第四章 膨胀波与激波(4次)

三、普朗特-迈耶来自百度文库数
1、函数
上式中
(Ma) k 1 arctan k 1 (Ma 2 1) arctan Ma 2 1
k 1
因为v<a，所以弱扰动波仍能逆流 传播，也就是说，在亚声速气流中 ，弱扰动波可以传遍整个流场，这 是弱扰动在亚声速气流中传播的主 要特点。
（3）v=a，（下图）在逆流方向上，弱扰动波相对气流 的传播速度a恰与气流速度v相抵消，使弱扰动波不能逆流传 播，即，o点上游的流场不受扰动的影响。只有o点下游的流 场才受扰动的影响。受扰动与未扰动气体的分界面将是一个 以o为共切点的各球面波的公切平面。
最后还要指出的是，在超声速气流中除了上述讨论的 弱压缩波外，在某种条件下，还会出现突跃的压缩波-激 波。气流经过一道这样的突跃压缩波，速度、压强等参数 的变化不再是一个无限小量，而是个有限量。这属于强扰 动在超声速或者高超声速流动中的传播问题，是一类非常 重要的问题。
4.2 普朗特_迈耶流动
一、膨胀波的形成及其特点
（1）先讨论弱扰动在静止气体中的传播情况（v=0（
Ma=0)）。假定有一个静止的弱扰动源位于O点（如下图） ，它在气体中所造成的弱扰动是以球面波的形式向周围传播 的。如果不考虑气体粘性的耗散，而且认为气体参数分布均 匀的话，随着时间的推移，这个扰动可以传遍整个流场，而 且其传播速度在各个方向上均等于声速 。
第四章 膨胀波与激波
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。超声速气 流在加速时要产生膨胀波，减速时一般会出现激波。随着飞 行器和航空发动机性能的提高，超声速进气道、超声速压气 机和超声速喷管均已被广泛地采用。超声速燃烧以及超声速 涡轮等部件也正在研制与发展。另外，高超声速飞行器再入 大气层的飞行，要产生脱体强激波，这使得波后高温区气流 的研究更为重要。显然，在分析和涉及上述这些部件的气流 绕流规律时，首先就要遇到膨胀波和激波的问题。
4）下面再分析一个特殊的情形。设想把上图中的曲壁段
O1 、O2逐渐缩短，在极限的情况下， O与1 重O2合，曲壁就变成一
个具有一定的折角的折壁AOB，这时候由曲壁发出的一系列
膨胀波就变成从转折处发出的扇形膨胀波 O、1K 、O1…a' O，1b'
超声O速1L气流穿过这些膨胀波时，流动方向就逐渐转折，最后 沿着 壁面流动O1，B 如下图所示。这样的平面流动常称为超声 速气流绕外钝角流动或者称普朗特—迈耶流动。
折一个微小的角度 d，气流通过由无限多道膨胀波所组成的
膨胀波区后，参数发生一个有限值的变化，并且转折一个有
限的角度 （下图）。
第一道波的马赫角 为1 马赫线与
来流方向的夹角。最终一道波的马赫
角 为2 马赫线与气流最终流动方向的
夹角，于是在下图中，可以用有限道 波来表示无限多道膨胀波来描述超声 速气流绕外凸曲壁流动的问题。
气流流经微楔形物之后，气流 受到了极微弱的压缩，在om和om’ 两道马赫波之后，压强增加了dp， 密度增加了dρ，速度则减小了dV。 因此om和om 称为弱压缩波。
如果气流通过马赫波之后是膨胀的，因而压强下降dp，密 度下降dρ，速度则增大了dV，这类马赫波便称为膨胀波。
二、马赫波
1、在二维超声速流场中，马赫波在xy平面上的投影为两 条相交的直线，称为马赫线，如下图所示。位于ox轴上方的 一条马赫线om称作左伸马赫线，位于ox轴下方的一条马赫线 om 称作右伸马赫线。所谓左伸马赫线就是相对于一个面向 下游的观察者来说，它是以向左的方向奔向下游；而右伸马 赫线则是以向右的方向奔向下游。
2、应该指出，如果超声速来流速度沿y方向为不均匀的 分布，由于当地马赫角μ随当地Ma数是变化的，故马赫线为 曲线形状。如图所示。如果由直壁起，沿y方向气流速度渐 增，那么马赫线必定凸向未经扰动区域（图a）；反之，如 果由直壁起，沿y方向气流速度是渐减的，那么马赫线就凸 向扰动区域（图b）。如果流场中流速是更复杂些的非均一 的分布，那么马赫线也必是更复杂的形状。
Ma数（或 数）的函数，而Ma数又与气流的转折有关。下
面首先导出气流的方向角（ ）和Ma数（或 数）之间 的关
系，然后再确定波后其他气流的参数。
导出过程略，只写公式
(Ma) C1
式中：为气体流动的方向角，即气流速度方向对于x轴正向
的倾角，并规定反时针方向为正，顺时针方向为负。
稳定不动，关于这一特点很重要。
弱扰动在超声速气流中不能传遍整个流场，这是超声速 气流与亚声速气流的一个重要差别，这种差别使两种气流的 流动图形有本质的不同。图4-2表示亚声速直匀流流过机翼 时的情形，物体放在气流中就造成了扰动，在亚声速流中， 物体所造成的扰动能逆流传播，影响到物体前方的气流，使 流线偏转，气流参数相应地有所变化。
1）假设超声速直匀流沿外凸壁AOB流动，壁面在O点向
外转折一个微小的角度 d（如右图所示）。由于壁面的微小
转折，使原来平行于AO壁的超声速气流的参数发生了微小的 变化，即受到微弱的扰动。
因此，在壁的转折处（即扰动源 ）必产生一道马赫波OL，与来流方 向的夹角为
arcsin 1
Ma
由于壁面转折产生的扰动，只能传播到波OL以后的区域 ，而不能传到波OL之前，因此在波OL之前的气流参数不变， 而在气流流经波OL之后，参数值发生一个微小的变化，这一 点从图中可以很容易看出来。设来流流管截面积为A，从图中 的几何关系可知（设垂直于xOy平面的宽度为单位长度）
假设超声速气流流经马赫波OL为绝热等熵流动，于是在 绝热等熵流动的条件下，超声速气流在流管截面积增大时， 气流速度（或Ma数）增大，压强、密度相应地降低。因此， 超声速气流流经由微小外折角所引起的马赫波OL，气流加速 ，压强和密度下降，这种马赫波为膨胀波。
2）现在设想超声速气流在图4-7上的O点外折了一个微
A、B相当于两个扰源，产生两束扇形膨胀波，
气流穿过膨胀波后，压强降为 P1=Pa，相应的马赫数增大到Ma2
，且气流方向向外折转一个 角
度，这种现象在喷管射流中常会 遇到。
二、膨胀波的计算
气流通过膨胀波是绝热等熵过程，所以在膨胀波前后，气
流总参数（ 、p0 、T0）不变0 ，静参数（P、T、 ….）只是
小的角度d1 之后，在 O2、 O等3 一系列点，继续外折一系列微 小的角度 、d2 、d…3，各膨胀波与该波前气流方向的夹角为 、 、1 、…2 。由3式（4-1）
1

arcsin
1 Ma1
2

arcsin
1 Ma2
注意到气流每经过一道膨胀波，
3

arcsin
1 Ma3
…
Ma数都有所增加，
圆锥的母线与来流速度方向之间的夹角成为马赫角，用 符号μ来表示。马赫角μ的大小，反映了受扰动区域的大小 。如图d所示的几何关系中可以看出马赫角μ与马赫数Ma间 的关系
sin


a V
或M1a
arcsin 1
Ma
因此，马赫角μ是由气流的Ma数决定的，Ma数越大，
则μ角越小；反之，Ma数越小，则μ越大。Ma=1时，μ=90° ，这就是图4-1（c）所示的情况。因为 ，因si此n当M1 a<1
即 Ma1 < Ma2 < Ma3
故 1 2 3
这些膨胀马赫波与波前气流的夹角
越向后越小，因此，它们在壁面外绝
不会相交。
3）定义：根据极限的概念，曲线可以看成是由无数段 微元折线所组成。因此，超声速气流绕外凸曲壁流动的问题 与上述问题在本质上是相同的，只是这时曲壁上每一点都相 当于一个折点。因此，自每一点都发出一道膨胀波，气流经 过每一道这样的膨胀波，参数都产生一个微小变化。并且转
（2）v<a (Ma<1)，①扰动源发出的弱扰动波仍然是一系 列球面，但是，②因为气体在流动,就带着扰动波向下游移动 ，因而扰动波的中心不是固定在扰动源o点，而是随着气体 在移动。经过一秒钟，扰动波中心移至o1。点o和o1间的距 离为V。经过两秒钟，扰动波中移至o2点。点o和点o2间的 距离为2V，以此类推。③因为v<a，(下图）弱扰动波在各方 向上传播的绝对速度不再是声速 ，顺流方向传播速度为a+v ，逆流方向传播速度为a-v，其他方向上的传播速度则介于 a+v和 a-v之间。
（4）v>a，此时扰动不仅不能逆流前传，并且被限制在 一定的区域内传播。从o点发出的扰动波在第一秒末、第二 秒末、第三秒末……所达到的位置如下图所示：
o1o2o3o4它们与点o的距离， 分别为V、2V、3V…。因此，弱 扰动在超声速气流中的传播区域 被限制在以扰动源O为定点的一 系列气球的公切圆锥之内，扰动 永远不能传到圆锥之外，也就是 说，受扰动和未受扰动气体的分 界面是一个圆锥面。这个圆锥称 为弱扰动锥，又称为马赫锥。圆 锥面成为弱扰动边界波或称马赫 波。
A OD sin
此流管经过波OL后，截面积为
A dA OD sin( d )
式中：d是流线方向角的变化（即气流转折角），并规定
逆时针方向转折为正，顺时针方向转折为负，在图所示的
情况下， d，故0角
sin( d ) 故sin
BO。L因 为 d
A dA A
微弱扰动指的是气体参数发生微小变化的扰动，又称为 小扰动。小扰动的传播速度只取决于气体的性质及状态参数 ，而与何种扰源及其成因无关。由于声波是最易被人感觉到 的一种微弱扰动的传播，习惯上就将小扰动相对于气体的传 播速度称为声速。
由流体力学基础知识，弱扰动相对于气体是以声速向周 围传播的。本节将研究弱扰动在气流中的传播规律，特别是 在超声气流中的传播规律。
O2
AO1B
O2B
超声速气流绕外钝角流动的主要5个特点是： （1）超声速来流为平行于AO1壁面（上图）的定常直匀流
，在壁面转折处必定产生一扇形膨胀波束，此扇形膨胀波束 是由无限多的马赫波所组成。
（2）气流每经过一道马赫波，参数只有无限小的变化，因 而经过膨胀波束时，气流参数是连续的变化（例如速度增大 、压强、温度、密度相应的减小）。显然，在不考虑气体粘 性和与外界的热交换时，气流穿过膨胀波束的流动过程为绝 热等熵的膨胀过程。
（3）气流穿过膨胀波束之后，气流将平行于壁面O2B流动 ，即气流方向朝着离开波面的方向流动。
（4）沿膨胀波束中的任一条马赫线，所有的气流参数均相 同，而且马赫线都是直线。
（5）对于给定的起始条件，膨胀波束中的任一点的速度大 小只与该点的气流方向有关。
应该指出，超声速气流产生膨胀波束不只限于沿外凸壁 的流动情况，在其他一些情况下，也会产生膨胀波。例如： 从平面超声速喷管射出的超声速直匀流（下图），如果在出 口截面上气流的压强P1高于外界压强Pa的话，气流一出口必 继续膨胀，直到射流边界上气流压强恰好等于Pa为止，否则 射流边界上的压强就无法平衡。这时，喷管出口的上下边缘
本章主要研究膨胀波和激波的产生、性质和它们的计算 方法，给出膨胀波和激波前后气流参数的关系式；讨论膨胀 波之间、激波之间以及膨胀波与激波之间的相交和反射等规 律。
4.1 弱扰动在气流中的传播
一、小扰动与马赫锥
由于物体的存在或运动（称为扰源）而使流场诸参数发 生了变化，则说流场受到了扰动。由于气体是可压的，在某 处受到的扰动就要以有限速度向四面八方传播。
时则上式没有意义。
由图（d）看出，将气流速度V分解为垂直于马赫锥面和
平行马赫锥面的两个分量Vn和Vt，则
Vn
V
sin

V
a V

a
即垂直于马赫锥面的气流分速等
于声速。而马赫波（即弱扰动边界
波）在气体中沿垂直波方向以声速
向外传播，这个传播速度正好与气
流在该方向上的分速Vn大小相等， 方向相反，所以马赫波能在气流中
图4- 2 亚声速直均流流过机翼
下图表示超声速直匀流流过一个微锥体时的情形。物体 所造成的弱扰动不能逆流传播，仅限于马赫锥范围以内，在 马赫锥以外，气流参数不发生任何变化，当穿过马赫波时， 气流参数发生无限小的变化。
上面讨论的是三维超声速流动的情况。如果弱扰动源(下 图）是一个半无限展长（展长与z轴相平行）的微楔形物， 则当超声速直匀流流过此物体时，受扰动区域和未扰动区 域的分界面（即马赫波）是个楔面。显然，这是一个二维 超声速流动的问题。