二阶段法求解线性规划的流程图
第3章09-人工变量法之两阶段法
第3章09人工变量法之两阶段法同学们大家好，今天我们继续来学习，人工变量法这一小节。
现在我们再来看第二个方法——两阶段法。
大M 法和两阶段法实际上各有优缺点，大M 法的原理很清晰，但是在用计算机求解时，对M 只能输入一个很大字长的数字，而模型的参数与M 有可能比较接近，从而可能会在计算过程中发生一些错误。
而两阶段法不需要设定大M ，不会发生这个问题，所以，计算机程序中一般都采用两阶段法。
两阶段法，顾名思义，就是把求解过程分成两个阶段进行。
第一个阶段，在原模型中，引入人工变量，使约束矩阵中有一个单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值。
求解完之后，如果人工变量不取零，那么能证明原模型一定无可行解，反之，如果人工变量是都取零的，那么这个时候实际上也找到了原模型的一个可行基，然后再进一步求出原模型的解。
下面我们通过例3-7进行介绍。
例3-7用两阶段法求解线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+≥-+-≤+++-=3,2,1,093124st.3max 3232132131i x x x x x x x x x x x z i 对于这个问题，首先把它化成下面的标准型131234123523max 3421st.390,1,2,,5i z x x x x x x x x x x x x x i =-++++=⎧⎪-+--=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩ 它的约束矩阵中显然没有单位阵，所以，我们下面用两阶段法进行求解。
第一阶段，引入人工变量x 6和x 7，使得约束矩阵中有单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值，也就是，先求解下面的线性规划模型。
67123412356237max 421st.390,1,2,,7j x x x x x x x x x x x x x x x j ω=--+++=⎧⎪-+--+=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩ 用单纯形表法对上面的模型进行求解，先写出A ，b ，C ，111100021101100310001A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭，419b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()0000011C =--选取初始基B=（P 4，P 6，P 7）=E ，基变量为X B =（x 4，x 6，x 7）T ，C B =（0，-1，-1），467B =P P P =E （，，），TB 467X =x x x （，，），BC =0-1-1（，，）而B -1A ，B -1b ，C-C B B -1A ，-C B B -1b 也都可以求出1B A A -=，1B b b -=，()()111110000000011(0,1,1)21101100310001 2400100B C C B A -⎛⎫ ⎪-=-------- ⎪⎪⎝⎭=--14(0,1,1)1109B C B b -⎛⎫ ⎪-=---= ⎪ ⎪⎝⎭这时就得到了下面的初始单纯形表。
线性规划之大M法和两阶段法
0 x4
0
于是：
x2 x2
3/1 6/3
x2
min3/1,6 / 3
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
x1 3 x2 x3 x4 0
x5
6
0x2
6x3
x4
0
可行性自然满足,最小比值原则失效,意即x2的值 可以任意增大→原线性规划无“有限最优解”。
举例：用非基变量表示基变量的表达式
x1 3 x2 x3 x4
x5
6 3x2
6x3
x4
代表两个约束条件：
3x1x2 x26x3x3
x4 x4
x5
3
6
x2对应的系数列向量P2=（1，3）T， 设：当前的换入变量是 X2，按最小比
值原则确定换出变量：
要求：
x1 x5
3 6
x2 x3 x4 3x2 6x3
x1
x2 x3
9
x3
1
剩余变量和人 工变量：
x1, x2, x3 0
MaxZ 3x1 x3 My1 My2
x1 x2 x3 x4 4
s.t
.
2 x1 x2 x3 x5 3x2 x3 y2 9
y1
1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , y1 , y2 0
0 0 -2 0 1/4
1 0 0 1/4 0 0 0 -2 1/2 1 0 1 1/2 -1/8 0
0 0 -3/2 -1/8 0
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(4,2,0,0,4)T 相应的目标函数最优值是Zmax=14
二、单纯形法进一步讨论
最优化教案(两阶段法与大M法)
§4.2 两阶段法与大M法————初始可行基的求法求解线性规划的步骤是：1）已知一个初始基本可行解2）从初始基本可行解出发，写出单纯型表，求出进基离基变量，做主元消去法，求出一个新的基本可行解且使目标函数值得到改善。
3）判断当前基本可行解是否是最优解那末，当观察不出来初始基本可行解时，怎么办？下面介绍的方法是几种求初始基本可行解的方法4.2.1 两阶段法m in cxt s.bAx=x≥0其中A是nm⨯矩阵，b≥0。
若A中有m 阶单位矩阵，则初始基本可行解立即得到。
比如，[]NIAm,=，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0b x x x N B就是一个基本可行解。
若A 中不包含m 阶单位矩阵，就需要用某种方法求出一个基本可行解。
介绍两阶段法之前，先引入人工变量的概念。
设A 中不包含m 阶单位矩阵，为使约束方程的系数矩阵中含有m 阶单位矩阵，把每个方程增加一个非负变量，令 b x Ax a =+ （4.2.2）x ≥0 ，a x ≥0即bx x I A a m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),( （4.2.3）x ≥0 ，ax≥0显然，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b x x a 0是（4.2.3）的一个基本可行解。
向量a x ≥0是人为引入的，它的每个分量成为人工变量。
人变量与前面介绍过的松弛变量是两个不同的概念。
松弛变量的作用是把不等式约束改写成等式约束，改写前后的两个问题是等价的。
因此，松弛变量是“合法”的变量。
而人工变量的引入，改变了原来的约束条件从这个意义上讲，它们是“不合法”的变量。
第一阶段是用单纯形方法消去人工变量（如果可能的话）： m ina Tx et s .b x Ax =+α（4.2.4）x ≥0 ，a x ≥0其中Te )1,,1,1( =是分量全是1的m维列向量，Tm n n a x x x ),,(1++= 是人工变量构成的m 维列向量。
由于b x x a ==,0是（4.2.4）的一个基本可行解，目标函数值在可行域上有下界，因此问题（4.2.4）必存在最优基本可行解。
《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法
大M法的优势与局限性
优势
大M法能够处理大规模的整数规划问题，且计算过程相对简单，容易实现。
局限性
大M法只能求得问题的近似解，而非最优解，且当M值选取不合适时，可能导致求解结果偏离最优解 较远。同时，对于一些特殊问题，如非线性、非凸等问题，大M法可能无法得到满意的结果。
04
大M法实施步骤
确定问题与目标
局限性
两阶段法需要花费更多的计算时间和资源，因为需要进行多次迭 代和优化。此外，两阶段法对于初始解的选择比较敏感，如果初 始解不好，可能会导致算法陷入局部最优解，而非全局最优解。
02
两阶段法实施步骤
阶段一：问题建模与求解
80%
确定问题目标
明确问题的目标，并将其转化为 可量化的数学模型。
100%
建立数学模型
两阶段法案例
总结词
两阶段法是一种常见的求解线性规划问题的方法，通过将问题分解为两个阶段进行求解， 可以找到最优解。
详细描述
在第一阶段，两阶段法首先确定一个初始解，然后通过迭代不断改进这个解，直到满足 一定的收敛条件。在第二阶段，两阶段法使用一种称为对偶单纯形法的方法来求解子问
题，最终得到最优解。
大M法案例
输出求解结果，包括最优解、最优值等。
分析结果与决策
结果分析
对求解结果进行分析，包括最优解的合理性、最优值的可行性等。
制定决策方案
根据分析结果，制定相应的决策方案，包括最优解的实施方案、次 优解的备选方案等。
方案评估与选择
对制定的决策方案进行评估和选择，确保方案符合实际需求和可行 性。
05
案例分析
《管理运筹学》02-4两阶段法 和大m法
目
CONTENCT
二阶段法求解线性规划的流程图
是 是 否 相应行中原始变量对应系数全部为0 删去相应行，形成单纯形表
开始 化成标准形式：调整目标函数，加入松弛变量， 存在5阶单位矩阵 在第三和第四个约束条件中加入人工变量，构造辅助问题 X j ,y i ≥0 否 存在w<0 存在人工变量为基变量 利用非基变量表示目标函数中的基变量，进行迭代变换 结束 无可行解 选择主元列、行 迭代变换，人工变量变为非基变量 进入第二阶段求解 得到一个基本可行解 是 否 是 否
开始
读取第一阶段计算结果：A和b的值
删去人工变量诸列，
采用第二种形式的单
纯形表
检验数
选择主元列输出最优解和最优值
停止
用z代替w,目标函数中用非基变量
表示非基变量
是迭代变换。
2-线性规划的单纯形法6_两阶段法
例
max z = 3x1 + 2 x2 2 x1 + x2 ≤ 2 s.t. 3x1 + 4 x2 ≥ 12 x ,x ≥0 1 2
s.t.
max
w = − x5
2 x1 + x2 + x3 = 2 3x1 + 4 x2 − x4 + x5 = 12 x ,x ,x ,x ,x ≥0 1 2 3 4 5
Page 13
两阶段法
新的目标函数和原问题的约束条件所构成的线性规划 问题，称为辅助目标函数用单纯形法求解得到该问题 的最优解后，有下面两种情况：
如果w≠0，则表明人工变量还在基内，原问题无解，停止计算。 如果w=0，则表明人工变量全部出基，从而可得到原问题的一 个基本可行解，即可进行第二阶段；
∑a x
j =1 ij
n
j
≤ bi ⇒ ∑ aij x j + s = bi
j =1
n
以后还要 讨论
如果约束条件有≥约束， 如果约束条件有≥约束，这是增加的是剩余变 这时对于每个约束增加一个变量， 量，这时对于每个约束增加一个变量，将增加 的变量作为基本变量，得到一组基本可行解。 的变量作为基本变量，得到一组基本可行解。
0 x1 1 0 0 0
2
0 x2 -1 3 1 -3
1
0 x3 -1 1 0 -1
-1
0 x4 0 -1 0 1
-1
0 x5 0 0 1 0
0
-1 x6 1 -1 0 1
0
-1 x7 0 1 0
-1
b 1 1 1 η=-1
Ө 1/3 1
0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
运筹学大M法和两阶段法
0
0
0
-1
0
0
1
0
-3
0
x5
12
3
0
0
-2
1
2
-5
30
x2
1
0
1
0
-1
0
1
-2
0
x3
1
-2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj
→
0
0
0
0
0
0
-1
-1
结论
▪ 此时，目标函数已得最优值，人工变量均 为0。转入第二阶段。
第二阶段
▪ 求原问题最优值。目标函数为原问题的目 标函数，单纯形表初始表为第一阶段最后 一段的元素值，但应去掉人工变量所在列。
↓
0
1
-M
-M
Cj-Zj
0
2
-M
-1
Cj-Zj
0
3
-1
-1
Cj-Zj 3
4
-1
-1
Cj-Zj
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M
Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
3/2
x7
1
-2
0
（1）
0
0
0
1
1→
→
4M -6M+3 M-1 3M-1
两阶段法(线性规划)
两阶段法孙敏 枣庄学院考虑线性规划问题0 s.t.min ≥==x bAx cx Z（1）符号说明与教材一致，唯一的不同之处是不要求假设矩阵A 是行满秩的。
在初始基本可行解未知的情况下，可以采用两阶段法。
这种方法的基本思想是：第一阶段在约束中增加人工变量a x ，修改目标函数为极小化人工变量的和，即下面的问题（2），然后用普通单纯形法消去人工变量（如果可能的话），即把人工变量都变换成非基变量，求出问题（1）的一个基本可行解。
第二阶段就从得到的基本可行解出发，用普通单纯法求解问题（1）。
0,0s.t.min ≥≥=+=a a a T x x bx Ax x e W （2）这样，在极小化目标函数的过程中，由于大M 的存在，将迫使人工变量离基。
由于b x x a ==,0是线性规划（2）一个基本可行解，目标函数在可行域上有下界0，因此问题（2）一定存在最优基本可行解。
用单纯形法求解线性规划（2），设得到的最优基本可行解是⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x ，此时必有下列三种情形之一。
（a ）0*≠a x 。
这时问题（1）无可行解。
因为如果问题（1）有可行解xˆ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0ˆxx x a是线性规划（2）的可行解。
在此点处，问题（2）的目标函数值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=<==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡***000ˆa a T T x x W x e e x W这与⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x 是问题（2）的最优解矛盾。
（b ）0*=a x 且*a x 的分量都是非基变量。
这时，m 个基变量都是问题（1）的变量，又知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0***x x x a 是问题（2）的基本可行解，因此*x 是问题（1）的一个基本可行解。
转第二阶段。
（c ）0*=a x 且*a x 的某些分量是基变量。
这时，可用主元素消去法，把原来变量中的某些非基变量引进基，替换基变量中的人工变量，再开始第二阶段。
线性规划问题的图解法PPT课件
y
A
B
oC
x
5x＋3 y 15
y
x＋1
x－5 y 3
z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y ＝z 的
图像，可知直线经过A点时， 求得A（1.5，2.5），B
Z取最大值；直线经过B点时，（－2，－1），则Zmax=17，
Z取最小值。
Zmin=－11。
用图解法解线性规划问题的一般步骤：
（1）在直角坐标系中画出线性约束条件下 的可行域。
（2）将目标函数变为斜截式，并指出当截 距取最大值（或最小值）时，目标函数取 得最大值还是最小值。
（3）令目标函数的值取0，画出直线 Ax+By=0。然后根据图形，找出直线经 过可行域时目标函数的最优解。
（4）确定最优解的坐标（x，y）。
（5）把最优解的坐标代入线性目标函数， 求出最大值或最小值。
便可判断Ax+By+C>0表示这一直线哪 一侧的平面区域，特殊地，当
x+y-1=0
C≠0时常把原点作为此特殊点。
简单的线性规划问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？
书少成天勤什 劳才功山么小才的就=有艰孩是也求不在苦子百路不展分学于的真勤之望问劳习勤一为未知动的，的来径奋+老灵,正人，，感确学来努什但，的学懒百海么徒力方惰分无法做也的之伤才+孩崖九学少人悲能子十苦谈享不九成空作受的到话现汗舟功!在水!！! !！!! 第十九章 线性规划初步
2020年4月30日
线性规划的步骤
模型1:max ..0z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩112211112211112212 max ..............,,...,0n nn n m m mn n mn z c x c x c x a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪≥⎩线性规划的步骤1．得到初始可行基第一种情形 系数A 中存在单位矩阵，那么就以单位矩阵为可行基第二种情形 系数A 中不存在单位矩阵，那么需要引入人工变量,采用两阶段法.求解如下的线性规划模型, 模型2max ..0aa z LX AX IXb s t X =+=⎧⎨≥⎩ 其中(1,1,...,1)m L = ,a X 为人工向量.如果模型2的最优目标函数值为0且最优基不含人工变量, 那么得到初始可行基B, 转入步骤2,否则认为线性规划没有可行解.第三种情形 系数A 中不存在单位矩阵，那么需要引入人工变量,采用大M 法.求解如下的线性规划模型, 模型3max ..0aa z CX LMX AX IXb s t X =-+=⎧⎨≥⎩其中(1,1,...,1)mL = , a X 为人工向量, M 是一个很大的数.如果模型3的最优目标函数值为有限解, 那么模型3的最优基就是模型1的最优基; 如果模型3的最优目标函数值为无穷小, 说明模型1无解.2．判定算法是否结束规则 1 如果所有的检验数都小于等于零，当前的基是最优基，算法结束，得到最优可行解；规则2 如果存在某列的检验数大于零，且该列的所有系数均为负数或零，那么线性规划模型存在无界解；规则3 如果存在某个约束，左面的技术系数的符号均为正，而右边的资源系数的符号为负，则说明线性规划没有可行解；如果存在某个约束，左面的技术系数的符号均为负，而右边的资源系数的符号为正，则说明线性规划没有可行解。
如果满足如上三条法则，那么算法结束，否则转入步骤33．得到新的可行基3.1 根据检验数确定入基变量. 如果非基变量j x 的检验数最大且大于0, 那么非基变量jx 为入基变量3.2 根据入基变量j x 确定出基变量. 在入基变量j x 所在列, 如果满足1min 0k i ij i m kj ij b b a a a ≤≤⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭那么基变量k x 为出基变量.4．根据新的可行基进行矩阵变换. 矩阵变换后, 新的可行基变为单位矩阵, 转入步骤2.。
第2章(6) -两阶段法
辅助问题的单纯形表形式
XB z g
x1 x2 …
-c1 - c2 … 0 0 …
xபைடு நூலகம் x x
n+1
n+2
…
xn+m
0 -1 0 0 b1 b2 … bm
-cn 0
0 0 … -1 -1 …
x1’ x2’
…
xm’
a11 a12 … a21 a22 … … … am1 am2 …
a1n a2n … amn
两阶段法： 两阶段法： 人工变量法
思路： 思路：
判断是否有可行解 若无可行解， 若无可行解， 则判定问题无界
若有可行解， 若有可行解， 则运用单纯形法求解
过程： 过程：
1. 增加人工变量，求解辅助问题最优解 增加人工变量， 2. 去除人工变量，从上一步可行解出发求解 去除人工变量， 原问题最优解
第一阶段： 第一阶段：
Em
例1
Min z = 5x1 + 21x 3 s.t. x1 − x2 + 6 x3 − x4 =2 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, j = 1, 2,⋯ ,5
总
结
1）找到初始基本可行解，建立初始单纯形表 ）找到初始基本可行解， 2）判断最优：所有检验数小于等于0时最优 ）判断最优：所有检验数小于等于 时最优 3）换基迭代：以正检验数对应的变量进基，按 ）换基迭代：以正检验数对应的变量进基， 最小元素法确定出基变量。 最小元素法确定出基变量。
(b ≥ 0)
Min s .t .
cT x Ax = b x≥0
(b ≥ 0)
Min g = x n +1 + … + x n + m Ax + xα = b (b ≥ 0) s .t . xα ≥ 0
线性规划之大M法和两阶段法
，
z0 0
m
c n i bi
j=1，2，…，n ；
i 1
增广矩阵的最后一行就是用非基变量表 示目标函数的表达式, j (j=1,2,…,n)就是非 基变量的检验数。
（四）主元变换（旋转运算或枢运算）
按 照 主 元 素 进 行 矩 阵 的 初 等 行 变 换 —— 把 主元素变成1，主元列的其他元素变成0（即 主元列变为单位向量）
写出新的基本可行解，返回最优性检验。
停止迭代的标志（停机准则）
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或 主元列≤ 0 （最优解无界）
大M法举例2
max Z 2x1 x2
s.t
.
x1 x2 2x1 2
x2
2
6
x1, x2 0
（2） 两阶段法
第一阶段：建立辅助线性规划并求解， 以判断原线性规划是否存在基本可行解。
辅助线性规划的结构：目标函数W为所有 人工变量之和，目标要求是使目标函数极 小化，约束条件与原线性规划相同。
2、出现若干个相同的最小比值怎麽办？
（说明出现了退化的基本可行解，即非0分量 的个数小于约束方程的个数。按照“摄动原理” 所得的规则，从相同比值对应的基变量中选下 标最大的基变量作为换出变量可以避免出现 “死循环”现象）
3、选择进基变量时，同时有若干个正检 验数，怎麽选？
（最大正检验数或从左至右第1个出现的正 检验数所对应的非基变量进基）
2 0 0 0 -3/4
1 0 1 0 -1/2 --0 0 -4 1 2 8/2 0 1 0 0 1/4 3/(1/4)
0 0 -2 0 1/4
CB XB
2
X1
两阶段法讲解(共7张PPT)
量并且填入原问题的目标函数的系数开场的。具体如下表， 0 -07/2 0 -1/21 0 0 1 -1/02 3/2
-2
0 -07/2 0 -1/21 0 0 1 -1/02 3/2
-2
MX1ax（X2-w）X=30所X以4 可知X5minXw6=0 b
M0 ax z0=102 -∕750∕7线性规-划1∕7问题-的10最2优∕7解 X=(45∕7,4 ∕7,0,0,0,0)
[M2a] x（-5-w）1=0所0以可知-1min 1w=0 10
第二阶段就的是计在算第从一第阶一段阶最段后最一终张的单纯性表的中根取底消上人去工除变人量工并变且量填，入尤原其问要题注的意目的标是函要数把的目系标数函开数 场的系。数改为原函数目标函数的系数。
s.t 2x1 5x2 x3 x5 x6 10
xi
0(i
1, 2, 3, 4, 5, 6)
Cj 0 0 0 1 0 1
Q
X1 X2 X3 X4 X5 X6
b
X4 1 1 1 1 0 0
77
X6 [2] -5 1 0 -1 1 10 5
-W -3 4 -2 0 1 0 -17
X4 0 [7/2] ½
1
½
-1/2
2 4/7
X1 1 -5/2 ½
0 -1/2
½
55
-W 0 -7/2 -1/2
0
-1/2
3/2
-2
X2 0 1 1/7
2/7
1/7
-1/7
4/7
X1 1 0 6/7 -W 0 0 0
5/7 -1/7
1/7
10 1
45/7
运筹学大M法和两阶段法
Cj-Zj
→ 4M -6M+3 M-1 3M-1 0 -M
0
0
检验数判断
1. 检验数Cj-Zj=aM+b：当a<0时，认为检验数为负； 当a>0时，认为检验数为正。
2. 若最终检验数Zj-Cj均为非正，而b列中对应的检 验数Cb-Zb（即最优值）中仍有M存在，说明没 有得到确定的最优值，可以解释为约束条件过 于苛刻，该线性规划问题无可行解。
第二节 大M法和两阶段法
▪ 如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单 位向量组，解题时应先加入人工变量，人工地构成 一个单位向量组。
▪ 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。 ▪ 两种方法可控制人工变量取值。
➢ 大M法 ➢ 两阶段法
例
min F 3x1 x2 x3 s.t. x1 2x2 x3 11 4x1 x2 2x3 3 2x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3
解：引入松弛变量x4、剩余变量x5， 将数学模型标准化
max F ' 3x1 x2 x3 s.t. x1 2x2 x3 x4 11 4x1 x2 2x3 x5 3 2x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
观察约束条件系数矩阵A
1 2 1 1 0 A 4 1 2 0 1
-2
1
1
0
0
0
-M 1
x6
3
-4
1
20-110-M x71 -2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj →
Cj → 0 段
↓基 b
3 -1 -1 0 0 -M -M θi 注
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7
第三讲 线性规划的二阶段法(Max型)
则它的辅助问题为
max Z 3x1 2 x2 x3 x1 x2 x3 x4 6 x3 x5 4 x1 s.t. x2 x3 x6 3 x j 0( j 1,...,6)
线性规划的二阶段法举例（例1-2）
min Z 3x1－x3 My1 My2 My3 x1 x2 x3 x4 y1 4 2 x x x x y 1 1 2 3 5 2 S .T . 3x2 x3 y3 9 x j 0, j 1, 2,3, 4,5, y j 0
二阶段法的计算步骤: 第一步 用单纯形法求辅助问题的最优单纯形表T(B*) 和最优值W*. 第二步 若 W*＞0,则原线性规划无可行解,停止求解, 否则转第三步. 第三步 T(B*)中基变量中不含人工变量y,则把T(B*)中人 工变量所在列划去,把检验数行用原规划的目标函 数的系数替代再把基变量的检验数化为0,即得原 规划的一个可行基的单纯形表.再用单纯形法迭 代,直到终止.否则转第四步. 第四步 W*=0,T(B*)中基变量中含有人工变量yr,若yr所在 行的对应的X系数全为0 ,则划去T(B*)中yr所在行 和所在的列,转第三步。否则以某变量XS的系数 brs0为轴心项进行换基迭代后转第三步。
大M法（3）
min Z 3x1－x3 x1 x2 x3 x4 4 2 x x x x 1 1 2 3 5 S .T . 3x2 x3 9 x j 0, j 1,2,3,4,5
maxZ 3x1 x3 My2 My3 x1 x2 x3 x4 4 的辅助问题也可表示成 2 x x x x y 1 1 2 3 5 2 S .T . 3 x x y 9 2 3 3 x j 0, j 1,2,3,4,5, y j 0
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选择主元列
停止
迭代变换 ..
可编辑
精品
第一阶段程序流程图 开始
化成标准形式：调整目标函数，加入松弛变量，
是
存在 5 阶单位矩阵
否
在第三和第四个约束条件中加入 人工变量，构造辅助问题
Xj,yi≥0
结束 进入第二阶段求解
利用非基变量表示目标函数中的基变量，进行迭代变换
是
存在
w<0 否
存在人工变量为基变量
是
相应行中原始变量对应 系数全部为0
无可行解
否 得到一个基 本可行解
迭代变换， 人工变量变 为非基变量
选择主元列、行
否
删去相应行，形成单纯形表
是
可编辑
精品
第二阶段程序流程图
开始
读取第一阶段计算结果：A和b的值
删去人工变量诸列， 采用第二种形式的单 纯形表 用 z 代替 w,目标函数中用非基变量 表示非基变量
是 检验数
输出最优解和最优 值