二项式公式大全

1 0 k 1 1 0 k 2 1 k－1 2 k k 1 Ckr 1 Ckr Ckr C a ( C C ) a b ( C C ) a b ... C 1 k 1 k k k k kb
k 1 1 k 1 k－1 2 k 1 k 1 C0 a C a b C a b ... C k 1 k 1 k 1 k 1b
所以当n=k+1时也成立。由数学归纳法知，等式对一切n∈N﹡成立
二项式定理
n 0 n n 1 n n－1
（a＋b） ＝C a ＋C a
二项展开式的特点 ①项数：共n＋1项
b＋C a
2 n
n－2
b ＋ ＋C b
2 n n
n
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n ③系数：第r＋1项的二项式系数为
4
化 简 后 再 展 开
C (3x) C (3x) C (3x) C ]
1 4 3
1 4 3 2 2 (81x 108 x 54 x 12 x 1) x
12 1 81x 108 x 54 2 x x
2
2 4
2
3 4
4 4
例题讲解 4、今天是星期四，那么 的这一天是星期几？
r Cn （r=0,1,2….n）表示为二项式的系数
二项式定理
二项展开式的通项
Tr＋1＝C a
r n
r n
n－r
b
r
r
注意：①区别二项式系数与对应项的系数：二项式系数特指 C n 与a,b r 无关。而对应的项的系数不仅与 C n 有关也与a,b的值有关。
例如
1 2 x
n
其第r+1项为
Tr＋1＝C 1
8
100
天后
8
100
（7 1）
C 7
0 100 100
100
C 7 C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r 100 r 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期五
总结
二项式定理 n 0 n 1 n -1 2 n- 2 2 a b Cn a Cna b Cn a b
2
2 2
(a b)
100
？
二项式定理的探索
（a b) a b
1
（a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b 4 4 3 3 2 2 4 （a b) a a b a b ab b n n -1 n-2 2 n n n -1 （a b) a a b a b ab b
n n 1 n -1 r n -r r n n （a b) C0 b Cn b n a Cn a b Cn a
(2)令n k时，等式成立，即
k k 1 k－1 2 k－2 2 k k （a＋b） ＝C0 a ＋ C a b ＋ C a b ＋ ＋ C k k k kb k 1 那么（a＋b） (a b)(a b) k
k 1 k－1 2 k－2 2 k k (a b)(C0 a ＋ C a b ＋ C a b ＋ ＋ C k k k kb )
k 1 k－1 2 k－2 2 k k a (C 0 a ＋ C a b ＋ C a b ＋ ＋ C k k k kb ) k 1 k－1 k－2 2 k b(C 0 b＋C 2 b ＋ ＋C k k a ＋C k a ka kb )
3 3 2 2 3
二项式定理的探索
3
（a b) (a b)(a b)(a b)
C a C a b C ab C b
0 3 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3
a
3
ab
2
ab
2
b
3
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
二项式定理的探索
（a b) C a C b
1 2
（a b) C a C ab C b 3 2 3 3 （a b) C a C a b C ab C3b
2 2 2 2 3
0 1 1 0 2 2 0 3 3
1 1 1 1 2 1 2 3
（a b) C a C a b C a b C ab C b
C
r n （r＝0，1，2，…，n）
C
r n
二项式定理
二项展开式：定理中右边的多项式
C a ＋C a
0 n n 1 n n－1
b＋C a
2 n
n－2
b ＋ ＋C a
2 r n
n－r
b ＋＋C b
r
n n
n
二项展开式的通项
Tr＋1＝C a
r n
n－r
b r=0,1,2,…n.
rຫໍສະໝຸດ Baidu
表示展开式的第r＋1项
Tr 1 C x ( x ) r r r 8 r 2 (1) C8 x x
r
1 2
(1) C x
r r 8
8 3 r 2
3r 由8 5可得r 2 2
x
5
( 1) C 28
2 2 8
n－r
2x
r
二项式系数 ②区别
Crn
其对应项系数为
n
Crn 2r
a b
的第r+1项
n－r r Tr＋1＝Cr a b n
r n－r r T ＝ C a b a 的第r+1项 r＋1 nb
n
所以应用二项式时，a与b不能交换位置
二项式定理
公式变形：
（a－b） ＝ C a －C a
n
0 n
n
1 n
n－1
b＋C a
n n n
2 n
n－2 n
b － ＋
2
（－ 1 ） Ca
r
r n
n－r
b ＋＋（－ 1 ）C b
r
r
r n－r r 通项公式 Tr＋1＝ 1 Cna b
例题讲解 4 1 的展开式 例1 求 3 x x
4
1 3x 1 1 0 4 3 x 2 [C4 (3 x) 解： 2 x x x
二项式定理
马平江
问 题
今天是星期四，那么
（1）7天后的这一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢？ (3)如果是24天后的这一天呢？
（星期四）
（星期五）
（星期天）
(4)如果是 8100 天后的这一天呢？
回 顾
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b
4 0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3
n
4 4 4
n 1 n -1 r n -r r n n （a b) C0 b Cn a b Cn b n a Cn a
二项式证明
应用数学归纳法证明
1 (1) 当n 1时，左 a b a b C10a C1 b 右，所以等式成立 1
C ab
n -1 n n -1
C b
n n n
二项式展开的通项
Tr 1 C a b
r n n-r
r
第
r 1 项
p37 2题（2）。3题(1)。4题（1）（2） 作业：
例题讲解
例3(04全国卷)
1 8 (x ) x
r 8 8 r
的展开式中
x
5
系数为__________
解：设第r+1项为所求项