分布函数密度函数典型例题PPT
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分布函数,密度函数典型例题-精品文档
为 1 / 2 , 则 = ?
例 题 分 析 14 向 直 线 上 掷 随 机 点已 , 知 随 机 点 落 入 区 间 H1=(- ,0], H2=(0,1],H3=(1,+ )的 概 率 分 别 为 0.2,0.3和 0.5,且 随 机 点 在 (0,1]上 是 均 匀 的设 , 随 机 点 落 入 区 间 H 别 得 0,k,1分以 , X记 得 分求 , X 的 1,H 2 ,H 3分 分 布 函 数 ( k 是 落 点 坐 标 )
分布函数,密度函数典型例题
例 题1
设 随 机 变 量 X ~ bp ( 2 ,) , Y ~ bp ( 3 ,) , 若 P X 1 5 / 9 则 P { Y 1 } =
例题2 假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂,以概率
0.3需要进一步调试,经过调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2
( 1 ) f (x )f (x ) 必 为 某 一 随 机 变 量 的 概 率 密 度 1 2 ( 2 ) f (x )f (x ) 必 为 某 一 随 机 变 量 的 概 率 密 度 1 2 ( 3 )F (x )F (x ) 必 为 某 一 随 机 变 量 的 分 布 函 数 1 2 ( 4 )F (xF ) 2(x ) 必 为 某 一 随 机 变 量 的 分 布 函 数 1
例题6
设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 f ( x ) , 且 f ( x ) = f ( x ) , F ( x ) 是 X 的 分 布 函 数 , 则 对 于 任 意 实 数 a , - f(x )d x
0
a
( 2 ) F ( - a ) = 1 /2 - f ( x ) d x
例题5
分布函数与概率密度函数的求法ppt文件
04
分布函数与概率密度函数的求解方法
离散型随机变量的求解方法
定义法
根据随机变量的定义，利用公式计算离散型随机变量的概率，从而得到其分布函 数和概率密度函数。
表格法
将随机变量取值的所有可能结果列成一个表格，计算每个可能结果的概率，从而 得到其分布函数和概率密度函数。
连续型随机变量的求解方法
公式法
连续型随机变量的关系
• 连续型随机变量的分布函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率。例如，正态分布的 分布函数可以表示为
• f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)), x∈R • 其中，μ是均值，σ是标准差。 • 连续型随机变量的概率密度函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率密度。例如，正
分布函数与概率密度函数的 求法
xx年xx月xx日
contents
目录
• 分布函数的定义与性质 • 概率密度函数的定义与性质 • 分布函数与概率密度函数的关系 • 分布函数与概率密度函数的求解方法 • 分布函数与概率密度函数的应用
01
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量X，其分布函数F(x)定义为事件{X≤x}的概率，即F(x)=P(X≤x)。
分布函数与概率密度函数在统计分析中的应用
参数估计
假设检验
方差分析
相关分析
回归分析
利用样本数据估计未知 参数，包括点估计和区 间估计。
利用样本数据对未知参 数进行假设检验，包括 参数检验和非参数检验 。
分析多个因素对观测值 的影响，判断各因素对 观测值的影响是否显著 。
研究两个或多个变量之 间的相关关系，包括线 性相关和非线性相关。
条件分布律条件分布函数条件概率密度ppt课件
第三章 随机变量及其分布
一、随机变量的独立性
§4随机变量的独立性
设 (X， Y )是二维随机变量，其联合分布函数为 F (x， y) ，又随机变量X 的分布函数为FX (x)， 随机变量Y 的分布函数为FY ( y)．
如果对于任意的x， y，有
F (x， y) FX (x) FY (y)
则称 X， Y 是相互独立的随机变量．
第三章 随机变量及其分布
一 、离散型随机变量的条件分布律
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{ X xi } pi• pi j , i 1,2, j 1
1 2
- 2)
(y
- 2 )2
2 2
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第三章 随机变量及其分布
又随机变量Y 的边缘密度函数为
§3条件分布
fY (y)
1
- ( y-2 )2
e 2
2 2
2 2
(- < y < )
因此，对任意的 y，fY ( y) 0，
( ) ( ) f X Y
xy
f (x， y) fY (y)
所以，当0 < y < 1时， 0,
其它.
fY (y) f (x，
-
y)dx
y 1 dx - ln(1 -
0 1- x
y
y).
所以，随机变量 Y 的密度函数为
1
fY
(y)
ln(1 -
0,
y),
D6-2_分布函数与概率密度函数的近似解-PPT文档资料
0 ,
Fn x
k , n
x x
* 1
* * x x x k 1 , 2 , , n 1 k k 1
1 ,
x x *n
称 F n x 是总体 X 的经验分布函数 其图如6-1
y
1
k n 1 n
x
* 1
x
* 2
o
x
* k
x
* k 1
x
* n
x
图 6-1
a
2
图62
a l1 a
l
x
注： 设总体的密度函数为 f x 则：总体 X 落在第k组
ak1 ,ak 的概率为
ak a k 1
f ( x )dx
由Bernoulli大数定理
当n很大时，样本观察值
落在该区间的频率趋近于此概率,即在 a k 1,a k 上 矩形的面积接近于 f ( x ) 在此区间上曲边梯形的面积 当n无限增大时，分组组距越来越小，直方图就越接近 总体 X 的密度函数 f x 的图象.
由图6-1容易看出
1） F n x 是单调非减跳跃函数（阶梯函数） 2） F n x 在点 x x 处有间断， 在每个间断点的跃度
* k
1 为 , n
, , k12
,n
x
0 , 1 limF(x) 3） 0F(x) n n x
limF(x) 1 n
2） 数频数 观测值落在各组的频数分别为
m,m, ,m 1 2 l
频率为
m1 m2 , , n n ml , n
3）作图 以各组为底边，以相应组的频率除以组距为高， 建立个 l 小矩形，即得总体的直方图 如图6-2 直方图中每一矩形的面积等于相应组的频率
概率及概率密度分布函数ppt课件
出现A1和单独P出A 现AP2A的i 概率。
i1
假设A为假设干个互不相容随机事件的“或
3.根本随机事件组中各事件的概率归一 . (概率的归一化条件 )
假设A1至An构成一随机根身手件组,亦即 包含了某随机景象一切能够独立出现的 全部根本随机事件n,那么A便是必然事件:
PA PAi 1
i1
[例1-2-2] 硬币的一面刻着国徽，另一面刻着币 值。抛掷一枚硬币，它落地时哪一面朝上是随 机的。我们可以事先商定，令刻着国徽的一面 朝上对应着随机变量X=1，而刻有币值的一面 朝上对应着随机变量X=0。这样，对于并不显 现为某某数量如何的随机事件，也照样能用随 机变量把它们标识出来。
[例1-2-3]气体分子处于不停的、无规那么的热 运动之中，任何单个分子所在的空间位置及运 动速度都在随机地瞬息万变。可以把单个分子 的速率取做随机变量，或者把它的速度分量取 做随机变量组，还可以把它的空间位置坐标取 做随机变量组。
计规律可循 .
伽尔顿板实验 :
如图,一个带有玻璃面板的大盒内用竖直隔板分成许多等宽 的小格，另有一斜放着的、底板面钉有许多小铁钉的木 槽，其开口处与大盒口的一边相接。常叫这种安装为伽 尔顿板。
令小球从钉板上方滚下，它要与板上铁钉进展 无规那么的碰撞，在下滚途中受力的复杂细节 是失去人为控制的，尤其在把不止一个小球乃 至大量小球同时或延续沿钉板撒下时，我们不 能够一一控制它们落下的初始形状，而且它们 除与铁钉碰撞还要彼此碰撞，更使得每个小球 的运动呈现随机形状。虽然各个小球的运动都 服从牛顿力学定律，但它们分开钉槽时的速度 无论在大小还是方向上都具有偶尔性，以致， 就单个小球来说，它滚下后终究会落在大木盒 中的哪一个格子里，是不能预知的。
4.乘法定理
i1
假设A为假设干个互不相容随机事件的“或
3.根本随机事件组中各事件的概率归一 . (概率的归一化条件 )
假设A1至An构成一随机根身手件组,亦即 包含了某随机景象一切能够独立出现的 全部根本随机事件n,那么A便是必然事件:
PA PAi 1
i1
[例1-2-2] 硬币的一面刻着国徽，另一面刻着币 值。抛掷一枚硬币，它落地时哪一面朝上是随 机的。我们可以事先商定，令刻着国徽的一面 朝上对应着随机变量X=1，而刻有币值的一面 朝上对应着随机变量X=0。这样，对于并不显 现为某某数量如何的随机事件，也照样能用随 机变量把它们标识出来。
[例1-2-3]气体分子处于不停的、无规那么的热 运动之中，任何单个分子所在的空间位置及运 动速度都在随机地瞬息万变。可以把单个分子 的速率取做随机变量，或者把它的速度分量取 做随机变量组，还可以把它的空间位置坐标取 做随机变量组。
计规律可循 .
伽尔顿板实验 :
如图,一个带有玻璃面板的大盒内用竖直隔板分成许多等宽 的小格，另有一斜放着的、底板面钉有许多小铁钉的木 槽，其开口处与大盒口的一边相接。常叫这种安装为伽 尔顿板。
令小球从钉板上方滚下，它要与板上铁钉进展 无规那么的碰撞，在下滚途中受力的复杂细节 是失去人为控制的，尤其在把不止一个小球乃 至大量小球同时或延续沿钉板撒下时，我们不 能够一一控制它们落下的初始形状，而且它们 除与铁钉碰撞还要彼此碰撞，更使得每个小球 的运动呈现随机形状。虽然各个小球的运动都 服从牛顿力学定律，但它们分开钉槽时的速度 无论在大小还是方向上都具有偶尔性，以致， 就单个小球来说，它滚下后终究会落在大木盒 中的哪一个格子里，是不能预知的。
4.乘法定理
分布函数 ppt课件
例1 设有函数 F(x)
概率论
F(x)
sin
x 0
0 x
其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解 注意到函数 F(x)在[ 2, ] 上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0
x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.
P( x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
o x1 X x2
x
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
概率论
F ( x) P( X x), x
oX x x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量.
X 0 1 2 3
pk
1 8
3 8
3 8
1
8
0 1 23
概率论
(1) x 0，F ( x 1，F ( x) P( X x) P( X 0) 1 ; 8
(3)1 x 2，F ( x) P( X x)
P( X 0) P( X 1) 4 ; 8
oX x
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (, x] 内的 概率.
请注意 :
概率论
(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量.
(2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
(3) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为：
一般地
概率论
分布函数,密度函数典型例题
3
例题3
设F1
(x)与F2
(x)分别为随机变量X
1
,
X
的分布函数
2
,为使
F ( x) aF1( x) bF2( x)是某一随机变量的分布函数,在
下列给定的各组数值中应取
(A) a=3/5 b=-2/5 (C) a= -1/2 b=3/2
(B) a=2/3 ,b=2/3 (d) a=1/2 ,b=-3/2
分布函数 (k是落点坐标)
15
12
例题12
设X N(2, 2 ),且P(2<X<4)=0.3,求:
P(X<0)=?
13
例题13
设随机变量X服从正态分布N(,2 ) , 二次方程y2 4 y X 0无实根的概率 为1/2,则= ?
14
例题分析14 向直线上掷随机点,已知随机点落入区间
H1=(-,0], H2 =(0,1],H3=(1,+)的概率分别为 0.2,0.3和0.5,且随机点在(0,1]上是均匀的,设随机点 落入区间H1,H2 ,H3分别得0,k,1分,以X记得分,求X的
1全部出厂的概率2其中恰好有两台不能出厂的概率3至少有两台不能出厂的概率??例题3121212fxfxxxfxafxbfx??设与分别为随机变量的分布函数为使是某一随机变量的分布函数在下列给定的各组数值中应取aa35b25ba23b23ca12b32da12b32例题4121212xxfxfxfxfx设是任意两个相互独立的连续性随机变量他们的概率密度函数分别为分布函数分别为则1fxfx2fxfx3fxfx4fxfx????12121212必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的分布函数必为某一随机变量的分布函数例题52212xyxn4yn5ppx4ppy5???????设随机变量均服从正态分布记则121212121pp2pp3pp4pp??????????????对于任意实数都有对于任意实数都有只对的个别值才有对于任意实数都有xfxfxfxfxxa设随机变量的密度函数为且是的分布函数则对于任意实数有a0a01fa1fxdx2fa12fxdx3fafa4fa2fa1????例题6xyminx21224设随机变量服从指数分布则随机变量的分布函数是连续函数至少有两个间断点是阶梯函数恰好有一个间断点例题7xxfxx132900136设随机变量的概率密度函数为若若其他????????kpxk23k如使得则的取值范围是?例题8例题9xxexfxxy000xx设随机变量的概率密度函数求随机变量e的概率密度???????例题10x2y1012x假设随机变量服从参数为的指数分布证明ee在区间上
例题3
设F1
(x)与F2
(x)分别为随机变量X
1
,
X
的分布函数
2
,为使
F ( x) aF1( x) bF2( x)是某一随机变量的分布函数,在
下列给定的各组数值中应取
(A) a=3/5 b=-2/5 (C) a= -1/2 b=3/2
(B) a=2/3 ,b=2/3 (d) a=1/2 ,b=-3/2
分布函数 (k是落点坐标)
15
12
例题12
设X N(2, 2 ),且P(2<X<4)=0.3,求:
P(X<0)=?
13
例题13
设随机变量X服从正态分布N(,2 ) , 二次方程y2 4 y X 0无实根的概率 为1/2,则= ?
14
例题分析14 向直线上掷随机点,已知随机点落入区间
H1=(-,0], H2 =(0,1],H3=(1,+)的概率分别为 0.2,0.3和0.5,且随机点在(0,1]上是均匀的,设随机点 落入区间H1,H2 ,H3分别得0,k,1分,以X记得分,求X的
1全部出厂的概率2其中恰好有两台不能出厂的概率3至少有两台不能出厂的概率??例题3121212fxfxxxfxafxbfx??设与分别为随机变量的分布函数为使是某一随机变量的分布函数在下列给定的各组数值中应取aa35b25ba23b23ca12b32da12b32例题4121212xxfxfxfxfx设是任意两个相互独立的连续性随机变量他们的概率密度函数分别为分布函数分别为则1fxfx2fxfx3fxfx4fxfx????12121212必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的概率密度必为某一随机变量的分布函数必为某一随机变量的分布函数例题52212xyxn4yn5ppx4ppy5???????设随机变量均服从正态分布记则121212121pp2pp3pp4pp??????????????对于任意实数都有对于任意实数都有只对的个别值才有对于任意实数都有xfxfxfxfxxa设随机变量的密度函数为且是的分布函数则对于任意实数有a0a01fa1fxdx2fa12fxdx3fafa4fa2fa1????例题6xyminx21224设随机变量服从指数分布则随机变量的分布函数是连续函数至少有两个间断点是阶梯函数恰好有一个间断点例题7xxfxx132900136设随机变量的概率密度函数为若若其他????????kpxk23k如使得则的取值范围是?例题8例题9xxexfxxy000xx设随机变量的概率密度函数求随机变量e的概率密度???????例题10x2y1012x假设随机变量服从参数为的指数分布证明ee在区间上
分布函数,密度函数典型例题最新.ppt
(1)全部出厂的概率α
(2)其中恰好有两台不能出厂的概率β
(3)至少有两台不能出厂的概率
.精品课件.
3
例题3
设F1
(x)与F2
(x)分别为随机变量X
1
,
X
的分布函数
2
,为使
F ( x) aF1( x) bF2( x)是某一随机变量的分布函数,在
下列给定的各组数值中应取
(A) a=3/5 b=-2/5 (C) a= -1/2 b=3/2
.精品课件.
14
例题分析14
向直线上掷随机点,已知随机点落入区间 H1=(-,0], H2 =(0,1],H3=(1,+)的概率分别为 0.2,0.3和0.5,且随机点在(0,1]上是均匀的,设随机点 落入区间H1,H2 ,H3分别得0,k,1分,以X记得分,求X的
分布函数 (k是落点坐标)
.精品课件.
.精品课件.
5
例题5
设随机变量X,Y均服从正态分布, X~N( ,42 ) Y~N( ,52 ),记p1=P(X -4),p2 =P(Y +5),则( )
(1)对于任意实数 ,都有p1 p2 (2)对于任意实数 ,都有p1 p2 (3)只对的个别值,才有p1 p2 (4)对于任意实数 ,都有p1>p2
分布函数,密度函数典型例题
.精品课件.
1
例题1
设随机变量X ~ b(2, p),Y ~ b(3, p),若PX 1 5 / 9
则P{Y 1}=
.精品课件.
2
例题2 假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂,以概率 0.3需要进一步调试,经过调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2 定为不合格产品不能出厂,现该厂生产了n台(n≥2)仪器(假设 各台仪器的生产过程相互独立),求:
(2)其中恰好有两台不能出厂的概率β
(3)至少有两台不能出厂的概率
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3
例题3
设F1
(x)与F2
(x)分别为随机变量X
1
,
X
的分布函数
2
,为使
F ( x) aF1( x) bF2( x)是某一随机变量的分布函数,在
下列给定的各组数值中应取
(A) a=3/5 b=-2/5 (C) a= -1/2 b=3/2
.精品课件.
14
例题分析14
向直线上掷随机点,已知随机点落入区间 H1=(-,0], H2 =(0,1],H3=(1,+)的概率分别为 0.2,0.3和0.5,且随机点在(0,1]上是均匀的,设随机点 落入区间H1,H2 ,H3分别得0,k,1分,以X记得分,求X的
分布函数 (k是落点坐标)
.精品课件.
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5
例题5
设随机变量X,Y均服从正态分布, X~N( ,42 ) Y~N( ,52 ),记p1=P(X -4),p2 =P(Y +5),则( )
(1)对于任意实数 ,都有p1 p2 (2)对于任意实数 ,都有p1 p2 (3)只对的个别值,才有p1 p2 (4)对于任意实数 ,都有p1>p2
分布函数,密度函数典型例题
.精品课件.
1
例题1
设随机变量X ~ b(2, p),Y ~ b(3, p),若PX 1 5 / 9
则P{Y 1}=
.精品课件.
2
例题2 假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂,以概率 0.3需要进一步调试,经过调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2 定为不合格产品不能出厂,现该厂生产了n台(n≥2)仪器(假设 各台仪器的生产过程相互独立),求:
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例题3
设F1 (x)与F2 (x)分别为随机变量X 1 , X 2的分布函数 ,为使 F ( x ) aF1 ( x ) bF2 ( x )是某一随机变量的分布函数 ,在 下列给定的各组数值中应取
(A) a=3/5 b=-2/5 (C) a= -1/2 b=3/2
(B) a=2/3 ,b=2/3 (d) a=1/2 ,b=-3/2
例题8
设随机变量X的概率密度函数为 1 / 3 若x [0,1] f(x) 2 / 9 若x [3,6] 0 其他
如k使得P(X k )=2/3,则k的取值范围是
例题9
设随机变量X的概率密度函数 e x x 0 f(x) x0 0 求随机变量Y=ex的概率密度
(k是落点坐标)
例题4
设X 1 , X 2是任意两个相互独立的连续性随机变量 ,他们的概率密度 函数分别为f1 (x),f 2 (x),分布函数分别为F1 (x),F2 (x),则( )
(1)f1 ( x ) f 2 ( x )必为某一随机变量的概率密度 (2)f1 ( x ) f 2 ( x )必为某一随机变量的概率密度 (3) F1 ( x ) F2 ( x )必为某一随机变量的分布函数 (4) F1 ( x )F2 ( x )必为某一随机变量的分布函数
例题1
设随机变量X ~ b(2, p ), Y ~ b(3, p ), 若P X 1 5 / 9 则P{Y 1}=
例题2 假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂,以概率
0.3需要进一步调试,经过调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2
定为不合格产品不能出厂,现该厂生产了n台(n≥2)仪器(假设 各台仪器的生产过程相互独立),求: (1)全部出厂的概率α (2)其中恰好有两台不能出厂的概率β (3)至少有两台不能出厂的概率
例题12
设X N(2, ),且P(2<X<4)=0.3,求 : P(X<0)=?
2
例题13
设随机变量X服从正态分布N( , 2 ) , 二次方程y 2 4 y X 0无实根的概率 为1/2,则 = ?
例题分析14 向直线上掷随机点,已知随机点落入区间 H1 =(-,0], H 2 =(0,1],H 3 =(1,+ ) 的概率分别为 0.2,0.3和0.5,且随机点在(0,1]上是均匀的,设随机点 落入区间H1 ,H 2 ,H 3分别得0,k ,1分,以X记得分,求X的 分布函数
例题5
设随机变量X,Y 均服从正态分布, X~N( ,4 2 ) Y~N( ,5 ),记p1 =P(X -4),p2 =P(Y +5),则(
2
)
(1)对于任意实数 ,都有p1 p2 (2)对于任意实数 ,都有p1 p2 (3)只对的个别值 ,才有p1 p2 (4)对于任意实数 ,都有p1 >p2
例题10
假设随机变量X 服从参数为2 的指数分布 ,证明 Y=1-e 在区间（0， 1）上服从均匀分布
-2x
例题11
假设一电路装有三个同种电器元件 ,其工作状态相互独立 ,且 无故障工作时间都服从参数为的指数分布 ,当三个元件都无 故障时电路正常工作 , ,否则整个电路不能正常工作 ,式求电路 正常工作时间T的概率分布 .
例题6
设随机变量X的密度函数为f(x),且f(x)=f(-x), F(x)是X的分布函数 ,则对于任意实数a,有( )
(1) F(-a)=1- f(x)dx
0
a
(2) F(-a)=1/2- f(x)dx
0ห้องสมุดไป่ตู้
a
(3) F(-a)=F(a) (4) F(-a)=2F(a)-1
例题7
设随机变量X 服从指数分布 ,则随机变量Y=Min(X,2) 的分布函数( (1)是连续函数 (2)是阶梯函数 ) (2)至少有两个间断点 (4)恰好有一个间断点