直线与圆锥曲线的综合应用

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y ，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 过点)23,1(，且离心率21
=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1
(G ，求
k 的取值范围。

解：（Ⅰ）Q 离心率2
1=e ，2213144b a ∴=-=，即22
43b a =（1）；
又椭圆过点)2
3,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，2
3b =，椭圆方程为22143x y +=。

（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y
由22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222
(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，
2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)
由韦达定理得：2121222
8412
,3434mk m x x x x k k -+=-=++， 则2000
222
443,343434mk mk m
x y kx m m k k k =-=+=-+=+++，
直线AG 的斜率为：22232434413234348
AG
m
m k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：2
2413234m k mk k
=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得222
34()438k k k +<+，即2
1
20
k >
，则1010k k ><-。

题型：动弦过定点的问题
例题5、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系。

解（I ）由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>
3,1a c a c +=-=，2
2,1,3a c b ===22
143
x y ∴+
= （II ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
3412y kx m
x y =+⎧⎨
+=⎩
得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->
2121222
84(3)
,3434mk m x x x x k k
-+=-⋅=++（注意：这一步是同类坐标变换） 222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的
变换）
Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，
1212122
y y
x x ∴
⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，
222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --+++=+++，
2271640m mk k ++=，解得1222,7
k m k m =-=-
，且满足22
340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当27k m =-
时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
练习2（2009辽宁卷文）已知，椭圆C 以过点A （1，3
2
），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出
这个定值。

解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A 的坐标代入方
程： ，解得 ， （舍去） 所以椭圆方程为 。

（Ⅱ）设直线AE 方程为：3
(1)2
y k x =-+，代入22143x y +=得 2223
(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3
(1,)2
A 在椭圆上，所以
22
3
4()12
2x 34F k k
--=+ 3
2E E y kx k =+- ………8分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
22
3
4()12
2x 34F k k +-=+，3
2E E
y kx k =-++ 所以直线EF 的斜率()21
2
F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=
==--
即直线EF 的斜率为定值，其值为
1
2。

……12分 题型：共线向量问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。

此类问题不难解决。

例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。

221914(1)
a a +=-24
a =22114
a c =<=22
143x y
+=
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r
\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即 1
21
23(3)x x y y l l ì=ïïí
ï=+-ïïî 方法一：方程组消元法又Q P 、Q 是椭圆29x +2
4
y =1上的点
\22222222
194()(33)19
4x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî 消去x 2，可得222
222(33)14y y l l l l +--=-即y 2=135
6l l
-
又Q －2£y 2£2，\－2£
135
6l l -£2解之得：155λ≤≤
则实数l 的取值范围是1
,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，
由22
34936
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩消y 整理后，得22
(49)54450k x kx +++= Q P 、Q 是曲线M 上的两点，22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥
即2
95k ≥ ① 由韦达定理得：121222
5445
,4949k x x x x k k
+=-
=++ 21212
1221()2x x x x x x x x +=++Q 222254(1)45(49)k k λλ+∴
=+ 即2222
36944
15(1)99k k k λλ+==++ ②
由①得211095k <
≤，代入②，整理得236915(1)5λλ<≤+，解之得1
55
λ<<
当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15λ=。

总之实数l 的取值范围是1,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，
纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

（07福建理科）如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，
且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知12,MA AF AF BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，求12λλ+的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：
（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r
g
g 得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--g g ，，，，，化简得2:4C y x =.
（Ⅱ）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠. 设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
，
， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，
，消去x 得：2440y my --=，2
(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．
由1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r
得：
1112y y m λ+
=-，2222
y y m
λ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--
+ ⎪
⎝⎭
121222y y m y y +=--g 2424m
m =---g 0= 解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g
g 得：()0FQ PQ PF +=u u u r u u u r u u u r
g ， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=u u u r u u u r u u u r u u u r g ，22
0PQ PF ∴-=u u u r u u u r ，PQ PF ∴=u u u r u u u r
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2
4y x =.
（Ⅱ）由已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r
，得120λλ<g
.
则：1
2
MA AF MB BF
λλ=-
u u u r u u u r
u u u r u u u r .…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，
则有：11MA AA AF MB BB BF ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .…………②由①②得：1
2
AF AF BF BF
λλ-
=u u u r u u u r
u u u r u u u r ，即120λλ+=. 题型：面积问题
练习2、（山东06文）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上， 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时， 求直线l 的方程。

解：设椭圆方程为).(0b a 1b
y a x 22
22>>=+
（I ）由已知得 2
222c b a 4
c 2a c
b +=== ⇒ 1
c 1b 2
a 2
2
2=== ∴所求椭圆方程为.1y 2x 22=+ （II ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为2kx y +=，),(),,(2211y x B y x A
由 1
y 2
x 2
kx y 2
2
=++=消去y 得关于x 的方程：068kx x 2k 12
2=+++)(
由直线l 与椭圆相交A 、B 两点，∴△02k 12464k 02
2>+-⇒>)(，
解得2
3k 2
>，又由韦达定理得 2
212212k 16x x 2k 18k
x x +=
⋅+-
=+
2
12
212
212
x 4x x x k
1x x k 1AB -++=-+=∴)(
2416k 2k 1k 122
2-++=
.
原点O 到直线l 的距离2
k
12d +=
2
222ADB
2k
132k 222k 12416k d AB 21S +-=+-=⋅=∴∆
解法1：对2
22k 124
16k S +-=两边平方整理得：
024S k 4S 4k 4S 2
2
2
4
2
=++-+)( （*） 0S ≠Θ，
∴ 04S
24
S 0
S S -40
24S 4S 44S 162
22
2
2222>+>≥+⨯--)()(整理得：.2
1
S 2
≤
又0S >，22S 0≤<∴. 从而AOB S ∆的最大值为2
2
S =
， 此时代入方程（*）得
2
14
k 0
4928k 4k 24±
=∴=+-
所以，所求直线方程为： 042y x 14=+-±. 解法2：令)(0m 32k m 2>-=
，则3m 2k 22+=，
222m 4m 224m m 22S 2
≤+=+=
∴.当且仅当m 4
m =即2m =时， 22S max =
此时2
14k ±=.所以，所求直线方程为 042y x 14=+-±. §8.4 直线与圆锥曲线的综合应用
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为( )
A ．b 2
B ．ab
C ．ac
D ．bc
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF |
|BF |的值
等于( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
4．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1 (m >0)，如果直线y ＝2
2x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦
点F ，则m 的值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．8 D ．2 3
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，
则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．以上情况都有可能 二、填空题(每小题6分，共24分)
6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2
m
＝1恒有公共点，则m 的取值范围是__________．
7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为____________．
8．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于A ，B ，C 三点，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．
9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1、A 2、B 1、B 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F
为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为__________． 三、解答题(共41分)
10．(13分)设AB 是过椭圆x 25＋y 2
4＝1的一个焦点的弦，若AB 的倾斜角为60°，求弦AB 的长．
11．(14分)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A 、B 两点，若另有一条直线l 经过P (－2,0)及线段AB
的中点Q .
(1)求k 的取值范围；
(2)求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．
12．(14分)已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为1
2
.
(1)求椭圆P 的方程；
(2)是否存在过点E （0，-4）的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OT OR •＝16
7.若存在，求直线l 的方程；若不
存在，请说明理由． 答案
1. D
2. C
3. C
4. B
5. B
6. m ≥1且m ≠5
7. y 2＝±8x
8. y 2＝3x
9.27－5
10解 依题意，椭圆的一个焦点F 为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，
代入4x 2＋5y 2＝20，得19x 2－30x －5＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝3019，x 1x 2＝－5
19.
∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝
(1＋3)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫30192－4×⎝⎛⎭⎫－519＝32519
. ∴弦AB 的长为325
19
.
11. 解 (1)将y ＝kx －1代入双曲线方程x 2－y 2＝1，
化简，整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.
由题设条件⎩⎪⎨⎪⎧
4k 2＋8(1－k 2)>0，
－2k 1－k
2<0，
－21－k 2
>0
⇒－2<k <－1.
(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22＝k k 2－1，y ＝1
k 2－1
，
∴直线l 的方程为y ＝1
2k 2＋k －2(x ＋2)．
令x ＝0，得b ＝22k 2＋k －2＝2
2⎝⎛⎭⎫k ＋142－17
8
.
∵－2<k <－1，u ＝2k 2＋k －2在(－2，－1)上为减函数，∴－1<u <2－ 2. 又u ≠0，∴b <－2或b >2＋ 2.
12. 解 (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，
由题意得b ＝23，e ＝c a ＝1
2
，
∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，c 2＝4，c ＝2，a ＝4，
∴椭圆P 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)假设存在满足题意的直线l .
易知当直线l 的斜率不存在时，OR OT u u u r u u u r
g
<0不满足题意． 故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，
R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)．
OR OT u u u r u u u r Q g ＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －4x 216＋y 212＝1
，得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0， 由Δ>0得，(－32k )2－4(3＋4k 2)×16>0，
解得k 2>1
4
.①
∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝
16
3＋4k 2
， ∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16，
故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝16
7，
解得k 2＝1，②
由①②解得k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±x －4. 故存在直线l ：x +y +4=0或x -y -4=0满足题意.。