多面体的截面(一)

多面体的截面（一）
黄继红
一、教学分析
按课标，“多面体的截面”要求学生会作长方体的截面（如截面过已知不共线的、位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据）。

按教材，“多面体的截面”是对点、线、面的位置关系在认识上的深化和提高，又是为后继几何体的体积学习作准备。

“多面体的截面”定义在课本中仅以“小字”形式作为注意点呈现，例题的截面作法也仅用“交线法”。

我认为：我们松江二中的学生对这个内容的学习不应该仅停留在理解概念、巩固练习的层面，更应该把它上升为探究性理解水平的层次。

基于以上认识，我确立“正确理解多面体的截面概念，体会作多面体截面的基本方法——连延交”作为本课的主要目标。

在设计思路上我以“明线”和“暗线”同时进行、不断贯穿“转化”思想来组织教学，这样可以进一步体验概念学习的过程，还能在各个环节上逐步体会“连延交”的基本方法。

在问题设计上我采取“反复变式”、“层层递进”、“制造认知冲突”等手段突出本课重点、突破本课难点。

又考虑到我校学生已经较好地掌握公理4和面面平行的有关知识，所以本课我在重点突出“连延交”基本方法的同时，适当渗透“平行线法”，这样可以更好地完善学生的认知结构。

明线：形成概念理解概念巩固应用
→→
暗线：
关于课时安排。

“多面体的截面”分为2课时完成，本课为第1课，仅以“正方体”为载体设计教学目标、重点和难点。

第2课安排以棱锥、三棱柱、长方体为例，进一步巩固多面体的截面作法，并说明截面分多面体为怎样的两个多面体、画出这两个多面体的直观图。

二、教学目标
⑴通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念。

⑵通过正方体的截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”。

⑶经历作正方体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力。

三、教学重点 截面的概念及作法
教学难点 如何“连”
四、教学过程
1、形成概念
引例 如图正方体ABCD A B C D ''''-，请画出由点
A '、、确定的平面C 'D α与正方体表面的交线。

变式1 点位于棱P DD '上，请画出由点A '、 C '、
确定的平面P α与正方体表面的交线。

变式2 点位于正方体的面P AA D D ''上，请画出由点
A '、、确定的平面C 'P α与正方体表面的交线。

变式3 请画出由点、 A 'C '、A 确定的平面α与正方体表面的交线。

设计意图：以“引例和变式1”带动公理2的复习，体会确定“平面α与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面α的两个公共点”的方法；通过“变式2” 中“连A P '并延长A P '与交于点Q”，初步渗透“找到正方体的棱与平面'D D α的公共点”是转化为“寻找平面α与正方体的另一个表面公共点”的关键；通过“变式3”的解决，带动两平行平面性质的复习，初步体会确定“平面α与正方体两平行表面的交线”可以由“平行线法”而得。

通过以上4例归纳平面α与正方体表面的交线围成的三角形或四边形，感知平面截正方体的截面的概念。

2、理解概念
平面截多面体的截面定义
多面体的截面特点
设计意图：引导学生从“平面截正方体的截面的概念”出发，自己尝试定义“平面截正方体的截面”。

在同学相互讨论的过程中完善定义，培养学生抽象概括能力。

通过“多面体的截面特点”的揭示和证明，进一步体会概念内涵，培养学生的逻辑推理能力。

如：截面多边形的顶点是截面多边形两邻边的交点，而两邻边在多面体的两个相邻面上，因此交点是两个相邻面的公共点，所以顶点在两个相邻面的交线上，即截面多边形的顶点一定在多面体的棱上。

3、举例应用
变式4 点位于棱上，请作出由点P AD A '、
C '、确定的平面P α截正方体ABC
D A B C D ''''-的截面。

变式5 点位于棱上，点Q 位于棱P AD A B ''
上，请作出由点、、确定的平面P Q C 'α截正方
体的截面。

多面体的截面作法
设计意图：问题变式“由易到难”——符合学生认知规律。

故意连“变式4”中的C ，让学生判断'P A 'C 'P 是否为所求截面，通过“制造认知冲突”，加强学生对概念的深入理解。

然后启发学生再次感受 “延”的必要性，体会转化思想，突破本课难点。

通过“变式4”两种方法的解决，初步体会“平行线法”和“交线法”的应用和统一性，说明截面作法的不唯一，但截面是确定的，完善学生认知。

通过“变式5”学生板演，比较“平行线法”和“交线法”的优劣，总结体会“连延交”方法的可操作性，从而突出本课重点。

4、巩固练习
作出过点、、P Q R 的平面α截下列正方体
ABCD A B C ''-D ''的截面。

设计意图：通过自主研究与小组交流，进一步巩固截面的作法和深化截面概念的理解。

5、问题思考
如图，作出过点P 、、Q R 的平面α截正方体
ABCD A B C D ''''-的截面。

设计意图：通过变式的层层深入，为学有余力的同学提供探究学习的空间。

6、归纳总结
设计意图：突出重点、及时整理；生生互动，让学生在同学发言时，同时受到启发。

7、布置作业 课本P30 1、2
练习册P24 5、6
五、教后反思
1、紧扣课本，但又不死扣课本
“多面体的截面”概念在课本中仅以“小字”形式作为注意点呈现，但是我认为：作为实验性示范性高中的我校学生，应该有一个感知、形成概念的过程。

这样一方面容易理解和掌握概念，另一方面能感受具体到抽象的概念学习方法，培养观察、分析和抽象概括的能力。

课本和课标虽然仅以平面的基本性质为画图依据作为要求，但是我在重点突出“连延交”基本方法的同时，适当渗透“平行线法”，这样的教学设计能更好发展“元认知”。

我以课本例1作为引例，然后由“三点全位于正方体的顶点”→“三点中两点位于正方体的顶点” “三点中一点位于正方体的顶点” “三点都不在正方体的顶点”、由“三点中有三条线可连” “三点中有两条线可连” “三点中有一条线可连” “三点中无一条线可连”的问题设计，符合从学生最近发展区组织教学的理念。

最后设计的问题思考，给学有余力的同学提供探究的空间。

我认为这样的处理，学生获得的双基扎实的又是深化发展的，而且学生的整个学习过程是愉悦的，能充分体会到学习的成功和快乐。

→→→→→2、主导和主体相结合，自主学习和合作交流相结合
自主探索与合作交流是《数学新课标》中提出的学生学习数学的重要方式。

教学实践也证明，在自主探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多。

在本节课实施中的每一个学习活动，都试图以学生个性思维，自我感悟为前提，多次创设让学生自主探索，合作交流的时间与空间。

通过学生和谐有效地互动，强化学生的自我意识。

我精心设计问题，以问题为中心组织教学，展示学生是感知和形成概念的主体；重视自主探究与合作交流
相结合，展示学生是研究作法的主体；应用实物投影，展示学生是巩固应用、感悟提高的主体。

本课从不同的角度和方面加深了学生对截面概念和作法的理解，提高他们的逻辑思维和数学语言的表达能力。

学生课堂上的反映热烈，回答问题踊跃，教学效果好。

3、不足
数学是一门滴水不漏的学科，许多直觉洞察的空隙必须要用逻辑推理来填补。

在数学解题中，运用归纳直觉，虽然是冒风险的，但仍然值得重视。

猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题。

在我们的数学教学中，培养学生进行猜想，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思维，掌握探求知识方法的必要手段。

如果在本课的问题研究过程中适当“引”学生大胆设问，让学生猜想问题的结论，可以推动其思维的主动性，激发学生逻辑思维与直觉思维的统一，那么这样能更好促进学生思维能力的培养。

六、专家点评
本课的问题设计非常精致，逻辑体系非常强，教学过程能充分体现教师主导和学生主体的作用，教学效果好。

（顾泠沅）
2009年4月28日。