论19世纪的逻辑学_在数学与哲学之间

第26卷　第5期2010年　5月

自然辩证法研究St udies in Dialectics of Nat ure Vol.26,No.5

May ,2010文章编号:1000-8934(2010)05-0008-06

论19世纪的逻辑学

———在数学与哲学之间

奚颖瑞

(浙江大学哲学系,杭州　310028)

摘要:19世纪的逻辑学处于数学与哲学之间:一方面,数学家在对传统逻辑的改革过程中形成了逻辑代数和数理逻辑;另一方面,哲学探讨热衷于逻辑学的性质、地位、基础等问题,由此形成了心理主义和反心理主义之争。这种状况从各个方面影响了20世纪的逻辑学、心理学和哲学的发展。

关键词:逻辑学;逻辑代数;数理逻辑;心理主义;反心理主义中图分类号:N031 文献标志码:A

收稿日期:2009-10-10

作者简介:奚颖瑞(1983-),浙江天台人,浙江大学哲学系外国哲学研究所博士生,研究方向:现象学与认知科学。

①本文中的逻辑学主要指形式逻辑。

逻辑学在亚里士多德那里是因哲学的需要而产

生的,并在此后的两千年里都被看作是哲学的一个部门。但是情况在19世纪发生了变化,与数学之间的联系变得越来越紧密,使得逻辑学开始处于数学与哲学之间:一方面,关于逻辑学的哲学探讨不关心细节和技巧上的改造,而是热衷于逻辑学的性质、地位、基础等问题,而且这种探讨又经常与心理学和认识论纠缠在一起;另一方面,对逻辑学的现实发展做出贡献的主要不是单纯的哲学家,而是数学家或具有数学背景的哲学家,他们在对传统逻辑的改革中形成了逻辑代数和数理逻辑。本文试图从这两个视角出发来概览当时的逻辑学状况①。

1　逻辑学与数学:逻辑代数与

数理逻辑的产生

乍看之下,19世纪的数学对逻辑学的影响是从两条相反的进路进行的:一是代数的发展,使得一些逻辑学家看到了把逻辑推理转变为逻辑演算、构建一门逻辑代数,从而把逻辑学纳入到数学之中的可能性;另一是在数学基础的争论中产生了用逻辑学来为数学奠基的逻辑主义路线,而这种奠基本身又引向了用人工语言来对逻辑学本身进行改革,从而促成了数理逻辑的诞生。

1.1　逻辑代数

莱布尼茨在17世纪就已经预见到了把逻辑推理转变为演算的可能性,他意识到概念的析取和合取与算术的加法和乘法之间存在着某些相似之处,

但是却没能精确地表达这种相似性并把它当作逻辑演算的基础。使得这种可能性转变为现实的是19世纪英国的数学家们,逻辑代数就是在他们的努力之下产生的。逻辑代数表面上是在改造逻辑,但其背后的主导观念却是一种代数观的改变:代数可以发展成为具有各种解释的抽象代数,数或量只是其中一种可能的解释而已,而一般地说,数学也不是关于量的科学。

19世纪初,在剑桥发起了一场志在改革英国科学和数学的运动,其标志是查尔斯・巴比奇(Charles Babbage ,1791-1871)、乔治・皮考克(George Peacock ,1791-1858)和约翰・黑什尔(John Herschel ,1792-1871)在1812年成立的分析学会(Analytical Society )。这个学会成立的最初目标是要在微积分中放弃本国的牛顿记号法,推广欧洲大陆的莱布尼茨记号法。尽管存在的时间很短(1812-1817),但是它激发了英国的数学家们对符号运算和代数的热情,并且持续了整个19世纪。在此需要提及几个人,他们对代数的看法影响了逻辑代数的产生:皮考克、邓坎・格里高利(Duncan F.Gregory ,1813-1844)、德・摩根(August us De Morgan ,1806-1871)、乔治・布尔(George Boole ,1815-1864)。

皮考克在思考负数问题的时候区分了算术代数和符号代数。算术代数是针对正整数的代数,当a

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“等价形式的持续原则”(t he principle of t he perma2 nence of equivalent forms),根据这个原则,在代数上等价的形式在用一般的符号表达出来之后,就必然是真的,而不管这个符号指称的是什么〔1〕21。由此,算术代数和符号代数的区别在于,前者优先强调符号的合法性,而后者则把优先性赋予了把符号结合在一起的运算。尽管如此,皮考克对代数的看法很大程度上仍然局限在数和量的领域中。

格里高利进一步发展了皮考克的思想,在“论符号代数的真正性质”(1840)一文中,他把符号代数界定为“这样一门科学,它处理的是这样一些运算结合,后者不是通过它们的本质,即不是通过它们是什么或它们做什么来界定的,而是通过它们所服从的结合规律来界定的”〔2)323。通过对运算结合规律的进一步强调,格里高利认为符号代数应当考虑非算术的,甚至超出于数和量之外的应用领域,它所使用的符号可以允许进行非数的解释。例如符号a和+ a在算术中是等值的,但是在几何中它们必须被解释为不同的:a可以表示一条线段,而+a则表示线段的方向。

与前两者相比,德・摩根在逻辑学上造诣要深得多,从而也更为明确地意识到了符号代数与逻辑之间的紧密联系:“我们必须从代数那里去寻找逻辑形式的最寻常的用法”〔2〕331。在19世纪的英国,他是把符号代数应用到逻辑分析之上的第一人,其主要著作有《形式逻辑》(1847)以及包括“论三段论IV 和关系逻辑”(1859)在内的一些论文。他第一次明确用公式表达了合取与析取的关系,即我们现在称之为德摩根律。并且,通过引入“谓词量化”理论以及对“关系逻辑”的研究,他使得逻辑学的内容大大超越了亚里士多德三段论的狭隘范围。

1847年,爱丁堡的威廉・汉密尔顿(William Hamilton,1788-1856)在学术刊物上宣布自己在谓词量化理论上具有优先权,并指责德・摩根剽窃了他的学说,从而引发了两人的争论。这场不愉快的争论的一个意外后果是引起了布尔对逻辑的关注,后者于同年写作了《逻辑的数学分析:朝向演绎推理的演算》,此书标志着逻辑代数的产生。布尔在书中综合了前辈们的两个重要发现:①代数可以和数无关;②适用于数的法则不必全部都保留在代数系统中〔3)514。如此代数可以发展成为允许进行各种解释的抽象演算:“熟悉符号代数理论现状的人们都知道,分析过程的有效性并不取决于对所使用的符号所做的解释,而只取决于它们的组合规律……同一个过程在一种解释方式之下可以表示关于数的性质问题的解法,在另一种解释方式之下表示几何问题的解法,而在第三种解释方式之下则表示力学或光学问题的解法”;他强调,“正是在这个一般原则的基础上,我试图建立逻辑演算,我要为它在众所公认的数学分析的形式中争得一个位置”〔2〕453。

布尔对他所阐述的逻辑代数作了好几种解释,其中最主要的是类演算。类演算的目标是要改造亚里士多德的三段论,这种改造的哲学基础是对A(全称肯定命题)、E(全称否定命题)、I(特称肯定命题)、O(特称否定命题)进行类的或外延的解释,即认为这些命题表示两个概念之间的外延关系。如“所有人都是有死的”表示概念“所有人”的外延包含在“有死的”的外延之中。现在,设x、y、z这样的字母表示某个类;1表示全类,包含所有元素的类;用0表示空类,没有一个元素的类;μ表示其拥有一些数目不定的元素的类;加表示两个类的并集(逻辑和);乘表示两个类的交集(逻辑积);减表示从一个类中去掉另一个类的元素。如此A、E、I、O就都可以转化为代数表达式,而以此为基础的三段论推理也就可以转化为解代数方程。

以第一格的Barbara式为例,其传统的三段论形式是这样的:所有Y都是X,所有Z都是Y;由此得出,所有Z都是X。现在,大前提可以表示为y(1 -x)=0,小前提可以表示为z(1-y)=0。两式相乘,得y(1-x)z(1-y)=0。然后消去y(1-y),即得(1-x)z=0,翻译成传统的表达方法就是:所有Z 都是X。

布尔的工作马上让一些逻辑学家看到,逻辑代数还有很大的发展和改进空间,他们沿着前者的道路继续前行,一方面对布尔代数进行细节上的改进,另一方面是用逻辑代数来构建关系逻辑。

就前者而言,耶芳斯(W.S.J evons,1835-1882)首先把布尔的不相容的逻辑加改为相容的。文恩(J.Venn,1834-1923)用直观的图解法来表示布尔代数,在逻辑史上被称为“文恩图解”。美国逻辑学家皮尔士(C.S.Peirce,1834-1914)在他的系统中取消了逻辑减和逻辑除,它们可以通过逻辑乘、算术加和否定的运算来定义;此外,他还把类包含概念引入到了布尔代数系统中。与皮尔士类似,德国逻辑学家施罗德(Ernst Schr der,1841-1902)也是根据类包含关系而不是等式关系来构造类演算。麦柯尔(H.McColl,1837-1909)则把命题逻辑从类演算中独立出来,这是弗雷格之前命题逻辑发展的最高水平。

在关系逻辑的建立上首先需要提及德・摩根,他被皮尔士称为“关系逻辑之父”。德・摩根认为,传统的三段论推理不过是关系理论的一种特殊情

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