线性代数的基本运算
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第5章 线性代数的基本运算
本章学习的主要目的：
1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识.
2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算.
5.1 行列式
5.1.1 n 阶行列式定义
由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号
D=nn
n n n n a a a a a a a a a 212222111211
称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即
112 D=
∑
-n
p p p n p p p 21n
np 2
p 21
p 1)
21(
a a a
)1(τ,
其中
∑n
p p p 21表示对所有n 级排列求和,
)
,,,(21n p p p τ是排列
n p p p 21的逆序数.
5.1.2 行列式的性质
(1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号.
(3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式.
(5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等
于对应两个行列式之和.即
nn
n
n ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
21'2
1
'22221
'11211212
1
22221
112
1121'2
1
'222221'111211+
=+++
(7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.
113
(8) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
),,2,1(,0,1
j k n i k i k
i D A a D n
j ij =⎩⎨
⎧≠===
∑
=,
或
),,2,1(,0,1
i n j k j k
j D A a D n
ik ij =⎩⎨
⎧≠===
∑
=
(9) 设A,B 是n 阶方阵,则
T
A A =,A A n k k =,
B
A A
B =,
(10)若A 是n 阶可逆矩阵,则0≠A ,A
A 1
1=-
(11) 设n 21,,,λλλ 是n 阶方阵A 的特征值,则i n
A λ1i =∏=,
(12) 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵,则2n *1
≥=-n A
A
(13) 几种特殊行列式的计算:
nn nn
a a a a a a 22112211000
000=
,
nn nn
n
n
a a a a a a a a a 221122*********=
nn nn n n a a a a a a a a a
22112
1
222111
000=,112n 12)
1(122
2111211)1(0
00n n n n n n
a a a a a a a a a
---=
5.1.3 MatLab 计算行列式的命令 det(var) %计算方阵var 的行列式
114 例1 计算行列式
3
833262290432231----的值
在MatLab 命令窗口输入:
A=[1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3] det(A) 执行结果:
A = 1 -3 2 2 -3 4 0 9 2 -2 6 2 3 -3 8 3 ans = -50
例2 计算行列式d
c b 1
00110011001a ---的值,其中a,b,c,d 是参数.
在MatLab 命令窗口输入: syms a b c d
A=[a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,d] det(A) 执行结果:
115
A =[ a, 1, 0, 0]
[ -1, b, 1, 0] [ 0, -1, c, 1] [ 0, 0, -1, d]
ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1 例3
求方程
088
144122
111113
2
=--x x x
的根. (1) 先求行列式的值 在MatLab 命令窗口输入: syms x
A=[1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x^3] y=det(A) 执行结果: A =
[ 1, 1, 1, 1] [ 1, -2, 2, x] [ 1, 4, 4, x^2] [ 1, -8, 8, x^3]