高中数学三角函数及数列

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苏教版高中数学选修2-2 导数与其它知识综合-三角函数与数列教案

题型三：导数与三角函数综合【例1】设()sin f x x x =，1x 、2ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()()12f x f x >，则下列结论必成立的是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．12x x <D ．2212x x >【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】选择【关键词】【解析】 ()sin cos f x x x x '=+，当π02x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，()0f x '>，()f x 在π02⎛⎤⎥⎝⎦，单调递增；又()f x 为偶函数，故()f x 在π02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上单调递减，且图象关于y 轴对称． 1x 、2ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()()2212121212()()f x f x f x f x x x x x >⇔>⇔>⇔>．【答案】D【例2】设函数())()cos0πf x ϕϕ=+<<，若()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=__________．【考点】导数与三角函数综合【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】())f x ϕ'=+，π()()))2cos 3f x f x ϕϕϕ⎫'+=+-+=++⎪⎭，此函数为奇函数，故πππ()32k k ϕ+=+∈Z ππ()6k k ϕ⇒=+∈Z ，当0k =时，π(0π)6ϕ=∈，．【答案】π6【例3】函数()2cos f x x x =+在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为______；在区间[02π]，上最大值为_______．【考点】导数与三角函数综合【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 ()12sin f x x '=-，π06x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；故()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为ππππ2cos 6666f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()f x 在π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，与5π2π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在π5π66⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π(2π)2π2cos(2π)2π26f =+=+>+()f x 在区间[02π]，上最大值为2π2+．典例分析板块四.导数与其它知识综合【答案】π6；2π2+；【例4】设函数()32sin tan 3f x x θθ=+，其中5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则导数()1f '的取值范围是（）A ．[]22-，B． C．2⎤⎦D．2⎤⎦【考点】导数与三角函数综合【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考，题9【解析】2()sin f x x x θθ'=+，π(1)sin 2sin 3f θθθ⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭．5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ3π334θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，πsin 132θ⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．从而(1)2]f '∈．【答案】D【例5】设函数223()cos 4sin3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（） A ．1(,)(1,)3-∞-+∞ B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】选择【关键词】【解析】 23231cos ()cos 43cos 2cos 2x f x x t t t x t x t t -=+⋅+-=-+-232(cos )x t t t t =-+--，∵1t ≤，∴当cos x t =时，()f x 有最小值，故32()g t t t t =--，2()321(1)(31)g t t t t t '=--=-+，令()0g t '>，解得函数()g t 的单调递增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与(1,)+∞．但函数()g t 不在这两个区间的并集上单调递增，故选B ．【答案】B【例6】将函数2y =[]()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】填空【关键词】2009，上海，高考，题14【解析】将2y =进行变形得：22(3)(2)13x y -++=，[06]x ∈，，2y -≥．它表示圆的一段，当0x =与6x =时，都有0y =，故函数象表示的是x 轴上方的一段弧，OT 旋转到y 轴时，有最大的旋转角度．此时再放置此圆弧就与y 轴相交于两点，不再是函数图象了．12y '==0x =得，32y '=，即3tan 2AOT ∠=，于是2tan 3α=，α的最大值为2arctan 3．【答案】2arctan 3【例7】已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 22212sin (2cos )cos 2cos ()3sin 3sin x a x x a xf x x x--⋅-'=⋅=．因为()f x 在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数，所以当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，22cos ()03sin a xf x x-'=≥，即2cos 0a x -≥恒成立．π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，0c o s 1x <<，要使2c o s 0a x -≥在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，只要2cos a x ≤在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立．故只要2a ≤即可，故a 的取值范围为(2]-∞，．【答案】(2]-∞，【例8】求证：方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【考点】导数与三角函数综合【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】设1()sin 2f x x x =-，x ∈R ．1()1cos 02f x x '=->，故()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，因此方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【答案】略【例9】设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =．⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2005，全国Ⅰ，高考【解析】 ⑴∵π8x =是函数()y f x =的图象的对称轴，∴πsin 218ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭．∴πππ42k k ϕ+=+∈Z ，．ππ4k k ϕ=+∈Z ，． ∵π0ϕ-<<，∴3π4ϕ=-．⑵由⑴知3π4ϕ=-，因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由题意得π3ππ2π22π242k x k k --+∈Z ≤≤，，所以函数3πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为π5πππ88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，． ⑶∵3π3πsin 22cos 2244y x x '⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以曲线()y f x =的切线斜率取值范围为[22]-，，而直线520x y c -+=的斜率为522>，所以直线520x y c -+=与函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相切．【答案】⑴3π4ϕ=-；⑵π5πππ88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，；⑶略．【例10】已知向量πππ2cos tan 2sin tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭，，，，令()f x a b =⋅，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2005，江西，高考【解析】 πππ()22cos sin tan tan 2242424x x xx f x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21tan tan 1222sin cos 2cos 12222221tan 1tan22x xx x x x x x x x +-⎫=++⋅=+-⎪⎪⎝⎭-+sin cos x x =+．令()()0f x f x '+=，即()()sin cos cos sin 2cos 0f x f x x x x x x '+=++-==，可得π2x =，所以存在实数[]π0,π2x =∈，使()()0f x f x '+=．【答案】存在，π2x =．【例11】设()()21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；⑵ 证明：当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()cos sin 2θθ-<f f ．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2009，辽宁，高考【解析】 ⑴ ()()2121'=++++x f x e ax x ax ．由条件知，()10'=f ，故3201++=⇒=-a a a ．于是()()()()2221x x f x e x x e x x '=--+=-+-．故当()()21∈-∞-+∞x ，，时，()0'<f x ；当()21∈-x ，时，()0'>f x ．从而()f x 在()2-∞-，，()1+∞，单调减少，在()21-，单调增加． ⑵ 由⑴知()f x 在[]01，单调增加，故()f x 在[]01，的最大值为()1=f e ，最小值为(0)1=f ．从而对任意1x ，[]201∈x ，，有()()1212--<f x f x e ≤．而当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，[]cos sin 01θθ∈，，．从而()()cos sin 2θθ-<f f ．【答案】⑴1a =-，()f x 在()2-∞-，，()1+∞，单调减少，在()21-，单调增加．⑵略．【例12】已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4．⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【考点】导数与三角函数综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()31f x mx '=-，依题意，得π(1)tan4f '=，即311m -=，解得23m =． ∵(1)f n =，∴13n =-．⑵32()3f x x x =-，令2()210f x x '=-=，得2x =±．当1x -<<时，2()210f x x '=->；当x <<2()210f x x '=-<；当3x <<时，2()210f x x '=->．从而()f x 在x =处取到极大值．又1(1)3f -=，f ⎛= ⎝⎭，(3)15f =．因此，当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为15．要使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519942009k +=≥．所以，存在最小的正整数2008k =，使得不等式()1993f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立． ⑶|(sin )(cos )|f x f x +3322sin sin cos cos 33x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332(sin cos )(sin cos )3x x x x =+-+222(sin cos )(sin sin cos cos )13x x x x x x ⎡⎤=+⋅-+-⎢⎥⎣⎦21|sin cos |sin cos 33x x x x =+⋅+31|sin cos |3x x =+3π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵0t >，∴12t t+，()f x 在)+∞上单调递增，f =．∴12223f t f t ⎛⎫+=⎪⎝⎭≥．综上可得，1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【答案】⑴23m =，13n =-；⑵存在，2008k =；⑶略．【例13】已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．【考点】导数与三角函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2009，崇文，一模【解析】 22()(e )(22)e (22)x x f x ax x ax x '''=⋅--+⋅--2e (22)e (22)x x ax x ax =⋅--+⋅-2e (2)x a x x a ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭．⑴∵曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，由导数的几何意义得(1)0f '=，∴2a =．⑵设|cos |(01)x t t =≤≤，只需求函数()(01)y f t t =≤≤的最大值和最小值．令()0f x '=，解得2x a=或2x =-． ∵0a >，∴22a>-．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：函数()f x 在(2)-∞-，和2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；在22a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减；02a <≤时，21a≥，函数()f t 在[01]，上为减函数． ∴min (1)(4)e y f a ==-，max (0)2y f ==-．当02a <≤时，(|cos |)f x 的最小值为(4)e a -，最大值为2-． ⑶当2a >时，201a<<，函数()f x 的极小值为[01]，上的最小值， ∴2min22e a y f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()f t 在[01]，上的最大值为(0)f 与(1)f 中的较大者． ∵(0)2f =-，(1)(4)e f a =-．∴当24e a >-时，(1)(0)f f >，此时max (1)(4)e y f a ==-；当24e a =-时，(1)(0)f f =，此时max (0)(1)2y f f ===-．当224ea <<-时，(1)(0)f f <，此时max (0)2y f ==-．综上，当224ea <-≤时，(|cos |)f x 的最小值为22e a -，最大值为2-；当24ea >-时，(|cos |)f x 的最小值为22e a-，最大值为(4)e a -．【答案】⑴2a =；⑵当02a <≤时，(|cos |)f x 的最小值为(4)e a -，最大值为2-．⑶当224ea <-≤时，(|cos |)f x 的最小值为22e a -，最大值为2-；当24ea >-时，(|cos |)f x 的最小值为22e a -，最大值为(4)e a -．【例14】设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，，证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<=，，【考点】导数与三角函数综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2005，天津，高考【解析】 ⑴由函数()f x 的定义，对任意整数k ，有(2π)()(2π)sin(2π)sin (2π)sin sin 2πsin f x k f x x k x k x x x k x x x k x +-=++-=+-=．⑵函数()f x 在定义域R 上可导，()sin cos f x x x x '=+ ①令()0f x '=，得sin cos 0x x x +=．显然，对于满足上述方程的x 有cos 0x ≠，上述方程化简为tan x x =-，结合图象知此方程一定有解（tan y x =-与y x =的图象略）．()f x 的极值点0x 一定满足00tan x x =-．由222222sin tan sin sin cos 1tan x x x x x x==++，得220020tan sin 1tan x x x =+．因此，4222000020[()]sin 1x f x x x x ==+．⑶设00x >是()0f x '=的任意正实数根，即00tan x x =-，则存在一个非负整数k ，使0ππππ2x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，，即0x 在第二或第四象限内．由①式，()cos (tan )f x x x x '=+在第二或第四象限中的符号可列表如下：0由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程tan x x =-的全部正实数根且满足12n a a a <<<<，那么对于12n =，，，1111(tan tan )(1tan tan )tan()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=--=-+⋅-． ②由于π(1)ππ(1)π2n n a n +-<<+-，1ππππ2n n a n ++<<+，则1π3π22n n a a +<-<，由于1tan tan 0n n a a +⋅>，由②式知1tan()0n n a a +-<．由此可知1n n a a +-必在第二象限，即1πn n a a +-<．综上，1ππ2n n a a +<-<．【答案】略．【例15】已知函数()32343cos cos 16f x x x θθ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2006，天津，高考【解析】 ⑴当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在()-∞+∞，内是增函数，故无极值．⑵2()126cos f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12cos 02x x θ==，，由⑴，只需分下面两种情况讨论．①当cos 0θ>时，随x 的变化()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在2x =处取得极小值2f ⎛⎫⎪⎝⎭，且3cos cos 2416f θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，要使cos 02f θ⎛⎫> ⎪⎝⎭，必有213cos (cos )044θθ-->，可得0cos θ<<．故ππ62θ<<或3π11π26θ<<； ②当cos 0θ<时，随x 的变化，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在0x =处取得极小值(0)f ，且(0)cos .16f θ=若(0)0f >，则cos 0θ>．矛盾．所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零．综上，要使函数()f x 在()-∞+∞，内的极小值大于零，参数θ的取值范围为ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ⑶由题意知：函数()f x 在cos 2θ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，与(0)+∞，上恒为增函数，由题设()f x 在()21a a -，内为增函数，故a 需要满足不等式：cos 221a a aθ⎧⎪⎨⎪-<⎩≤或21021a a a -⎧⎨-<⎩≥，由⑵知，θ的取值范围为ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，0cos θ<，要满足上述不等式恒成立，需要0a ≤或112a <≤．即a 的取值范围是1(0]12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，．【答案】⑴无极值．⑵θ的取值范围为ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．⑶a 的取值范围是1(0]12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，．【例16】已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤．⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合【难度】4星【题型】解答【关键词】2006，天津，高考【解析】 ⑴当cos 0θ=时，31()432f x x =+，则()f x 在()-∞+∞，内是增函数，故无极值． ⑵2()126cos f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12cos 02x x θ==，．由π02θ≤≤及⑴，只需考虑cos 0θ>的情况．当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在cos 2x θ=处取得极小值cos 2f θ⎛⎫⎪⎝⎭，且3cos 11cos .2432f θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭要使cos 02f θ⎛⎫> ⎪⎝⎭，必有311cos 0432θ-+>，可得10cos 2θ<<，所以ππ32θ<<． ⑶由⑵知，函数()f x 在区间(0)-∞，与cos 2θ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，内都是增函数．由题设，函数()f x 在(21)a a -，内是增函数，则a 需满足不等式组210a a a -<⎧⎨⎩≤或21121cos 2a aa θ-<⎧⎪⎨-⎪⎩≥，由⑵，参数ππ32θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，10cos 2θ<<．要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有1214a -≥．综上，解得0a ≤或518a <≤．所以a 的取值范围是5(0]18⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭，，．【答案】⑴无极值；⑵ππ32θ<<；⑶a 的取值范围是5(0]18⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭，，．题型四：导数与数列综合【例17】已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n =，，，．证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【考点】导数与数列综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2006，湖南，高考【解析】 ⑴先用数学归纳法证明01n a <<，123n =，，，①当1n =时，由已知显然结论成立．②假设当n k =时结论成立，即01k a <<．∵01x <<时，()1cos 0f x x '=->，∴()f x 在(01)，上是增函数． (0)()(1)k f f a f <<（()f x 在[01]，上连续），即101sin11k a +<<-<．故1n k =+时，结论成立．由①、②可知，01n a <<对一切正整数都成立．又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<，所以1n n a a +<，综上所述101n n a a +<<<．⑵设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由⑴知，当01x <<时，sin x x <，从而22222()cos 12sin 2022222x x x x x g x x ⎛⎫'=-+=-+>-+= ⎪⎝⎭，所以()g x 在(01)，上是增函数．又(0)0g =（()g x 在[01]，上连续），所以当01x <<时，()0g x >成立．于是()0n g a >，即31sin 06n n n a a a -+>．故3116n na a +<．【答案】略【例18】已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n +∈N ，求数列{}n a 的最大项．【考点】导数与数列综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】构造辅助函数23()8(0)f x x x x =->，则2()163f x x x '=-．显然，当1603x <<时，()0f x '>；当163x >时，()0f x '<，故()f x 在区间1603⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，在区间163⎛⎫+∞⎪⎝⎭，上是减函数．所以当163x =时，函数()f x 取最大值．对于(5)75(6)72f f ==，，23()8f n n n =-，所以()f n 的最大值是75，即数列{}n a 的最大项为575a =．【答案】最大项为575a =．【例19】共有50项的数列{}n a 的通项n a =【考点】导数与数列综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】误解：作辅助函数()0)f x x =>，而()0f x '=<，∴()f x 是单调递减函数，从而数列{}n a 是递减数列． ∴{}n a 中最大项是1a ，最小项是50a ．分析：()f x 的定义域是{|0x x >且x ≠，()1f x =+()f x 在(0，)+∞这两个区间上单调递减；所以数列{}n a 当18n ≤≤，n +∈N 时，n a 单调减小，且1n a <，当950n ≤≤，n +∈N 时，n a 逐渐减小，且1n a >，故n a 最小项为8a ，最大项为9a ．【答案】n a 最小项为8a ，最大项为9a ．【例20】设数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n λ+=+∈N ，且{}n a 满足121n n a a a a +<<<<<，求实数λ的取值范围．【考点】导数与数列综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】误解：作辅助函数2()f x x x λ=+(1)x ≥，∵{}n a 是增数列，而函数()f x 在2λ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数， ∴12λ-≤，即2λ-≥，∴λ的取值范围是[2)-+∞，．分析：上述解法只考虑了函数的连续性，忽视了数列{}n a 自变量的离散性．事实上，1(1)a ，可以位于对称轴的左侧，且满足12a a <，即122λ<-≤且142λλ+<+，解得32λ-<<-，故λ的取值范围是(32)[2)(3)---+∞=-+∞，，，．【答案】(3)-+∞，【例21】已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<．【考点】导数与数列综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】构造辅助函数313()22f x x x =-+，则3()(1)(1)2f x x x '=--+．当(01)x ∈，时，()0f x '>，所以()f x 在(01)，上是增函数．①因为1(01)a ∈，，即101a <<，故1n =时原不等式成立．②设n k =时原不等式成立，即01k a <<，因为()f x 在(01)，上是增函数，所以(0)()(1)k f f a f <<．又(0)0(1)1f f ==，，所以0()1k f a <<，即101k a +<<．即1n k =+时，原不等式成立，由①②知，n +∈N 时，01n a <<．【答案】略【例22】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，函数21()()ln 2f x px p q x q x =-++，（其中p 、q 均为常数，且0p q >>），当1x a =时，函数()f x 取得极小值，点(2)()n n a S n *∈N ，均在函数22()qy px f x q x'=-++的图象上，（其中()f x '是函数()f x 的导函数）⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记43n nn S b q n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【考点】导数与数列综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()(1)()()()q px p q x q x px q f x px p q x x x-++--'=-++==，令()0f x '=得1x =或qx p=．∵01qp<<，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：1⑵222()2q y px f x q px px p x'=-++=+-，2*22()n nn S p a p a p n =⋅+⋅-∈N ， ∵11a =，211122a p a p a p =⋅+⋅-，得1p =，∴2221n nn S a a =+- ① 又∵2111221n n n S a a ---=+- ② ①-②得221122(),n n n n n a a a a a --=-+-∴22112()()0n n n n a a a a ----+=，∴111()02n n n n a a a a --⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 由于10n n a a -+>，∴112n n a a --=，所以{}n a 是以11a =，公差为12的等差数列，∴111(1)22n n a n +=+-⨯=．⑶2(1)13224n n n n nS n -+=+⋅=，由43n n n n S b q nq n =⋅=+， ∴23123(1)n n n T q q q n q nq -=++++-+，由已知0p q >>，而1p =，故1q ≠， 234123(1),n n n qT q q q n q nq +=++++-+23111(1)(1)1n n n n n n q q q T q q q qq nqnq q-++--=+++++-=--，∴12(1)(1)1n n n q q nq T q q+-=---．【答案】⑴11a =；⑵12n n a +=；⑶12(1)(1)1n n n q q nq T q q +-=---．【例23】已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n +=++∈N⑴证明数列{}1n a +是等比数列； ⑵令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小．【考点】导数与数列综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2005，山东，高考【解析】 ⑴由已知*125()n n S S n n +=++∈N 可得1224n n n S S n -=++≥，．两式相减得112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+．从而()1121n n a a ++=+（2n ≥）．当1n =时，21215S S =++，则21126a a a +=+，又15a =，∴211a =，从而()21121a a +=+，故总有112(1)n n a a ++=+，*n ∈N ．又11510a a =+≠，，从而1121n n a a ++=+，即数列{}1n a +是以6为首项，2为公比的等比数列； ⑵由⑴知321n n a =⨯- ∵212()n n f x a x a x a x =+++，∴112()2n n f x a a x na x -'=+++．从而12(1)2n f a a na '=+++()()23212321(321)n n =⨯-+⨯-++⨯-()()23222212n n n =+⨯++⨯-+++()1(1)31262n n n n ++=-⋅-+，（差比数列的求和）由上()()()222(1)231312121221n f n n n n n '--=-⋅---()()1212121(21)12(1)[2(21)]n n n n n n n =-⋅--+=--+①当1n =时，①式0=，∴22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式120=-<，∴22(1)2313f n n '<-；当3n ≥时，10n ->，又()011211C C C C nn n n n n n n -=+=++++2221n n +>+≥，所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦，即①0>，从而2(1)f '>22313n n -．（也可用数学归纳法解决此问）【答案】⑴略；⑵2(1)f '>22313n n -．【例24】已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2010，浙江，高考22⑴2()()[(3)2]x f x e x a x a b x b ab a '=-+-++--，令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，则22(3)4(2)(1)80.a b b ab a a b =-+---=+-+>△ 于是可设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且1x <2x ，①当1x 或2x a =时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a ≠且2x a ≠时，由于x a =是()f x 的极大值点，故12x a x <<，即()0g a <．即2(3)20a a b a b ab a +-++--<，所以b a <-，所以b 的取值范围是()a -∞-，； ⑵解：由⑴可知，假设存在b 及b x 满足题意，则： ①当21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-，于是1223a x x a b =+=--，即3b a =--．此时4223x x a a b a a =-=--=+或4123x x a a b a a =-=--=-． ②当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或122()a x x a -=-，ⅰ）若212()x a a x -=-，则242a x x +=，于是1232a x x =+=3(3)a b -++于是1a b +-，此时242(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=． ⅱ）若122()a x x a -=-，则142a x x +=，于是2132a x x =+=3(3)a b =++．于是1a b +-=此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+．综上所述，存在b 满足题意：当3b a =--时，4x a =±；当b a =--时，4x a =+；当b a =--时，4x a =+．【答案】⑴b 的取值范围是()a -∞-，；⑵存在b ，当3b a =--时，4x a =±；当b a =--时，4x a =+；当b a =--时，4x a =+．。

高三数学数列与三角函数知识点要点梳理

高三数学数列与三角函数知识点要点梳理数列和三角函数是高中数学的两个重要组成部分，对于高三学生来说，掌握这两个模块的知识点和解题技巧至关重要。

本文将对高三数学数列与三角函数的知识点进行详细梳理，帮助大家系统地理解和掌握这部分内容。

一、数列1.1 数列的定义与性质1.1.1 数列的定义数列是由一系列按一定顺序排列的数构成的序列。

通常表示为 a_n，其中 n 表示项数。

1.1.2 数列的性质（1）有限数列：项数有限；（2）无限数列：项数无限；（3）收敛数列：项数趋于有限值；（4）发散数列：项数趋于无穷大。

1.2 数列的通项公式1.2.1 等差数列等差数列的通项公式为 a_n = a_1 + (n - 1)d，其中 a_1 是首项，d 是公差。

1.2.2 等比数列等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_1 是首项，q 是公比。

1.3 数列的求和1.3.1 等差数列求和等差数列的前 n 项和为 S_n = n/2 * (a_1 + a_n) = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。

1.3.2 等比数列求和等比数列的前 n 项和为 S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中 |q| < 1。

1.4 数列的极限1.4.1 数列极限的定义数列极限是指当 n 趋于无穷大时，数列的某一项或某一项的某种形式趋于的一个确定的数。

1.4.2 数列极限的性质（1）收敛数列有极限；（2）发散数列无极限；（3）数列极限具有保号性、保序性。

二、三角函数2.1 三角函数的定义与性质2.1.1 三角函数的定义三角函数是周期函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

2.1.2 三角函数的性质（1）周期性：f(x + T) = f(x)，其中 T 是函数的周期；（2）奇偶性：f(-x) = f(x)（偶函数）或 f(-x) = -f(x)（奇函数）；（3）单调性：在一定区间内，三角函数的单调性可分为增函数和减函数。

高中数学概念公式大全

高中数学概念公式大全一、三角函数1、以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则sin α=r y ,cos α=r x ,tg α=x y ,ctg α=y x ,sec α=xr ,csc α=y r ; 2、同角三角函数的关系中,平方关系是：222222 倒数关系是：1=⋅ααctg tg ,1csc sin =⋅αα,1sec cos =⋅αα；相除关系是：αααcos sin =tg ,αααsin cos =ctg ; 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变,符号看象限;如：=-)23sin(απαcos -,)215(απ-ctg =αtg ,=-)3(απtg αtg -; 4、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ωπ2=T ,频率是πω2=f ,相位是ϕω+x ,初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω,凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心;5、三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈,递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈,tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈,ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈;6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos=±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tg2α=αα212tg tg -; 8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43-9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2cos 1α+± tg 2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +;10、升幂公式是：2cos2cos 12αα=+ 2sin 2cos 12αα=-; 11、降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=; 12、万能公式：sin α=21222ααtg tg + cos α=212122ααtg tg +- tg α=21222ααtg tg - 13、sin βα+sin βα-=βα22sin sin -,cos βα+cos βα-=βα22sin cos -=αβ22sin cos -;14、)60sin()60sin(sin 400ααα+-=α3sin ；)60cos()60cos(cos 400ααα+-=α3cos ；)60()60(00ααα+-tg tg tg =α3tg ;15、ααtg ctg -=α22ctg ; 16、sin180=415-; 17、特殊角的三角函数值：18、正弦定理是其中R 表示三角形的外接圆半径：R Cc B b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式,2b =B ac c a cos 222-+ 由余弦定理第二形式,cosB=acb c a 2222-+ 20、△ABC 的面积用S 表示,外接圆半径用R 表示,内切圆半径用r 表示,半周长用p 表示则：① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=；④R abc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =21、三角学中的射影定理：在△ABC 中,A c C a b cos cos ⋅+⋅=,…22、在△ABC 中,B A B A sin sin <⇔<,…23、在△ABC 中：-tgC B)+tg(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A == 2cos 2sin C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ 22C ctg B A tg =+ tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++24、积化和差公式：①)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅, ②)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅, ③)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅,④)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅;25、和差化积公式： ①2cos 2sin2sin sin y x y x y x -⋅+=+, ②2sin 2cos 2sin sin y x y x y x -⋅+=-, ③2cos 2cos 2cos cos y x y x y x -⋅+=+, ④2sin 2sin 2cos cos y x y x y x -⋅+-=-; 二、函数1、若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n 2,所有非空真子集的个数是22-n ;二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是ab x 2-=,顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，;用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即（一般式）c bx ax x f ++=2)(,（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()( 顶点式;2、幂函数nm x y = ,当n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象是3、函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知,函数的值域是)0[∞+，,单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，,单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞;三、反三角函数1、x y arcsin =的定义域是-1,1,值域是]22[ππ，-,奇函数,增函数； x y arccos =的定义域是-1,1,值域是]0[π，,非奇非偶,减函数； arctgx y =的定义域是R,值域是)22(ππ，-,奇函数,增函数； arcctgx y =的定义域是R,值域是)0(π，,非奇非偶,减函数;2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，； 221)cos(arcsin 1)sin(arccos x x x x -=-=，x x x x arccos )arccos(arcsin )arcsin(-=--=-π，2arccos arcsin π=+x x对任意的R x ∈,有： 2)()()()(ππ=+-=--=-==arcctgx arctgx arcctgx x arcctg arctgx x arctg xarcctgx ctg x arctgx tg ，，当x arctgx ctg x arcctgx tg x 1)(1)(0==≠，时，有：; 3、最简三角方程的解集：{}{}{}{}。

函数数列与三角函数的联系

函数数列与三角函数的联系函数数列和三角函数是高中数学中经常涉及的概念。

函数数列是函数在整数上的取值构成的序列，而三角函数则是用角度作为自变量的周期函数。

虽然函数数列和三角函数在形式上有所不同，但它们之间存在着密切的联系。

本文将探讨函数数列与三角函数的联系，并分析它们之间的关联性。

一、函数数列的定义与性质要了解函数数列与三角函数的联系，首先需要了解函数数列的基本定义与性质。

函数数列可以简单定义为函数在整数上的取值构成的序列，通常表示为{an}。

函数数列的性质包括有界性、单调性和极限性质等。

1. 有界性：函数数列可能是有界的，也可能是无界的。

有界性指函数数列是否存在一个上界和下界，即是否存在M和N，使得对任意的n，都有an≤M和an≥N。

有界性是函数数列的重要性质之一。

2. 单调性：函数数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。

单调性指函数数列的增减趋势是否一致。

如果对任意的n，都有an≤an+1，则函数数列为单调递增。

反之，如果对任意的n，都有an≥an+1，则函数数列为单调递减。

3. 极限性质：函数数列可能存在极限，也可能不存在极限。

极限性质是函数数列的重要性质之一。

如果存在一个实数L，使得对任意的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，|an - L|<ε，那么函数数列存在极限L。

同样地，如果函数数列不存在极限，也可以称之为发散。

二、三角函数的定义与性质三角函数是用角度作为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

三角函数具有周期性和性质上的特点。

以下是三角函数的定义与性质的简要介绍。

1. 正弦函数（sin）：正弦函数是角度的函数，通常表示为y=sin(x)，其中x为角度，y为对应的正弦值。

正弦函数的图像呈现周期性的波浪形态，振荡范围在[-1,1]之间。

2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是角度的函数，通常表示为y=cos(x)，其中x为角度，y为对应的余弦值。

数学三角函数和数列资料

1．（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．，由，，（=0时等号成立，从而可求bcsinA﹣sin2x﹣≤2k≤，≤2k≤，[k，[k（=0，cosA=1+bcbcsinA面积的最大值为2．（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一2（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．．从而可补全数据，解得函数表﹣）=k．令，解得，．数据补全如下表：2﹣﹣）=k x=）的图象关于点（）成中心对称，令=．3．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．﹣]∈）=，﹣]∈，2x+时，=，即﹣4．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．x=≤φ可得）．再根据的范围求得﹣+﹣+，∴对称，可得×≤φ可得﹣（=（＜﹣=．＜，﹣=，））]）cos+cos﹣．5．（2011•北京）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．2x+）﹣）（Ⅱ）∵﹣≤，≤2x+，2x+，即x=时，=时，即时，6．（2009•连云港模拟）在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．）由7．（2007•山东）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若，且a+b=9，求c的长．（Ⅱ）利用向量的数量积的计算，根据，∴，解得（Ⅱ）∵8．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．a=（Ⅰ）因为向量b=﹣﹣tanA=A=；a==9．（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．ADC=ADC===，sinB=×﹣=×10．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．2A+，，32A+=cos2Acos﹣sin2Asin=11．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．中，由正弦定理得CED=，由（Ⅰ）知=AEB=）=cos cos+sin sinBE=12．（2010•安徽）△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．cosA=，所以先求cosA=得•cosA=，得sinA==．sinA=30•=bccosA=156×﹣13．（2010•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．）根据三角形的面积公式题中所给条件可得absinCabsinC=×tanC=C=﹣cosA+sinA+cosA=A+14．（2015•巴中模拟）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．=，求出通项公式=q=×==﹣15．（2014•张掖模拟）数列{a n}对任意n∈N*，满足a n+1=a n+1，a3=2．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若，求{b n}的通项公式及前n项和．，拆项后分别利用等比数列的前，=，16．（2014•龙泉驿区模拟）已知各项均为正数的数列{a n}的首项a1=1，且log2a n+1=log2a n+1，数列{b n﹣a n}是等差数列，首项为1，公差为2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．）由题可得：）由题可得：，∴数列17．（2013秋•九原区校级期末）已知等比数列{a n}中，a2=2，a5=128．若b n=log2a n，数列{b n}前n项的和为S n．（Ⅰ）若S n=35，求n的值；（Ⅱ）求不等式S n＜2b n的解集．=2=35＜3+18．（2014春•禅城区期末）等比数列{a n}的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项．（1）求公比q；（2）若{a n}的前n项和为S n，判断S3，S9，S6是否成等差数列，并说明理由．或时，不能构成等差数列，当即即时，19．（2014秋•科尔沁区期末）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣1，设数列{b n}满足对任意自然数n都有+++┅+=2n+1恒成立．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求b1+b2+b3+┅+b2011的值．，再由+++ +++时，。

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全以下为改写后的文章：高中三角函数公式大全三角函数公式：1.两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2.倍角公式tan2A = (2tanA)/(1-tanA)sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A-sin²A = 2cos²A-1 = 1-2sin²A 3.三倍角公式sin3A = 3sinA-4sin³Acos3A = 4cos³A-3cosAtan3A = tana·tan(A+π)·XXX(A-π) 4.半角公式sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)cos(A/2) = ±√((1+cosA)/2)tan(A/2) = ±√((1-cosA)/(1+cosA)) cot(A/2) = ±√((1+cosA)/(1-cosA)) 5.和差化积sin(a+b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a+b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a-b) = 2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2)tan(a+b) = (tanA+tanB)/(1-XXX)6.积化和差sinA·sinB = (1/2)(cos(A-B)-cos(A+B)) cosA·cosB = (1/2)(cos(A-B)+cos(A+B)) sinA·cosB = (1/2)(sin(A+B)+sin(A-B)) cosA·sinB = (1/2)(sin(A+B)-sin(A-B)) 7.诱导公式sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAsin(π-A) = sinAcos(π-A) = -cosAsin(π+A) = -sinAcos(π+A) = -cosACos(π-a)=-cos aSin(π+a)=-sin aCos(π+a)=-cos aSin a万能公式：a^2 tan^2 a=a^2/(1+tan^2 a)a^2/(1-tan^2 a)=cos^2 a其他公式：2a sina+b cosa=(a^2+b^2)sin(a+c)，其中tanc=a sin(a)-b cos(a)=b/(a+cos a)1+sin a=(sin a+cos a)^2/2其他非重点三角函数：csc a=1/sin asec a=1/cos a双曲函数：sinh a=(e^a-e^-a)/2cosh a=(e^a+e^-a)/2XXX a公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα，cot(2kπ+α)=cotα公式二：对于任意角α，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，cot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα，cot(π-α)=-cotα公式五：利用公式二和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tanα，cot(2π-α)=-cotα公式六：对于±α及±α，与α的三角函数值之间的关系为：sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα以下是一些常用的三角函数公式：tan（+α）= -cotα，cot（+α）= -tanα这两个公式表示正弦和余弦的相反数的比值等于余切和正切的相反数。

高中常用数学二级结论

高中常用数学二级结论高中常用数学二级结论涉及到很多方面，如三角函数、数列、平面几何等。

下面我将就其中一些结论进行详细阐述。

一、三角函数1.极角余弦定理对于任何一个三角形ABC，P点是其内部的一点，则有：cos PAC + cos PAB + cos PBC = 1 + cos ABC这个结论表明，对于任何一个三角形的内部一点P，它到三个角的余弦值之和等于常数1加上余弦值对应的角的和。

2.半角公式对于任意一个角A，在A/2的两遍，设AB，AC分别为A/2的角平分线，有：sin A/2 = √[1-cosA]/2cos A/2 = √[1+cosA]/2tan A/2 = sin A/(1+cosA)这个结论广泛应用于三角函数的计算中，可简化计算过程。

二、数列1. 常见数列的通项公式对于一些经常出现的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等，它们都有一个通项公式，来表示第n项的值。

等差数列公式：an = a1 + (n-1)d等比数列公式：an = a1 * q^(n-1)斐波那契数列公式：Fn = Fn-1 + Fn-2这些公式是高中数学里比较基础的知识，掌握它们可以方便我们在求解数列问题时，快速得出所需的值。

2. 递推数列的通项公式对于一些递推数列，其前一项或前几项的值与后一项或后几项的值有一定的联系，可以借助这些联系来求出通项公式。

如Fibonacci数列通项公式：Fn = [φ^n - (1-φ)^n]/√5，其中φ=(1+√5)/2，称为黄金分割数，是一个十分有趣的数学结论，其出现在音乐、美术、建筑等多个领域中。

三、平面几何1. 垂线分割线段对于平面上的一条线段AB，它的中垂线CD，将线段分成两部分，有：AC²- CD²= BC²- CD²这个结论可以应用于平面几何中的很多问题，如求线段的长度、判定三角形的性质等。

2. 等角平分线定理对于任意三角形ABC，AE是其内角BAC的平分线，则有：AB/AC = EB/EC这个结论表明，内角的平分线的性质与外接圆密切相关，在平面几何中有重要的应用。

高中所有数学定理以及公式

高中所有数学定理以及公式三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ²cotα＝1sinα ²cscα＝1cosα ²secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。

）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ²tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ²tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———²cos———2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———²sin———2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———²cos———2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———²sin———2 2 1sinα ²cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 21cosα ²sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）] 21cosα ²cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ²sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B，记作A BA B，B A A＝BA B＝{x|x∈A，且x∈B}A B＝{x|x∈A，或x∈B}card（A B）＝card（A）+card（B）－card（A B）（1）命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若 p则 q逆否命题若 q，则 p（2）四种命题的关系（3）A B，A是B成立的充分条件B A，A是B成立的必要条件A B，A是B成立的充要条件函数的性质指数和对数（1）定义域、值域、对应法则（2）单调性对于任意x1，x2∈D若x1＜x2 f（x1）＜f（x2），称f（x）在D上是增函数若x1＜x2 f（x1）＞f（x2），称f（x）在D上是减函数（3）奇偶性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若f（－x）＝f（x），称f （x）是偶函数若f（－x）＝－f（x），称f（x）是奇函数（4）周期性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f（x+T）＝f(x)，则称f（x）是周期函数（1）分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是（2）对数的性质和运算法则loga（MN）＝logaM+logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）指数函数对数函数（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y＞0图象经过（0，1）a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜10＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1a＞ 1时，y＝ax是增函数0＜a＜1时，y＝ax是减函数（1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数（2）x＞0，y∈R图象经过（1，0）a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜00＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0a＞1时，y＝logax是增函数0＜a＜1时，y＝logax是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）同底型logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）换元型 f（ax）＝0或f (logax)＝0数列数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an＝f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1－an＝dan＝a1+（n－1）da，A，b成等差 2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列常用求和公式an＝a1qn＿1a，G，b成等比 G2＝abm+n＝k+l aman＝akal不等式不等式的基本性质重要不等式a＞b b＜aa＞b，b＞c a＞ca＞b a+c＞b+ca+b＞c a＞c－ba＞b，c＞d a+c＞b+da＞b，c＞0 ac＞bca＞b，c＜0 ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0 ac＜bda＞b＞0 dn＞bn（n∈Z，n＞1）a＞b＞0 ＞（n∈Z，n＞1）（a－b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a＞b（或a＜b），只需证明a－b＞0（或a－b＜0＝即可（2）若b＞0，要证a＞b，只需证明，要证a＜b，只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。

三角函数相关公式推导过程以及高中数学常用公式

三⾓函数相关公式推导过程以及⾼中数学常⽤公式三⾓函数相关公式推导过程万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2 (α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2 (α))然后⽤α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。

正切的万能公式可通过正弦⽐余弦得到。

三倍⾓公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)=3sinα－4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))=4cos^3(α)－3cosα即sin3α=3sinα－4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)－3cosα和差化积公式推导⾸先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina *cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)= cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*c osb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需⼀个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b 设为x,a-b 设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b 分别⽤x,y 表⽰就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)⾼中数学常⽤公式及结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??2 集合12{,,,}n a a a 的⼦集个数共有2n 个；真⼦集有21n -个；⾮空⼦集有21n -个；⾮空的真⼦集有22n -个. 3 ⼆次函数的解析式的三种形式：(1) ⼀般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。

高中数学最全的二级结论：数列、三角函数（收藏）

高中数学最全的二级结论：数列、三角函数（收藏）39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnn s n a s s n( 数列{}n a 的前n 项的和为12nn s a a a ).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N ；其前n 项和公式为1()2n nn a a s 1(1)2n n na d211()22d na d n .41.等比数列的通项公式1*11()n nna a a qq nN q；其前n 项的和公式为11(1),11,1nna q q s q na q或11,11,1n na a qq qs na q .42.等比差数列n a :11,(0)n n a qa d a b q 的通项公式为1(1),1(),11nn nb n d q a bqdb qdq q ；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnb n n d q s d qd bn qqq q.43.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnab b xb 元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式（1）若(0,)2x ，则sin tan xx x .(2) 若(0,)2x，则1sin cos 2x x.(3) |sin ||cos |1x x .45.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan =cossin ，tan 1cot .46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n co 212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co 47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin ; cos()cos cos sinsin;tan tan tan()1tantan .22sin()sin()sin sin(平方正弦公式); 22cos()cos()cossin.sin cos a b =22sin()a b (辅助角所在象限由点(,)a b 的象限决定,tanb a).48.二倍角公式sin 2sin cos .2222cos 2cossin2cos112sin.22tantan21tan.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin4sin sin()sin()33. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33.323tantantan 3tan tan()tan()13tan 33.50.三角函数的周期公式函数sin()y x，x ∈R 及函数cos()y x ，x ∈R(A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T；函数tan()y x ，,2xkk Z (A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T.51.正弦定理2sin sin sin a b c R A BC.52.余弦定理2222cos a b c bc A ; 2222cos b c a ca B ; 2222cos cabab C . 53.面积定理（1）111222abc Sah bh ch （a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数)(n 为奇数)（2）111sin sin sin 222S ab Cbc Aca B .(3)221(||||)()2OABS OA OB OA OB .54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A BC CA B 222C A B 222()CAB .55.简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a . s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a . tan arctan (,)x a xka kZ a R .特别地,有sin sin (1)()kk k Z . s cos 2()co k k Z . tan tan()k kZ . 56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),xa a xka ka kZ .sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z . cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z . cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z .tan ()(arctan ,),2xa aR xka kkZ .tan ()(,arctan ),2x a a R x kk a k Z .。

3高中数学三角函数知识点总结

高考三角函数1.特殊角的三角函数值：sin 00= 0cos 00= 1tan 00= 0 sin300=21cos300=23tan300=33sin 045=22cos 045=22tan 045=1sin600=23cos600=21tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无意义2．角度制与弧度制的互化：,23600,1800003000456009000120013501501800270036000 64323243652323.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .扇形面积公式:S=rl.21----是圆心角且为弧度制。

r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22yx (1)正弦sin =r y 余弦cos =r x正切tan =xy(2)各象限的符号：sin cos tanxy +O ——+ x yO —+ + —+ y O —+ + —5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2+ cos 2=1。

（2）商数关系：cossin =tan （z k k ,2）6.诱导公式：1sin 2sin k，cos 2cos k ，tan 2tan k k ．2sinsin ，cos cos ，tan tan ．3sinsin ，cos cos ，tan tan ．4sin sin ，cos cos ，tan tan ．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sin cos 2，cos sin 2．6sin cos 2，cos sin 2．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质8、三角函数公式：降幂公式：升幂公式：1+cos =2cos 22cos 222cos 11-cos =2sin 22sin 222cos 19．正弦定理：2sin sin sin ab c R ABC . 余弦定理：2222cos a b c bc A ; 2222cos b c a ca B ;2222cos c a b ab C .三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B .1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

高考数学集合、函数、数列、三角函数公式考点(承勇整

高中数学第一章-集合一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、考试注意事项：三、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1. 整式不等式的解法根轴法（零点分段法）（从右上角开始划线，大于取上边，小于取下边） ①将不等式化为 a 0( 1)( 2)()>0(<0) 形式，并将各因式 x 的系数化“ +”； ( 为了统一方便 ) .5②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（ x 的系数化“ +”后）是“ >0”, 则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“ <0”, 则找“线”在 x 轴下方的区间 .（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4. 一元二次方程根的分布x 1x 2x x m-33-x+ m-2x m-1-x +mx二次函数y ax2bx c（ a0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2a bx c 0 0 的根 x 1 , x 2 (x 1 x 2 ) x 1 x 2b 2a无实根ax 2(a bx c 0 0)的解集 x x x 1或x x 2x xb2aRax2 (a bx c 00)的解集x x 1 x x 22. 分式不等式的解法（ 1）标准化：移项通分化为f ( x)>0( 或 f ( x)<0) ； f ( x) g( x) g( x) g( x) ≥ 0( 或 f ( x) ≤ 0) 的形式，g( x) （2）转化为整式不等式（组）f (x) g( x)f (x) g( x) 0;f ( x)g( x)f ( x)g( x) g( x) 03. 含绝对值不等式的解法（1）公式法：ax b c , 与 ax b c(c 0) 型的不等式的解法 .2一元二次方程0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（四）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

三角函数高中知识点(汇集5篇)

三角函数高中知识点(汇集5篇）三角函数高中知识点（1）一、锐角三角函数公式sin=的对边/斜边cos=的邻边/斜边tan=的对边/的邻边cot=的邻边/的对边二、倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))三、三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a=tanatan(/3+a)tan(/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B四、降幂公式sin2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina[(3/2)-sina]=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina_2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]_2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2] =4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosa[cosa-(3/2)]=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa_2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]_{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)五、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)sin2(a/2)=(1-cos(a))/2cos2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))六、三角和sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)七、两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)八、和差化积sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)九、积化和差sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2coscos=[cos(+)+cos(-)]/2sincos=[sin(+)+sin(-)]/2cossin=[sin(+)-sin(-)]/2十、诱导公式sin(-)=-sincos(-)=costan(—a)=-tansin(/2-)=coscos(/2-)=sinsin(/2+)=coscos(/2+)=-sinsin(-)=sincos(-)=-cossin(+)=-sincos(+)=-costanA=sinA/cosAtan(/2+)=-cottan(/2-)=cottan(-)=-tantan(+)=tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限十一、万能公式sin=2tan(/2)/[1+tan(/2)]cos=[1-tan(/2)]/1+tan(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan(/2)]十二、其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)^2=(csc)^2(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2_2/n)+sin(+2_3/n)++sin[+2_(n-1)/n]=0cos+cos(+2/n)+cos(+2_2/n)+cos(+2_3/n)++cos[+2_(n-1)/n]=0以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数高中知识点（2）口诀记忆法高中数学中，有些方法如果能编成顺口溜或歌诀，可以帮助记忆。

2014-2015高中数学必修四三角函数公式大全

高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=AA cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a -cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aa cos sin 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2)2(tan 12tan2a a- 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2 其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =acos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= -cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinαcos （-α）= cosαtan （-α）= -tanαcot （-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinαcos （π-α）= -cosαtan （π-α）= -tanαcot （π-α）= -co tα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinαcos （2π-α）= cosαtan （2π-α）= -tanαcot （2π-α）= -cotα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）2009-07-08 16:13公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。

高三数学导数与三角函数和数列 2

题型三：导数与三角函数综合【例1】设函数223()cos 4sin 3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞ B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【例2】将函数2y []()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为．【例3】已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【例4】求证：方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【例5】设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =． ⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．【例6】已知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ，，，，令()f x a b =⋅ ，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．【例7】设()()21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；⑵ 证明：当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()cos sin 2θθ-<f f ．【例8】已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【例9】已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．【例10】设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，，证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<= ，，【例11】已知函数()32343cos cos 16f x x x θθ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【例12】已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．题型四：导数与数列综合【例13】已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n = ，，，．证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【例14】已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n +∈N ，求数列{}n a 的最大项．【例15】共有50项的数列{}n a 的通项n a =【例16】设数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n λ+=+∈N ，且{}n a 满足121n n a a a a +<<<<< ，求实数λ的取值范围．【例17】已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<．【例18】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，函数21()()ln 2f x px p q x q x =-++，（其中p 、q 均为常数，且0p q >>），当1x a =时，函数()f x 取得极小值，点(2)()n n a S n *∈N ，均在函数22()qy px f x q x'=-++的图象上，（其中()f x '是函数()f x 的导函数）⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记43n nn S b q n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【例19】已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n +=++∈N⑴证明数列{}1n a +是等比数列；⑵令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小．【例20】已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．。

高考数学知识点归纳

高考数学知识点归纳高考数学知识点归纳整理高考数学多个常考知识点，包括函数、数列、不等式、三角函数、立体几何等重点内容，以下是小编整理的高考数学知识点归纳，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。

高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考数学冲刺注意事项重视新增内容考查，新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。

例如：三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。

立足基础，强调通性通法，增大覆盖面。

从历年高考试题看，高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。

突出新课程理念，关注应用，倡导“学以致用”。

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。

加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要，也是作为工具学科的数学学科特点的体现。

有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。

高考数学必背公式一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cos A)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB数学解题方法1、剔除法利用题目给出的已知条件和选项提供的信息，从四个选项中挑选出三个错误答案，从而达到正确答案的目的。

高考数学集合、函数、数列、三角函数公式考点(承勇整理)

高中数学第一章-集合一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、考试注意事项：三、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法与延伸 1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）（从右上角开始划线，大于取上边，小于取下边）①将不等式化为a 0(1)(2)…()>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程20(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（四）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

高三数学必背必考知识点

高三数学必背必考知识点高三数学必背必考知识点1第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

高中数学三角函数和数列公式

三角函数、解三角形三角函数的图像：-11y=sinx-2π2π3π/2ππ/2-3π/2-π-π/2oyx-11y=cosx-2π2π3π/2ππ/2-3π/2-π-π/2oyx同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin .正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）两角和与差公式：（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.二倍角公式：（1） sin 2sin cos ααα=.（2）2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.（3）22tan tan 21tan ααα=-. 公式变形： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+=三角函数的周期：（1）函数sin()y x ωϕ=+，cos()y x ωϕ=+，x ∈R 的周期2T πω=；（2）函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈的周期T πω=. 辅助角公式： )sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan正弦定理：2sin sin sin a b c R ABC===.::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-; 2222c o s b c a c a B=+-; 2222cos c a b ab C =+-.三角形面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.数列等差数列：通项公式：（1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

高中数学课件三角函数ppt课件完整版

高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。

特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。

诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。

正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。

三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。

通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。

030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。

值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。

单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。

最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。

诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。

诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。

例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。

恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。

恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。

其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。