理论力学-虚位移原理
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理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
理论力学课件 虚位移原理
f k ( x i ) 0, i 1 ,2 , ,3 n ； k 1,2, , r (约束数 )
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
大学物理课件 理论力学 第十章 虚位移原理
2、定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
17
② 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
5
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限 形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只 能以微分形式表达。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形 式，则这类约束称为完整约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
7
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x1,y1,z1; ;xn ,yn ,zn )0 ( j1,2, ,s)
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
17
② 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
5
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限 形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只 能以微分形式表达。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形 式，则这类约束称为完整约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
7
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x1,y1,z1; ;xn ,yn ,zn )0 ( j1,2, ,s)
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
虚功原理(虚位移原理)
§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。
第8章 虚位移原理
i 1
虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是 研究一般质点系平衡的普遍定理，也称静力学普遍定理。 虚位移原理的必要性证明： 当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力 Fi 和约束力 FNi 而处于平衡，则有
Fi + FNi = rA δrr δrC C F1 A
φ
a
O
l
B F2
x
图8.6
解：作用在该机构上的主动力为力 F1 和 F2 ，约束是理想约束，且 为1个自由度体系。有如下的两种解法。 (1) 几何法： δ rC ，则由虚位移原理式 如图8.6所示，A、C两点的虚位移为 δ rA ， (8-6)得 F2δrA F1δrC 0 (a) 由图中的几何关系得 δre δrAcos
主动力作用点的坐标为
y A 2l sin xB l cos x l cos D
(a)
则各作用点的虚位移为上式取变分，得
弹簧的弹力 F 、F为
δ y A 2lcos δ δ xB lsin δ δ x lsin δ D
i 1
Ni
i
将第12章的式(6-40)中 变换为 即成为式(8-5)。如光滑接触面、 铰链、不可伸长绳索、刚杆(二力杆)等均为理想约束。将第6章的 理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。
例如变长度摆，如图8.5所示，绳的约束力在实位移上作的功 FT • dr 0 ，但虚位移上的虚功 FT • δr 0 ，因而也是理想约束。
P kl (2sin tan ) 0
由于广义虚位移 是任意独立的，则有
即得平衡时重力P与 之间的关系为
虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是 研究一般质点系平衡的普遍定理，也称静力学普遍定理。 虚位移原理的必要性证明： 当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力 Fi 和约束力 FNi 而处于平衡，则有
Fi + FNi = rA δrr δrC C F1 A
φ
a
O
l
B F2
x
图8.6
解：作用在该机构上的主动力为力 F1 和 F2 ，约束是理想约束，且 为1个自由度体系。有如下的两种解法。 (1) 几何法： δ rC ，则由虚位移原理式 如图8.6所示，A、C两点的虚位移为 δ rA ， (8-6)得 F2δrA F1δrC 0 (a) 由图中的几何关系得 δre δrAcos
主动力作用点的坐标为
y A 2l sin xB l cos x l cos D
(a)
则各作用点的虚位移为上式取变分，得
弹簧的弹力 F 、F为
δ y A 2lcos δ δ xB lsin δ δ x lsin δ D
i 1
Ni
i
将第12章的式(6-40)中 变换为 即成为式(8-5)。如光滑接触面、 铰链、不可伸长绳索、刚杆(二力杆)等均为理想约束。将第6章的 理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。
例如变长度摆，如图8.5所示，绳的约束力在实位移上作的功 FT • dr 0 ，但虚位移上的虚功 FT • δr 0 ，因而也是理想约束。
P kl (2sin tan ) 0
由于广义虚位移 是任意独立的，则有
即得平衡时重力P与 之间的关系为
理论力学第十四章 虚位移原理
第十四章
虚位移原理
虚位移原理应用虚功的概念分析系统的平衡问题.
§14-1 约束、虚位移与虚功 一 约束及其分类 约束 限制质点或质点系运动的条件。 表示约束的数学方程
约束方程
1. 几何约束与运动约束 几何约束：约束方程中不含速度项的约束
实 例
x θ y l M（x，y） 单摆
约束:无重刚杆.
x2 + y2 = l 2 约束方程:
xC = hcotθ + BC
将虚位移间的关系代入虚功方程，得：
h M δθ − F δθ = 0 2 sin θ
求解可得：
h M= F 2 sin θ
FA
A δ rA
O
例： 图示曲柄连杆滑块机构， 曲柄OA的长度为r ，连杆AB 的长度为l=2r 。忽略各构件自 身重量及各处摩擦。求保持机 B FB 构在图示位置平衡的力FA、FB δ rA 间的关系。
∑F
i
Ni
• δ ri = 0
∑ F •δ r
i
=0
例：已知OA=r， 求系统在图示位 置平衡时，力偶 M与力F的关系。
A
θ = 900
θ
ϕ = 30 0
B
M
O
ϕ
F
解： （1）研究对象：机构整体
（2）受力分析：作虚功的力：M，F （3）求M与F关系： 给出虚位移：
δ rA A
− Mδθ + F ⋅ δrB = 0 建立虚位移 δθ 和 δ rB 间的关系： δ rA = δ rB δ rA = r ⋅ δθ 所以：δ rB = r ⋅ δθ
C A
θ
B G
δ rG
y
D
（2）受力分析：作虚功的力F、FB： E （3）虚功方程： F δ rG + FB δ rB = 0 建立虚位移间的关系（ 坐标变分法）
虚位移原理
虚位移原理应用虚功的概念分析系统的平衡问题.
§14-1 约束、虚位移与虚功 一 约束及其分类 约束 限制质点或质点系运动的条件。 表示约束的数学方程
约束方程
1. 几何约束与运动约束 几何约束：约束方程中不含速度项的约束
实 例
x θ y l M（x，y） 单摆
约束:无重刚杆.
x2 + y2 = l 2 约束方程:
xC = hcotθ + BC
将虚位移间的关系代入虚功方程，得：
h M δθ − F δθ = 0 2 sin θ
求解可得：
h M= F 2 sin θ
FA
A δ rA
O
例： 图示曲柄连杆滑块机构， 曲柄OA的长度为r ，连杆AB 的长度为l=2r 。忽略各构件自 身重量及各处摩擦。求保持机 B FB 构在图示位置平衡的力FA、FB δ rA 间的关系。
∑F
i
Ni
• δ ri = 0
∑ F •δ r
i
=0
例：已知OA=r， 求系统在图示位 置平衡时，力偶 M与力F的关系。
A
θ = 900
θ
ϕ = 30 0
B
M
O
ϕ
F
解： （1）研究对象：机构整体
（2）受力分析：作虚功的力：M，F （3）求M与F关系： 给出虚位移：
δ rA A
− Mδθ + F ⋅ δrB = 0 建立虚位移 δθ 和 δ rB 间的关系： δ rA = δ rB δ rA = r ⋅ δθ 所以：δ rB = r ⋅ δθ
C A
θ
B G
δ rG
y
D
（2）受力分析：作虚功的力F、FB： E （3）虚功方程： F δ rG + FB δ rB = 0 建立虚位移间的关系（ 坐标变分法）
同济大学理论力学 导学16虚位移原理
理论力学导学章虚位移原理第1616章第16章虚位移原理目录1. 内容提要... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (3)2. 基本要求... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (7)3. 典型例题... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (8)4. 补充习题... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (36)1.内容提要1)基本概念虚位移原理是用动力学的解题方法来研究静力学的平衡问题。
(1) 虚位移的概念及计算虚位移不是经过d t时间所发生的真实小位移，而是假想的、约束所允许的微小位移。
(2) 虚位移的计算方法大致可以分为以下两种：a. 虚速度法当时间“冻结”后，虚位移与速度具有相同的几何关系，所以可以利用运动学中研究速度的各种方法。
b. 解析法当质点系的广义坐标一旦确定，就将各质点的坐标表示为广义坐标的函数，然后通过对各质点坐标的变分，得到各质点的虚位移表示广义坐标的变更的关系式。
但必须注意，在应用解析法解题时，质点系中每一个质点都应处于一般位置。
0δ1=⋅∑=i ni i r F r r 0)δδδ(1=++∑=ni i iz i iy i ix z F y F x F (3)虚位移原理的应用几何形式对结构和机构都是适合的，但对机构，用解析法往往比较方便。
解析形式不能应用于处于特殊位置的机构。
应用虚位移原理解题时，对自由度为零的结构，根据题所要求的未知量，一般每次解除一个约束，使系统只有一个自由度，然后应用虚位移原理的几何形式（虚速度法）求解；对处于一般位置的机构，则可应用虚位移的解析形式求解。
虚位移原理的两种表达形式几何形式解析形式广义坐标形式的虚位移原理广义力以广义坐标表示的虚位移就是广义虚位移，与广义虚位移乘积后可以构成虚功的主动力就是广义力。
理论力学课件 虚位移原理
N
设AB杆与BC杆在B点用光滑
铰链连接.由N = -N 得
A
C Nr + Nr = Nr - Nr = 0
24
(3)连接两质点的无重刚杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重,均为二力杆. 设质点
M1和M2的虚位移分别为 r1
M2
与r2 则有:
r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2
n
Fi ri 0
i 1
n
或：
Fxixi Fyiyi 0
i 1
27
五、虚位移原理的应用 1.求解复杂系统(运动机构)的平衡条件.
1)画虚位移图.
2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系.
3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解平衡条件.
28
例题5. 套筒分别置于光 滑水平面上互相垂直的 滑道中,受力分别为P和 Q如图所示.长为 l 的连 杆和水平方向夹角为 , 摩擦均不计.求系统的平 衡条件.
以Ni表示质点系中质点Mi的约束力的合 力 , ri表示该质点的虚位移 , 则质点系的理想 约束条件可表示为
n
Ni·ri = 0
i 1
23
(1)光滑接触面
光滑接触面的约束反力恒垂直
N
于接触面的切面 , 而被约束质点的
r
虚位移总是沿着切面的 , 即N r
Nr = 0
r B N (2)连接两刚体的光滑铰链
l
A(x,y) x 图1-3
6
O
y 左图中摆锤A的约束方程为
l
(细绳)
x2 + y2 l 2
A(x,y) x
图1-4
理论力学-虚位移原理
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，
这一坐标完全确定了此质点系的位置。
以后我们改称系统的位置为位形。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面 的曲面方程：
而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在 约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点 系的平衡条件。
因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的 各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束与约束方程 约束的类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
约束方程：
x r ( sc in o ss ) i 0 n
y r ( si sn i n c) o 0 s
非完整约束
x，y、z 为球心坐标。 θ、φ、ψ 为欧拉角。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
z
f(x,y,z)0
A（x, y, z)
z
y
x
x
y
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
三、约束的类型
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
fj( x 1 ,y 1 ,z 1 ;..x n , .y n ;,z n ;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x n. ,y n ;,zn;t)0 (j1,2,...s,)
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
理论力学虚位移原理
Y
AB
X
特殊力系做功的计算
1、汇交力系合力做功
合力主矢 FR Fi
W FR dr Fi dr Fi dr Wi
AB
AB
AB
合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和
2、内力做功 内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反
设两个质点M1， M2 相互作用力F12 ，F21
dr
由于约束力作用线与位移方向
恒垂直，因此做功恒等于零。
N
光滑铰链约束
固定铰约束点处位移恒等于零，因此做功恒等于零； 活动铰可移动方向约束力恒垂直，因此做功恒等于零。
中间铰处约束力做功恒等于零——自行分析
凡是约束反力做功恒等于零的约束称为理想约束
有势力做功
有势力——做功仅与力作用的起止位置有关而与移动路径无关。
自由度和广义坐标
自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变 量的个数。
对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi）
i=1，2，3…n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整
个系统有3n个自由度。
对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描 述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个 参数表示质点系的位形，而
k 3n S
设 q1, q2 qk 为描述系统位形的独立参数，称为广义坐标。
两个质点组成质点系
Z
(x2 , y2 , z2 )
约束方程
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2
Y
自由度数 k 3 2 1 5
(x1, y1, z1)
理论力学13虚位移原理
哈密顿原理的应用
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
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理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
第12章虚位移原理
F A l B A F l B
F
F
z FN
a) 图 12-11
b)
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§12.4 虚位移原理的应用
F
解 设想手柄按螺纹方向转动 A B F 无限小角位移 δ ，螺杆和压板 得到向下的无限小位移 δz 。 由虚位移原理，虚功方程为 Flδ FN δz 0
O
y
l
x
M
图 12-1
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§12.1 基本概念
曲柄连杆机构也是一个自由度系统。选取曲 柄与x轴的夹角 为广义坐标，则质点 M 1和 M 2的 位置可表示为
x1 r cos x2 r cos l 2 r 2 sin 2
y
M1(x1,y1)
§12.4 虚位移原理的应用 A
A
解 设想杆OA产生无限小角 位移 δ ，点C产生水平向左 F B C M h 的无限小线位移 δxC 。
由虚位移原理，虚功方程为 O
δrBe
δrBa
δ
M O
δ xC
C h F
δrBr
B
a) Mδ FδxC 0
b) 图 12-10
δ 与 用“虚速度” 法求 δxC 之间的关系（以滑块B为 动点，杆OA为动系 ） δrBe h δrBa δ δrBa=δxC 2 sin sin
x y l
2 2
2
O
y
l
双面约束
x2 y 2 l 2
单面约束
x
M
图 12-1 本章所涉及到的只限于几何、双面、定常约束。
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
F
F
z FN
a) 图 12-11
b)
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§12.4 虚位移原理的应用
F
解 设想手柄按螺纹方向转动 A B F 无限小角位移 δ ，螺杆和压板 得到向下的无限小位移 δz 。 由虚位移原理，虚功方程为 Flδ FN δz 0
O
y
l
x
M
图 12-1
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§12.1 基本概念
曲柄连杆机构也是一个自由度系统。选取曲 柄与x轴的夹角 为广义坐标，则质点 M 1和 M 2的 位置可表示为
x1 r cos x2 r cos l 2 r 2 sin 2
y
M1(x1,y1)
§12.4 虚位移原理的应用 A
A
解 设想杆OA产生无限小角 位移 δ ，点C产生水平向左 F B C M h 的无限小线位移 δxC 。
由虚位移原理，虚功方程为 O
δrBe
δrBa
δ
M O
δ xC
C h F
δrBr
B
a) Mδ FδxC 0
b) 图 12-10
δ 与 用“虚速度” 法求 δxC 之间的关系（以滑块B为 动点，杆OA为动系 ） δrBe h δrBa δ δrBa=δxC 2 sin sin
x y l
2 2
2
O
y
l
双面约束
x2 y 2 l 2
单面约束
x
M
图 12-1 本章所涉及到的只限于几何、双面、定常约束。
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
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FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
－－解析法
例14-3
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块A ,B与杆
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力F与A F之B 间的关系。
解: (1) 给虚位移 δrA , δrB ,
Fi δri 0
FAδrA FBδ rB 0
由 δrB cos δrA sin ( δrA,在δrBA ,B 连线上投影相等)
3 虚功
力在虚位移上作的功称虚功.
δW F δr
δW Mδ
4 理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 等于零，称这种约束为理想约束.
δWN δWNi FNi δri 0
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、 固定端等约束为理想约束.
§ 14-2 虚位移原理
等于零.
解析式为
Fxiδxi Fyiδ yi Fziδzi 0
例14-1
已知：如图所示,在螺旋压榨 机的手柄AB上作用一在水平
面内的力偶( F),,其F力 矩
,螺M杆 2Fl
的导程为 . h
求：机构平衡时加在被压物体上的力.
解: 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象 受力如图.
给虚位移 δ与 δs
yB 0
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束.
vA r 0 xA r 0
（2）定常约束和非定常约束 不随时间变化的约束称定常约束. 约束条件随时间变化的称非定常 约Biblioteka .x2 y2 l0 vt 2
（3） 其它分类 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分成有限
形式的约束称非完整约束. 约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无 限小的位移称为虚位移 .只与约束条件有关.
虚位移 δ r , δx, δ 等
y
A
rA
O
M
rB
x
B
实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、
主动力以及运动的初始条件有关 .
实位移 dr , dx, d 等
思考：实位移与虚位移的区别？
δsA
3 11 1 FA 8 F1 14 F2 8 M
解: 给虚位移 θ , rC
WF M Frc 0
δra
δre
sin
δre
OBδ
h
sin
δ ,
δrC
δra
hδ sin2
M
Fh
sin 2
虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin2
M FvC 0
Fh M
sin 2
解析法：Mδ FδxC 0
xC h cot BC
δ xC
虚位移是假想的，实位移是实际发生的。 虚位移是瞬时的，实位移是有时间经历的。 虚位移可朝约束允许的任意方向运动，实位移只朝某一 方向运动。 质点系静止时，可有虚位移，而无实位移。 虚位移与运动的初始条件无关，而实位移与运动的初始 条件有关。 定常约束中，实位移是所有虚位移中的一个，对于非定 常约束，某瞬时的虚位移是指将时间固定，约束所允 许的无限小位移，而实位移是不能固定时间的，所以 虚位移不是实位移中的一个。
代入虚功方程,有
FAδrB cot FBδrB FA FB tan
－－直接法（几何法）
(2) 解析法 建立坐标系如图.
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
FBδxB FAδyA 0
xB l cos, yA l sin
δxB l sin δ δyA l cosδ
设质点系 处于 平衡,有 Fi FNi 0
Fi δri FNi δri 0
Fi δr i F0Ni δri 0
即
F iδri 0
或记为
δWFi 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
FA FB tan
(3) 虚速度法
定义:
vA
δrA dt
,
vB
δrB dt
代入到 Fi δri 0 中, 得
为虚速度
FBvB FAvA 0
由速度投影定理,有 vB cos vA sin
FA FB tan
例14-4
已知：如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦.
求：机构在图示位置平衡时,主动力偶矩Ｍ 与主动力 Ｆ 之间的关系.
第十四章 虚位移原理
§14-1 约束 ·虚位移·虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束.
限制条件的数学方程称为约束方程.
（（1）几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束.
如
x2 y2 l2
f x, y, z 0
xA2
y
2 A
r2
xB x A 2 yB yA 2 l2
δ δs
2π h
δW F
FNδs 2Flδ
0
δWF
2Fl
FN h 2π
δ
0
因 是任意的
2Fl FNh 0 2π
FN
4πl h
F
例14-2
已知：图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直向上的
力Ｆ, AC CE CD CB DG GE . l
求：支座Ｂ的水平约束力.
解: 解除B端水平约束,以力代替.
在弹簧处也代之以力,如图.
FC FG k0 δWF 0 FBx δxB FC δyC FG δyG F δyG 0
xB 2l cos , yC l sin , yG 3l sin δxB 2l sinδ , yC l cosδ , yG 3l cos
FBx(2l sin ) k0l cos k03l cos F3l cos 0
hδ sin2
M
Fh
sin 2
例14-5
求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力.
解：解除A处约束，代之 FA ，给虚位移，如图
δWF FAδsA F1δs1Mδ F2δs2 0
δ δsA ,
8
δs1
3δ
3 8
δs
A
,
δsM
11δ
11 8
δs
A
δs2
4 7
δsM
4 7
11 8
δ
s
A
11 14
δWF FBxδxB FδyG 0
xB 2l cos , yG 3l sin δxB 2l sin δ , δyG 3l cos δ
代入虚功方程
FBx 2l sinδ F 3l cosδ 0
FBx
3 2
F
cot
问题：如图在CG 间加一弹簧,刚度k , 且已有伸长量 0 ,仍求 FBx .
中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束. 约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）. 约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束.
fi x1, y1, z1, , xn, yn, zn 0 i 1, 2, , s
n为质点数，s 为约束方程数.