第十讲无穷级数PPT课件
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无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
高等数学-无穷级数ppt
级数分类
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
第十章 无穷级数
；
解
该级数收敛 该级数发散，故收敛域是 .
∴ 收敛区间 .
，∴ 故收敛域为 。
例2求幂级数 的收敛半径。
解:1)若 因为对一切 ,而调和级数 发散,由比较审敛法可知p级数 发散。
2)若 因为当 时, 故
考虑级数 的部分和
故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛。
结论：若 都有
则 发散； 则 收敛。
例2.证明级数 发散。
证:
而级数 发散，根据比较审敛法可知,所给级数发散。
定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数 满足 则有
的收敛性问题，通常是化为研究级数
的敛散性问题，即转化为正项级数的敛散性问题．
下面讨论级数 与 敛散性之间的关系。
定理7绝对收敛的级数一定收敛。
证:设 收敛，令
显然 ,且 根据比较审敛法 收敛,
而 、 都收敛，所以 也收敛。
注：如果级数 发散时，级数 不一定发散。例如级数 是发散的，但级数 却是收敛的。
解:考虑加括号后的级数
项通 ，
发散,从而原级数发散。
性质5（级数收敛的必要条件）设收敛级数 则必有
证: ，
注:若级数的一般项不趋于0 ,则级数必发散。
例如, 其一般项为 ，
当 时, 不趋于0,因此这个级数发散。
注: 并非级数收敛的充分条件.
如,调和级数 ，虽然 但此级数发散。
事实上,假设调和级数收敛于S,则 ，但
基本内容
一、函数项级数的概念
定义1设 是定义在区间 上的函数列，则称
为定义在区间I上的函数项级数．
对于区间 内每一点 ，函数项级数既为常数项级数
．
若级数 收敛，则称点x0为函数项级数 的收敛点，级数 的收敛点的全体，称为该级数的收敛域．若级数 发散，则称点x0为函数项级数 的发散点．
解
该级数收敛 该级数发散，故收敛域是 .
∴ 收敛区间 .
，∴ 故收敛域为 。
例2求幂级数 的收敛半径。
解:1)若 因为对一切 ,而调和级数 发散,由比较审敛法可知p级数 发散。
2)若 因为当 时, 故
考虑级数 的部分和
故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛。
结论：若 都有
则 发散； 则 收敛。
例2.证明级数 发散。
证:
而级数 发散，根据比较审敛法可知,所给级数发散。
定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数 满足 则有
的收敛性问题，通常是化为研究级数
的敛散性问题，即转化为正项级数的敛散性问题．
下面讨论级数 与 敛散性之间的关系。
定理7绝对收敛的级数一定收敛。
证:设 收敛，令
显然 ,且 根据比较审敛法 收敛,
而 、 都收敛，所以 也收敛。
注：如果级数 发散时，级数 不一定发散。例如级数 是发散的，但级数 却是收敛的。
解:考虑加括号后的级数
项通 ，
发散,从而原级数发散。
性质5（级数收敛的必要条件）设收敛级数 则必有
证: ，
注:若级数的一般项不趋于0 ,则级数必发散。
例如, 其一般项为 ，
当 时, 不趋于0,因此这个级数发散。
注: 并非级数收敛的充分条件.
如,调和级数 ，虽然 但此级数发散。
事实上,假设调和级数收敛于S,则 ，但
基本内容
一、函数项级数的概念
定义1设 是定义在区间 上的函数列，则称
为定义在区间I上的函数项级数．
对于区间 内每一点 ，函数项级数既为常数项级数
．
若级数 收敛，则称点x0为函数项级数 的收敛点，级数 的收敛点的全体，称为该级数的收敛域．若级数 发散，则称点x0为函数项级数 的发散点．
无穷级数PPT
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n(n 1) 2 2 3 n n 1
1 n 1
1
因为
1 lim Sn lim 1 1 ,所以这个级数收敛,其 n n n 1
注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
un 0 ，也不能由此判定级 件，也就是说，即使 lim n
数 u n 收敛.下面的例9正说明了这一点： lim 0 ， n n 但级数 1 n 1
所以，阴影部分的总面积为
1 1 1 n 1 A Ak 1 k 1 2 3 n k 1 k
n
它显然大于曲边梯形的面积S，即有
A Ak 1
k 1 n n 1
1 n dx ln x |1 ln n 1 1 x
而
lim ln1 n
所以级数
发散.
1 n 1 1 n 1 n 1 2 n n 1
例6 判别级数
的敛散性.
解 级数 1 与级数 n 1
n 1
n 1
级数
2 n1
1 都收敛，故由性质2知， nn 1
1 n 1 . 1收敛 n 1 n 1 2 n n 1
8到15项，…加括号后得
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) p p p p p p p p 2 3 4 5 6 7 8 15
它的各项显然小于级数
高等数学课件 第十章 无穷级数4
第十章 无穷级数
§4 函数项级数
函数项级数：设un(x),(n=1, 2, 3, )是定义在集合D 上的函数序列,则称和式
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n1
为定义在集合D上的函数项级数。
例1. xn1 1 x x2 xn1 n1 为定义在 R 上的幂级数.
当 x 1时,收敛；当 x 1 时,发散. 收敛域 (1,1); 发散域(,1] [1,).
sin nx
例2.
n1
n2
为定义在(–, + )上的三角级数.
§4 函数项级数
收敛点、发散点和收敛域：若对x0∈D,数项
级数 un (x0) 收敛（发散），则称x0为该函数项 n1
级数的收敛点（发散点）。收敛点的全体X称为 收敛域，发散点全体称为发散域。
使得当n N时， 对x [a,b],均有
| fn (x) f (x) | .
y f (x)
y f (x)
y fn (x)
y f (x)
fn (x) xn (1 xn ) 0, 当0 x 1时.
在(0,1)上fn (x)
1
不一致收敛； 4
fn (x)
在(0, a（) 0 a 1)上fn (x) 一致收敛。
解 由达朗贝尔判别法
un1( x) un ( x)
n 1 n1 1 x
1 1 x
(n )
(1) 当 1 1, 1 x 1,即 x 0或x 2时,
1 x 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1 x 1, 即 2 x 0时, 原级数发散. 1 x
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x
1
f1(x) x f2(x) x2
§4 函数项级数
函数项级数：设un(x),(n=1, 2, 3, )是定义在集合D 上的函数序列,则称和式
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n1
为定义在集合D上的函数项级数。
例1. xn1 1 x x2 xn1 n1 为定义在 R 上的幂级数.
当 x 1时,收敛；当 x 1 时,发散. 收敛域 (1,1); 发散域(,1] [1,).
sin nx
例2.
n1
n2
为定义在(–, + )上的三角级数.
§4 函数项级数
收敛点、发散点和收敛域：若对x0∈D,数项
级数 un (x0) 收敛（发散），则称x0为该函数项 n1
级数的收敛点（发散点）。收敛点的全体X称为 收敛域，发散点全体称为发散域。
使得当n N时， 对x [a,b],均有
| fn (x) f (x) | .
y f (x)
y f (x)
y fn (x)
y f (x)
fn (x) xn (1 xn ) 0, 当0 x 1时.
在(0,1)上fn (x)
1
不一致收敛； 4
fn (x)
在(0, a（) 0 a 1)上fn (x) 一致收敛。
解 由达朗贝尔判别法
un1( x) un ( x)
n 1 n1 1 x
1 1 x
(n )
(1) 当 1 1, 1 x 1,即 x 0或x 2时,
1 x 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1 x 1, 即 2 x 0时, 原级数发散. 1 x
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x
1
f1(x) x f2(x) x2
无穷级数课件(同济第五版)
n =1 ∞ ∞ ∞
0 < A < +∞ 时
∞
n =1
A=0
如 ∑ Vn
n =1 ∞
收敛，则 ∑ u n 收敛
n =1 ∞
A=+∞ 如 ∑ u n
n =1
收敛，则 ∑ Vn 收敛
n =1
判别下列级数敛散性
∞
例、 ∑ ln
n =1
n +1 n ln n +1 ∞ 1 n =1 又 ∑ 发散，∴原级数发散 1 n =1n n
1 1 n = lim 2n 2 = 1 1 n →∞ 1 2 2 2 n n
收敛 ∴原级数收敛
∵ ∑
∞
1
2
n =1 n
（3）∵
lnn 1 > n n lnn n =1 n
∞
(n ≥ 3)
∵ ∑
1 n =1 n
∞
发散，
∴∑
发散
例、P271
例 7.7
7.8
2、比判别法
设正项级数 ∑ u n 的一般项满足
收敛，又由比较判别法知原级数收敛
n n n =13
∞
n cos 2
（6） u n = ∴ 原级数收敛
nπ ∞ n 3 < n ，由此值法知 ∑ n 收敛 n n =1 4 4 4
3°交错级数的敛散性的判别法 如 u n > 0 ，则称 ∑ (− 1)
n =1 ∞ n −1
u n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + … 为交错级数。
第七章 无穷级数
10 常数项级数概念及性质 1、定义 P264 ∑ a n = a1 + a 2 + L + a n + L
0 < A < +∞ 时
∞
n =1
A=0
如 ∑ Vn
n =1 ∞
收敛，则 ∑ u n 收敛
n =1 ∞
A=+∞ 如 ∑ u n
n =1
收敛，则 ∑ Vn 收敛
n =1
判别下列级数敛散性
∞
例、 ∑ ln
n =1
n +1 n ln n +1 ∞ 1 n =1 又 ∑ 发散，∴原级数发散 1 n =1n n
1 1 n = lim 2n 2 = 1 1 n →∞ 1 2 2 2 n n
收敛 ∴原级数收敛
∵ ∑
∞
1
2
n =1 n
（3）∵
lnn 1 > n n lnn n =1 n
∞
(n ≥ 3)
∵ ∑
1 n =1 n
∞
发散，
∴∑
发散
例、P271
例 7.7
7.8
2、比判别法
设正项级数 ∑ u n 的一般项满足
收敛，又由比较判别法知原级数收敛
n n n =13
∞
n cos 2
（6） u n = ∴ 原级数收敛
nπ ∞ n 3 < n ，由此值法知 ∑ n 收敛 n n =1 4 4 4
3°交错级数的敛散性的判别法 如 u n > 0 ，则称 ∑ (− 1)
n =1 ∞ n −1
u n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + … 为交错级数。
第七章 无穷级数
10 常数项级数概念及性质 1、定义 P264 ∑ a n = a1 + a 2 + L + a n + L
高等数学课件 第十章 无穷级数5-6
1. 幂级数的收敛半径
引理
(Abel定理)
：
(1)若幂级数 an xn在点x x1(x1 0)处收敛，
n0
则对于满足| x |<| x1|的所有x,
an xn绝对收敛；
n0
(2)若幂级数 an xn在点x x2 (x2 0)处发散，则对
n0
于满足| x |>| x2|的所有x, an xn也发散，如图
lim un1 lim an1 | x | l | x | .
n un
n an
当0 l 时,由达朗贝尔判别法，
若l
|
x
|
1,即
|
x
|
1 l
时,
级数
an xn绝对收敛；
n0
当l
|
x
|
1,即
|
x
|
1 l
时,
级数
an xn发散.
n0
所以收敛半径R
1 l
.
定理2的证明:
lim | an1 a n
(3) 若 x2为发散点, (, | x2 |) (|x2|, +)内的一 切点均为发散点.
所以,在(|x1|, |x2|)上有一分界点 r, 使得(0, r) 上 点为收敛点, (r, + )上点为发散点.
同理,在(| x2|, | x1| )上有一分界点S, 使得(S, 0) 的点为收敛点, (, S )上点为发散点, 且 r =S .
n
| l R 1l ,, 0,
0 l , l 0, l .
lim un1 lim an1 | x | l | x | .
n un
n an
当l 0时, 对x (,) \{0},均有lim un1 0 1. u n
无穷级数PPT课件
234
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
2. 级数的一般项趋于零,不能保证级数一定收敛。
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
n1
n
n
11
例4 判别级数 un的敛散性，其中 n1
1 un
1 n2 1
1 n2 2
1； n2 n
3
1. 级数的定义
数列 u1，u2，u3，，un，
一般项
无穷级数 u1 u2 u3 un
无 穷 项 求 和 叫 做 （ 常 数项 ） 无 穷 级 数 ，
简称（常数项）级数，记为 un .
一般项 部分和
n1
无穷级数表达式中的第n项un . n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
例如，若级数 un 收敛， 则级数
n1
(u2n1 u2n ) 、 (u3n2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n1
n1
且和不变.
18
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所 成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
n1 n1
n1
14
注:
(1) 不能由 (un vn) 收敛推出 un 、 vn 收敛；
n1
n1
n1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn) 必发散.
n1
n1
n1
证 假设 (un vn) 收敛,由 vn (un vn ) un ,
高等数学-无穷级数课件
洛朗级数
详细回顾幂级数的定义及性 质，引出洛朗级数及其底层 原理，以及如何求解洛朗级 数。
函数幂级数
幂级数的概念
讲解函数幂级数的基本概念，介绍为什么函数幂级 数在数学科学中是极为重要的。
幂级数的收敛域
解析复幂级数的收敛域，掌握如何利用幂级数求函 数的收敛域的基本方法与思想。
幂级数的和函数
从几何角度引出幂级数，深入讲解幂级数的和函数 及其原理和相关定理，复习求导和积分。
幂级数的求和
介绍求解幂级数求和问题的方法和技巧，强调计算 过程中所需要注意的地方。
特殊函数的幂级数展开
自然对数函数的幂级数展开
讲解自然对数函数如何用幂级数来展开，以及 为什么对数函数的幂级数展开在微积分中应用 非常广泛。
余弦函数的幂级数展开
深入剖析余弦函数及其幂级数展开，重点探究 在实际问题中如何运用对余弦函数的认识来解 决实际问题。
先修知识回顾
深入回顾微积分相关内容如数列极限、级数收敛性 概念等，为本课程的学习打下坚实基础。
基本概念
1 无穷级数的概念
简单介绍无穷级数的基本形式和定义。
2 数列极限的基本概念
讲解数列极限的定义和性质，为理解无穷级 数奠定基础。
3 部分和数列的概念
详细解释部分和数列的含义，为后续章节的 理解做准备。
2 无穷级数的应用举例
案例分析如何运用无穷级数的知识来解决实际问题，提升学生的应用能力，解决学生学 以致用的问题。
3 拓展阅读建议
鼓励学生挖掘更多的应用案例和技巧，开阔视野，探索无穷级数的广泛应用领域。
参考文献
1 课本
2 学术论文
陈红药著《数学分析教程 7-无穷级数》，各高校数 学本部编写的《高等数学》 和《数学分析教程》等。
《数学物理方法教学课件》无穷级数 共10页PPT资料
复数级数
考虑复数序列 u n u 0 ,u 1 ,u 2 , ,u n ,
将各项相加就得到一个复数级数：
unu0u1u2 un
n0
如果这个级数的部分和
S n u 0 u 1 u 2 u n
构成的序列 S n 收敛，就说级数是收敛的。
S
u 5 v 0 u 5 v 1 u 5 v 2 u 5 v 3 u 5 v 4 u 5 v 5
28.09.2019
9
5
函数级数
如果复数级数的每一项都是
定义在区域 G中的复变函数
unun z
所得到的级数叫做函数级数： Sz unz
n0
若函数级数在 G 内的每一点都收敛，则它在 G
z a lim n 1 R c n
n
R a
在收敛圆内，级数绝对收敛，在收敛
圆外，级数发散。
28.09.2019
9
9
谢谢！
xiexie!
内收敛，是 G 内的单值函数。
如果对任意给定的 0，存在一个与 z无关的
整数 N ，使得当 nN时，
n
Szukz
k0
则称级数在G内一致收敛。
28.09.2019
9
6
一致收敛级数的性质
一致收敛级数具有如下重要性质：
如果级数的每一项都在区域 G内连续，和函数也 在G内连续，因而求极限与求和可以交换次序：
z l z i0m u kz z l z i0u m kz
如果级数的每一项都在区域 G内一条分段光滑的 曲线上连续，则级数可以逐项求积分：
ukzdzukzdz
C
C
如果级数的每一项都在区域 G内单值解析，则
考虑复数序列 u n u 0 ,u 1 ,u 2 , ,u n ,
将各项相加就得到一个复数级数：
unu0u1u2 un
n0
如果这个级数的部分和
S n u 0 u 1 u 2 u n
构成的序列 S n 收敛，就说级数是收敛的。
S
u 5 v 0 u 5 v 1 u 5 v 2 u 5 v 3 u 5 v 4 u 5 v 5
28.09.2019
9
5
函数级数
如果复数级数的每一项都是
定义在区域 G中的复变函数
unun z
所得到的级数叫做函数级数： Sz unz
n0
若函数级数在 G 内的每一点都收敛，则它在 G
z a lim n 1 R c n
n
R a
在收敛圆内，级数绝对收敛，在收敛
圆外，级数发散。
28.09.2019
9
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谢谢！
xiexie!
内收敛，是 G 内的单值函数。
如果对任意给定的 0，存在一个与 z无关的
整数 N ，使得当 nN时，
n
Szukz
k0
则称级数在G内一致收敛。
28.09.2019
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一致收敛级数的性质
一致收敛级数具有如下重要性质：
如果级数的每一项都在区域 G内连续，和函数也 在G内连续，因而求极限与求和可以交换次序：
z l z i0m u kz z l z i0u m kz
如果级数的每一项都在区域 G内一条分段光滑的 曲线上连续，则级数可以逐项求积分：
ukzdzukzdz
C
C
如果级数的每一项都在区域 G内单值解析，则
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二、无穷级数的基本性质
1 .若 u n S 1 , v n S 2,则 (u n v n ) S 1 S 2 .
n 1
n 1
n 1
2. 设 k0,则 kun与 un同敛 . 散
n1
n1
若 u n S ,则 k u n k S ,即 kunkun .
n 1
n 1
n1
n1
3. un与un同敛.散
n1
nk
(级数的敛散性 项与 无,收 前 关敛 有和 限发.)生改
4. 收敛级数加括 敛.号 (逆 后命 仍题 收不 ). 成立
逆否 : 加括号后级 ,则数 原发 级散 数 . 发散
5 . n 1 u n收 敛 ln i m u n 0 .(收 敛 的 必 要 条 件 ).
重1.要 逆 当 几 级q :何 数 否 n l1 : 时 i 级 n m u 1n a 数 q收 ,n 0 和 1(或 .s 敛 Sa n 不 ,当 a) 11q n qq存 1 n1 u 时 n发 在 发 ..散 散 1q
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
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思考与练习
用比较判别法判定下列级数的敛散性 (1)
(2)
(3)
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 limun1 , 则
（3） 3 32 33
3n
22223 2n
例3. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
lnn(1) (n ） 技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
2 . 调和 n 1 n 1 级 1 1 2 调 数 和1 3级 数 发n 1 散 .
说明:
(1) 性质1表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 (un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un(1)2n,vn(1)2n1,
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
, 其和为
a 1 q
;
因此级数发散 .
aa qn 1 q
从而
limSn
n
1aq
从而 nl im Sn,
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2). 若
则 级数成为
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例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n(n1) (n1)2
而级数
k2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 .
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例2. 判定下列级数的敛散性
（1）
11 1222
1 2n1
（2） 8 98 92 28 93 3 (1)n8 9n n
第十讲 无穷级数
一、数项级数的审敛法 二、幂级数 三、傅里叶级数
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
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利用 “拆项相消” 求 和
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(2) Sn1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1nn11
1 1 1 (n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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例4.利用性质判断下列级数的敛散性: （1）
解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
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（2） 解: 所以级数 (2) 发散 （3） 解:
所以级数 (3) 发散
思考与练习
判断下列级数的敛散性: （1） （2） （3）
（4）
若
收敛，判断下列级数的敛散性:
三、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 . n 1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若“大” 级数
收敛 ,则“小”级 数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
定义：给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n, 将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
(2) 若“小” 级数
发散 , 则“大”级 也发散 . 数
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例1. 讨论 p 级数 121p31p n1p (常数 p > 0)
的敛散性.
解: 1) 若 p1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n
1
1 n
发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
发散 .
2) 若 p1, p 级数收敛 .