最新高考广东理科数学试题及答案(word解析版)
普通高等学校招生国统一考试数学理试题广东卷,解析
卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析〕本试题一共4页，21小题，总分值是150分，考试用时120分钟。
本卷须知：1．答卷前，所有考生必须用黑色字迹“条形码粘贴处〞。
2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求答题之答案无效。
4．答题选做题时，请先需要用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。
参考公式：柱体的体积公式VSh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，那么1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++．一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，总分值是40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．设复数z 满足(1)2i z+=，其中i 为虚数单位，那么z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -1．〔B 〕．22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++- 2．集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，那么A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．〔C 〕．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点3．假设向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，那么(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．〔D 〕．依题意得⊥c a ，⊥c b ，那么(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b4．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f xg x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 4．〔A 〕．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f x g x +与()()f xg x -都是偶函数，()()f x g x +与()()f x g x -的奇偶性不能确定5．平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．假设(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，那么z OM OA =⋅的最大值为A．B．C ．4D ．35．〔C 〕．zy =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点2)时，z获得最大值，max24z =+=6．甲、乙两队进展排球决赛，如今的情形是甲队只要再赢一局就获冠HY ，乙队需要再赢两局才能得冠HY ． 假设两队胜每局的概率一样，那么甲队获得冠HY 的概率为 A ．12B ．35C ．23D ．346．〔D 〕．乙获得冠HY 的概率为111224⨯=，那么甲队获得冠HY 的概率为13144-=侧视图图2俯视图 图37．如图1~3，某几何体的正视图〔主视图〕是平行四边形，侧视图〔左视图〕和俯视图都是矩形，那么该几何体的体积为A ．．C ．D ． 7．〔B 〕．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3的四棱柱，易求得平行四边形的高为33V Sh ===那么8．设S 是整数集Z 的非空子集，假设,a b S ∀∈，有ab S ∈，那么称S 关于数的乘法是封闭的．假设,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，那么以下结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的8．〔A 〕．假设T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C假设T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题一一共7小题，考生答题6小题，每一小题5分，总分值是30分． 〔一〕必做题〔9~13题〕 9．不等式13x x +--≥0的解集是．9．[1,)+∞．13x x +--≥0⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x-的展开式中，4x 的系数是〔用数字答题〕 10．84．72()x x x -的通项7821772()(2)r r r r r r r T xC x C x x--+=-=-，由824r -=得2r =，那么227(2)84C -=11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．假设11a =，40k a a +=，那么k =．11．10．方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，那么4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k=方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =12．函数32()31f x x x =-+在x =处获得极小值．12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或者2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处获得极小值13．某数学教师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该教师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，那么根据上述数据可得到如下表格：12221()()00361033()niii niix x y y b x x ==--++⨯===++-∑∑，3a y bx =-= 线性回归方程3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185cm ．〔二〕选做题〔14~15题，考生只能从中选做一题〕14．〔坐标系与参数方程选做题〕两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．图4COPBA14．．sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或者5x =-〔舍去〕， 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为 15．〔几何证明选讲选做题〕如图4，过圆O 外一点P 分别作 圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，那么AB =___________．15由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，那么△PAB ∽△ACB ，那么PB AB AB BC=，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题一一共6小题，总分值是80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分值是12分〕函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．〔1〕求5()4f π的值；〔2〕设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：〔1〕515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-== 〔2〕110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，图5CDPAEF∴12cos 13α==，4sin 5β== ∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．〔本小题总分值是13分〕为理解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂消费的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量〔单位：毫克〕．下表是乙厂的5件产品的测量数据：〔1〕甲厂消费的产品一共有98件，求乙厂消费的产品数量； 〔2〕当产品中的微量元素,x y 满足175x≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂消费的优等品的数量；〔3〕从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值〔即数学期望〕． 17．解：〔1〕设乙厂消费的产品数量为a 件，那么98145a =，解得35a = 所以乙厂消费的产品数量为35件〔2〕从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂消费的优等品的数量为235145⨯=〔件〕 〔3〕ξ可能的取值为0，1，2∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯= 18．〔本小题总分值是13分〕如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==，2PB =，,E F分别是BC,PC 的中点．〔1〕证明：AD ⊥平面DEF ；〔2〕求二面角P AD B --的余弦值．18．〔1〕证明：取AD 的中点H ，连接,,PH BH BD∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=∴△ABD 是等边三角形∴AD HB ⊥，PH HB H =∴AD ⊥平面PHB ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是BC ,PC 的中点∴EF ∥PB ，HB ∥DE ∴AD DE ⊥，AD EF ⊥，DE EF E =∴AD ⊥平面DEF〔2〕解：由〔1〕知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角易求得PH BH ==∴222cos 2PH HB PB PHB PH HB +-∠====⋅∴二面角P AD B --的余弦值为 19．〔本小题总分值是14分〕设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切．〔1〕求C 的圆心轨迹L 的方程；〔2〕点M，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标． 19．解：〔1〕设(F F '，圆C 的半径为r ，那么(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a=，c =，1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=〔2〕2MP FP MF -≤== ∴MP FP - 的最大值为如下列图，P 必在L 直线MF 的斜率2k=-∵P x >P x =∴MP FP - 的最大值为220．〔本小题总分值是14分〕设0b >，数列{}n a 满足1a 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．20．〔1〕解：∵1122n nn nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+-∴1211n n n n a b a b--=⋅+ ①当2b=时，1112n n n n a a ---=，那么{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列 ∴11(1)22n n n a =+-⨯，即2n a = ②当0b>且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，122(2)n n a b b b +=-- ∴1{}2n n a b +-是以2(2)b b -为首项，2b为公比的等比数列 ∴112()22n n n a b b b+=⋅-- ∴212(2)2(2)n n n n nn n b a b b b b b -=-=--- ∴(2)2nn n nn b b a b -=-综上所述(2),02222nn n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩ 且， 〔2〕方法一：证明：①当2b =时，11122n n n b a ++=+=；②当0b>且2b ≠时，12212(2)(222)n n n n n n b b b b b -----=-++++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：①当2b =时，11122n n n b a ++=+=；②当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n n n nb b b b ++-≤+-，即证1(2)122n n n nn b b b b+-≤+- 即证1221112222n n n n n n n b b b b b ----+≤+++++ 即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b n b b b b---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b bb b---+-+++++++++122n n b n -≥++++=，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．〔本小题总分值是14分〕在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：214y x =．实数,p q 满足24p q-≥，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．〔1〕过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；〔2〕设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240ab ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；〔3〕设{(,)|Dx y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值〔记为min ϕ〕和最大值〔记为max ϕ〕21．解：〔1〕2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，那么切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为2142p p qx --=2242p p q x +-=那么012p p p x --=，022p p p x +-=①当00p >时，00p p ≤≤，001222p p px p -==-，022p x =∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =②当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==- ∵00222p p x ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=〔2〕由〔1〕知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+= ∵切线恒过点(,)M a b ，那么200240p ap b -+=，∴21,24p a a b =-①当0a>时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔214p a a b =+-，224p a a b =-⇔12p p >②当0a<时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔214p a a b =-，224p a a b =+-⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X∈⇔12p p >∵由〔1〕可知，假设2111(,)4E p p ， 点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X∈⇒1(,)2p a b ϕ=③由〔1〕可知，方程20xax b -+=的两根11,22p x =或者12p a -，21,22p x =或者22p a -假设1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x =那么1122p a p -≥、2122p p≥、2122p a p -≥ ∴12p p >∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X∈④综合③④可得(,)M a b X∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b Xp p a b ϕ∈⇔>⇔=；〔3〕由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 那么02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H 由〔2〕知200240x px q -+=，解得0x p =±，①假设0x p =+，那么点(,)G p q 在线段NH上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =≥+=+-=，∴0m minin )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =≤+t =，那么2122p t =-+，02t ≤≤∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤∴0maxmax 5)24(x ϕ==②假设0x p =，那么点(,)G p q 在线段NH的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-=即01,22x x =或者2x p -∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x x p q x x p p ϕ==-=-p =51(,)4p q ϕ≤≤综上所述min1ϕ=，max 54ϕ=。
广东高考数学试题及答案2024
广东高考数学试题及答案2024一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的最小值是\( m \)，则\( m \)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知直线\( l_1 \)的方程为\( y = 2x + 1 \)，直线\( l_2 \)的方程为\( y = -x + 3 \)，则这两条直线的交点坐标为：A. (1, 3)B. (2, 3)C. (1, 2)D. (2, 1)答案：A3. 若复数\( z = 1 + i \)，求\( z^2 \)的实部与虚部的和：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 3 \)，求第10项\( a_{10} \)的值：A. 29B. 30C. 31D. 32答案：B5. 若三角形\( ABC \)的内角\( A \)，\( B \)，\( C \)满足\( A +B = 2C \)，且\( \cos C = \frac{1}{2} \)，则\( \sin A \)的值为：A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)D. \( \frac{\sqrt{6}}{3} \)答案：D6. 已知函数\( y = \ln(x+1) \)在点\( (0,0) \)处的切线斜率为：A. 1B. 0C. \( \frac{1}{e} \)D. \( \frac{1}{2} \)答案：A7. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，\( \theta \)为锐角，则\( \cos 2\theta \)的值为：A. \( \frac{7}{25} \)B. \( \frac{24}{25} \)C. \( \frac{16}{25} \)D. \( \frac{9}{25} \)答案：B8. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)的离心率为\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)，且\( a = 4 \)，则\( b \)的值为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,解析版)[1]
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普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，解析版）[1]数学（理科B 卷）解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}【品题】B.考查集合的并集，目测就可以得出结果. 2、已知复数z 满足(34)25,i z +=则z = A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 【品题】A.考查复数的运算，()()()25342534343434i z i i i i ⋅-===-++⋅- 3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．8 B.7 C.6 D.5【品题】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，4、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等【品题】D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k =+=-相等，故而选D. 5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）【品题】B.考查向量的夹角与运算，将ABCD 四个选项代入1cos ,cos 602a b a b a b⋅===⋅即可选出正确答案6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20【品题】D.考查分层抽样.总人数为10000人，100002%200⋅=，其中高中生抽取20002004010000=⋅人，故抽取的高中生近视人数为4050%20⋅=人7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定 【品题】D.考查空间直线的位置关系.可利用正方体来判断，易得答案. 8、设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.130 B.120 C.90 D.60【品题】A.考查分类计数原理、排列组合.先分成3类，4个0、3个0、2个0 （1）4个0①4个0，1个1：155C = ②4个0，1个-1：155C =（2）3个0：①3个0，2个1：2510C =②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅③3个0，2个-1：2510C =小学 初中 高中 年级 O（3）2个0①2个0，3个1：3510C =②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅= ③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅= ④2个0，3个-1：3510C =综上所述，所有的可能性有130种【品味小题】选择很基础了，第8题稍微要一点点细心.答案是BACDBDDA ，选项延续了多年答案3221的模式二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式125x x -++≥的解集为【品题】(][),32,-∞-⋃+∞.考查简单的绝对值不等式，用几何意义很快得出答案. 10、曲线52xy e-=+在点(0,3)处的切线方程为【品题】53y x =-+.考查复合函数求导、切线方程.'5'05,|5x x y e y -==-=-，故切线方程为53y x =-+.本题易错点在符合函数求导忘记乘以5-.11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【品题】16.考查分步技术原理和古典概型.基本事件731010120C C ==种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有3620C =种，从而概率为16.本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来.12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则ab= 【品题】2.考查正余弦定理，边角互化.222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，化简即可.13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=【品题】50.考查等比数列的基础知识.依题意有51011a a e ⋅=，所求等式左边()10501011ln ln 50a a e =⋅== （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________【品题】()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中， 点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 【品题】9.考查相似三角形面积比等于相似比的平方.【品填空题】10是易错点、11题有点新意；10、12、13等等是广东07—13年高考考过的.【品小题】难度适中，出得不错。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,含答案)
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，含答案）参考公式：柱体的体积公式V =Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高； 线性回归方程y bx a =+中系数计算公式为1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x yxyb xx xnxη====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，其中,x y 表示样本均值；若n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i -C. 22i +Ｄ．22i -２．已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ３．若向量a, b, c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则(2)⋅+=c a bＡ．４ Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．０４．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5．在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则=⋅z OM OA 的最大值为 A． B． C ．４D ．３６．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．34７．如下图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为正视图侧视图Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，TV Z =且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2022年广东省高考数学试卷(理科)含解析
2022年广东省高考数学试卷（理科）含解析Colin2912106572022年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．） 1．（5分）（2022?广东）假设集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，那么M∩N=（） [0} ? A．{1，4} B． {﹣1，﹣4} C． D． 2．（5分）（2022?广东）假设复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），那么=（）2+3i 3+2i A．2﹣3i B． C． D． 3﹣2i 3．（5分）（2022?广东）以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）xx A．B． C． D． y=x+e y=2+ y= y=x+ 4．（5分）（2022?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（） 1 A．B． C． D． 5．（5分）（2022?广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x+y=5相切的直线的方程是（） A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B． 2x+y+=0或2x+y﹣=0 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 C．D．2 x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 6．（5分）（2022?广东）假设变量x，y满足约束条件 4 A． 7．（5分）（2022?广东）已知双曲线C：那么双曲线C的方程为（）A．B．﹣=1 ﹣=1 ﹣ =1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），B． 6 C．，那么z=3x+2y的最小值为（）D． 22C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5分）（2022?广东）假设空间中n个不同的点两两距离都相等，那么正整数n的取值（） A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5第1页（共18页）Colin291210657二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）49．（5分）（2022?广东）在（﹣1）的展开式中，x的系数为． 10．（5分）（2022?广东）在等差数列{an}中，假设a3+a4+a5+a6+a7=25，那么a2+a8= ．11．（5分）（2022?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．假设a=C=，那么b= ．，sinB=，12．（5分）（2022?广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答） 13．（5分）（2022?广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），假设E（X）=30，D（X）=20，那么P= ．14．（5分）（2022?广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣为A（2，），那么点A到直线l的距离为．）=，点A的极坐标15．（2022?广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O 的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，那么OD= ．三、解答题16．（12分）（2022?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（cosx），x∈（0，）．，﹣），=（sinx，（1）假设⊥，求tanx的值；（2）假设与的夹角为第2页（共18页），求x的值．Colin29121065717．（12分）（2022?广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？ 18．（14分）（2022?广东）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E 是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．219．（14分）（2022?广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x）e﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）假设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤20．（14分）（2022?广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x+y﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？假设存在，求出k的取值范围；假设不存在，说明理由．222x﹣1．第3页（共18页）Colin291210657 +21．（14分）（2022?广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣（1）求a3的值；（2）求数列{an}的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=Sn＜2+2lnn．，n∈N．+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足第4页（共18页）Colin2912106572022年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．） 1．（5分）（2022?广东）假设集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，那么M∩N=（） [0} ? A．{1，4} B． {﹣1，﹣4} C． D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}， N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，那么M∩N=?．应选：D．点评：此题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）（2022?广东）假设复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），那么=（） 2+3i 3+2i A．2﹣3i B． C． D． 3﹣2i 考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法那么化简求解即可．解答：解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，那么=2﹣3i，应选：A．点评：此题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力． 3．（5分）（2022?广东）以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） xx A．B． C． D． y=x+e y=2+ y= y=x+ 考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答：解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2+x 是奇函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f （﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函第5页（共18页）。
2021年广东省高考数学试卷(理科)含解析
2021年广东省高考数学试卷（理科）含解析Colin2912106572021年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）（2021?广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（） [0} ? A．{1，4} B． {﹣1，﹣4} C． D． 2．（5分）（2021?广东）若复数z=i （3﹣2i）（i是虚数单位），则=（） 2+3i 3+2i A．2﹣3i B． C． D． 3﹣2i 3．（5分）（2021?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） xx A．B． C． D． y=x+e y=2+ y= y=x+ 4．（5分）（2021?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（） 1 A．B． C． D． 5．（5分）（2021?广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x+y=5相切的直线的方程是（） A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B． 2x+y+=0或2x+y﹣=0 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 C．D．2 x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 6．（5分）（2021?广东）若变量x，y满足约束条件 4 A． 7．（5分）（2021?广东）已知双曲线C：则双曲线C的方程为（） A．B．﹣=1 ﹣=1 ﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），B． 6 C．，则z=3x+2y的最小值为（）D． 22C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5分）（2021?广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（） A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5第1页（共18页）Colin291210657二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）49．（5分）（2021?广东）在（﹣1）的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2021?广东）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2021?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=C=，则b= ．，sinB=，12．（5分）（2021?广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2021?广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2021?广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣为A（2 ，），则点A到直线l的距离为．）=，点A的极坐标15．（2021?广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2021?广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（cosx），x∈（0，）．，﹣），=（sinx，（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为第2页（共18页），求x的值．Colin29121065717．（12分）（2021?广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？ 18．（14分）（2021?广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G 分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．219．（14分）（2021?广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x）e﹣a．（1）求f （x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤20．（14分）（2021?广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x+y﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．222x﹣1．第3页（共18页）Colin291210657+21．（14分）（2021?广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣（1）求a3的值；（2）求数列{an}的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=Sn＜2+2lnn．，n∈N．+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足第4页（共18页）Colin2912106572021年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）（2021?广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（） [0} ? A．{1，4} B． {﹣1，﹣4} C． D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}， N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=?．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）（2021?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（） 2+3i 3+2i A．2﹣3i B． C． D． 3﹣2i 考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．解答：解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力． 3．（5分）（2021?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） xxA．B． C． D． y=x+e y=2+ y= y=x+ 考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答：解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2+x是奇函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函第5页（共18页）。
2023广东高考卷(理科数学)试题及详解
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合M={x|x²3x+2=0}，则集合M的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x3，则f(f(1))的值为（）A. 5B. 3C. 1D. 33. 若向量a=(2,3)，b=(1,2)，则2a3b的模长为（）A. 5B. 10C. 15D. 204. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)≥0。
（）3. 两个平行线的斜率相等。
（）4. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）5. 两个复数相等的充分必要条件是它们的实部和虚部分别相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(3,4)，则3a的坐标为______。
3. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则a5=______。
4. 若复数z=3+4i，则|z|=______。
5. 二项式展开式(2x3y)⁴的项数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x)=x²2x+1在x=2处的导数。
2. 已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求前5项的和。
3. 求复数z=1+i的共轭复数。
4. 求解不等式2x3>0。
5. 简述平面直角坐标系中，两点间距离的公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求函数的最小值及对应的x值。
2. 已知向量a=(2,3)，b=(1,2)，求向量a和向量b的夹角。
最新普通高等学校招生理科数学全国统一考试试题(广东卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体地 体积公式()1213V S S h=，其中12,S S分别是台体地 上、下底面积，h 表示台体地 高. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 . 1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =U ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-，{}0,2N =，所以M N =U {}2,0,2-，故选D ．2．定义域为R 地 四个函数3y x =，2xy =，21y x=+，2sin y x=中，奇函数地 个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数地 概念，是奇函数地 为3y x =与2sin y x =，故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应地 点地 坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2 【解析】C ；2442iz i i+==-对应地 点地 坐标是()4,2-，故选C ．4．已知离散型随机变量X 地 分布列为X123P35310110则X 地 数学期望EX = ( )A . 32B ．2D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==，故选A ．5．某四棱台地 三视图如图所示，则该四棱台地 体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知，该四棱台地 上下底面边长分别为正视图俯视图侧视图第5题图1和2地 正方形，高为2，故()2211412233V =⨯=，，故选B ．6．设,m n 是两条不同地 直线，,αβ是两个不同地 平面，下列命题中正确地 是( )A . 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题，选D ． 7．已知中心在原点地 双曲线C 地 右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 地 方程是 ( )A . 2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．2212x -=【解析】B ；依题意3c =，32e =，所以2a =，从而24a=，2225b c a =-=，故选B ．8．设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确地 是( )A . (),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S∉，(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法，不妨令2,3,4x y z ===，1w =，则()(),,3,4,1y z w S =∈，()(),,2,3,1x y w S =∈，故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x<<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈. 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220xx +-<地 解集为【解析】()2,1-；易得不等式220xx +-<地10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处地 切线平行于x 轴，则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+，依题意10k +=，所以1k =-.11．执行如图所示地 程序框图，若输入n 地 值为4，则输出s 地 值为______.【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}na 中，已知3810a a+=，则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a aa a +=+=13. 给定区域D:4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集()00{,T x y =是z x y =+在D 上取得最大值或最小值地地 点共确定______ 条不同地 直线.【解析】6；画出可行域如图所示，其中z x y =+取得最小值时地 整点为()0,1，取得最大值时地 整点为()0,4，()1,3，()2,2，()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同地 直线.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答地 ，只计前一题地 得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 地参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处地 切第15题图线为l ，以坐标原点为极点，x 轴地 正半轴为极轴建立极坐标系，则l 地 极坐标方程为_____________. 【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 地 普通方程为222xy +=，其在点()1,1处地 切线l 地 方程为x 极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=，即sin ρθ⎛⎝15. (几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 地 直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 地 切线交AD 于E .若6AB =，2ED =，则BC =_________.【解析】ABC CDE∆∆:，所以AB BCCD DE=，又BC CD=，所以212BCAB DE =⋅=，从而BC =三、解答题:本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭地 值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ)222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ=-， 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）1 7 92 0 1 53 0第17题图某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数地 茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值地 工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人地 概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==； (Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占地 比例为2163=，故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.C DOBE'AH(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,D E分别是,AC AB 上地 点，CD BE ==O为BC 地 中点.将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示地四棱锥A BCDE '-，其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--地 平面角地 余弦值. 【解析】(Ⅰ) 在图1中，易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ，在OCD ∆中，由余弦定理可得OD =由翻折不变性可知A D '=，.CO BDE A CD OBE 'A图1图2所以222A OOD A D ''+=，所以A O OD '⊥，理可证A O OE '⊥， 又OD OE O =I ，所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 地 延长线于H ，连结A H '，因为A O '⊥平面BCDE ，所以A H CD '⊥， 所以A HO '∠为二面角A CD B '--地 平面角.结合图1可知，H 为AC中点，故2OH =，从而A H '==所以cos 5OH A HO A H'∠=='，所以二面角A CDB '--地 平面角地 向量法:以O 如图所示，则(A '，()0,3,0C -，()1,2,0D -所以(CA '=u u u r，(1,DA '=-u u u u r设(),,n x y z =r为平面A CD '地 法向量，则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r，即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =，得(1,n =-r由(Ⅰ)知，(OA '=u u u r为平面CDB 地 一个法向量，所以cos ,5n OA n OA n OA '⋅'==='r u u u rr u u u r r u u u r ，即二面角A CD B '--地 平面角地19．（本小题满分14分）设数列{}n a 地 前n项和为nS .已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N .(Ⅰ) 求2a 地 值；(Ⅱ) 求数列{}na 地 通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ，有1211174na a a +++<L . 【解析】(Ⅰ) 依题意，12122133Sa =---，又111Sa ==，所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时，32112233nn Sna n n n+=---， ()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133nn n a na n a n n n +=----+---整理得()()111nn n ana n n ++=-+，即111n na a n n +-=+，又21121a a-= 故数列na n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=，公差为1地 等差数列， 所以()111na n n n =+-⨯=，所以2nan =.(Ⅲ) 当1n =时，11714a=<；当2n =时，12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时，()21111111na n n n n n=<=---，此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L11171714244n n =++-=-< 综上，对一切正整数n ，有1211174na a a +++<L . 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 地 顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=地设P 为直线l 上地 点，过点P 作抛物线C 地 两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 地 方程；(Ⅱ) 当点()0,P x y 为直线l 上地 定点时，求直线AB地 方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅地 最小值.【解析】(Ⅰ) 依题意，设抛物线C 地 方程为24x cy=，2=0c >，解得1c =.所以抛物线C 地 方程为24xy=.(Ⅱ) 抛物线C 地 方程为24xy=，即214y x =，求导得12y x '=设()11,A x y ，()22,B x y (其中221212,44x x y y ==)，则切线,PA PB 地斜率分别为112x ，212x ， 所以切线PA 地 方程为()1112xy y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=同理可得切线PB 地 方程为22220x x y y--=因为切线,PA PB 均过点()0,P x y ，所以1001220x xy y --=，2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程0220x x yy --=地 两组解.所以直线AB 地 方程为0220x x y y--=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y=+，所以()()()121212111AF BF y yy y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()22200020y yx y y +-+=由一元二次方程根与系数地 关系可得212002y y x y +=-，2120y yy =所以()221212000121AF BF y yy y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()0,P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++⎪⎝⎭所以当012y=-时， AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x ekx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时，求函数()f x 地 单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上地 最大值M.【解析】(Ⅰ) 当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222xx x x f x ex e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=，得10x =，2ln 2x=当x 变化时，()(),f x f x '地 变化如下表:右表可知，函数()f x 地 递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222xx x x f x ex e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =，()2ln 2xk =，令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k-'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增，所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1kM f f k k e k ==---令()()311kh k k ek =--+，则()()3kh k k ek '=-，令()3k k e k ϕ=-，则()330k k ee ϕ'=-<-< 所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>， 当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<， 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减. 因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10h =，所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“=”.综上，函数()f x 在[]0,k 上地 最大值()31k M k e k =--.。
2022年广东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)及答案解析
2022年广东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（每小题5分）A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∪（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）1．（5分）若全集U ={1，2，3，4，5，6}，M ={2，3}，N ={1，4}，则集合{5，6}等于（ ）A ．[1，+∞）B ．(23，+∞)C ．[23，1]D ．(23，1]2．（5分）函数y =log 12(3x −2)的定义域是（ ）√A ．15B ．-15C ．-75D ．753．（5分）已知sin 2α=-2425，α∈（-π4，0），则sinα+cosα=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．34．（5分）由直线x =-π3，x =π3，y =0与曲线y =cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ）√√A ．a ≤23B ．0<a <12C ．12<a ≤23D ．12<a <15．（5分）已知命题p ：关于x 的函数y =x 2-3ax +4在[1，+∞）上是增函数，命题q ：y =（2a -1）x 为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．（5分）在△ABC 中，已知a =2bcosC ，那么这个三角形一定是（ ）A ．2B ．2+2C ．2+37．（5分）设点P （x 0，y 0）是函数y =tanx 与y =-x （x ≠0）的图象的一个交点，则（x 02+1）（1+c os 2x 0）的值为（ ）√√二、填空题（每小题5分）D ．因为x 0不唯一，故不确定A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c8．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，设a =f （log 47），b =f （lo g 133），c =f （0.20.6），则a ,b ,c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．9．（5分）下列四个图中，函数y =10ln |x +1|x +1的图象可能是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．（5分）某同学在研究函数f （x ）=x 2+1+x 2−6x +10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f （x ）变形为f （x ）=(x −0)2+(0−1)2+(x −3)2+(0+1)2，则f （x ）表示|PA |+|PB |（如图），下列关于函数f （x ）的描述：①f （x ）的图象是中心对称图形；②f （x ）的图象是轴对称图形；③函数f （x ）的值域为[13，+∞）；④方程f [f （x ）]=1+10有两个解．则描述正确的是（ ）√√√√√√11．（5分）曲线y =x 在点（1，1）处的切线方程为 ．√12．（5分）设f （x ）=V Y W Y X −log 3(x +1)，x >63x −6−1，x ≤6，满足f （n ）=-89，则f （n +4）= ．13．（5分）已知sinα+sinβ=63，cosα-cosβ=33，则cos 2α+β2= ．√√14．（5分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a b +b a =6cosC ，则tanC tanA +tanC tanB的值是 ．15．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f （x ）=e x （x >0）的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是三、解答题．16．（12分）设命题p ：函数f （x ）=x 3-ax -1在区间[-1，1]上单调递减；命题q ：函数y =ln （x 2+ax +1）的值域是R ．如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．17．（12分）在锐角△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c .设向量m =（cosA ，sinA ），n =（cosA ，-sinA ），a =23，且m •n =-12．（1）若b =2，求△ABC 的面积；（2）求b +c 的最大值．→→√→→18．（12分）已知二次函数f（x）有两个零点0和-2，且f（x）最小值是-1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）-λg（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）=2cos（x+π3）[sin（x+π3）-3cos（x+π3）]．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈[0，π6]，使得m[f（x）+3]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．√√20．（13分）已知函数f（x）=a x+x2-xlna,a>1．（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）对∀x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|≤e-1恒成立，求a的取值范围．21．（13分）已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x>0，g（x）<1 +e-2．。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科)(全解析)(word版)
绝密★启用前试卷类型：A2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ={x | -2 <x <1}，B ={x | 0 <x < 2}，则集合A∩B=（）A．{x | -1 <x <1}1．D．【解析】A∩B=B．{x | -2 <x <1} C．{x | -2 <x < 2} D．{x | 0 <x < 1}2．若复数z1 =1+i ，z2= 3 -i ，则z1⋅z2=（）A．4 + 2i B．2 +i C．2 + 2i D．3 +i2．A．【解析】z1⋅z2=(1+i)⋅(3-i)=1⨯3+1⨯1+(3-1)i=4+2i3．若函数f (x) = 3x + 3-x 与g(x) = 3x -3-x 的定义域均为R ，则 ( ) A．f (x)与g(x) 均为偶函数B．f (x) 为偶函数，g(x) 为奇函数C．f (x)与g(x) 均为奇函数D．f (x) 为奇函数，g(x) 为偶函数3．B．【解析】f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x)．4．已知数列{a }为等比数列，S 是是它的前 n 项和,若a ⋅a = 2a ，且a 与2 a 的等差中项为5 ，n n则S5 =( )2 3 1 4 7 4A．35 B．33 C．3l D．294．C．【解析】设{an }的公比为q，则由等比数列的性质知，a2⋅a3=a1⋅a4=2a1，即a4=2。
广东高考理科数学试题含答案(Word版)
普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DCDE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><-->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<-<-+<-∴-<--<-<-+-∴=-∞------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<-+-+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-<<-+---⋃---⋃-⋃-+-++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2022年广东省高考数学试卷(新高考I)(含答案)
2022年广东省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题（每小题5分，共45分）1. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=1处取得最小值B. f(x)在x=2处取得最大值C. f(x)在x=3处取得最小值D. f(x)在x=4处取得最大值2. 若a > b > 0，则下列哪个选项是正确的？A. a^2 > b^2B. a^3 < b^3C. 1/a > 1/bD. a/b > 13. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，则a1 + a10的值为多少？A. 20B. 10C. 5D. 24. 若正弦函数y = sin(x)在x = π/4时的值为√2/2，则下列哪个选项是正确的？A. y在x = π/2时的值为1B. y在x = 3π/4时的值为√2/2C. y在x = π时的值为0D. y在x = 2π时的值为15. 若等比数列{bn}的公比为q，且b2 = 4，b3 = 8，则q的值为多少？A. 2B. 4C. 1/2D. 1/46. 若复数z满足|z 1| = 2，则z在复平面上的轨迹是什么？A. 圆心在(1,0)，半径为2的圆B. 圆心在(1,0)，半径为2的圆C. 圆心在(0,1)，半径为2的圆D. 圆心在(0,1)，半径为2的圆7. 若直线y = kx + b与曲线y = x^2相切，则k的值为多少？A. 1B. 1C. 2D. 28. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 + 3n，则a1的值为多少？A. 5B. 7C. 9D. 119. 若函数f(x) = log(x)在x = 1时的值为0，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x = 10时的值为1B. f(x)在x = 0.1时的值为1C. f(x)在x = 100时的值为2D. f(x)在x = 0.01时的值为210. 若圆的方程为(x 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，则圆的半径是多少？A. 4B. 2C. 8D. 111. 若正方形的对角线长度为2√2，则正方形的面积是多少？A. 4B. 2C. 8D. 112. 若函数f(x) = 2x 3，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x = 1时取得最小值B. f(x)在x = 2时取得最大值C. f(x)在x = 3时取得最小值D. f(x)在x = 4时取得最大值为多少？A. 2B. 4C. 1/2D. 1/414. 若直线y = kx + b与曲线y = x^2相切，则k的值为多少？A. 1B. 1C. 2D. 215. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 + 3n，则a1的值为多少？A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每小题5分，共25分）16. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则f(x)的极值点为______。
高考数学(理)试卷及答案(广东省)
绝密★启用前 试卷类型：B普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{ =N ，所以 }3,1{=N M 故，选B２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
故，选C３．若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12xＤ．2x 3.解：由函数()y f x ＝是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图像经过点)a ，即a a a=log ，所以a=21, x x f 21log )(=。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年广东，理1，5分】若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，}{|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =I （ ）（A ）{}1,4 （B ）{}1,4-- （C ）{}0 （D ）∅ 【答案】D【解析】{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--Q ，{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==，M N ∴⋂=∅故选D ． （2）【2015年广东，理2，5分】若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）（A ）23i - （B ）23i + （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A【解析】i(32i)3i 2z =-=+Q ，23i z ∴=-，故选A ． （3）【2015年广东，理3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）（A ）21y x =+ （B ）1y x x=+ （C ）122x x y =+ （D ）x y x e =+【答案】D【解析】A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选B ． （4）【2015年广东，理4，5分】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为（ ）（A ）521 （B ）1021 （C ）1121（D ）1 【答案】B【解析】111052151021C C P C ==，故选B ． （5）【2015年广东，理5，5分】平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）（A ）250250x y x y ++=+-=或 （B ）250250x y x y ++=+-=或 （C ）250250x y x y -+=--=或 （D ）250250x y x y -+=--=或【答案】A【解析】设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为()0,0，则由直线与圆相切可得25521c cd ===+，解得5c =±，所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，故选A ． （6）【2015年广东，理6，5分】若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）（A ）4 （B ）235（C ）6 （D ）315【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32z x y =+，则当目标函数过点81,5⎛⎫⎪⎝⎭，32z x y =+取最小值为235，故选B ．（7）【2015年广东，理7，5分】已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为（ ）（A ）22143x y -= （B ）221916x y -= （C ）221169x y -= （D ）22134x y -=【答案】C【解析】由双曲线右焦点为2(5,0)F ，则5c =，544c e a a ==∴=Q ． 2229b c a ∴=-=，所以双曲线方程为221169x y -=，故选C ．（8）【2015年广东，理8，5分】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）（A ）至多等于3 （B ）至多等于4 （C ）等于5 （D ）大于5 【答案】B【解析】当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A ，C ，D 四个选项，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~13）（9）【2015年广东，理9，5分】在4x （-1）的展开式中，x 的系数为 ． 【答案】6【解析】()()()4424411r rr rr r Cx C x ---=-，则当2r =时，x 的系数为()22416C -=． （10）【2015年广东，理10，5分】在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 【答案】10【解析】由等差数列性质得，345675525a a a a a a ++++==，解得55a =，所以285210a a a +==．（11）【2015年广东，理11，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b = ．【答案】1【解析】15sin ,266B B ππ=∴=Q 或，又6C π=Q ，故6B π=，所以，23A π=由正弦定理得，sin sin a bA B =，所以1b =． （12）【2015年广东，理12，5分】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）． 【答案】1560【解析】40391560⨯=． （13）【2015年广东，理13，5分】已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则p = ． 【答案】13【解析】()30E X np ==，()(1)20D X np p =-=，解得13p =．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2015年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4A π，则点A 到直线l 的距离为 ．【答案】52【解析】222sin()2(sin cos )24πρθρθθ-=-=Q sin cos 1ρθρθ∴-=．即直线l 的直角坐标方程为110y x x y -=-+=，即，点A 的直角坐标为()2,2-，A 到直线的距离为221522d ++==． （15）【2015年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = ． 【答案】8 【解析】如图所示，连结O ，C 两点，则OC CD ⊥，OD AC ⊥Q 90CDO ACD ∴∠+∠=︒90ACD CBA CBA CAB ∠=∠∠+∠=︒Q ，，CDO CAB ∴∠=∠，所以OD OCAB BC=， 所以8OD =．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2015年广东，理16，12分】在平面直角坐标系xOy中，已知向量m =⎝⎭u r ，()sin ,cos n x x =r，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥u r r，求tan x 的值；（2）若m u r 与n r 的夹角为3π，求x 的值．解：（1）()sin ,cos sin 4m n x x x x x π⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭u r r ，Q m n ⊥u r r ，0m n ∴⋅=u r r ，即sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，444x πππ∴-<-<，04x π∴-=．即4x π=，tan tan 14x π∴==．（2）依题意sin cos 34x m n m n πππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫==- ⎪⎝⎭⋅u r r u r r ， 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，46x ππ∴-=，即56412x πππ=+=．（17）【（1为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0．01%）？ 解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由（1）中的样本年龄数据可得，()1444036433637444337409x =++++++++=，则()()()()()()()()1222222222444040403640434036403740444043409s ⎡=-+-+-+-+-+-+-+-⎢⎣()23740⎤+-⎥⎦= 9100．（3）由题意知年龄在100100404099⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，之间，即年龄在[]3743，之间， 由（1）中容量为9的样本中年龄、在[]3743，之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]3743，之间的有536209⨯=（人），则所占百分比为20100%55.56%36⨯≈．（18）【2015年广东，理18，14分】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB ==，2CG GB =． （1）证明：PE FG ⊥；（2）求二面角P AD C --的正切值；（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值． 解：（1）PD PC =Q PDC ∴∆为等腰三角形，E Q 为CD 边的中点，所以PE DC ⊥， PDC ABCD ⊥Q 平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且PE PDC ⊂平面，∴PE ABCD ⊥平面FG ABCD ⊂Q 平面，PE FG ∴⊥．（2）由长方形ABCD 知， AD DC ⊥，PDC ABCD ⊥Q 平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且AD ABCD ⊂平面AD PDC ∴⊥平面 PD PDC ⊂Q 平面，PD AD ∴⊥DC AD PD AD PC PDA DC CAD ⊥⊥⊂⊂由，，且平面，平面．PDC P AD C ∴∠--即为二面角，由长方形ABCD 得6DC AB ==，E Q 为CD 边的中点，则132DE DC ==，2243437PD DE PE DC PE ==⊥∴=-=Q ，，，7tan PE PDC DE ∴∠==即二面角P AD C --的正切值为7．（3）如图，连结A ，C ，22AF FB CG GB ==Q ，BF BGAB BC∴=，//FG AC ，PAC ∴∠为直线PA 与直线FG 所成角． 由长方形ABCD 中63AB BC ==，得：226335AC =+=由（2）知AD PD ⊥，34AD BC PD ===Q ， 22345AP ∴=+=，由题意知4PC =，22295cos 2AP AC PC PAC AP AC +-∴∠==⋅⋅，所以，直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为95． （19）【2015年广东，理19，14分】设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-．（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点； （3）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：321m a e≤--． 解：（1）2()(1)x f x x e a =+-Q ，22()=2(1)(1)x x x f x xe x e x e '∴++=+，x R ∈Q 时，()0f x '≥恒成立．()f x ∴的单调递增区间为R ．（2）由（1）可知()f x 在R 上为单调递增函数，当x a =，()=(+)(1)aaaf a a e a ea e-=+-1，1a >Q ，()0f a ∴>，()f x ∴在(,)-∞+∞仅有一个零点．（3）令点P 为00(,)x y ，Q 曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，0200()=(1)0x f x x e '∴+=，0=1x ∴-，2(1,)P a e--，∴直线OP 斜率为221op ae k a e -==--， Q 在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行，22()(1)m f m m e a e'∴=+=-．要证明321m a e ≤--，即证32(1)m a e+≤-．要证明32(1)(1)m m +≤+，需证明1m m e +≤，设()1m g m e m =--，()1m g m e '∴=-，令()0,0g m m '==，()g m ∴在∞(-,0)上单调递减，在+∞(0，)上单调递增，()(0)0g m g ∴≥=， 10m e m ∴--≥，1m e m ∴≥-，命题得证．（20）【2015年广东，理20，14分】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． （2）由图可知，令()11,M x y ，222211111||,||(3)OM x y C M x y =+=-+，22211||||||OC OM C M =+Q ，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=，∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．（3）∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点， 联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)03g g ≤g解得：2525[,]k ∈-，∴k 的取值范围为：2525[,]k ∈-或43k =±．（21）【2015年广东，理21，14分】数列{}n a 满足：*121224,2n n n a a na n N L -++++=-?． （1）求3a 的值；（2）设求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）令111111,(1)(2)23n n n T b a b a n n nL -==+++++?，证明：数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+．解：（1）由题意知：1212242n n n a a na -++++=-L ，当=2n 时，121222=42a a ++-；当=3n 时，1232322+3=42a a a ++-，321322233=4(4)224a ++---=，31=4a ． （2）1212242n n n a a na -++++=-Q L ， 12132+(+1)42n n n n a a na n a ++∴+++=-L ，，111123243111(+1)()()222222n n n n nn n n n n n n n n n a a a -++-+++--+=-==∴=∴=∴{}n a 是首相为1，公比为12的等边数列，∴1111()1122()212212nn n n T ---==-=--．（3）由（2）得：1122n n T -=-1111(2)(1)22n n S n -∴=-++L ，已知不等式：111ln(1)23n n+<+L设()ln(1),01xf x x x x =+->+2()01x f x x'∴=>+，()f x 在()∞0,+单调递增， ()ln(1)(0)01x f x x f x ∴=+->=+，ln(1)1xx x∴+>+在()∞0,+上恒成立． 令1=x n，1ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln n n n n n n +=+-+--++-=L ，1111ln(1)231n n +>++++Q L 111ln 231n n ∴>++++L ， 111111(2)(1)2(1)2(1ln 2)22ln 2222n n S n n-∴=-++<++<+=+L L ．。