种“稳定性”让我们在处理抛物线相关的计算时，能够省下不少功夫。
3.2 应用场景在实际应用中，阿基米德三角形的性质可以用来设计一些工程结构，比如桥梁和抛物线形状的天线。
正是因为它的这些独特性质，才能让工程师们在面对实际问题时，更加得心应手。
4. 结语好啦，今天的分享就到这里。
希望你们对抛物线的阿基米德三角形有了更深的了解。
虽然这个概念听起来有点复杂，但它的魅力和实用性确实不容小觑。
专题12 阿基米德三角形
专题12 阿基米德三角形第一讲 阿基米德三角形与切点弦问题一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．(如果弦过定点，那么弦与两条切线交点的轨迹构成一对极点极线．)一般情况下阿基米德三角形指的抛物线阿基米德三角形，它的一些基本性质有：2、主要性质：性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴．性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线． 性质3：在性质2中，抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．性质4：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 性质5：底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ． 性质7 ：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠． 性质8：2AF BF QF ⋅=性质9 QM 的中点P 在抛物线上，且P 点处的切线与AB 平行．【例21】（云南二模）已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，经过l 上任意一点P 作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A 、B ． （1）求证：以AB 为直径的圆经过点P ； （2）比较AF FB 与2PF 的大小．【例22】（2005•江西）如图，设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点． （1）求APB △的重心G 的轨迹方程． （2）证明PFA PFB ∠=∠．第二讲 阿基米德三角形与面积问题【例23】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以5(0)2E ，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【例24】（2008•山东）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（2）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，||AB =．求此时抛物线的方程；（3）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【例25】（2008•江西）设点00)(P x y ，，在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点1(0)M m，． （1）求证：三点A 、M 、B 共线．（2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的重心G 所在曲线方程．【例26】（广州二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D ． （1）求点D 的纵坐标；（2）证明：A 、B 、F 三点共线；（3）假设点D 的坐标为3(1)2-，，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．【例27】(2021全国乙卷理科21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4． （1）求；（2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．【例28】（2021•全国Ⅲ卷模拟）过直线上动点，作抛物线的切线、，、为切点，．（1）求抛物线方程；（2）若面积为32，求直线的斜率．2:2(0)C x py p =>F F 22:(4)1M x y ++=p P M PA PB C A B PAB∆1y =-M 22(0)x py p =>MA MB A B 90AMB ∠=︒MAB ∆AB。
抛物线阿基米德三角形二级结论推广
抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。
一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。
该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。
二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。
2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。
3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。
三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。
2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。
3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。
四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。
2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。
五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。
专题4 阿基米德三角形
专题4 阿基米德三角形专题3 阿基米德三角形 微点1 阿基米德三角形 【微点综述】在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形. 阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.鉴于此，微点研究阿基米德三角形。
一、预备知识——抛物线上一点的切线方程（1）过抛物线()220y px p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =+；（2）过抛物线()220y px p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =−+；（3）过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+； （4）过抛物线()220x py p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =−+．下面仅以情形（3）为例给出证明，同理可证其余三种情形。
证法1：设抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y k x x −=−，代入22x py =，整理得2002220x pkx py pkx −−+=，由0x ∆=，得()222000044220,220,p k py pkx pk x k y +−=∴−+=抛物线上一点处的切线唯一，∴ 关于k 的一元二次方程200220pk x k y −+=有两个相等的实数根，0,x k p∴=∴所求的切线方程为()000x y y x x p−=−，即2000x x x py py =+−，又2002x py =，∴过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+。
抛物线——阿基米德三角形
解析几何——阿基米德三角形知识点：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。
因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3预备知识：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=阿基米德三角形有一些有趣的性质：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+，联立方程组得1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点Q (122y y p ，122y y +)，进而可知QM ∥x 轴.性质2：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行．证明：由性质1知Q (122y y p ，122y y +)，M 1212(,22x x y y ++，易得P 点坐标为21212()(,82y y y y p ++，此点显然在抛物线上；过P 的切线的斜率为121222p p y y y y =++=ABk ，结论得证．性质3如图，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB 、△TBI 、△SAI ；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI 与抛物线所围面积为1S ，AI 与抛物线所围面积为2S ，AB 与抛物线所围面积为S ，则123322ABI QAB QST S S S S S =--- =12333222QST S S S S --- =123()2QST S S S S --- =32ABI QST S S - ，∴ABI S = 2QST S ．性质4：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线证明：设Q (x ，y )，由性质1，x =122y y p ，y =122y y +，∴122y y px=由A 、B 、C 三点共线知10122221210222y y y y y y y x p p p--=--，即21121020y y y y x y x +--2102y py =-，将y =122y y +，122y y px =代入得00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程.性质5：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．利用两式相减法易求得以C 点为中点的弦的斜率为0p y ，因此该弦与Q 点的轨迹即直线l 平行．性质6若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l 方程为0ax by c ++=，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 过点C 00(,)x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点C （c a ，bp a-）.性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q 在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p ．证明（2）：若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点轨迹方程为2p x =-即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA ⊥QB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点；∴|QM |=122x x ++2p =22124y y p++2p ≥122||4y y p +2p =224p p +2p =p ，而121||()2QAB S QM y y =- ≥12||||QM y y ⋅≥2p性质8底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．证明：|AB |=a ，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知1212||22x x y y d QM p +≤=-221212244y y y y p p +=-=212()4y y p-，设直线AB 方程为：x my n =+，则2221(1)()a m y y =+-∴221()y y -≤2a ，∴d ≤24a p ，即S =12ad ≤38a p.性质9在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB ．证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接QA '、QB '、QF 、AF 、BF ，则1'FA y k p=-，显然'1FA QA k k ⋅=-，∴FA '⊥QA ，又∵|AA '|=|AF |，由三角形全等可得∠QAA '=∠QAF ，∴△QAA '≅△QAF ，∴|QA '|=|QF |，∠QA 'A =∠QFA ，同理可证|QB '|=|QF |，∠QB 'B =∠QFB ，∴|QA '|=|QB '|，即∠QA 'B '=∠QB 'A '∴∠QA 'A =∠QA 'B '+900=∠QB 'A '+900=∠QB 'B ,∴∠QFA =∠QFB ，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB 过焦点F ，则QF ⊥AB.性质10|AF |·|BF |=|QF |2．证明：|AF |·|BF |=12(()22p p x x +⋅+=21212()24p p x x x x +++=212(2y y p +22124y y ++24p ，而|QF |2=221212()()222y y y y p p +-+=212()2y y p +22124y y ++24p =|AF |性质11在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST 的垂心在准线上．证明：设211(2,2)A pt pt 、222(2,2)B pt pt 、233(2,2)I pt pt ，易求得过B 、I 的切线交点T 2323(2,())pt t p t t +，过T 向QA 引垂线，其方程为1231232()4t x y p t t pt t t +=++，它和抛物线准线的交点纵坐标123123()4y p t t t pt t t =+++，显然这个纵坐标是关于123,,t t t 对称的，因此从S 点向QB 引垂线，从Q 点向ST 引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．例1：（2019年台州高三期末21）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.由121,,x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=.因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.即(1,1)A .同理可得(1,1)B -.所以AB ：1x =.（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.由11002,,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=.因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.所以0120y k k x +=，12014k k x =.则12k k -==.又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-，所以1211||=k k -1212=k k k k-4,⎡∈⎣.P A B Oxy例2：已知点H (0,-8),点P 在x 轴上,动点F 满足PF ⊥PH ,且PF 与y 轴交于点Q ,Q 是线段PF 的中点.(1)求动点F 的轨迹E 的方程;(2)点D 是直线l :x-y-2=0上任意一点,过点D 作E 的两条切线,切点分别为A ,B ,证明:直线AB 过定点.解:(1)设F (x ,y ),y ≠0,P (m ,0),Q (0,n ),则 =(-m ,-8), =(-m ,n ),∵PF ⊥PH ,∴m 2-8n=0,即m 2=8n ,=0, ,∴ =− , = 2,代入m 2=8n ,得x 2=4y (y ≠0).故轨迹E 的方程为x 2=4y (y ≠0).(2)证明:设D (x 0,x 0-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵直线DA 与抛物线相切,且y'= 2,∴k DA = 12,∴直线DA 的方程为y= 12x-y 1,∵点D 在DA 上,∴x 0-2= 12x 0-y 1,化简得x 0x 1-2y 1-2x 0+4=0.同理,可得B 点的坐标满足x 0x 2-2y 2-2x 0+4=0.故直线AB 的方程为x 0x-2y-2x 0+4=0,即x 0(x-2)-2(y-2)=0,∴直线AB 过定点(2,2).练习1.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM 与BM 相交于点M，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D、E，求△QDE 的面积S 的最小值．练习2．如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且()2,0AF = ，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．（1）求抛物线τ的方程；（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．欢迎扫码关注公众号“数学HOME”，获取本文（包括练习详解）及更多资料的WORD版。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明阿基米德的“水之舞”在古希腊，有个名叫阿基米德的家伙，他不仅长得帅，而且聪明得让人惊叹。
有一次，国王请他去鉴定一个皇冠是不是纯金做的。
阿基米德拿起皇冠，对着太阳一照，然后大喊：“陛下，这皇冠是纯金做的！”国王听了很高兴，问：“那要是皇冠是假的呢？”阿基米德微微一笑，回答说：“那就证明您是纯金做的了！”这个故事告诉我们，有时候，真理并不总是显而易见的。
就像我们在生活中，有时候需要用一些聪明的办法来解决问题。
今天，我们就来聊聊阿基米德三角形的那些事儿。
咱们得知道什么是阿基米德三角形。
这个三角形是由三条线段组成的，它们首尾相连，形成一个等腰直角三角形。
想象一下，如果我们把一根棍子竖直插入水中，棍子的两端会分别浸入水中和空气中。
这时候，棍子就像是被赋予了魔法一样，能够在水中自由地“跳舞”。
你知道吗？阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我能翘起整个地球。
”这话可不是闹着玩的，它告诉我们，有时候一个小小的想法就能改变世界。
比如说，当我们遇到难题时，如果能找到那个合适的支点，说不定就能轻松解决问题。
那么，阿基米德三角形到底有什么用呢？其实，它的用处可多了去了。
在建筑学中，建筑师们经常利用阿基米德三角形的原理来设计桥梁、大楼等结构。
而在物理学中，阿基米德三角形也有着重要的地位，它可以用来计算物体在液体中的浮力。
话说回来，我们普通人在日常生活中也能发现阿基米德三角形的影子。
比如，我们在做菜的时候，经常会用到一些工具来测量食材的长度。
这些工具其实就是阿基米德三角形的变种，它们能够帮助我们更准确地完成烹饪工作。
当然啦，阿基米德三角形也不是万能的。
有时候，它也会遇到一些麻烦。
比如，当棍子太长或者太短时，它可能就无法像在水中那样自由地“跳舞”了。
这时候，我们就需要借助其他工具或者方法来解决这个问题。
总的来说，阿基米德三角形是一个非常有趣的概念。
它不仅仅是数学上的一个定理，更是我们生活中的一种智慧。
第18讲 阿基米德三角形(解析几何)(解析版)
第18讲阿基米德三角形知识与方法阿基米德（约公元前287年一前212年)，是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家,并且享有“力学之父”的美称.他在求体积或面积时采用的“平衡法”一档杆原理,被后人命名为“阿基米德方法”.正是由于他对当时数学作出的突出贡献以及对后世数学发展的深邃影响,他又被后人誉为“数学之神”.本节主要探讨的阿基米德三角形指的是圆锥曲线（椭圆、双曲线、拋物线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.阿基米德三角形得名于阿基米德在研究与拋物线有关的面积问题时得出的一个结论:抛物线的弦与拋物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.（结论的证明利用了“平衡法”)该结论的变式叙述可见于《普通高中课程标准实验教科书·数学选修3-1（A版):数学史选讲》(人民教育出版社2007年1月第2版).接下来，我们就去探讨一下阿基米德三角形中蕴藏的一些重要性质:条件：已知抛物线C:x2=2py(p>0),如图所示,D为某一直线l上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B,F为直线AB与y轴的交点,则有以下结论成立:结论1.1直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0.证明:设A(x1,y1),则x12=2py1.由于y′=xp ,所以切线DA的斜率为x1p,故切线DA的方程为x1x=p(y+y1)(1)设B(x2,y2),同理可得DB的方程为x2x=p(y+y2)(2) (1)÷(2)化简后,可得y=x1x22p(3)将(3)代入(1),可得x=x1+x22,所以点D的坐标为(x1+x22,x1x22p)故直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,直线AB的方程为(x1+x2)x−2py+p2=0且该直线过拋物线的焦点F.第二部分中的典例第（1）问考查的就是该性质的具体运用.结论1.2k DF⋅k AB=k DA⋅k DB=x1x2p2证明:由结论1.1的证明可知点F的坐标为(0,−x1x22p)又k DF=2x1x2p(x1+x2),k AB=x1+x22p,k DA=x1p,k DB=x2p,所以结论1.2得证.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时，有DF⊥AB,DA⊥DB；且此时△DAB面积的达到最小,其最小值为p2.第三部分中的第2题、第3题考查的均是该条性质及推论的运用,如若我们对上述性质比较熟悉,则审题结束时【答案】或许已了然于心.结论1.3在阿基米德△DAB中,有∠DFA=∠DFB.证明:如图,过点A,B分别作抛物线准线的垂线AA1,BB1,垂足为A1,B1.连接A1D,B1D,DF,AF,BF,A1F,则k A1F =−px1,k AD=x1p.易知,AD⊥A1F.又AA1=AF,所以AD垂直且平分A1F,故A1D=DF,∠DA1A=∠DFA.同理可得B1D=DF,∠DB1B=∠DFB,所以A1D=B1D=DF,∠DA1B1=∠DB1A1.进而∠DA1A=∠DB1B,即∠DFA=∠DFB.说明:第三部分中的第4题的第（2）问恰恰就考查了这一结论.结论1.4DA,AB,DB的斜率成等差数列、A,D,B三点的横坐标成等差数列.证明:结合结论1.2的证明过程以及点D坐标(x1+x22,x1x22p),稍作运算，便可证得该结论.说明:第三部分中的第5题的第（1）问中就涉及到了这一结论.结论1.5线段FA,FD,FB的长度之间的关系为FD2=x12x22p2+p2|x1x2|⋅FA⋅FB−p2.证明:经过简单计算即可得到上述结果.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,有线段FA,FD,FB的长度成等比数列.结论1.6若以E(0,−5x1x22p)为圆心的圆与直线AB相切于点T,则四边形ADBE的面积为|x1−x2|38p −x1x2⋅|x1−x2|p证明:易知DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 22,x 1(x 1−x 2)2p ),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 2(x 2−x 1)2p). 利用面积公式S ΔDAB =12√DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2,可得 S △DAB=12|x 1−x 22⋅x 2(x 2−x 1)2p −x 2−x 12⋅x 1(x 1−x 2)2p |=|x 1−x 2|38p又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(−5x 1x 22p +x 1x 22p )⋅|x 1−x 2|=−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p所以S 四边形 ADBE =S Δ+S ΔA =|x 1−x 2|38p−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p.说明：当D 为直线y =−p2上的动点,且E (0,5p2)时,则四边形ADBE 的面积为|x 1−x 2|38p+p |x 1−x 2|.结论1.7△DAB 的重心G 满足的方程为4x 2−6py −x 1x 2=0. 证明:过程从略，感兴趣的读者可自行尝试证明.说明:当D 为直线y =−p2上的动点时，△DAB 的重心G 的轨迹方程为4x 2−6py +p 2=0结论1.8 若P 为拋物线弧AB 上一点,拋物线在点P 处的切线与直线..分别交与M,N 两点,则S △DMN :S △PAB =1:2证明:设P (x 3,y 3),则有x M =x 1+x 32,x N =x 2+x 32，所以AM MD =MP PN =DNNB =|x 1−x 3||x 2−x 3|.设AMMD =MP PN=DNNB =a,S △PMD =b ，因为S ΔPMA S ΔPMD=AMMD =a ,所以S ΔPMA =ab同理S △PND =b a ,S ΔPNB =b a 2,所以S △DMN =b (1+1a ). 又S ΔNMD S △BAD=MD⋅DN AD⋅BD=a(a+1)2,所以S ΔBAD =b ⋅(a+1)3a 2.所以S ΔPBA =S ΔDAB −S △DMN −S ΔPAM −S ΔPBN =b ⋅2(a+1)a所以S ΔDMN :S △PAB =1:2.值得注意的是抛物线的性质远也不止这些，上述所列诸条,大多数是在区域模拟考试及高考中经常出现的.众所周知,以阿基米德三角形为背景的直线的定点、三角形的面积、轨迹、最值等相关问题是高考和模拟考考查的热点也是难点.纸上得来终觉浅,接下来我们不妨从多个视角去赏析一道高考题,以进一步体会阿基米德三角形的相关性质.典型例题【例1】已知曲线C:y =12x 2,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B . (1)证明：直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见解析;(2)3或4√2.【分析】分析题目可知,直线AB 是切点所在的直线,只需找到㔹点的共同属性即可.故可采用“设而不求”的思想就将该问题解决. 【解析】解法1：设而不求设D (t,−12),A (x 1,y 1),则x 12=2y 1.由于y ′=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x1−t=x 1即DA 的方程为2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得DB 的方程为2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由（1）得直线AB 的方程为y =wx +12.由{y =tx +12y =x 22,可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=√t 2+1.因此,四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12).由于EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2−2),AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行,所以t +(t 2−2)t =0.解得t =0或t =±1. 当t =0时,S =3;当t =±1时,S =4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.分析:本题还可从寻找切点A,B 定直线入手，将直线AB 用参数表示，借助海伦秦九韶公式将面积问题解决. 解法2：求切点定直线(1)设D (t,−12),过D 点与C 相切的直线方程设为y +12=k(x −t),切线AD,BD 的斜率分别为k 1,k 2.由{y +12=k(x −t)y =x 22,可得x 2−2kx +2kt +1=0(1) 由Δ=0,可得k 2−2kt −1=0(2)于是k 1+k 2=2t,k 1k 2=−1 将@代入(1),可得A (k 1,k 122),B (k 2,k 222),所以k AB =k 1+k 22=t.故直线AB 的方程为y =k 1+k 22x +12,即直线AB 过定点(0,12).(2)设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有 x 0=k 1+k 22=t,y 0=k 12+k 224=t 2+12,所以k ET =t 2−2t又k AB ⋅k ET =−1,解得t =0或t =±1 又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 1−k 22,k 12+12),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 2−k 12,k 22+12) 利用面积公式S =12√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ̅̅̅̅)2=12|x 1y 2−x 2y 1|可得 S △DAB=12|k 1−k 22⋅k 22+12−k 2−k 12⋅k 12+12|=18|k 1−k 2|3 同理可得 S △EAB =|k 1−k 2|当t =0时,|k 1−k 2|=2,此时S 冏边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=3 当t =±1时,|k 1−k 2|=2√2,此时S 㐰边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=4√2注:此处给出的这种方法是解决此类问题的通性通法,但注意不要漏掉斜率为0的情形. 解法3:设直线定“待参”设直线AB 的方程设为y =kx +m,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)由{y =kx +my =x 22,可得x 2−2kx −2m =0.于是x 1+x 2=2k,x 1x 2=−2m由于y ′=x ,所以切线DA,BD 的斜率分别为x 1,x 2 所以切线DA,BD 的方程分别为x 1x =y +y 1,x 2x =y +y 2联立可得D 点的纵坐标y D =12x 1x 2=−m ,又D 为直线y =−12上的动点,所以m =12 故直线AB 过定点(0,12) (2)由（1）知x D =y D +y 1x 1=12x 1x 2+12x 12x 1=x 1+x 22=k设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有x 0=x 1+x 22=k所以TD 垂直于直线y =−12过A,B 分别作直线y =−12的垂线,垂足分别为A 1,B 1,如图所示,所以点D 为A 1B 1的中点.记AB 过的定点为F ,则有AA 1=AF,BB 1=BF 由（1）知k AD ⋅k BD =x 1x 2=−1,所以DA ⊥DB 易得S △DAB =12S 梯形AA 1B 1B =(y 1+12+y 2+12)|x 1−x 2|2=|x 1−x 2|38又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(52−12)⋅|x 1−x 2|=|x 1−x 2| 以下计算同方法二. 解法四：设切点定截距设A (x 1,x 122),B (x 2,x 222),D (m,−12),直线AB:y =kx +b . 联立{y =12x 2y =kx +b⇒x 2−2kx −2b =0,由韦达定理得{x 1+x 2=2kx 1⋅x 2=−2b又y ′=x ,从而直线DA,DB 的方程分别为y =x 1x −12x 12,y =x 2x −12x 22.因为切线过点D (m,−12),所以有{mx 1−12x 12=−12mx 2−12x 22=−12即x 1,x 2为方程x 2−2mx −1=0的两根,即x 1⋅x 2=−1=−2b ⇒b =12,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由（1）知,x 1+x 2=2k ,则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+1=2k 2+1,所以,AB 的中点T (k,k 2+12). 当k =0时,M (0,12),此时,四边形ADBE 的面积S =3.当k ≠0时,由k TE ⋅k AB =−1得k 2−2k=−1k ,解得k 2=1.所以,|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(k 2+1)=4. 又点E 到直线AB 的距离d 1=√1+k 2=√2,点D 到直线AB 的距离d 2=√1+k 2=√2所以四边形ADBE 的面积S =12×|AB|×(d 1+d 2)=4√2.综上，四边形ADBE 的面积为3或4√2.强化训练以阿基米德三角形为背景考查的高考题主要还有以下几种类型.（一）轨迹问题1.如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=−2py(p >0).点M (x 0,y 0)在拋物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1−√2时,切线MA 的斜率为−12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O ).【答案】(1)p =2;(2)见解析 【解析】（1）p =2过程从略; (2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2由N 为线段AB 中点知x =x 1+x 22(1),所以y =x 12+x 228(2).所以，切线MA,MB 的方程分别为y =x 12(x −x 1)+x 124,(3)y =x 22(x −x 2)+x 224.(4)由(3)(4)得,MA,MB 的交点M (x 0,y 0)的坐标为x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x 24.因为点M (x 0,y 0)在C 2上,即x 02=4y 0,所以x 1x 2=−x 12+x 226.(5)由(1)(2)(5)得x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于O 时,中点N 为O ,坐标满足x 2=43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y .2.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,A,B 是抛物线上的两动点,且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)过A,B 两点分别作扡物线的切线,设其交点为M .(1)证明FM̅̅̅̅̅⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值; (2)设△ABM 的面积为S ,写出S =f(λ)的表达式,并求S 的最小值.【答案】(1)见解析;(2)4.【解析】(1)由已知条件,得F(0,1),λ>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) 即(−x 1,1−y )=λ(x 2,y 2−1),也即{−x 1=λx 2①1−y 1=λ(y 2−1)②将①式两边平方并把x 12=4y 1,x 22=4y 2代入得y 1=λ2y 2③解②、③式得y 1=λ,y 2=1λ,且有x 1x 2=−4, 拋物线方程为y =14x 2,求导得y ′=12x .所以过抛物线上A,B 两点的切线方程分别是y =12x 1(x −x 1)+y 1,y =12x 2(x −x 2)+y 2易得M 的坐标为(x 1+x 22,−1).所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 22,−2)⋅(x 2−x 1,y 2−y 1)=0 (II)由(I )知在△ABM 中,FM ⊥AB ,因而S =12|AB|⋅|FM|.又|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1+x 22)2+(−2)2=√λ+1λ+2=√λ√λ|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ+1λ+2=(√λ+√λ)2于是S =12|AB|⋅|FM|=12(√λ√λ)3,由√λ+√λ⩾2知S ⩾2,且当λ=1时,S 取得最小值4.3.如图,等边三角形OAB 的边长为8√3,且其三个顶点均在拋物线E:x 2=2py(p >0)上.（1）求抛物线E 的方程;(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y =−1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.【答案】(1)x 2=4y ; (2)见解析.【解析】(1)抛物线E 的方程为x 2=4y ,过程略.(2)设P (x 0,y 0),x 0≠0,由y =14x 2,得y ′=12x ,直线l 的方程为y −y 0=12x 0(x −x 0),即y =12x 0x −14x 02.联立20011241y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即200421x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，所以2004,12x Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 设M (0,y 1),所以MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0−y 1),MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−42x 0,−1−y 1) 因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以x 02−42x 0−y 0−y 0y 1+y 1+y 12=0.又y 0=14x 02(x 0≠0),所以y 1=1 故以PQ 为直径的圆恒过M(0,1).4.如图，设抛物线C:y =x 2的焦点为F ,动点P 在直线l:x −y −2=0上运动,过P 作拋物线C 的两条切线PA,PB ,且与抛物线C 分别相切于A,B 两点. (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程; (2)证明∠PFA =∠PFB .【答案】(1)y =13(4x 2−x +2); (2)见解析.【解析】（1）设切点A,B 坐标分别为(x,x 02)和(x 1,x 12)((x 1≠x 0), 所以切线AP 的方程为:2x 0x −y −x 02=0; 切线BP 的方程为:2x 1x −y −x 12=0;解得P 点的坐标为:x P =x 0+x 12,y P =x 0x 1所以△APB 的重心G 的坐标为x G =x 0+x 1+x P3=x P ,y G =y 0+y 1+y P 3=x 02+x 12+x 0x 13=(x 0+x 1)2−x 0x 13=4x P2−y p 3所以y p =−3y G +4x G 2,由点P 在直线l 上运动.从而得到重心G 的轨迹方程为: x −(−3y +4x 2)−2=0,y =13(4x 2−x +2).(2)因为FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,x 02−14),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+x 12,x 0x 1−14),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,x 12−14). 由于P 点在拋物线外,则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |≠0.所以cos∠AFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ̅̅̅̅|√x 02+(x 02−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |同理有cos∠BFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |√x 12+(x 12−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |所以∠PFA =∠PFB .5.如图,设抛物线方程为 x 2=2py(p >0),M 为直线y =−2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B .(1)求证：A,M,B 三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M 点的坐标为(2,−2p)时，|AB|=4√10,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在拋物线x 2=2py(p >0)上，其中点C 满足 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ （O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】（1）证明：由题意设A (x 1,x 122p ),B (x 2,x 222p),x 1<x 2,M (x 0,−2p ). 由x 2=2py 得y =x 22p,得y ′=xp,所以k MA =x 1p,k MB =x 2p.因此直线MA 的方程为y +2p =x 1p(x −x 0),直线MB 的方程为y +2p =x 2p(x −x 0).所以x 122p+2p =x 1p(x 1−x 0),(1)x 222p+2p =x 2p(x 2−x 0).(2)由(1)、(2)得x 1+x 22=x 1+x 2−x 0,因此x 0=x 1+x 22,即2x 0=x 1+x 2.所以A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2) 由（1）知,当x 0=2时,将其代入(1)、(2)并整理得:x 12−4x 1−4p 2=0,x 22−4x 2−4p 2=0所以x 1,x 2是方程x 2−4x −4p 2=0的两根，因此x 1+x 2=4,x 1x 2=−4p 2, 又k AB =x 222p −x 122p x2−x 1=x 1+x 22p=x 0p,所以k AB =2p由弦长公式得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4p2√16+16p2.又|AB|=4√10,所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.(3)设D(x3,y3),由题意得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32).设直线AB的方程为y−y1=x0p(x−x1),由点Q在直线AB上,并注意到点(x1+x22,y1+y22)也在直线AB上，代入得y3=x0px3.若D(x3,y3)在拋物线上,则x32=2py3=2x0x3.因此x3=0或x3=2x0.即D(0,0)或D(2x0,2x02p).(1)当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点M(0,−2p)适合题意.(2)当x0≠0,对于D(0,0), 此时C(2x0,x12+x222p ),k CD=x12+x222p2x0=x12+x224px0,又k AB=x0p,AB⊥CD所以k AB⋅k CD=x0p ⋅x12+x224px0=x12+x224p2=−1,即x12+x22=−4p2,矛盾.对于D(2x0,2x02p ),因为C(2x0,x12+x222p),此时直线CD平行于y轴,又k AB=x0p≠0,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,所以x0≠0时,不存在符合题意的M点.综上所述,仅存在一点M(0,−2p)适合题意.。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明导言：阿基米德三角形是指在一个等边三角形内分别连接三个顶点到相对边的中点，形成的小三角形和原大三角形的比例。
这个特殊的几何形态在数学和物理学中有许多重要的应用，因此我们有必要深入研究它的性质和结论。
本文将通过多个结论的简单证明，来展示阿基米德三角形在实践中的重要性和丰富的数学内涵。
一、阿基米德三角形的定义及性质阿基米德三角形是在一个等边三角形的内部，连接三个顶点到相对边的中点，得到的三个边长相等的小三角形。
它是以古希腊数学家阿基米德的名字命名，是一种特殊的三角形形态。
阿基米德三角形有许多重要的性质，其中最重要的包括：1）它是一个等边三角形；2）它内部的三个小三角形形成的比例是1：2。
二、阿基米德三角形的常用结论1、三个小三角形的面积比例阿基米德三角形内部的三个小三角形的面积比例是1：2。
证明：设等边三角形的边长为a，那么每个小三角形的底边长为a/2，高为a乘以sin(60°)，即a*√3/2。
设三角形的底边为a，那么三个小三角形的面积可以表示为：S1 = 1/2 * (a/2) * (a*√3/2) = a^2√3/8S2 = S1 = a^2√3/8S3 = S1 = a^2√3/8所以三个小三角形的面积比例是1：1：1，即1：2：1。
2、外接圆半径与等边三角形边长的比阿基米德三角形内切于一个圆，该圆即等边三角形的外接圆。
它的半径r与等边三角形的边长a之间的比例是，r = a/√3。
证明：由于外接圆于三角形的三个顶点相切，所以三角形的高等于外接圆的半径。
因此阿基米德三角形中小三角形的高也等于外接圆的半径。
在三角形中，高等于底边长度乘以sin(60°)，即a*√3/2。
所以外接圆的半径r等于a*√3/2，即r = a/√3。
三、阿基米德三角形的应用阿基米德三角形在实际中有许多重要的应用。
其中包括：1、物体的密度计算在物理学中，我们可以利用阿基米德三角形的性质来计算物体的密度。
阿基米德三角形过定点证明
阿基米德三角形过定点证明阿基米德三角形，又称阿基米德型三角形，是一个具有特殊性质的三角形。
它得名于古希腊数学家阿基米德，他在研究三角形时发现了这种特殊的三角形，因此被称为阿基米德三角形。
阿基米德三角形具有许多有趣的性质和特点，其中最著名的便是它过定点的性质。
在本文中，我将介绍阿基米德三角形过定点的证明，通过详细的分析和论证来阐述这一性质的成因和意义。
首先，让我们先了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是指一个三角形，其边长分别为a、b和c，满足以下条件：a+b>c，a+c>b，b+c>a。
这里的a、b、c为正实数。
这样的三角形被称为阿基米德三角形。
它不仅具有上述条件，还有一个更为特殊的性质，即它可以过一个定点的性质。
具体而言，阿基米德三角形具有过定点的性质，这意味着它的内心、准心和外心共线，且该直线与三角形的某边相交。
这是一个非常有趣的性质，也是阿基米德三角形的一个重要特点。
下面我们将通过几何分析和数学推导来证明这一性质。
首先，我们需要了解一些有关三角形内心、准心和外心的基本知识。
三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三条边的距离分别为r，r，r。
三角形的准心是三条中线的交点，它到三条边的距离分别为m，m，m。
三角形的外心是三条外角平分线的交点，它到三条边的距离分别为R，R，R。
这些概念非常重要，因为它们与阿基米德三角形过定点的性质密切相关。
接下来，我们将初步探讨阿基米德三角形过定点的性质。
首先，我们考虑内心I、准心G和外心O的位置关系。
根据上述定义，我们知道这三个点分别位于三角形的内部、内部和外部。
因此，它们之间存在着一定的位置关系，即内心到准心的距离小于准心到外心的距离，从而内心、准心和外心共线。
这一点非常重要，因为它为我们之后的推导提供了依据。
其次，我们需要推导出内心I、准心G和外心O共线的数学表达式。
这一步需要用到一些几何和代数知识，通过对三角形的边长、角度和中线的关系进行分析，我们可以得到内心、准心和外心在直线上的位置关系。
阿基米德三角形的由来
阿基米德三角形的由来优质解答过任意抛物线焦点F作抛物线的弦,与抛物线交与A、B两点,分别过A、B两点做抛物线的切线l1,l2相交于P点.那么△PAB称作阿基米德三角型.该三角形满足以下特性：1、P点必在抛物线的准线上2、△PAB为直角三角型,且角P为直角3、PF⊥AB（即符合射影定理）另外,对于任意圆锥曲线（椭圆,双曲线、抛物线）均有如下特性1、过某一焦点F做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点.那么,P必在该焦点所对应的准线上.2、过某准线与X轴的焦点Q做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点.那么,P必在一条垂直于X轴的直线上,且该直线过对应的焦点.针对彭色列闭合定理（N=3）开展研究，探讨简明证明方法，以便揭示彭色列闭合定理的本质。
引理1：椭圆内的二个任意三角形，在椭圆内部可构成了一个六边形，则六边形的三条对角线必定交于一点。
证明：彭色列闭合定理（N=3）的证明思路，可化为如下问题，如图3，已知外面的大椭圆和内部的小椭圆，已知存在一个三角形是内接外切大小二个椭圆，已知第二个三角形内接于大椭圆且两条边外切小椭圆，求证：第二个三角形的第三条边也必定和小椭圆相切。
1）由引理1可知，图3中的六边形对角线必定交于一点。
2）由引理2（布列安桑定理）可知，必定存在唯一椭圆与六边形相切。
3）由已知条件可知，内部椭圆已经和五条已知边相切了。
4）与五条已知边相切的椭圆是唯一的，五点定椭圆5）上述二个椭圆是同一个椭圆，因此，第二个三角形的虚线边必定和小椭圆相切，彭色列闭合定理（N=3）证明完毕。
引理1的运用：我们知道五点可以确定唯一的椭圆曲线，但是我们常常遇到需要判别六个坐标点是不是在一条椭圆曲线之上的问题？运用引理1判别就非常方便。
如图4，将六个点分成二组，跳开连接，可以构成二个三角形，内部可形成一个六边形。
如果六边形的三条对角线交于一点，则表明六点可以共享一个椭圆曲线；如果六边形的三条对角线不能交于一点，则表明六点可以共享一个椭圆曲线。
阿基米德三角形面积公式推导
阿基米德三角形面积公式推导阿基米德三角形，这名字听起来是不是有点神秘？其实啊，它在数学的世界里可有着独特的魅力。
咱们先来说说啥是阿基米德三角形。
简单来讲，它是抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
您别被这复杂的定义给吓着，咱一步步来推导它的面积公式。
想象一下，有一条抛物线，就像一个弯弯的彩虹。
然后在上面随便找两个点，把这两个点连起来，这就是弦啦。
再分别过这两个点作抛物线的切线，这两条切线和刚才的弦就围成了阿基米德三角形。
那怎么推导它的面积公式呢？这可得有点耐心和技巧。
假设抛物线的方程是 y² = 2px（p > 0），弦的两个端点坐标分别是A(x₁, y₁) ，B(x₂, y₂) 。
先求出过 A、B 两点的切线方程。
这就得用到一些导数的知识啦。
对抛物线方程求导，得到 y' = p / y 。
所以过 A 点的切线斜率就是 p / y₁，切线方程就是 y - y₁ = (p / y₁) (x - x₁) 。
同样，过 B 点的切线方程是 y - y₂ = (p / y₂) (x - x₂) 。
接下来，求出两条切线的交点坐标。
这计算过程有点繁琐，但只要咱们细心，就能算出来。
经过一番艰苦的计算，终于得到交点的坐标。
然后再通过一些巧妙的几何方法，利用三角形的面积公式，就能逐步推导出阿基米德三角形的面积公式啦。
记得我以前教过一个学生，叫小李。
这孩子刚开始接触阿基米德三角形的时候，那叫一个头疼，觉得这东西太复杂，根本弄不明白。
我就鼓励他别着急，一步一步来。
我给他画了好多图，一点点地解释每个步骤。
他一开始总是算错，急得直挠头。
但慢慢地，他掌握了方法，能自己推导出来了。
后来有一次考试，正好考到了相关的题目，他做得又快又准，可高兴啦。
所以说啊，学习数学别怕困难，只要肯钻研，就能攻克一个又一个的难题。
总之，阿基米德三角形面积公式的推导虽然有点难度，但只要我们掌握了方法，多做练习，就能轻松应对。
阿基米德三角形常用结论推导
阿基米德三角形常用结论推导
阿基米德三角形，又称为“测量定理”，由希腊数学家阿基米德提出，至今仍
屡屡用于日常的建筑工程中。
这个定理给建筑行业带来了许多翻天覆地的变化，为建筑定义出普遍的术语，精确检测平面和立体的形状，帮助人们更好的推导、计算并控制定位线、墙体平面、楼梯底座等，从而更好地完成建筑工程。
首先，阿基米德三角形定理表明每个三角形的内角等于180°(即三角形角和)，因此，解决建筑中墙体夹角、圆弧定位、楼梯立面等，都可以通过此定理的结论而得出数值结果。
其次，此定理还可以用于求解特殊三角形内角和边长之间的关系及形式，即勾
股定理，即三角形任意边的平方和等于斜边的平方，其采用平面坐标系构建可视化辅助，使得涉及定位、梁、梁面受重面系、墙体分析等问题都可以求解出具体的结果，而无需进行过多计算。
最后，阿基米德三角形还可以用于多边形的分析，给人们建筑时带来更多的参
考资料，可以借此计算多边形的面积、周长、弧长、内角等，由此减轻建筑人员对数学计算的依赖。
总之，阿基米德三角形极具实用性，不仅可用于三角形形态的定位，还可以用
于求解多边形特征，且只需要依据定理的基本结论，就可以得出大量关于空间及建筑的精准结论，极大地降低了建筑行业的计算风险，使建筑工程更加智能化、高效化，有效推动了建筑行业的强劲发展。
阿基米德三角形性质及证明
阿基米德三角形性质及证明
阿基米德三角形（又称坐标三角形）是由阿基米德在其名著《几何原本》中派生的，它的特征是三边的长度都是正数，可以由三个向量的组合构成，例如从原点出发的三条实轴，阿基米德三角形有很多著名性质，其中最重要的两个是阿基米德定理（Pythagorean Theorem）和三角形和外接圆的关系，它们证明了阿基米德三角形具有非凡的性质。
阿基米德定理（Pythagorean Theorem）指出，在任何一个直角三角形中，斜边的平方总是等于两个直角边的平方之和，简记为a^2+b^2=c^2。
用向量语言表达为，对于向量a，b，c，有‖a‖^2+‖b‖^2=‖c‖^2，由它可以证明，在任何一个阿基米德三角形中，斜边的长度总是大于等于其它两边的两倍之和。
另一个著名的性质就是三角形和它的外接圆的关系，即任何一个阿基米德三角形，可以根据三条边的长度，求得该三角形的外接圆半径，即，外接圆的半径等于三边长度的和除以二，即R=a+b+c/2，即三角形的重心落在外接圆上，这也就叫做三角形的外心，它的位置在外接圆和内心的两个角的交点处。
通过以上介绍，可以看出，阿基米德三角形有着特殊的性质，包括阿基米德定理（Pythagorean Theorem）和三角形和外接圆的关系，它们都是三角几何中最为经典的定理之一。
阿基米德三角形及其性质
1
1
2
2
3
3
易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
阿基米德三角形
高考解析几何热点——阿基米德三角形阿基米德三角形 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.一条弦与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线交于Q 点，△ABQ 即为阿基米德三角形.证明以下性质所需要的结论：抛物线的切线与切点弦抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=； 抛物线)0(22>=p px y 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为 )(00x x p y y +=.抛物线)0(22>=p py x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(00y y p x x +=； 抛物线)0(22>=p py x 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为：)(00y y p x x +=.性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点1212,22y y y y Q p⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知x QM //轴. 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线.证明：设(,)Q x y ，),(00y x C 由性质1得1212,22y y y y x y p +==，所以 122y y px =。
由,,A B C 三点共线知 10122221210222y y y y y y y x p p p--=-- 即 221121020102y y y y x y x y py +--=-将 1212,22y y y y y px +== 代入得 00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程. 特别地，弦AB 过抛物线的焦点)0,2(p F ，Q 点的轨迹方程为抛物线准线：2p x -=.性质3：若直线l 与抛物线没有公共点，点Q 直线l 上的动点，则切点弦AB 一定过抛物线内的某一定点.证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 特别地，若点Q 是准线：2p x -=上的动点，则切点弦AB 一定过焦点)0,2(p F .l性质4：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠.证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ''，则1FA y k p '=-， 显然1'-=⋅QA FA k k ，所以 FA QA '⊥，又因为 AA AF '=，由三角形全等可得 QAA QAF '∠=∠，所以,QAA QAF QA QF QA A QFA '''≅⇒=∠=∠ 同理可得 ,QB QF QB B QFB QA QB QA B QB A ''''''''=∠=∠⇒=⇒∠=∠ 所以 009090QA A QA B QB A QB B QFA QFB ''''''∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质5：2AF BF QF ⋅=证明：2121212()2224p p p p AF BF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221212244y y y y p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭而222222212121212222244y y y y y y y y p p QF AF BF p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
阿基米德三角形
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点．
证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A(x1, y1) ，
l
B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由
y
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 ,
A
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ， 化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
OQ DF
P
B
Ex
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
ABI
2S
QST ．
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
阿基米德原理内容
阿基米德原理内容阿基米德原理是古希腊数学家阿基米德提出的重要的几何原理，包括直角三角形、平行三角形和梯形的定理。
其中，最著名的是直角三角形定理，即任意直角三角形的两条直角边之平方之和等于斜边的平方。
这个定理被记录在公元前300多年左右，是古希腊文明最重要的几何学成果之一，是几何学中最经典最流行的定理。
直角三角形的定理的证明非常的直观，可以通过等边三角形的定理来证明。
设直角三角形ABC的两个直角边长分别为a和b，斜边长为c，能够构造一个等边三角形DEF，使得DE=DF=a+b，EF=c，可以得到DE的平方加上EF的平方等于DF的平方。
将三角形移到一起，得到三角形ABC；由于存在对称性，可以得到a的平方加上b 的平方等于c的平方，即直角三角形定理。
阿基米德原理也是三角形定理的延伸和推广。
阿基米德提出的三角形定理，包括直角三角形、平行三角形和梯形的定理。
直角三角形定理是所有定理中最重要的，其次是平行三角形定理，即如果三角形中有两条对边平行，则它们的斜边的长度之积等于它们的两个直角边的长度之积。
最后是梯形定理，即如果三角形中有两条对边平行，则它们的两个斜边的长度之和等于它们的两个平行边的长度之和。
阿基米德原理历史悠久，其在数学史上的地位不可撼动。
它的发现极大地推动了几何学的发展，启发了科学家们思考和解答自然界问题的思路，影响着每一个人在日常生活中的思维方式。
也正是基于阿基米德原理，人们发展出了非常重要的应用，包括普尔兹定理、司马库斯定理、朗伯定理等。
阿基米德原理是古希腊数学家阿基米德提出的基础理论框架，它说明了三角形的几何性质，包括直角三角形、平行三角形和梯形的定理。
其中最著名的是直角三角形定理，即任意直角三角形的两条直角边之平方之和等于斜边的平方，它很容易通过等边三角形的定理来证明。
阿基米德原理作为古希腊文明最重要的几何学成果之一，在数学史上有着极高的地位，影响着今天的科学家和日常生活的思维方式，也为人们更深入地探索自然界奠定了坚实的基础。
阿基米德三角形是直角三角形证明
阿基米德三角形是直角三角形证明阿基米德三角形的定义：角A、B、C构成的正三角形，且∠C为直角。
阿基米德三角形是以古希腊数学家阿基米德命名的。
他注意到三条直线形成一个直角三角形，并发现了可以证明它的定理。
它成为在很多解决三角形的问题时的基础和有用的工具。
一、什么是阿基米德三角形？阿基米德三角形，也称为直角三角形，是一种三个角都直的三角形，每条边的长度分别是 a，b，c。
它可以由两条垂直的直线相交而成，相交点位于顶点。
二、阿基米德三角形的特点1. 顶点：阿基米德三角形有三个顶点：A、B、C，它们位于三条边的交点。
2. 边：阿基米德三角形有三条边：一条以A为一端，以B为另一端组成的边被称为AB，另一条以B为一端，以C为另一端组成的边被称为BC，最后一条以C为一端，以A为另一端的边被称为CA。
3. 角：阿基米德三角形有三个角，分别位于A、B、C。
每个角均有90度（π/2 弧度），它们分别称为 A、B、C的顶角。
三、阿基米德三角形的证明1. 勾股定理：首先，针对阿基米德三角形，阿基米德发现了勾股定理。
这一定理被称为a2 + b2 = c2，它表明在一个直角三角形中，勾股定理可以被用来计算直角三角形的两个邻边的平方和与对角线的平方之和相等。
2. 反証法：其次，反証法也可以被用来证明阿基米德三角形。
反証法也被称为反证法，它可以用来证明该定理是正确的，而不是错误的。
反証法需要考虑若干假设，如果当它们都不能被正确地证明时，定理被认为是正确的。
反証法需要提出一个相反假设，如果该相反假设不能被正确地证明时，定理被认为是正确的。
3. 角度之和：另外，通过使用角度之和法，还可以证明阿基米德三角形。
角度之和定理认为三角形的三个角的和应该等于180度（π弧度）。
在阿基米德三角形中，由于有三个直角，每个直角的角度都可以用90度（π/2 弧度）来表示，这样三个角的和就可以等于180度（π 弧度），这可以作为阿基米德三角形的证明。
阿基米德三角形的性质及其应用
阿基米德三角形的性质及其应用
阿基米德三角形是一种重要的数学概念，由古希腊数学家阿基米德最早提出。
它是个有顶点的三角形，不论其形状是什么，其三条边被称为顶点。
在数学中，它是一种数学形式的四边形，它的每个顶点都有一个对应的角度，用来限制角度的大小。
阿基米德三角形的性质极为丰富，它可以有几何变换的不同属性，如改变顶点
的角度，改变形状，改变边长等。
它有一些著名的性质，如“例外”、“三边子角”、“中间角定理”等。
其中最令人熟悉的是“例外”定理，它指出在一个三角形中，任何两个角的大小总和不超过180度。
阿基米德三角形应用广泛，它有重要的应用价值。
在物理学方面，它用于测量
物体的大小、形状和距离，也可用于判断一个物体的动态和静态重力等。
在力学方面，它可用于计算结构的强度和稳定性，比如桥梁、建筑物等，广泛运用于建筑学，工程学，航空航天等领域。
同时，它还在天文学、生物学、军事学等领域得到应用。
综上所述，阿基米德三角形对许多领域有着重大的影响，它的应用占据着不可
替代的地位。
在基础教育中，学习者应该全面理解和掌握阿基米德三角形的性质和应用，以此来提高自己的知识水平。
怎么证明阿基米德三角形
怎么证明阿基米德三角形00力学方面:阿基米德在力学方面的成绩最为突出。
1、在总结了关于埃及人用杠杆来抬起重物的经验的基础上，阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理。
提出了精确地确定物体重心的方法，指出在物体的中心处支起来，就能使物体保持平衡;同时，他在研究机械的过程中，发现并系统证明了阿基米德原理(即杠杆定律)，为静力学奠定了基础。
此外，阿基米德利用这一原理设计制造了许多机械。
2、他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律。
几何学方面:阿基米德的数学成就在于他既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究和实际应用联系起来。
阿基米德1、阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。
在推演这些公式的过程中，他创立了"穷竭法"，类似于现代微积分中所说的逐步近似求极限的方法。
2、他是科学的研究圆周率的第一人。
他提出用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法求圆周率。
他求出了圆周率大小范围为:223/71π22/7。
3、面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题。
4、提出了著名的阿基米德公理，用现代数学语言表述，阿基米德原理指对于任何自然数(不包括0)a、b，如果ab，则必有自然数n，使n×ab.天文学方面:1、他发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象;2、他认为地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，这一观点比哥白尼的"日心地动说"要早一千八百年。
限于当时的条件，他并没有就这个问题做深入系统的研究。
阿基米德螺旋永动机重视实践:阿基米德和雅典时期的科学家有着明显的不同，就是他既重视科学的严密性、准确性，要求对每一个问题都进行精确的、合乎逻辑的证明;又非常重视科学知识的实际应用。
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阿基米德三角形的由来
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过任意抛物线焦点F作抛物线的弦,与抛物线交与A、B两点,分别过A、B两点做抛物线的切线l1,l2相交于P点.那么△PAB称作阿基米德三角型.该三角形满足以下特性：
1、P点必在抛物线的准线上
2、△PAB为直角三角型,且角P为直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外,对于任意圆锥曲线（椭圆,双曲线、抛物线）均有如下特性
1、过某一焦点F做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点.那么,P必在该焦点所对应的准线上.
2、过某准线与X轴的焦点Q做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点.那么,P必在一条垂直于X轴的直线上,且该直线过对应的焦点.
针对彭色列闭合定理（N=3）开展研究，探讨简明证明方法，以便揭示彭色列闭合定理的本质。
引理1：椭圆内的二个任意三角形，在椭圆内部可构成了一个六边形，则六边形的三条对角线必定交于一点。
证明：彭色列闭合定理（N=3）的证明思路，可化为如下问题，如图3，已知外面的大椭圆和内部的小椭圆，已知存在一个三角形是内接外切大小二个椭圆，已知第二个三角形内接于大椭圆且两条边外切小椭圆，求证：第二个三角形的第三条边也必定和小椭圆相切。
1）由引理1可知，图3中的六边形对角线必定交于一点。
2）由引理2（布列安桑定理）可知，必定存在唯一椭圆与六边形相切。
3）由已知条件可知，内部椭圆已经和五条已知边相切了。
4）与五条已知边相切的椭圆是唯一的，五点定椭圆
5）上述二个椭圆是同一个椭圆，因此，第二个三角形的虚线边必定和小椭圆相切，
彭色列闭合定理（N=3）证明完毕。
引理1的运用：我们知道五点可以确定唯一的椭圆曲线，但是我们常常遇到需要判别六个坐标点是不是在一条椭圆曲线之上的问题？运用引理1判别就非常方便。
如图4，将六个点分成二组，跳开连接，可以构成二个三角形，内部
可形成一个六边形。
如果六边形的三条对角线交于一点，则表明六点可以共享一个椭圆曲线；
如果六边形的三条对角线不能交于一点，则表明六点可以共享一个椭圆曲线。
简单的表达了。