高中数学三角函数及数列

第二部分 三角函数

一、三角函数的基本概念

1．终边相同的角的表示方法（终边在x 轴上；终边在y 轴上；终边在直线y x =上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； ⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π

=

弧度，1弧度 )180

(

π

='1857 ≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）、诱导公式（奇变．．

偶不变，符号看象限．．．．．．．．．

πα-、πα+、α-、2πα-、2()k k Z πα+∈、2

π

α-）

； ⑴三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

,cos ,sin r x r y ==

ααx

y =αtan ⑵三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； ⑶同角三角函数的基本关系：x x

x

x x tan cos sin ;1cos sin 22==+ 3．有用的结论 ⑴半角所在的象限：

⑵sin cos αα+和sin cos αα-的符号规律：

二、两角和与差的三角函数 1．和（差）角公式

①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±

②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=

±

2．二倍角公式

二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；

②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α

α

α2

tan 1tan 22tan -= 3．有用的公式

⑴升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=

、21cos 2cos 2αα+=、1

sin cos sin 22

ααα=；

⑵辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+（ϕ由,a b 具体的值确定）； ⑶正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅. 4．有用的解题思路

⑴“变角找思路，范围保运算”； ⑵“降幂——辅助角公式——正弦型函数”； ⑶巧用sin cos αα±与sin cos αα⋅的关系；⑷巧用三角函数线——数形结合. 三、三角函数的图象与性质

1．列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；

⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；

sin y x =的对称轴是2

x k π

π=+

()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；

cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2

k π

π+

()k Z ∈

tan y x =的对称中心是(

,0)()2

k k Z π

∈ ⑷写单调区间注意0ω>.

注意：单调区间不可以用并集符号！不能说正切函数在定义域上为增函数 2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．

⑴“五点法”作图的列表方式；

⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω

=-

.

3．正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换切记：

sin sin()y A x y A x ϕ

ω

ωωϕ=−−−→=+平移

注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译. 四、解三角形 Ⅰ．正、余弦定理 ⑴正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB

C ∆外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③

C

B A c

b a C

c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=

==。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=等三个；注：bc

a c

b A 2cos 2

22-+=等三个。

Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式：

))(2

1

(,))()((sin 2

1

21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=

---===

∆； ⑵内切圆半径r=

c b a S ABC

++∆2；外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔>第七部分

数列

一、数列的定义和基本问题

1．通项公式：)(n f a n =（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）； 2．前n 项和：12n n S a a a ++⋯+=；

3．通项公式与前n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：

11,

1,2

n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩

注意：已知数列的前n 项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论1=n 的情形而致错。 二、等差数列

1．定义和等价定义：1(2){}n n n a a d n a --=≥⇔是等差数列；