2017福建省高中数学竞赛预赛试题
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--，，，，。
所以，集合A 中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2R =。
由243R ππ=，得2R =。
∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。
BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
高一数学竞赛：函数与方程
高一数学竞赛：函数与方程模块一：易错试题精选【例1】若,a b c <<则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间()A (),a b 和(),b c 内()B (),a -∞和(),a b 内()C (),b c 和(),c +∞内()D (),a -∞和(),c +∞内【例2】若函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x x x f ，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数是___________.【例3】已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当()+∞∈,0x 时，()x x f x2017log 2017+=，则函数()x f 的零点个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【例4】奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于()A.14B.10C.7D.3【例5】设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【例6】函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]0,1 D.()0,1【例7】设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（）A.()22-B.322⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.()2,-+∞【例8】已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x m =有四个不同的解a b c d ,,,,且a b c d <<<,则的()21a b c c d++取值范围为()A.(]1,1- B.[)1,1- C.(1,)-+∞ D.(,1)-∞【例9】已知定义在R 上的函数()f x 满足(4044)4()f x f x -=-，若函数220192022x y x +=-与()y f x =的图象有m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L ，则1()miii x y =+=∑()（注111221()()()()mim m i x y xy x y x y =+=++++++∑L ）A.2022mB.2019mC.2021mD.2024m模块二：培优试题精选【例1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()2f x x =，函数()()log 1,12,1a x x x g x x ⎧->=⎨≤⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上恰有8个零点，则a 的取值范围为（）A ．（2，4）B ．（2，5）C ．（1，5）D ．（1，4）【例2】关于x 的方程()242200x m x m ++++=有两个正根()1212,x x x x <，下列结论错误的是（）A ．102x <<B ．226x <<C ．1212x x x x +的取值范围是{01}xx <<∣D ．2212x x +的取值范围是{440}xx <<∣【例3】设函数21,0()ln ,0ax ax x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()y f x a =+在R 上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．[)1,0-D ．4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【例4】已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m【例5】已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个【例6】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()211,0212,22x x f x f x x ⎧--<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为（）A ．8B ．32C ．0D ．18【例7】已知函数23e ,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()()2g x f x kx x =--有两个零点，则k 的可能取值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【例8】设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【例9】已知函数()()211x xf x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（）A ．αββα=+B ．22log ααββ+=+C ．4αβ+>D ．1αβ->-【例10】设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【例11】设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.【例12】已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，()221f x x x =-++，若关于x 的方程()()230f x tf x --=在[150,150]-上有300个解，则实数t 的取值范围是_____.【例13】已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有(4)4()f x f x +=，(]0,4x ∈时2()22x f x -=-；若函数2()()()g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为________.【例14】已知函数212,2()2ln(1),2x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪->⎩，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数1()()4g x f f x m ⎛⎫=+- ⎝⎭有6个不同的零点，求m 的取值范围___________.【例15】已知函数2|2|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()0f x k -=有4个不相等的实数根a ，b ，c ，d ，则+++a b c d 的取值范围是___________，abcd 的取值范围是___________.【例16】已知函数()1ln ,1121,1x f x x x x ⎧⎛⎫-<-⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-⎩，则函数()f x 的零点是__________；若函数()()()g x f f x a =-，且函数()g x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.【例17】已知函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则（1）实数m 的取值范围为_________；（2）+++a b c d 的取值范围是_________．【例18】已知函数()()2ln ,068,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的各个零点之和为______；若方程1f x mx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭恰有四个实根，则实数m 的取值范围为______．模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（全国竞赛题）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。
2017高中数学全国联赛试题及答案B卷
2017高中数学全国联赛试题及答案B卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，求第5项a5的值。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算复数z = 3 + 4i的模。
A. 5B. √41C. 7D. √49答案：A4. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，求圆心到直线2x + 3y- 12 = 0的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 计算定积分∫(0到1) (3x^2 - 2x + 1) dx。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，求y'的值。
A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -cos(x) + sin(x)D. -cos(x) - sin(x)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(2)的值。
答案：58. 计算二项式(3x - 2)^5的展开式中含x^3的系数。
答案：-809. 若直线y = 2x + 1与抛物线y^2 = 4x相交于点A和点B，求AB的长度。
答案：√510. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
答案：2三、解答题（每题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)和f''(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，f''(x) = 6x - 612. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 2an + 1，求证：数列{an}是递增的。
答案：略13. 已知圆心在原点，半径为r的圆与直线y = x + b相切，求b的值。
(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案
2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为。
【答案】(15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。
由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。
若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。
∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。
2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f =。
【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。
又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。
∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。
3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则12320()()()()f a f a f a f a ++++=L 。
【答案】2017【解答】由22()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。
∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)_PDF压缩
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。
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2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为 。
【答案】 (15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。
由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。
若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。
∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。
2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f = 。
【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。
又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。
∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。
3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则1232017()()()()f a f a f a f a ++++= 。
【答案】 2017【解答】由22()1f x x=+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。
∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 120172201632015201711a a a a a a a a =====。
∴ 12017220163201520171()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=。
∴ []12320172()()()()f a f a f a f a ++++[][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++22017=⨯。
∴ 1232017()()()()2017f a f a f a f a ++++=。
4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为 。
【答案】27【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有3735C =种。
（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。
）其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有2510C =种。
（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。
）所以，所求的概率为102357=。
5．三棱锥P ABC -中，ABC △是边长为PB PC ==P BC A --的大小为45︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 。
【答案】 25π【解答】如图，取BC 中点D ，连AD ，PD 。
由ABC △是边长为PB PC ==AD BC ⊥，PD BC ⊥，PD =∴ PDA ∠为二面角P BC A --的平面角，45PDA ∠=︒，BC PAD ⊥面，PAD ABC ⊥面面。
作1PO AD ⊥于1O ，则1PO ABC ⊥面。
∴ 111PO O D ==，12O A =，1O 为ABC △的外心，三棱锥P ABC -为正三棱锥。
设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R 。
则O 在直线1PO 上，且22211PO PO O A OA -+=。
∴ 222(1)2R R -+=，52R =，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2425R ππ=。
6．已知P 为双曲线C ：221412x y -=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。
【答案】A【解答】如图，不妨设点P 在第一象限，D 、E 、F 分别为I ⊙与12PF F △三边相切的切点。
则由切线长定理以及双曲线定义，得121212122()()a PF PF PF FF PE EF FF EF F D F D =-=+-+=-=-()()2D D D x c c x x =+--=∴ 2D x a ==，2M I D x x x ===。
设00()P x y ，，由M 为12PF F △重心，知036M x x ==，046y =。
∴ 221(64)(460)14PF =++-=，222(64)(460)10PF =-+-=。
设12PF F △内切圆半径为r ，则1212121()162PF F S PF PF F F r r =++⨯=△。
另一方面，121201184616622PF F S F F y =⨯⨯=⨯⨯=△。
∴ 16166r =，6r =。
7．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos (2cos )sin 22A AC C =-，3cos 5A =，4a =，则ABC △的面积为 。
【答案】 6 【解答】由sin cos(2cos )sin 22A A C C =-，知22sin cos 2(2cos )sin cos 222A A A C C =-。
∴ sin (1cos )(2cos )sin C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-。
∴ sin sin cos cos sin 2sin C C A C A A ++=，sin sin()2sin C C A A ++=。
∴ sin sin 2sin CB A +=，即2c b a +=。
又3cos 5A =，4a =。
∴ 22242cos b c bc A =+-，即22234(8)2(8)5b b b b =+---⨯，解得3b =或5b =。
∴ 35b c =⎧⎨=⎩，或53b c =⎧⎨=⎩。
∴ ABC △的面积114sin 356225S bc A ==⨯⨯⨯=。
8．若关于x 的方程230x ax b ++-=（a ，b R ∈）在区间[]12，上有实根，则22(4)a b +-的最小值为 。
【答案】 2【解答】由230x ax b ++-=知，23b x ax =--+。
∴ 22222222222(4)(1)(1)2(1)a b a x ax a x ax x a x +-=+---=+++++222222(1)(12)(1)()1x x ax a x x a x =++++=++++。
∵ []12x ∈，，∴ 222(4)12a b x +-≥+≥，当1x =，1a =-，3b =时，等号成立。
∴ 22(4)a b +-的最小值为2。
9．函数()f x =。
【答案】 11【解答】由柯西不等式知，22= 2271244(326)()11326x x x---≤++++=。
当且仅当==，即9436271244x x x ==---，8x =时等号成立。
∴ ()f x 的最大值为11。
10.A 、B 、C 为圆O 上不同的三点，且120AOB ∠=︒，点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合），若OC OA OB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围为 。
【答案】 (]12，【解答】如图，连结OC 交AB 于点D 。
设OD mOC =，则由OC OA OB λμ=+，得OD m OA m OB λμ=+。
∵ A 、D 、B 三点共线， ∴ 1m m λμ+=，1mλμ+=。
不妨设圆的半径为1，作OE AB ⊥于E ，由120AOB ∠=︒，知12OE =。
∵ 12OD OE ≥=，且点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合）， ∴112m ≤<。
于是，12λμ<+≤。
∴ λμ+的取值范围为(]12，。
另解：如图，以O 为原点，线段AB 的垂直平分线所在直线为y 轴建立直角坐标系。
不妨设圆O 半径为2，则由120AOB ∠=︒，知(31)A -，，(31)B ，。
设(2cos 2sin )C αα，。
则由OC OA OB λμ=+，得(2cos 2sin )(31)(31)ααλμ=-+，，，。
∴ 2sin λμα+=。
∵ 点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合）， ∴ 30150α︒<<︒。
∴1sin 12α<≤，(]2sin 12λμα+=∈，。
∴ λμ+的取值范围为(]12，。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。
要求写出解题过程）11．若数列{}n a 中的相邻两项n a 、1n a +是关于x 的方程20n x nx c -+=（n =1，2，3，…）的两个实根，且11a =。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b c -=，求数列{}n b 的通项公式及{}n b 的前n 项的和n T 。
（必要时，可以利用：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）【解答】（1）依题意，由韦达定理，得1n n a a n ++=，1n n n c a a +=。
∴ 121()()(1)1n n n n a a a a n n ++++-+=+-=，即21n n a a +-=。
……………… 5分 ∴ 1a ，3a ，5a ，…；和2a ，4a ，6a ，…，都是公差为1的等差数列。
又11a =，2110a a =-=。
∴ 对*k N ∀∈，21k a k -=，21k a k =-。
即1222n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩，为奇数，为偶数。
……………………… 10分（2）由（1）知，22121221122(1)22n n n n n n b c a a n n n n ---+-==⋅=⋅=-=-。
……………………………… 15分∴ 2222(1)(21)(1)(123)(123)62n n n n n n T n n +++=++++-++++=-(1)(1)3n n n -+=。