固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
边界元法在断裂力学中综述
边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法引言在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（sif）。
应力强度因子(sif)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
边界元法1_275007510
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.5 参考资料
郑小平：《边界元方法》PPT课件. 姚振汉：边界元法，高等教育出版社，2010. 杜庆华等：边界积分方程边界元法， 高等教育出版社，1989. 稽醒等： 边界元进展及通用程序，同济大学出版社，1997. Aliabadi MH. The Boundary Element Method, Vol. 2, Applications in Solids and Structures. Wiley, NY, USA, 2002.
对于椭圆问题，边界积分方程被公认为是达到了数学 形式的最高境界。
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
间接边界积分方程方法：求解的边界未知量并不是 原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅 助变量，例如对于位势问题引进的单层势和双层势。 间接边界积分方程方法的早期工作： 位势问题：A. M. O. Smith & J. Pierce (1958), J. L. Hess (1962), M. A. Jaswon (1963), G. T. Symm (1963), M. A. Jaswon & A. R. Ponter (1963。 弹性力学问题：M. A. Jaswon (1963), C. E. Massonet (1965), E. R. A. Oliveira (1968), G. Rieder (1968), R. Butterfield & P. K. Bannerjee(1970等。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
边界元法： 首先将对应的数学物理问题转化为边界积分方程 形式，然后采用边界单元离散和分片插值技术将 边界离散为边界单元，将边界积分方程离散为代 数方程组，再采用数值方法求解得到原问题边界 积分方程的数值解。它是求解工程与科学问题的 常用数值分析方法之一。
边界元
0
xp
1
d 2u s EA 2 x, x p 0 dx
（1-9）
xp 为源点，x 为场点。 位移解为： a
a xp a x 2 EAa s u x, x p a xp a x 2 EAa x x p ,a
（1-10）
Q Q
（1-2）
1-21
1.2 边界积分方程方法简例
2.预备知识: 基本解
基本解在边界元方法中起着重要的作用. 在数学上, 把满足微分方程:
L u* P, Q P, Q 0
u * P, Q 定义为方程
L u* P, Q 0
（1-3）
（1-4）
的基本解. 其中L为线性微分算子, P和Q为域内的任一两点. 基本解可以这样 理解为: 在P点存在单位强度“源”时， 对域内任一点Q产生的影响。
1-3
1.1 边界元方法的发展及其特点
1976年, Lachat JC 和 Waston JO 提出了有效的3D弹性力学的边界元数值方
法(Int. J. Numer. Meth. Engng 1976; 10:991-1005).
一些专集也相继出现, 促进了边界元方法的发展. 比较有名的有: • Cruse A. 和 Rizzo FJ. (1975) 出版了边界元专集. • Banerjee PK (1979-1986) 出版了边界元专集I-IV. • 目前, 有许多国际期刊刊登边界元方面的文章, 如:
u 0 Tu s x,0
aa l a2 1 1 T l T 0 u l u 0 2 EAa 2 EAa 2 2 a l a 1 1 T l T 0 u l u 0 2 EA 2 EA 2 2
边界积分方程方法
边界积分方程方法
边界积分方程（BEM）是一种拟解多物理场和流体动力学领域的复杂偏微分方程计算
的数值分析方法。
它把原本的偏微分方程计算用积分方程来近似计算，克服了结构复杂、
难以解析的缺点，在很多领域获得了广泛的应用，如电磁学、电离层流动和结构动力学及
一些其他领域，尤其在电离层研究领域中，电磁边界积分方程在今日依然是最主要的计算
工具。
边界积分方程基于多重物理场之间的相互作用来反映非常复杂的系统行为，包括对流体、传热、化学改变和其他复杂行为的分析。
它的基本思想是采用积分形式来求解偏微分
方程，该方法将原来的偏微分方程变形为一系列积分方程，在定义区域的边界条件中假定
某种定义的间断解矩阵的解，其核心思想是在一空间区域外选择一组积分公式，以导出相
应的积分公式系统，此时此系统存在了数值解。
经典的边界积分方法把求解问题看作一个由多个区域组成的体系，可以把每个区域看
作一个积分单元，每个区域边界处只要给定边界条件，然后再求解积分公式系统中的解即
可得到整个体系的解。
边界积分可以用来解答多物理场问题，这些问题中不仅有偏微分方程，还有表面积和容量的求解，边界积分方法核心思想是，以某空间区域外为基本，选择
一组积分公式，以导出相应的积分公式系统，此时此系统存在了数值解。
在边界积分方法中，系统方程和边界条件必须要有解，只有当非限定形式的积分系统
有解时，系统的解才有意义，边界积分方法把原本复杂的偏微分方程转换为边界积分求解，使得解的求解更为简单。
11_边界元法
u1 u U 2 un
q1 q Q 2 qn
=
(2.38)
8
2012/10/22
以细线为参考，导入下列部分矩阵
H11 H H1 = 21 H n1 H12 H1l H 22 H 2l H n 2 H nl
2012/10/22
按积分中值公式 θ 其中的 α (2.22)
等号右边的第二项 lim
→ ∗ ∗
, , Γ
Γ (2.25)
为圆弧上某一点。又因为 lim ln
→
1
0
(2.23)
等号右边的第四项 lim
→ ∗
所以 lim
→ ∗
,
Γ Γ (2.26)
, ln 1 α
Γ 0 (2.24)
lim
→
1 lim → 2
0 P Q ， P=Q
(1.3)
它的值由 (观察点)和 (源点)两点的相对位置决 定，所以叫做二点函数。二维、三维场合，拉克 函数的性质可以写成 =1
一维狄拉克 函数如图所示， 点(观察点)和 点(源 点)的坐标分别以 和 表示。它具有下列性质：
(1.6) (1.7)
在区域 内 不在区域 内 二维时为面积分，三维时为体积分。
lim
→
1 1 ln 2 1 1 ln 2
和 的方向相同，有 1 所以， lim
→ ∗
等号右边的第五项 lim
→ ∗
, ,
Γ Γ
(2.28)
, 1
Γ
lim
→
∗
lim
→
1 2 1 2 ′ α
把上述结果代入式（2.20），得 (2.27)
边界元法-详解
边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
边界元法课件
模拟算例
耦合轧制接触模型－边界元法
陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上 给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧
制FORTRAN源程序 将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联
起来，“同时”、“并行”模拟轧制过 程 给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板 带冷轧过程数值模拟结果 带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰
弹塑性BEM
陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法 完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟
肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元 法和轧制过程模拟边界元法源程序
给出板带轧制过程变形－面力－应力场 很好的处理奇异问题
规模局限性
典型边界元法计算结构（边界积分方程－影响系 数数值积分－矩阵方程及消去法求解）局限性
系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量 的计算机内存和主机CPU的时间
裂纹的生成及扩展 流体运动 骨骼生长
接触问题等研究领域
Байду номын сангаас
国内简史
在国内，1978年起步 杜庆华院士
率先推动工程中边界元法
冯康、胡海昌、何广乾院士等 加入到边界元法的研究者行列
我国边界元法研究得到了迅速的发展
研究起点和热点
我国大部分工程中边界元法 固体力学方面开始
后迅速转入非线性问题领域 出版自然边界元法1993
户泽－石川轧制模型
柳本－木内轧制模型
20世纪90年代初 柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有
限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算 宽厚比为15和238 给出变形区内三维6个应力分量分布 单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋
势 显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零 （刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）
样条边界元法
样条边界元法
秦荣
【期刊名称】《广西大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1983(000)002
【摘要】边界元法(BEM)是最近几年来在边界积分方程法和有限元法的基础上发展起来的一个数值方法。
这个方法的主要优点是运用范围广,所需要的输入数据简单和精确度高。
这些优点在二维问题和三维问题中更加显著。
这个方法能解决有限元法难以解决的问题。
因此边界元法是一个求解偏微分方程的有效数值方法。
目前这个方法在弹性力学、塑性力学、断裂力学、板壳力学、工程结构、流体力学、电磁场、传热学、结构动力学、岩体力学、地质力学及生物力学等方面都有所应用,而且正在迅速地发展。
但是,边界元法也有自已的缺点,
【总页数】11页(P32-42)
【作者】秦荣
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O3
【相关文献】
1.随机振动声辐射计算的三次B样条插值的统计边界元法 [J], 王秀峰;陈心昭
2.样条虚边界元法的数值稳定性与误差估计 [J], 苏成;郑淳
3.应力强度因子计算的样条虚边界元法 [J], 苏成;郑淳
4.正交各向异性弹性力学平面问题的样条虚边界元法 [J], 苏成;韩大建
5.角形域上Hermite三次样条多小波自然边界元法 [J], 陈一鸣;李裕莲;周志全;耿万海
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边界元法在断裂力学中的研究综述
边界元法在断裂力学中的研究综述摘要：边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，代数方程组的未知数少，对应力变化剧烈的地方能得到较好计算结果。
本文简要介绍了国内外利用边界元法研究断裂力学中裂纹问题的现状，并对研究中的一些关键问题进行了探讨。
关键词：边界元法；裂纹；断裂力学；特殊单元法引言在断裂力学中，由于裂纹尖端附近的应力场存在奇异性,以致直接应用常规数值方法分析断裂力学问题的效果往往较差,因此需要结合断裂力学的特点发展更有效的数值计算方法.边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法[1]。
边界元法在域内采用基本解，只在边界上进行离散，因此实际上是将问题降维处理，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数将按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存贮量与机时[1]。
另外，计算误差只来源于边界，区域内由解析公式计算，这就具有解析-数值计算的特点，有较高精度，对应力变化剧烈的地方能得到较好的结果，在边界上也能保持其精度，这些是有限元法所做不到的。
这些特点，对边界元法应用在线弹性断裂力学问题上的应用是很有利的。
本文首先对边界元法在断裂力学中研究现状作一简介，在此基础上提出研究中存在的一些关键问题进行了初步探讨。
1．边界元法在断裂力学中研究现状断裂力学研究的裂纹问题关键是确定应力强度因子（SIF）。
应力强度因子(SIF)通常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，通过它可以把构件几何形状、裂纹形状、尺寸及应力联系起来，并以它为基础来定义材料断裂的临界参数，从而把裂纹对构件断裂的影响进行定量计算。
用边界元解决裂纹问题,一般可以归纳为以下几个关键步骤:1)、建立边界积分方程；2)、选择单元模式；3)、处理裂纹尖端及其他边界奇异性；4)、实施数值或精确积分；5)、解最终线性代数方程组；6)、计算应力强度因子[2]。
要得到精确程度可信的应力强度因子值，这些关键步骤中更为重要的是正确模拟裂纹尖端附近区域位移和应力的变化规律。
边界层动量积分方程知识详解
三、减阻措施
绕流阻力中的压差阻力和摩擦阻力的主次取决于雷诺数。雷 诺数越大，压差阻力所占的份额越大。 摩擦阻力与边界层的流态有很大的关系。一般来说，层流边 界层的摩擦阻力比湍流边界层小。为了减小摩擦阻力，应使 物面上的层流边界层尽可能长，并使壁面光滑。 压差阻力是与物体的形状关系密切。物体后部曲率越大，分
0
dv x dy
d [ 2v ( y y2 )]
dy
2
y0
y0
0
2v
vx
v [1
(
y)2
2 ]
0
2v
d
v dx
0
v
x
dy
d dx
0
v
2 x
dy
0
1 15
v
d
dx
5.477 x
v
1 v 2 x C 15 2
1 v 2 x 15 2
0
2v
5.477 x
第五节 边界层动量积分方程
设二维定常均匀流绕流一固体，如图所示。沿固体表面取 x轴，沿固体表面的外法线方向取y轴，在固体表面取单宽 微段ABCD为控制体，对它建立x方向的动量方程。
v
假设：（1）不计质量力； （2）dx无限小，所以BD、AC可视为直线。
MCD M AB M AC Fx
式中，MCD、MAB、MAC分别为单位时间通过CD、 AB、AC面的流体动量在x轴上的分量； ΣFx为作用在控制体ABCD上所有外力的合力在x 轴上的分量。
单位时间通过AB、CD、AC面的质量分别为
qAB 0 vxdy
qCD
q AB
qAB
x
dx
0
v x dy
x
边界元法发展综述
边界元法发展综述刘娅君学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。
但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。
有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。
然而，有限元法本身还存在一些缺点。
例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。
边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。
它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。
在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。
同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。
正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。
边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。
其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。
第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。
所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。
边界元法
∫Ω (∇ 2φ * )φ ds = −φi
（2.7）
从而（2.3b）式可写成
∫ ∫ ∫ ∫ φi +
φ ∂φ * dΓ + Γ1 ∂n
φ ∂φ * dΓ = Γ2 ∂n
∂φ φ *dΓ + Γ1 ∂n
qφ *dΓ
Γ2
（2.8a）
或者
∫ ∫ φi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
边界元法的研究在经过对弹性力学和塑性力学问题的初步尝试后，没有能够得到满意的 计算结果。边界积分方程和从有限元法借鉴来的边界离散技术两者不是一试就灵的。较为完 整的、可以实际应用的边界元法是 20 世纪 70 年代才建立起来的。先后解决了边界积分方程 中含有的奇异积分的精度问题，对于不带奇异性的积分，只要用普通的高斯数值积分法就可 以获得足够的精确度，从而使边界元法固有的精度得以显露出来。20 世纪 80 年代可称是边 界元法蓬勃发展和丰收年代。
程，方程中全部的量均为边界上的物理量。
§3 间接边界元法
在边界解法中，最简单的一种解法即为间接法。这种方法简单而且适用，对于许多实际 问题能够给出较好的结果。但直接法与之比较，则更为一般，应用范围更加广泛。
固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系 2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1)什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史[2] (3)二、边界元法[5] (4)1)概述 (4)2)基本解 (4)3)拉普拉斯（Laplace）积分方程 (5)4)拉普拉斯（Laplace）边界积分方程 (6)5)拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法 (6)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (7)三、结束语 (8)参考文献 (9)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。
它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。
用传统的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难，但是用边界元法求解这类材料不会有任何问题。
近年来随着将快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。
关键词：边界元法积分方程边界离散快速多级算法AbstractThis paper reviews the history, current situation and development of the boundary element method and deduced the integral equation. The boundary element method is based on the integral equation and absorbed the discrete technology of finite element method. It has the advantages of simple calculation, strong adaptability and high accuracy. It is based on the boundary integral equation, though boundary discretization discrete boundary integral equations into algebraic equations, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the original problem solution of boundary integral equations. The solution of nearly or exactly incompressible material problems presents serious difficulties and errors when using the conventional displacement-based finite element method, because the general stress-strain equations of elasticity contain terms that become infinite as Poisson’s ratio reaches 0.5, while the boundary element method accommodates such problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much attention because some large-scale engineering design and analysis problems were analyzed faster using boundary element method than with finite element method. This new trend suggests future prospects for boundary element method applications.Keywords：Boundary Element Method; Integral Equation; Boundary Discretization Method; Fast Multipole Algorithm一、引言1)什么是边界元法[1]边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。
边界元方法
边界元方法
边界元方法（BEM）是一种数学模型，用于解决关于边界的偏微分方程。
它也称为边界积分方程方法或格林函数方法。
BEM是一种数值方法，与有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）相似。
然而，BEM解决的问题集中在边界上，而不是整个领域中的方程。
BEM在工程学，物理学，力学和流体力学等领域中得到广泛应用。
BEM采用边界上的一组方程组成的系统，即边界积分方程（BIE）。
这些方程描述了偏微分方程的解决生效边界上的变化。
边界上的每个点的解取决于周围点的解。
BEM计算边界上的每个点的解，并将边界点连接成网格，生成整个边界上的解决方案。
BEM的优势在于处理具有无限域问题的能力。
它可以在边界上解决偏微分方程，而不需要在整个域中解决它。
这使得它可以解决具有复杂边界和奇异点的问题，这些问题在其他方法中难以处理。
BEM还是一种高精度方法，可以在不需要大量计算机内存的情况下很容易地实现。
尽管BEM具有许多优点，但也存在一些缺点。
它的计算时间通常比FEM和FDM长。
此外，它通常需要较高的数学背景和计算机科学知识，以建立和实现模型。
另外，由于其在解决问题时聚焦于边界，因此仍需要其他方法来解决内部域的问题。
尽管如此，BEM仍然是对于边界问题进行可靠求解的强有力工具。
它在流体力学，电气工程和机械工程等领域中都有广泛的应用。
通过计算出任意形状的物体及其边界上的问题，BEM可以帮助工程师和科学家更好地理解它们的特性，开发更好的产品和方案，并对物理环境中的过程和现象进行精确的测试和测量。
边界元法的应用
边界元法的应用廉蒙蒙【摘要】薄膜、薄壁梁等薄壁类结构是一类重要的结构,由于结构尺度方面的特殊性,在利用边界元方法研究、分析这类结构时会出现近奇异积分的问题,近奇异积分的计算引起了广泛的关注和研究.根据二维线弹性理论,采用Mathematica软件对薄壁结构重新进行边界元数值模拟,其结果与理论解相吻合,具有很高的精度,发现基于Mathematica软件编制的常规边界元方法得到的结果优于近奇异积分处理的结果.【期刊名称】《安阳工学院学报》【年(卷),期】2018(017)004【总页数】3页(P103-105)【关键词】边界元法;薄壁结构;线性积分【作者】廉蒙蒙【作者单位】安阳工学院机械工程学院,河南安阳455000【正文语种】中文【中图分类】O30 引言边界元法是用于求解工程与科学问题的常用数值分析方法之一，它的基本思想是将经典问题的基本解融入到边界积分方程中，把微分方程的边值问题归化成边界上的积分方程，并以其为控制方程，在借鉴有限元离散的基础上，利用各种离散化技术，通过将边界进行插值离散后，边界积分方程离散为代数方程组,再用数值方法求解代数方程组,从而得到原问题边界积分方程的解[1-2]。
边界元法具有边界积分方程非常深厚的数学基础,是继有限元法之后兴起的一种有效的数值方法，这种方法不仅可以用来分析弹性力学等固体力学的问题,同时也可应用于流体力学、声场,以及电磁场等其它的研究领域[3]。
早在1963年M.A.Jaswon[4]首次通过有势的理论对Laplace方程变换，建立了边界积分方程的数值方法，即诞生了间接边界元法，并求解了位势问题。
同年G.T.Symm也做了相关的工作[5]。
Rizzo在1967年首次提出了直接边界元法，并求解了二维弹性静力学问题，这也是边界元法文献中第一篇关于直接边界元法的文献[6]。
关于边界积分方程法的专著是T.A.Cruse和F.J.Rizzo[7]于1975年出版的，并正式的命名此法为边界积分方程方法，这也是边界元中的第一本专著。
边界元法的若干进展和它在固体力学中的应用
t u dS + f i u dV
S (1) ( 2 ) i i (1) V ( 2) i
通常一个状态是待求状态
另一状态是已知的辅助状态
以无限弹性空间中一点作用单位集中力的Kelvin问题 的解为辅助解
( G)u , (P; Q) Gu , (P; Q) ij (P, Q) 0
边界元法模拟光弹实验
边界元法并行计算的工程应用
边界元法结合并行计算，在 8 台微机组成的机群并行系 统上计算了一些规模稍大的工程实际问题。例如： 石油钻杆的偏心钻挺， 49818 自由度， 8 台微机，计算 43小时41分钟。 渤海石油公司“滨海 109”海洋铺管船的锚机滚筒轴， 24444自由度，7台微机，计算436分钟。
边界元法模拟光弹实验
为了便于将得到的结果和工程界熟悉的光弹性实验结果 比较，域内应力分布也画出了等色线和等倾线图。 而且我们一再表明，在数值模拟已经很成熟的今天，进 行光弹性实验这样的物理模拟已经没有多大意义。因为 它也不是实测，光弹性模型和实际问题相比引进了许多 误差，得到的结果并不比数值模拟结果更接近真实情况； 而且数值模拟比光弹性模拟更经济便捷。 下图是带孔板单向拉伸的等色线图（条纹等级反映主应 力差）。
钻挺顶部Mises应力图（边界元法，单位：MPa）
钻挺顶部Mises应力图（有限元法，单位：MPa）
钻挺顶部Mises应力图（有限元法，单位：MPa）
滚筒轴边界元模型：5个子域，8184结点，1721单元
滚筒轴有限元模型：13000结点，64000单元
边界元解：左端局部Mises应力（单位：MPa）
弹性力学边界元法
核函数与形函数乘积在单元上的积分 矩阵元素都是核函数与形函数乘积在单元上的积分，矩 阵是满阵。 主要计算量就是计算这些积分，以及求解满阵代数方程 组。 对于规模不太大的问题，计算积分的工作量是主要计算 量。 非奇异积分采用等精度高斯积分格式求积，高斯点数由 精度要求对不同情况自动确定。 当核函数的源点落入积分单元时出现奇异积分，包括弱 奇异积分和柯西主值积分。
边界元方法简介
边界元方法简介早在1905年，Fredholm就对积分方程的分类作了研究，并首先将其应用于弹性力学问题.随后，许多人对积分方程的性质作了严格的数学探讨，但是到2 0世纪4 0年代末，积分方程求解边值问题的研究仍只能处理一些特殊的问题如第一边值问题。
在2 0世纪6 0年代，一些学者对积分方程尤其是奇异积分方程的理论作了更为深入的研究，从而为进一步应用边界元法开辟了道路。
后来，高速大型计算机的出现及其硬件的迅猛发展使离散求解积分方程成为可能，但当时由于有限元法的出现并迅速发展，加上其广泛的适应能力，使人们的注意力大部分集中在它的身上。
随着有限元法逐渐成熟，其缺点也显现出来，人们开始寻找一种能够弥补其不足的新方法，目光又转向了边界元法，并逐步将有限元法中发展起来的一些离散技巧运用于边界积分方程，从而使边界元法脱颖而出，成为工程分析中的一种新的有效工具。
虽然边界元方法的研究引起人们注意的时间并不长，但是它的理论基础即积分方程的研究却可以追溯到1 9世纪初，当时仅从理论上对各类问题推导出解的积分方程，并没有涉及到数值计算。
例如在1929年，Kellogg利用Fredholm积分方程解决了位势问题，Fredholm积分方程是由以单层位势和双层位势为代表的调和位势发展而来的，并且由它又进一步发展成为所谓的间接边界元方法。
2 0世纪5 0年代，前苏联的米赫林和穆什海里什维里的工作为积分方程在工程上的应用开辟了道路。
6 0年代初，积分方程作为数值计算方法开始应用于实际问题，并逐步发展成为各种边界元方法。
虽然各种边界元方法都有一个共同的出发点，但是它们也可以分成下列互不相同又彼此紧密联系的三大类:第一类为边界元方法的直接表达式。
在此类表达式中，积分方程内出现的未知元是真实的物理变量。
正因为如此比如弹性问题中，解这种积分方程就可直接得出系统边界上的全部张力和位移，而物体内部的张力和位移则可通过数值积分由边界值推算出来。
固结理论研究综述
固结理论研究综述目录前言 (3)1 天然地基固结理论 (3)1.1 Terzaghi一维固结理论 (3)1.1.1Terzaghi一维固结方程及其修正 (4)1.2.2 Terzaghi固结理论研究现状 (5)1.2 Biot固结理论 (6)1.2.1 Biot固结方程 (6)1.2.2 Biot固结理论解析解研究现状 (7)1.2.3 Biot固结理论的数值研究现状 (8)1.3考虑流变的固结问题 (9)1.3.1线性流变固结问题 (9)1.3.2非线性流变固结问题 (10)1.4非饱和土的固结问题 (11)2 竖井地基固结理论 (12)2.1 单层竖井（Barron解）研究现状 (12)2.2成层竖井地基固结问题 (13)2.3未打穿竖井地基固结问题 (13)2.4不同加载情况下的竖井固结问题 (14)2.5考虑粘弹性的竖井地基固结问题 (15)2.6竖井的轴对称固结方程 (15)3 复合地基固结理论 (17)3.1研究现状 (17)3.1.1强排水桩复合地基固结研究 (17)3.1.2粉喷桩复合地基固结研究 (18)3.2存在的问题 (19)小结 (20)参考文献 (20)ps：关于复合地基的固结理论资料的收集有待进一步补充和完善前言荷载作用时土体中产生超孔隙水压力，在排水条件下随着时间发展土体中水被排出，超孔隙水压力逐步消散，土体中有效应力逐步增大，直至超孔隙水压力完全消散，这一过程称为固结。
土体在固结过程中，随着土中水的排出，土体孔隙比减小，土体产生压缩，体积变小，随着有效应力逐步增大，土体抗剪强度得到提高。
土体的固结规律相当复杂，它不仅取决于土的类别和状态，也随土的边界条件、排水条件和受荷方式等因素而异。
饱和土体的一维固结理论是Terzaghi（1925）首先提出的。
后来，Rendulic(1936)将Terzaghi的一维固结理论推广到二维和三维情况，得到Terzaghi- Rendulic 固结理论。
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计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系 2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1)什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史[2] (3)二、边界元法[5] (4)1)概述 (4)2)基本解 (4)3)拉普拉斯（Laplace）积分方程 (5)4)拉普拉斯（Laplace）边界积分方程 (6)5)拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法 (6)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (7)三、结束语 (8)参考文献 (9)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。
它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。
用传统的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难，但是用边界元法求解这类材料不会有任何问题。
近年来随着将快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。
关键词：边界元法积分方程边界离散快速多级算法AbstractThis paper reviews the history, current situation and development of the boundary element method and deduced the integral equation. The boundary element method is based on the integral equation and absorbed the discrete technology of finite element method. It has the advantages of simple calculation, strong adaptability and high accuracy. It is based on the boundary integral equation, though boundary discretization discrete boundary integral equations into algebraic equations, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the original problem solution of boundary integral equations. The solution of nearly or exactly incompressible material problems presents serious difficulties and errors when using the conventional displacement-based finite element method, because the general stress-strain equations of elasticity contain terms that become infinite as Poisson’s ratio reaches 0.5, while the boundary element method accommodates such problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much attention because some large-scale engineering design and analysis problems were analyzed faster using boundary element method than with finite element method. This new trend suggests future prospects for boundary element method applications.Keywords：Boundary Element Method; Integral Equation; Boundary Discretization Method; Fast Multipole Algorithm一、引言1)什么是边界元法[1]边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。
从计算格式形成的全过程来看，关键问题有两个。
一个是问题的边界化，即将给定区域上的定解问题化为可以只考虑边界的问题。
这一步的关键是格林公式，这是边界元法的基石。
边界化的结果使问题降维，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存储量与机时。
有限元法要将全部区域及边界离散，并要求将全部节点纳入方程进行计算，这是因为这些节点值包含在同一个封闭方程组中。
边界元法的封闭方程组中只有边界结点上的未知量，解完方程组再根据需要有目的地求内部值，因此减少了计算的盲目性。
第二个关键是边界的离散化。
单就离散技术本身而言，与有限元法没有很大的不同。
由于只对边界离散，因此计算误差只来源于边界，这就使我们将减少误差的全部注意力放在边界上。
有由于区域内由解析公式计算，这就提高了计算精度，并达到内部值的某些特殊要求，如连续性、可微性等。
计算格式形成的两个关键已经体现了计算简单、适应性强、精度高的优点，这正是这种方法的生命力所在。
2)积分方程和边界元法的发展历史[2]1828年George Green就对位势问题提出了三个Green等式，其中包括解的积分表示式，即将问题的解表示为单层势和双层势与边界变量及其法向导数乘积的边界积分。
1903年由Erik Ivar Fredholm奠基了积分方程理论。
1926年Erich Trefftz提出了区别于Ritz法的积分方程边界解法，即Trefftz法。
1963年M.A.Jaswon将边界积分方程直接法用于位势问题。
1967年F.J.Rizzo在Quarterly Applied Mathematics发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方程方法的论文[3]。
C.A.Brebbia于1978年出版了书籍《工程师用边界元法》，P.K.Nanerjee和R.Butterfield于1981年出版了《工程科学中的边界元法》[4]。
我国的边界元法研究起步于20世纪70年代末，清华大学的杜庆华在推动我国边界元法研究方面起了重要作用。
清华大学张楚汉运用动力学边界元法与断裂力学原理提出重力坝地震断裂与拱坝裂缝扩展模型，在边坡与地下工程研究方面提出了时域边界元与离散元耦合模型。
边界元法由于形成的代数方程组的系数矩阵是满阵，因此对于求解规模有很大的制约，传统的边界元法难以处理工程实际中复杂的大规模计算问题。
由于20世纪90年代开始将计算数学的重要成果——快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。
采用快速多极边界元法，在一台微机就能计算数十万、甚至上百万个自由度的大规模问题，在微机机群并行系统能计算近千万自由度，在超级计算机最大的算例达到数千万自由度。
这是边界元法今年的重要进展之一。
二、 边界元法[5]1) 概述采用边界元法求解时，根据积分定理，将区域内的微分方程变换成边界上的积分方程。
然后，将边界分割成有限大小的边界元素，称为边界单元，把边界积分方程离散成代数方程。
同样，把求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量的代数方程的问题。
边界元法分为直接法和间接法两类。
直接法用物理意义明确的变量来建立积分方程，积分方程中的未知函数就是所求物理量在边界上的值；间接法用物理意义不一定明确的变量来建立积分方程。
2) 基本解边界元法中，将微分方程变换成积分方程时要应用基本解。
设以函数u 表示的某一物理现象与时间无关，微分方程为：[()]0L u P = （1）其中L 为线性微分算子，P 为区域内的点。
式（1）的基本解*u 定义为下列方程的解：*[(,)]()0L u P Q P Q δ+-= （2）式中的P 和Q 为无限域中的任意两点，()P Q δ-为狄拉克（Dirac ）δ函数：()P Q P Q P Qδ≠⎧-=⎨∞=⎩ （3）一维δ函数具有下列性质：()1x dx δξ+∞-∞-=⎰（4）()()()0b bau a bu x x dx a ξξδξξξ<<⎧-=⎨<<⎩⎰或 （5）对于二维和三维问题只需把积分换为二维和三维积分即可。
3) 拉普拉斯（Laplace ）积分方程考虑下述二维拉普拉斯方程的混合边界条件问题：20u ∇=Ω区域内 （6）u q=q u u u q n =Γ⎫⎪⎬∂=Γ⎪∂⎭边界上边界上 （7）式中2∇为拉普拉斯算子。
格林（Green ）公式：22()()u vv u u v d vu d n nΩΓ∂∂∇-∇Ω=-Γ∂∂⎰⎰ （8） 拉普拉斯方程（6）的基本解*(,)u P Q 满足方程：2*(,)()0u P Q P Q δ∇+-= （9）式中P 、Q 为二维无限域中的任意两点。
取P 点为坐标原点，将（9）式写成极坐标形式，即：2**21()d u du r dr r drδ+=- （10）00()0r r r δ≠⎧⎨∞=⎩r 为P 点和Q 点之间的距离。
运用格林公式可得拉普拉斯方程的基本解：*11(,)ln2(,)u P Q r P Q π=（11） 把u 和*(,)u P Q 代入格林公式中，并由δ函数的性质，可得：*'''*''()[(,)()()(,)]()u P u P Q q Q u Q q P Q d Q Γ=-Γ⎰ （12）式中 *'*''(,)(,)()u P Q q P Q n Q ∂=∂。