第8章 回归分析预测法

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从表中可知，x和y呈现线性规律，设回归线
性方程为： ŷi=a+bx (1) 由(1)可得到x和y之间的定量关系表示为： ˆ i ei yi a bxi ei y (2)
其中ei 随机误差， 是一个均值为0方差为 2的随机变量。 即服从正态分布， ei ~ N (0, 2 ); i 1， 2， ，n
结婚人数
家电产品的销售量
2、确定一元回归预测模型参数a,b。 其中：
yi xi b y bx a n n n x y x y x y nx y b i i i i i i 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i
可见， 0 r 2 1，则r计算式为： r S余 S回 1 1 S总 S总
2 ˆ ( y y ) i i 2 ( y y ) i
（2）
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判断r显著性 ① 按（1）或（2）求出r ②选择α ③从相关系数临界表中查出rc 当r»rc,时，x和y高度相关。 回归方程的精度分析
其中：(2)中： a 和b—回归系数 ；a—截距;b—斜率。
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二 、回归参数估计
由一组观察值画出散点图，如图所示，这样
的直线可画出很多条，而回归直线只有一条， 因为只有回归直线最接近实际观察值。要拟 合一条最理想的回归直线，就要确定a和b。 确定a和b的方法有多种，其中应用最多的是 最小二乘法。
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回归分析预测法的步骤 1、确定预测目标和影响因素 市场预测的目标是因变量，研究者可根据预
测的目的来确定。例如，以未来5年小家电需 求为目的的市场预测，它的因变量就是未来5 年小家电的需求量。
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2、进行相关性分析
对变量之间的相关关系进行分析。这一过程
主要包括两个方面： ①确定变量之间关系，即确定变量之间是否 存在不具有数值对应关系的确定依存关系。 换句话说，当自变量的确定值为x，与其对应 值为y。这是回归分析法预测的前提。 ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关 分析的主要目的和主要内容。
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经济学家经研究发现，生物界的这种现象，在 经济领域中也存在这种现象，例如，证券市 场的任何一支股票，无论是牛市或熊市股票 的价格都向着平均价格回归。也正因为如此， 回归分析在许多领域中都得到了广泛的应用， 并且取得了很好的效果。
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第一节 回归分析预测法的概述
回归分析预测法是在分析因变量与自变量之
n
n
n
i
0
（ 6）
yi na b xi 由（5）得：
x y ax x bx
i 1 i i i 1 i i 1 i
n
n
n
i
0
2
xi yi a xi b xi
（ 7）
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由（6）、（7）解得a,b分别为：
yi xi b y bx a n n n xi yi xi yi xi yi nx y b 2 2 2 2 x n x n x ( x ) i i i xi 其中：x —自变量的平均值； n yi y — 因变量的平均值。 n
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下面是1980年以来人平均收入和人平均消费支出的七 组数据，见表
年 份
1980 1981 1982 1983
人均收入 （元）x
480 510 545 590
人均消费 （元）y
420 450 490 530
年 份
1984 1985 1986
人均收入 （元）x
640 780 760
人均消费 (元）y
（8 ）
即由
Q ei min
2 i 1
n
,求得的a, b称为最小二乘法.
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三、回归方程的显著性检验
a和b求出之后，在理论上来说线性回归模型 就应确定了，但在实际应用中，并非如此。由 于在实践中，经常是资料不全，由（8）确定 的a和b就会有所不同。因此，为了避免这种情 况出现的过大误差，在允许误差的情况下，必 须在a和b求出之后，进行可靠性检验。其方法 如下：
S回 / m 其表达式为：F S余 （ / n m 1）
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将通过上式计算F的值，与F分布表查到的Fc
临界值比较，从而判断回归方程是否具有显 著性。 ①当 F> Fc (α,m,n-m-1)，则回归方程与实际 直线方程拟和的程度好，x和y之间的变化是 符合回归模型； ②当F ≤ FC(α，m,n-m-1)时，则回归模型与 实际直线方程拟和程度不好，x和y之间的变 化不符合实际直线的变化，预测模型无效。
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其中： ( x0 x ) 1 t / 2,( n m1) S y 1 n ( xi x ) 2
2
式中：t / 2,( n m 1) — 在 / 2显值；
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应用1 某地区1988~1994年结婚人数与某家电产品销 售额如表所示，假定1995年该地区的结婚人 数将达74百对，试预测同时期年该家电产品 的销售额。 表
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ˆi y
( xn , yn )
( xi , yi )
( x1 , y1 )




( x2 , y2 )
回归直线
t
回归直线的散点图
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最小二乘法
设任意一个回归值 ŷi实际观察yi 之间存在的误差 n 为ei ，令 Q ei 2 min 则有:
i 1
ˆ i ) ( yi a bxi ) min Q ei ( yi y
并将有关计算a,b的数据填入表中
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调查资料数据和回归计算数据表
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 n=7 结婚人数 销售额 Xi(百对) Yi(百万元) 47 40 43 55 66 72 70 ∑=393 40 35 37 44 55 58 56 ∑=325
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1、离差平方和的分解
总变差：
Lyy yi y
2
2 2
ˆ i y ˆi y yi y Q1 Q2 Q余 Q回
称：Q1剩余变差，或残差平方和 Q2为回归变差
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显著性检验
①回归方程F显著性检验； ②相关系数r显著性检验。
F检验 检验方程中：y=a+bx 中的a,b是否能够描述收 集到的数据反映的规律，
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5、预测
一是点预测，二是区间预测。 点预测：就是所求的预测值为一个数值。 区间预测：所求的预测值有一个数值范围。
通常要用正态分布的原理估计其标准误差， 求得预测值的置信区间[ŷ0-δ, ŷ0+δ]。
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第二节 一元线性回归方程分析法
一、一元线性回归模型
（Element Linear Regression Model） 我们知道经济变量之间通常存在着各种各样的相互关 系。例如，收入和消费；价格与需求量之间，都有一 定的关系。就收入与消费的关系而言，一般来说，收 入高，消费支出就高；就价格与需求而言，价格越高， 需求量就越少。
x² i
2209 1600 1849 3025 4356 5184 4900 ∑=23123
y² i
1600 1225 1369 1936 3025 3364 3136 ∑=15655
xiyi
1880 1400 1591 2420 3630 4176 3920 ∑=19017 28
由表中的数据计算a,b
2 2
2
S总 S yy ( yi y ) yi 325 2 11565 565 .71 7
( yi ) n
2
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∴S回=S² /1058.86=560.77,m=1 XY/Sxx=770.57² S余=Syy-S² XY/SXX=565.71-770.57²’1058.86=4.94 n-m-1=7-1-1=5, S总=Syy=565.71，n-m-1=7-1=6,
年份 结婚人数 X(百对) 销售额y (百万元)
1988 47 40 1989 40 35 1990 43 37 1991 55 44 1992 66 55 1993 72 58 1994 70 56 26
解：1、画散点图。如图 由图可知：结婚人数与 家电产品的 销售量呈线性关系，故可用一元线 性回归模型进行预测。
b=0.73的经济含义是该地区结婚人数每增加1 百对，该家电销售额将0.73百万元。
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3、模型检验

(1)方差分析
x y
i i
S xy xi yi
2
S xx xi
( yi ) n
n
393 325 19017 770 .57 7
2
393 23123 1058 .86 7
Market survey & Forecast 市场调查与预测
(8)
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第八章 回归分析预测法
回归分析起源于生物学的研究。英国的著名生 物学家达尔文在19世纪末，发现了一个非常 有趣的现象，父亲身材高大的，其子也比较 高大，父亲矮小的，其子也比较矮小。即父 亲的身高与儿子的身高之间有密切的关系。 在大量的研究资料中，又发现身高有一种向 平均身高回归的倾向，这种身高倾向平均数 的现象称为回归（Regression）。
b n x i y i x i y i n x i ( x i ) 2
2 i
7 19017 393 325 0.73 2 7 23123 393
y a n
x b n