数学思想方法与新题型解析通用优教案

数学思想方法与新题型解析

重点、难点:

数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅, 分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。

在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。

（一）方程思想

在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。

.方程思想的最基本观点一一几个未知数，列几个独立的方程

我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。

2 2 例.已知：X i、x2是关于的方程x22x m2 =0的两个实数根，且X i -X2 =2，求的值。

分析：本题中涉及三个未知数X i、X2、m，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于

2 2 o

X i、X2的方程X

1 -X

2 = 2，那么只需再找出两个关于X1、X2和的方程即可。

A = 4 -4m2> 0 ①

X"! +x2 = -2 ②

xg = m2③

解法依题意，得丛1—x；=2④

④②，得X" - X 2 - -1⑤

②■⑤，得X r - - 3

2

把x r --—代入②，得x2 - - 1

2 2

2 O

m x r x2

4

2

(1)

.3

又当 m - 时，.：-4 - 4m 2

2

说明： 一般地，有几个未知数，则需列几个方程。

例•如图，在直角三角形中，• C = 90，是 ABC 的角平分线，，已知，，求、的长。

BE BD 15

分析：题目要求、这两个未知数的值，由于，并且，，容易得到 EA _ DC _ 12，得到

关于、的一个方程。而题目中有两个未知数，还需要再建立一个关于、 的方程。

由条件易知，厶和厶都是直角三角形，由是角平分线和可以证明， 这样就把、集中在厶中, 用勾股定理可再列一个方程。

解：；AD

是ABC 的角平分线

CA D —DAB DE //CA ADE —CAD ADE "DAE .DE AE

设为，为，那么DE 二x

2

DE//CA

AE CD

■

BE BD

x 12 4

y 15 5

C =90o

EDB = 90o

(1)

.BD 2 DE 2 二 BE 2 即225 x 2 二 y 2

⑵

解由(1)、(2)组成的方程组，得

x 1 = 20 x 2 = -20

(舍去)

y i =

25

y2 - -25

AE 二 20, BE =25

.方程思想解题的核心一一构造方程，沟通已知与未知的联系

用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知 与未知的联系，从而使问题得到解决。

例.已知：如图，是半圆的直径，为延长线上一点，与半圆相切于点，

CB_AB ，若

AD =2 .6, AE : EC =

2

:

1

，求o 半径。

分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知垂直直径，可知是O 的切线，于是 有；由切割线定理得 AE 2二

AD • AB ；在Rt ：ABC 中，由勾股定理得AC^ AB 2 BC 2。 题目又给出了两

条线段的比 AE : EC=2: 1，则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。

若设CE = CB = x ，则根据上面的等量关系易得 AE = 2x , AC = 3x , AB = 2 •. 2x 。以 2

AE

=AD •

AB

为等量关系构造方程：

(2x)2 =2.6 • 2 2x 解得x =23

AB =4.6, DB =2、6

.OO 半径为飞

解略

问：题目要求o 半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造 易解的方程，从而求出半径的长呢？

进一步分析可以看到，由CE=CB, AE: EC =2: 1，可知CB: AC=1：3，即

1

sinA =

3。连结（如图），贝U OE 丄AC 。

设OE =OD = m ，贝V AO =2.6 m

OE 1

在 Rt.：AEO 中，si nA =竺=-

AO 3，把它作为等量关系构造方程:

解得m - • 6，从而求出半径长为

6。

说明：从本例的两种不同解法可看到，列方程的关键是寻求等量关系。

在几何计算题中，常利用几何中的定理、公式，如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、 三角函数关系式等作为等量关系来构造方程，或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系 （线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例）等构造方程。

下面我们把此例的已知条件稍加变化，分析如何寻找等量关系构造方程求解。

例.如图，是半圆的直径，为延长线上一点，与半圆相切于点，CB_AB 。若

AE : EC = 2 : 1，DE BE = 4

22

，求：A BC 的面积。

分析：要求 ABC 的面积，只要求出、的长即可。题目中给出了线段比，可利用比值设 未知数，把其它线段用此未知数表示出来，寻找等量关系，构造方程。此题解法很多，仅举 其中一种解法。

简解：可证为半圆的切线，

设CE 二 CB 二 x ，贝U AE =2x

由勾股定理得AB =2、.2x ，由切割线定理得 AD 二2x

DB = 2x