第二章 行列式作业活页
行列式课后练习及答案
0
0 0 0 0 0 0
0 解：Dn (1)
n ( n 1) 2
0 0 0
0 0
0 0
...............................
0
(1)
n ( n 1) 2
[ n ( 1) n 1 n ]
[ n 1 (1) n 1 n 1 ] (1)
2.若
(5 ) x1 2 x2 2 x3 0, 2 x1 (6 ) x2 0, 有非零解, 则 = 2或5或8 . 2 x1 (4 ) x3 0
5
x1 x2 x3 x4 5, x 2 x2 x3 4 x4 2, 3. 1 2 x 3x x3 5 x4 2, 的解是否唯一? 3x1 x 2 1 2 2 x3 11x4 0
答案：1.行列式概念的引进课后作业
a11
1. a21
a12 a22 a32 4 3 6 1 0 0 3 5
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
a31 1 3 1 3
2. 5 2 1 80
(1 a) x1 x2 xn 0, 2 x (2 a)x 2x 0, 2 n 4.设齐次线性方程组为 1 (n 2) , 若其有非零解, nx1 nx2 (n a)xn 0.
则 a=
n(n 1) 或a 0 2
x1 2 x2 x3 1, 5.用克莱姆法则求解 2 x1 3x2 x3 0, 4 x 7 x 2 x 2. 2 3 1
第二章行列式(10-11年)
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
第一章 行列式
由方程组的四个系数确定.
（3）
a11 a12a11 a11a22 a12a21 称为由二阶系数方阵 A D a a21 a22 21 所确定的二阶行列式
a12 a22
第二章 行列式
1、定义 a11 表达式 a11a22 a12a21称为二阶矩阵 a 21 a11 a12 二阶行列式，并记作 a21 a22 即
x 2 或 x 3.
第一章 行列式
利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
第二章 行列式
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 a12 D1 , b2 a22
于是方程组得解为：
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
第二章 行列式
练习 求解二元线性方程组
2 x1 4 x2 1, x1 3 x2 2.
线性代数（本）习题册行列式-习题详解（修改）（加批注）
线性代数（本）习题册行列式-习题详解（修改）（加批注）||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 1 页共 18 页行列式的概念一、选择题1．下列选项中错误的是( ) (A)b a dcd c b a -= ； (B)ac bd d c b a =； (C)d c b a d c d b c a =++33； (D)dc b ad c b a -----=. 答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）．(A)保持不变；(B)可以变成任何值；(C)保持不为零；(D)保持相同的正负号．答案：C二、填空题1.ab ba log 11log = . 解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为； x x xx xx g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 2 页共 18 页4.n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式113420321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2.7.在n 阶行列式ij a D =中，当i<="" =="" a="" i="" ij="" j="" l="，则D" p="" 时，),,2,1,(0n="" 答案：nn="">8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---a b b a . 解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba a bba故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-?+-?||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 3 页共 18 页110010100-=--=(2)000000h g f e d c b a . 原式=000000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 4 页共 18 页则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6．答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ?-+?==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x x x D 31213231232154-=的展开式中，4 x 的系数为；3x 的系数为 .解析：xx x xx x x x x x D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3 x 的||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 5 页共 18 页系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010= =160400004001210111110123012101210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 6 页共 18 页(4)000000xy y x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 0000000-- =22222)(y x xyyx x x y y x y --=-. (5)xy z zx y yz x111；原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yzx z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200001301201012---=--=-- =2031124=---.(7)43211111111111111111x x x x ++++；||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 7 页共 18 页解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+ =43121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值. 其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=. 3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --?+--?=1141113*********-------=0.4.计算下列n 阶行列式.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 8 页共 18 页(1)2111解：原式=211121111 +++n n n =2 11121111)1( +n=110010111)1(+=+n n .(2)xy yyy x y yy y x yy y y x；解：原式=[]xy y yy x y yy y x yy n x1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ 00000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(0100101111021n i x x x x i n=≠.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 9 页共 18 页解：原式=nni ix x x x00000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x .四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab a ac a b a c b ac ba----= =3333a c ab ac ab ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++ 证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 10 页共 18 页=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ；(B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B .2.当≠a （）时，方程组??=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解. (A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a a a a a a 即2≠a ，选D .三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，132231221=---=D ，||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 11 页共 18 页61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x 解：043 342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,23241231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D . 因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2 144==D D x . 2.判断线性方程组=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解？解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 12 页共 18 页=030596042122180960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k k kk k --+--=-- =)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解？解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 13 页共 18 页3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳ ) 二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化. 答案：C2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc ba 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6. 答案：D三、填空题1.?40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：-??=?40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos ==. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0. 3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yx x ,得x =2,x -y =1,从而y =1||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 14 页共 18 页4. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C . 5.设xx x x x x f 111123111212)(-=，则4x 的系数为；3系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ；(2)3534A A + ；（3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A 于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 15 页共 18 页01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)4434433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. ||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 16 页共 18 页(3)2007000002006000200500020001000.解：原式=!2006)1(2007220052006?-?=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D222333222111=；解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D[])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n !2)!2()!1(! --=n n n .||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 17 页共 18 页(2)211121112 ；解：原式=211121111 +++n n n =2121111)1( +n=110010111)1(+=+n n .(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得mx x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=22221111(mm m x x x n ---+++= 0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 18 页共 18 页(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=（其中n i a i ,,2,1,0 =≠）解： 122110000000)1(-+----=n nnn a a a a b D122211221000000------+n n n n n a a a a a b b b b a 121-+?=n n nnn D a a b a a a==∑=n i i in a b a a a 121 . 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++= 10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。
高等代数作业 第二章行列式答案
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高等代数作业第二章行列式答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容高等代数第四次作业第二章行列式§1—§4一、填空题1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，52．四阶行列式中,含且带负号的项为_____.3．设则4．行列式的展开式中, 的系数是_____. 2二、判断题1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （）√2. 设=则=（）×3. 设= 则（）×4. ( ) √5. （）×6. （）√7. 如果行列式D的元素都是整数，则D的值也是整数。
（）√8. 如果行列D的元素都是自然数，则D的值也是自然数。
（）×9. （）× 10. =n！（）×三、选择题1．行列式的充分必要条件是 ( ) D（A）（B）（C）（D）或 32．方程根的个数是( )C（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A（A）（B）（C）（D）4. n阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（）项 A（A）（B）（C）（D）5．若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为( )B（A），符号为正；（B），符号为负；（C），符号为正；（D），符号为负6．如果，则 = ( )C（A）2 M （B）－2 M （C）8 M （D）－8 M7．如果，，则 ( )C（A）8 （B）（C）（D）24四、计算题1．计算解：=1602. 计算.解：===高等代数第五次作业第二章行列式§5—§7一、填空题1. 设分别是行列式D中元素的余子式,代数余子式,则 02. 中元素3的代数余子式是 .3. 设行列式，设分布是元素的余子式和代数余子式，则 = ，= .4. 若方程组仅有零解，则 .5. 含有个变量，个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解.二、判断题1. 若级行列试D中等于零的元素的个数大于，则D=0 （）√2. （）√3. （）√4. （）√5. （）√6. （）×7. （）√三、选择题1. 行列式的代数余子式的值是( )D（A）3 （B）（C）1 （D）2．下列n（n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D（A）行列式主对角线上的元素全为零（B）行列式主对角线上有一个元素为零（C）行列式零元素的个数多于n个（D）行列式非零元素的个数小于n个3．若，则中x的一次项系数是( )D（A）1 （B）（C）（D）4．4阶行列式的值等于( )D（A）（B）（C）（D）5．如果，则方程组的解是( )B（A），（B），（C），（D），6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A）3 （B）7 （C）–3 （D）-77．如果方程组有非零解，则 k =( )C（A）0 （B）1 （C）－1 （D）3四、计算题1. 计算D=解：方法1：==方法2：将行列式按第一行展开，有：===2. 计算解：3. 计算解：4. 计算解：5. 解方程：=0.解：=====五、证明题1．证明:证明：2．设，求证：，其中为将中第列元素换成后所得的新行列式。
线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第二章、行列式习题答案
a
(a 0)Dn 0 0n 0n2 an an2 综上所述， Dn an an2
8.（1）当 A 0 时 ，利用反证法.
假设 A 0
( A )( A )1 E
A A(A)(A)1 A E(A)1 O
A 0
A 0
第二章
行 列 式习题答案
1.
利用三阶行列式求解方程组x21x1
2
x2 x2
x3 3x3
2 1
1 2 1
x1 x2 x3 0
D 2 1 3 50
1 1 1
1 2 2
D3 2 1 1 5
2 2 1
1 1 0
D1 1 1 3 5 0 1 1
1 2 1 D2 2 1 3 10
1 0 1
xi
Di D
x1 x2
1 2
x3 1
2. 当x取何值时，
3 4
1 x
x 0 0
10x
2x(x 2) 0
x0 且 x2
3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13 (2n 1)24 (2n)) n(n 1)
A E A E 0 E AB
a1 0 an
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an 1 1 0
1 0 1
n
c1
i2
ci
1 1 1 1 1 1
a1 a2
an a2
an
a1a2 an
0
1 0
[理学]高等代数第2章行列式
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a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
正整数集； 整数集；
Q 有理数集； R 正实数集； R 实数集； C 复数集。
定义1 1： 设P是复数集的一个子集，如果P中包含 0 与 1，并且P 关于加、减、乘、除（除数不为0）四 则运算是封闭的，即对于P中任意的a和b，恒有 a b P， a b P a ab P , P b 则称P是一个数域（Number field）
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
1
例2 解
2 -4
计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
记
a31 a32
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a31 a32 a33
线性代数课件--第二章行列式
3
13 13
3 －2
2.1 行列式的定义
一般地，2阶矩阵A
a11 a21
a12 a22
,
对应的2阶行列式 a11 a12 是一个数， a21 a22
其值为代数和a11a22 a21a12。 n元一次方程组的解也可用行列式表示，
需引入n阶行列式的概念。
2.1 行列式的定义 2.1.2 n阶行列式的定义
aij
an1
an2
anj
※ aij的余子式: Aij的行列式det Aij
※ aij代数余子式: Αij=(-1)i j det Aij
a1n
a2n
ain
ann
2.1 行列式的定义
2 0 4
例如：设矩阵A
1 2
4 3
0 1
，
其a11的余子矩阵A11
将任意一个n阶矩阵A （aij）nn，对应一个数，称为A的 行列式(determinant)，记为 :
a11 a12
a1n
det A a21 a22
a2n
注意：
an1 an2
ann
1） 矩阵A是n n的数表，而行列式det A是一个数；
2) 矩阵可以有：行数m 列数n；
只有方阵才有行列式：行数=列数的矩阵有对应的行列式；
x2 x2
b1 的解为 b2
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a21a12
,
x2
a11b2 a11a22
a21b1 a21a12
高中数学 第二章2.3.1课时活页训练 苏教版选修1-1
一、填空题1．3<m <5是方程＋＝1表示的图形为双曲线的________条件x 2m －5y 2m 2－m －6．解析：当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6＝(m ＋2)·(m －3)>0，∴该方程表示的图形为双曲线．当方程表示的图形为双曲线时，则(m －5)(m 2－m －6)<0，即(m －5)(m ＋2)(m －3)<0，解得m <－2或3<m <5.∴3<m <5是方程＋＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件x 2m －5y 2m 2－m －6．答案：充分不必要2．双曲线ky 2－8kx 2＋8＝0的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.解析：将ky 2－8kx 2＋8＝0化为标准方程kx 2－y 2＝1.∵一个焦点为(0,3)，∴焦k 8点在y 轴上，即方程可化为－＝1，∴a 2＝－，b 2＝－，又∵c ＝3，y 2－8k x 2－1k 8k 1k ∴－－＝9，∴k ＝－1.8k 1k 答案：－13．已知双曲线－＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1x 26y 23到直线F 2M 的距离为________．解析：F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求出|y 0|＝，即MF 1＝，6262又F 1F 2＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离d ＝＝＝.MF 1·F 1F 2MF 21＋F 1F 262×664＋3665答案：654．F 1、F 2为双曲线－y 2＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°x 24，则△F 1PF 2的面积是________．解析：∵|PF 1－PF 2|＝2，∴PF ＋PF －2PF 1·PF 2＝4，即F 1F －2PF 1·PF 2＝4，2122∴20－4＝2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝8.∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2＝4.12答案：45．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程是________．解析：∵b ＝3，∴c 2＝a 2＋9，又∵a ＋c ＝9，∴c ＝5，a ＝4，∴双曲线的标准方程是－＝1.y 216x 29答案：－＝1y 216x 296．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a 的值是________．x 24y 2a 2x 2a y 22解析：∵双曲线的方程为－＝1，∴a >0，∴焦点在x 轴上．又∵椭圆的方程x 2a y 22为＋＝1，∴a 2<4.∵a ＋2＝4－a 2，即a 2＋a －2＝0，∴a 1＝－2(舍去)，a 2＝1，故a x 24y 2a 2＝1.答案：17．F 1、F 2是双曲线－＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足PF 1·PF 2＝32，x 29y 216则∠F 1PF 2＝________.解析：设∠F 1PF 2＝α，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝r ＋r －2r 1r 2cos α.212∴cos α＝＝＝0.(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 236＋64－10064∴α＝90°.答案：90°8．椭圆＋＝1(m >n >0)与双曲线－＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1、F 2x 2m y 2n x 2a y 2b ，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值为________．解析：如图，根据椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2，∴(PF 1＋PF 2)2＝4m .①m 根据双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2，a ∴(PF 1－PF 2)2＝4a .②由①－②，得PF 1·PF 2＝m －a .答案：m －a9．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程是__x 216y 242______．解析：法一：设双曲线的标准方程为－＝1，x 2a 2y 2b 2∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1.①2(32)2a 222b 2∵c ＝2，∴a 2＋b 2＝(2)2.②55由①②得Error!故所求双曲线的标准方程为－＝1.x 212y 28法二：设双曲线方程为－＝1(－4<k <16)，将点(3，2)代入，得x 216－k y 24＋k 2－＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝(32)216－k 224＋k x 212y 281.答案：－＝1x 212y 28二、解答题10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的x 227y 236纵坐标为4，求此双曲线的方程．解：设双曲线的方程为－＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，所以y 2a 2x 2b 2c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为，于是有15Error!解得Error!所以所求双曲线的标准方程为－＝1.y 24x 2511.如图所示，在△ABC 中，已知AB ＝4，且内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin 2B ，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图所示，以边AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)．设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边长分22别为a ′，b ′，c ′.由正弦定理＝＝＝2R 及2sin A ＋sin C ＝2sin B 得2a ′＋c ′＝2b ′a ′sin A b ′sin B c ′sin C ，即b ′－a ′＝.c ′2∴CA －CB ＝AB ＝2<AB .122由双曲线的定义知点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝6.22∴顶点C 的轨迹方程为－＝1(x >)．x 22y 26212．设点P 到点M (－1,0)，N (1,0)的距离之差为2|m |，到x 轴、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，得＝2，即y ＝±2x (x ≠0) |y ||x |①.因此，点P (x ，y )，M (－1,0)，N (1,0)三点不共线且PM ≠PN ，则|PM －PN |<MN ＝2.因为|PM －PN |＝2|m |>0，所以0<|m |<1.因此，点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上(除去与x 轴的两个交点)，故－＝1(y ≠0) x 2m 2y 21－m 2②.将①代入②，得x 2(1－m 2)－4m 2x 2＝m 2(1－m 2)，解得x 2＝.因为1－m 2(1－m 2)1－5m 2m 2>0，所以1－5m 2>0，解得0<|m |<，即m 的取值范围为∪.55(－55，0)(0，55)。
高等代数第2章行列式
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
三、小结
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项,
这恰好就是2!,3!. (2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于
不同行不同列的2个和3个元素的乘积 (.3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶
行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 为此，我们用排列与逆序来定义n阶行列式.
第2章 行列式
§2.1 2阶、3阶行列式 §2.2 n 元排列 §2.3 n 阶行列式 §2.4 n 阶行列式的性质 §2.5 行列式按一行(列)展开 §2.6 Cramer 法则 §2.7 Laplace 定理
2.1.2 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
(完整版)第二章行列式习题解答
第二章行列式习题解答1. 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：1) 134782695;解•吒13478269为=0 + 4 +0 + 0+ 4 +2 + 0 + 0 = 10 偶排列.2) 217986354;解：吃179 眈54)二1+0 + 4+5+4+3+0+1 = 18 ,偶排列；3) 987654321;解：璋876別艾1) =8 + 7+&+5 + 4+F+2 + 1 = 26 ,偶排歹【」.2. 选择'与上使1)1274巧陆9成偶排列；解：•与上一个为3,另一个为8,而咲1刀43两9) = 2+1+1+1 = 5 是奇排列，由对换的性质因此有H；2 )庇荻4斬成奇排列.解：与七一个为3,另一个为6,而^32564897) = 1 + 2 + 2 = 5是奇排列，因此有心工宀6.3. 写出把排列1羽孑5变成排列25341的那些对换.解：124站卩* )214笳(也)25431 仲)比鈔414. 决定排列巾-—心的逆序数，并讨论它的奇偶性.解：1与其他数构成卫个逆序，2与其他数构成汽_2个逆序，…山-2与其他数构成2个逆序，芒一1与兀构成1个逆序，故巩対住_1)…21)二3_1)十@_2) +…+2+1二^当"毗或"滋+ 1(上为正整数)时，排列为偶排列；当"处+2或n-Ak^3为正整数)时，排列为奇排列.5. 如果排列 w’j 二的逆序数为：，排列厂二的逆序数是多解: 中任意两个数码=：与丁必在而且仅在两个排列°：二'"■或**-1…中之一构成逆序，月个数码中任取两个的不同取法有”2个，因此两个排列的逆序总数为戈，所以排列…F 的陨"1)_总逆序数为Z6.在6级行列式中，心円三j 汽这两项应带有什么符号？严小吟心皿)-(_［严"，因此项计吻恥％带正号.7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子一心的项.解：因为：匚上-'，因此所求的项为解：1)该行列式含有的非零项只有m/JAi …叫七％1,带的符号为CU 2 ，值为57』，因此原行列式等于(T 」3创.1)0 0 *-0 1・-2III 11 1 1 1« 11 1 1 fe ■ 0 卫一 1 •… 0 0n 0 ■■* 0 0； 2)010... 0 0 0 2 ...0 ...丹-1n Q 0 ...73)0 …0 0 -200 ■ a «•■即i a « i » i i fe■M -1・■- 0 0 0 0・■- 0 0 «_^1+^23^31^42 -8.按定义计算行列式:少？,因此项 旳尹引龟护屏张务厶带正号;-£l 11LJ 23«32a 44?七护34 迎小2）该行列式含有的非零项只有①曲曲心小卅池，带的符号为值为「2，因此原行列式等于df.3）该行列式含有的非零项只有%”宀"叫％，带的符号为（7丄，值为，因此原行列式等于卜1）2创.9. 由行列式定义证明：证明：行列式的一般项为I = = 二，列指标•「S 1只能在1,2,3,4,5中取不同值，故*「】中至少有一个要取3,4,5中之一，而' 厂恥宀从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.10. 由行列式定义计算2A1 21 x 1 -13 2工11 1 1 工中/与/的系数，并说明理由.解：行列式元素中出现兀的次数都是1次的，因此含屏项每一行都要取含齐的,因此含/项仅有%如宀，其系数为2,符号为正，h的系数为2.类似的含尸项仅有知灼金％，其系数为1,符号为负，代的系数为-1 .11. 由1 ・-• 11 1 ■■■ 1.. .=Q■♦V1 1 ・• 1证明：奇偶排列各半证明：行列式每一项的绝对值为 1行列式的值为零，说明带正号项的个数 等于带负号项的个数•由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列1）由行列式定义，说明'「是一个卞―〔次多项式;2）由行列式性质，求'的根.解：1在行列式’〔中只有第一行含有T ，出现T 最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此'•是一个・】次多项式2）用■，，，r^--分别代*，均出现了两行相同，因此行列式为 0.即宀为—的全部根13.计算下面的行列式： 246 427 327 10W543 443 八-342 721 621小、1) ； 2)3 11112 3 413 112 3 4 1113 13 4 123） 1113；4） 4 12 39指标排列的奇偶性所确定, 奇排列时带负号，偶排列带正号•因此奇偶排列各半1…x"11N-1 …闻円＞）二1s-l…％■ ■ ■!1+ ■ ■« I »■ * II I ■■…a n-l其中•心m.i 为互不相同的数.12.设1+A 1 1 1 (a+2)2(a+3a11-工 1 1 4+1)2 0 +卯@+卯1 11+》 1 W+1尸（亡+卯（心9+1尸（八疔5） 1 11I ； 6）解：1该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，23136)246 427 3271000 427 327 6 71000 100 327 1014 543 4432000 543 44孑 -—2000 100 443 -342721 €211000 721 6211000 100 621327116 二-294x12 2945)显然当二=■'或」时均有两行元素相同，因此行列式为 0.当' 时1H - x 1 11 If1 c 4 - x~\ 'i0 01] -x11七 、厂5〕■-X0 ]c 4 +z 1< i 0 --X0 0 3y11 g 1 P = 123( ) 0 y1 5 -严 :3 00 y11 1i-卅肿y 1-7y Ay -y【口十 3十2尸 ⑺十浙十 1 牝十4 6口十夕(*+D a 辿+2尸 叶卯*22) + 1 4b+4 6b + 9(T尸 (小尸L 32^+14亡+ 4 &+9d 2 3+1尸3 +計 &+卯茲十1 4d +4 阳+9= 10" y工十丁1 yx + y=2(孟+刃 1 Z -F JJ盂xy1 x y1 尹二 2(盂+尹)0 xo —y-y = 2(X +/)[-X :+X X -7)]= ~2(^3 1116 11111111111 13 116 3 11卜13 11 厂宀J 0 2 0 0 113 1J= 2,3,4 6 13 1113 1 i = 2,3,4' 0 0 2 011136 11311130 0 0 22 3 412 3 43 4 113 4 1=104 1 2 14 121 2 3112^ 12 3 41 23<411-30 11-3=10p 2 ・2 -20 0-44|o -1 -1 -10 0 0-41 1 3272 1 4431 1 6211 0 0 1-1 0 y丸+屏处十龙2(x+y)310 1+(710 0 0 = 160i+cc^aa +b2（a 十B 十u ）c+a戊+BA.+勺= 2（d| +坷+5）码+歼证明： 為+勺如+S2(角+务+勺)勺+码+ i + cc+a=2口］+妬 + 匕1 百［+(3］巧十毎十勺勺+包15.算出下列行列式的全部代数余子式:12 140-1211 -1 20 0 2 13 21poos； 2)1 4b+亡 c + txa +ba b e右L +百1 号+% 如4玄 =2 旬玄巧-14.证明： 鸟+勺耳+勺巴十坊也®巾加+1 266 _6 -6-1 2 10 2 10 -1 14i = 0 2 1=-6;血=- 0 2 1 =0 ；J 4O = 0 0 1 =00 0 30 0 30 031 42 1=6;0 -1 24+ =- 00 2 =0 ；4J ! =-0 0解: 1）2 0 0 1 4 2 1 0 31 =-12;爲立=0 n-4B == °； ■41 = 1》4盘=-^3 = —5-^34 = Q 斗］.=乙 &2 = Q' A B = L ；&4 = 741 =2）= 3^ = --1 21 4a +b的+Nb ca 6 c妬C L =2 a Y 如 5%巾宓5%加十1 2 2^+1 22^+1 2 a 十打+疋=2^} +妬+巧 k +如+巾111 11 卩 02 1 1 -*厂©* 0 1 2 2 5 1 0 43 2 1 | |斗 11112 2-5=1.42) 31213 4 1 3171丄1 5 4 6 4 1 2J2110 n 1 — 2 — — 2 — — —2 -3221 -1 | 4-1 0-111|31 17 11 -132 16 10 13 121° 1 2 -1 41 2 -1 41 2 一］4 2 a 1 2 :2 0 1 2 12-6 1 2 1 一 3 5]2 二一 1 3 51 2 二 -16 5 1 2 33 1 2: 1 3 00 00 0 0 0 2 1 n 3521 0 3 52-5 035-1 1 02 0 -5 1 2 0 -90 3-5237 -11 2-9 -3 =一 0 0 -3 =-483.3 555 -12 5= -36 -3 -5511 2n -1 11 12 -123 2 1 0 二 1-1 0 1 21兀21 3 02 0 -1 0 12 3-1 1 32131 10 14 16 18-7-10 3-16 = 114-1918 0 -7-W17.计算下列乜级行列式:J. 221 2 -2-12 2 13 71 10-1 1 2 16-16 = -12 -19 8 180 -1-10 0 12176 133)&心1 22 22 2223» ■ i• II222112 3 -■垃一1溶ClCI-12o …-24)■ ■ ■I■■ 42 2a■»a■ IIw « ■+ I *Ji75)+ 1■I I *4- i I C I +0 …bl*-11- ra解1)按第一列展开得x F 0t)0X... 00 y00 (00)0 龙y000X... 00 X y0 (00)■ I -K■ * I ■ 4 I»■I- 4 I »■I I 4-冥■ 41» II-■11+I ■ 4■ -K I十(-1严》■ * II- fiE ■ I-■ I «I »■ 4■ 40 0 0* ■ ■■X y00… x y仃00 …y0y0 0¥«l>0X10… o工L-i y00y 也可以按定义计算，非零项只有两项及'—…「八值分别为"和厂，符号分别为+和「，因此原行列式1?，T2)解：当阅i时，行列式等于问■対；当"2时当吃二三时，从第二列起，每一列减去第一列得:1)X y I〕 (00)Q y… o00 0c… K yy ri c 0■ ■■原行列式a】—J】-打口1 —血g —^2cjj tij 0勺一外旳-每a2~\幻一还=S1 - 也)01—爲)1也■■■ 耳]乃… G1心一烧 ■■■ X”'j-m …（S 為一=（壬再-i-L■ 4 B * ■■ 4 I« ■ I-■ * II I- 4# I II 3- I]八• 耳-附0 …-W3=（备-觀）（-计工 1_的冷 …G抵 … 召 1 ■ V亏_朋 …兀■ » 1 1 « ■« ■ »—S x iH■ _枕 1 七—枕 …丹H ■ n ■ ■ ■■ ■ ■… 召一翩鬥一懣勺 …码一规d-1从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得3）解: 1 2 2 …2122 (2)10 0 ... 0 2 2 2 (2)1 00 0122 (2)223 -2 二 10 1 0二—1 0■ ■ ■• ■ V ■■ ■■ 4 ■ » ■ V ■ ■■ » ■ ■ ■'■ ■■ '■■ * ■« ■ » » ■ ■ 2 22 … •吃]…丹一210 0 (2)两行后化为三角形得: 然后交换解: 4）1,2 从第二行起每一行减去第一行, 123•… 用- 1V-423 …73-11 -1 0 ■- 0.5—1 -10 …0 0 0 2 -2・・・0 =2-2…0 …用—11—料« ■ |>0 ■> 1 10 ■ 1 V■> 1 10 … 1 « ■ N-1■ i V1一冷2列起每一列都加到第 然后按第一列展开得到:列, 1 也可以除第 12 -122行外,3 0 -2「行都减去第2行，然后化为三角形计算.崔一 10 05）解：从第» 1二&連2…吐（附一龙―）；j-1康------ （］二 2,3"■，聊 +1）证明：从第2列起，每一列的-倍加到第一列即可得:二 1 用_壬_% 11 (1)11 -1j>l 葩1的 0 ■ 0 01 ■1 巾0 B ■1・・・ 0 二 0 0 禺 ■ ■■ 0 1 0 0・・■|> 0■ 0• ■0 1■-叫 证明：当“°时结论显然成立，当疋八时，第一行的工加到第二行，然后第\_行的工加到第三行，依次类推可得:18. -1 2 0-2耳一 1证明:-1 0■0 X -1甲0…0・・・X ・■-0 0 0a2 ■r0 0 (X)2. 00 ■■--1=F 4-df H _J x a_1+-- +(j 1A + a 0;小+"学…笋+禺）"+%严i w+飾证法二：按最后一列展开即可得.证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明•证法四：从最后一行起，每一行乘以X 加到上一行，然后按第一行展开可得:X0… 0 %A0 0-1 X 0 …hX0 …盘］a -1 X …-1 X 0■ ■ ■ ■ ■二・■ ■* ■1- ■■* * ■« H■ ■ ■ ■■ 1 1 ■ ■■a 0 0 *■'0 0 0 '•*a0 0 …「1Q0 0 …-1兀+J1IJ0 0 … 0 孟"+|2”］乳"1+■■・+(3］工+口0 -1 00 … 0 茂 +务+…的 0 -1 0 … 0 9 —□»—3X ++ …眄H ■ ■ 11 « ■ - *B■ ■ ■■0 D 0 0■■ 9 V ］X0 0 …-10… ■ || -1 ■ b■ ■a 0 0 …0 0 0…叫■ ■ ■>3x 00…0丸 00 -1乳…4H■0 0 0 0 00…T x 十氐」A 0=(—l)w+l(X™ +込_]才】+…+ fif[北+引) -1) 二(-1严*0 + )(-1) "_1 = 十…+硯丸+% 就+ $ afi 0 … 0 0 1 ar+ ap … 0 00 1 口十0… 0 0 ar —Q"■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ Hl H ■ ■ ■ in H ■ ■ a- Q ' 0 0 0 … C£-\- jS3) C1 0 0 … 1 少+ fl0 解:原行列式按第一行展开得：'.「+广―-一―’丁，一•因此有 即J是以 ■ 宀-为首项，以二为公比的等比数列.因此有 & _类似有必％二才.当“0时，解得H a-^ . 证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明 1 2cos C& 1 cos a 10 4) 证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明 _ cos a 1 1 2cosa *2 =2 cos 4 一 1 = 2d ，因此结论成立. 假设当级数小于T 时结论成立，对咛级行列式匚按最后一行展开得: D K = 2cos^r - D S _2 = 2 cos a - cos(^-l)a-匕加山 一2)口=2 cosc<>s[(?;- l)dU-iT]=-l)a- sin asinfw- l)dr = cos na由数学归纳法，结论成立• 注意：因为主对角线上第一个元素为 曲口，其它主对角线上元素为 2l:<:;-，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无 法得到与 *兀 之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系 1 1 -I-心1a 1二甸孔…碍门+卫—)■ i-ia. 证明：从第二行起,再三角化 1 +盘]1 1 …11 + 位1 11 (1)1 1亠①1 …1_口］ 叫 0 … 0 1H 1- 1 1 ]+也… 1 ■#1 ■ ■ = _筍 0 ■ ■ ■ … 0 II '■ i11• # I■ 15一口1 00 ■… 仇行减去第一行先化为爪形行列式, 11+&1+ E 竺 z a 2 0=0+^1 + S —)^3-^ "曲他…耳(1十艾丄)2-1 [7^19.用克拉默法则解下列线性方程组:z! J L j —x、十3兀m 2工4 二b” 3ij 一3叼+ 3x?+ 2工斗二5 , 3x{-x2—x5+ 2X4-3t 予冋_花+3也一筍=4;巧 + 2 貫2 + 3xj —2 珥—6,2& -J?3 - 2也一窃=&3%! + J L5-A S+二4,2町-3工2 +2兀§ +筍=_&扎+ 2心-2屁十4兀-x. = -1,2xj- +3X3一4旺 + 2^ = 8 彳弓站+阳-电+ 2^4一心=3,4x:十3x立+4延十2耳十2心=-2f 兀一两一阿+2A4-弓召=-3,解：1）系数行列式= -29 一1 0 =-70,3 1 -1出二弓24同二3纽£ =64&厶二■艾4£= ・6J&322-1 3 2 F3 2 3-33 2 3-1 20 2 ■40 ~ 03 -1 3 -1 3 -1P-1-32-11-311 2-3 21 -1故方程组的解为:5开i + 6勺=1Xj + 5% 4 陆=0© + 5衍-F6A4=也+ 5X4十&屯=0& +%5 - 1 2.优质文档颅=虫 =L 呵=佥 =2,旳=佥 =-1曲=—--2故方程组的解为：d d d &3）d=2A, 口二込 禺=■弓苑 £ =-迥 £ = 1私 ^ = 312?故方程组的解为：& = 4再= -14內=7耳=7f x_5 = 13.2 -二艰-2D 3）二 9（厶-二 27（2 - 2耳）=243r爲=-1145f ^3 =703^4= -395, & = 212?定的数，用克拉默法则证明：存在唯一数域 卩上的多项式/W =护Z 十应丘月+…+q_i使炖)二虬2 1,2严皿j6 0 06 0 0 01 5 6 05 6 0 0] 1 5 61 5 6 00 1 50 1 5 62二3畑,2><艾二血0 0C i = 1507,5 65证明:设畑二占+占+・十“，由/(%)=鸟得4）51ij 00 65 1 00 0 0 6 5口 - 2D* = 243?D - 3D 二 32,W57 . 1145 229 70379 6劭宀—^65 一 133P*1320.设丄宀…： 是数域』 '中互不相同的数，665中任一组给洛鶯…也是数域两二212& =10 100 =20 4001000 18000 =6x1出1系数行列式- 0 03100-0.05400-0.0890030 9Q01 12A =12xl0\391000 -3 1 1sooo= ltf-5 2 4= -5000,27000-8 3 9^ = 1800, £=70 +勺』丹+…+町龙-+叼皿：=b n.把它看成关于''m ■"' --r：：的线性方程组，其系数行列式为一范德蒙德行列式, 由互不相同可得系数行列式不为0,由克拉默法则，方程组解唯一，即满足…］的多项式唯一.21.设水银密度；与温度厂的关系式为h二口©十厘］t +僅/2 +殍*由实验测定得以下数据:t0n C icru 20" C30" Ch13.6013.5713.5513.52求'_ ' 1 ' 1时水银密度（准确到小数2位）.解：将实验数据代入关系式■■+」得:「％=13.60,術+10^ +100^2 +1000^3 = 13.57,砌 + 20d| + 400码+ 8000^ —13 55a a+ 30<a1+900a2 +27000 碍=13.52整理后得一'以z满足的方程组为:10^+100^+1000^ = -0 03, ；20^jj+400tZj + 8000lOj =—0.05,30^ + 900d2+ 27000^ = -0 08.故陽=1.5x10^,^ 二一3.3x10』2700013.6-4.2x10-^+ 1.5xW"l i;l-3.3xl0V.当心1兀，"1艮阪当“轲c时，"门乖健康文档放心下载放心阅读。
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高代第二章-行列式
行列式
主要内容：
➢ n 阶行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 行列式的计算 ➢ 克拉默（Cramer）法则
行列式
性质1 行列互换，行列式不变，即 D=DT
§4 行列式的性质
a11 a12 … a1n
a11 a21 … an1
a 21 a 22 … a 2 n a12 a22 … an 2
… … …… … … … …
an1 an2 … ann
a1n a2n … ann
行列式有关对行成立的性质，对列也成立。
a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 1 2 a 2 1 a 3 3 a 1 1 a 2 3 a 3 2 ( 1 )(j1j2j3)a 1j1a 2j2a 3j3 j1j2j3
（1）三阶行列式由6项组成； （2）每一项是3个元素的乘积，而且这3个元素位于不同的行和列； （3）任意项中三个元素都含有2个下标，第一个下标表示元素所在的行，
例如：由1，2，3可以组成6个3级排列
123，132，213，231，312，321 自然排列
行列式 ● 逆序数
§2 排列
定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即大数 排在小数的前面，则称它们为一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称
为该排列的逆序数。把排列 i1i2 … in 的逆序数记为：(i1i2… in)
行列式
§5 行列式按一行(列)展开
§5 行列式按一行(列)展开
ch2-2.4
§1 引言 §2 排列 §3 n 级行列式 §4 n 级行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按行(列)展开 §7 Cramer法则 §8 Laplace定理 行列式乘法法则
一、行列式的性质 二、应用举例
转置行列式
设
a11 a21 D a n1
a12 a22 an 2 a21 a22 a2 n
b a b b
b b a b
b b b a
b 0 0 0 ab
1 b b 0 ab 0 [a ( n 1)b] 0 0 a b 0 0 0
a ( n 1)b (a b)n1
§2.4 行列式的性质
n
j j j
1 2
( 1) ( j1 ji jk jn ) a1 j1 a2 j2 akji aijk anjn ( 1) ( j1 jk ji jn ) a1 j1 a2 j2 aijk akji anjn ( 1) ( j1 jk ji jn ) a1 j1 a2 j2 aijk akji anjn
0 a12 a 0 ( 1)n 12 a1n a2 n
∴ 当 n 为奇数时， Dn Dn , 故 Dn 0.
§2.4 行列式的性质
练习： 计算行列式
1)
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1, 2 3
2)
1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 . 1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
a11 a12 ai 1 ai 2 a n1 a n 2
a1n ain ann
行列式练习题及答案
一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （ ）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业第二章 行列式 §1—§4一、填空题1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,52.四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3.设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4.行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题1、 若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√2、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×3、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ( )×4、 abcd zz z dy y c x b a =000000( ) √ 5、abcd dcx b y x a z y x-=000000 ( )× 6、0000000=yxh gf e d c b a ( )√7、 如果行列式D 的元素都就是整数,则D 的值也就是整数。
( )√ 8、 如果行列D 的元素都就是自然数,则D 的值也就是自然数。
( )×9、n na a a a a a ΛN 2121= ( )×10、 01000200010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！ ( )× 三、选择题1.行列式01110212=-k k 的充分必要条件就是 ( ) D(A)2=k (B)2-=k (C)3=k (D)2-=k 或 3 2.方程093142112=x x 根的个数就是( )C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( )A(A)665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C)346542165321a a a a a a (D)513312446526a a a a a a4、 n 阶行列式的展开式中,取“–”号的项有( )项 A(A)2!n (B)22n (C)2n (D)2)1(-n n5.若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-就是五阶行列式的一项,则l k ,的值及该项的符号为( )B (A)3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C)3,1k l ==,符号为正; (D)1,3k l ==,符号为负6.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ,则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C(A)2 M (B)－2 M (C)8 M (D)－8 M 7.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( )C(A)8 (B)12- (C)24- (D)24 四、计算题 1. 计算3214214314324321解:3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602、 计算3111131111311113、 解:3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章 行列式 §5—§7一、填空题1、 设ij ij A M ,分别就是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02、 122305403-- 中元素3的代数余子式就是 、6-3、 设行列式4321630211118751=D ,设j j A M 44,分布就是元素j a 4的余子式与代数余子式,则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= 、0,66- 4、 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解,则k 、 2≠5、 含有n 个变量,n 个方程的齐次线性方程组,当系数行列式D 时仅有零解、 0≠ 二、判断题1、 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -,则D=0 ( )√2、222)(00000000a b b a a b b a ab -= ( )√ 3、222)(00000000b a a b b a a b b a -= ( )√4、0=d b a c d b c a b d c a b d a c ( )√ 5、483111131111311113= ( )√ 6、)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= ( )× 7、0107310111187654321=--- ( )√三、选择题1、 行列式102211321的代数余子式13A 的值就是( )D(A)3 (B)1- (C)1 (D)2-2.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的就是 ( )D(A)行列式主对角线上的元素全为零 (B)行列式主对角线上有一个元素为零 (C)行列式零元素的个数多于n 个 (D)行列式非零元素的个数小于n 个3.若111111111111101)(-------=x x f ,则)(x f 中x 的一次项系数就是( )D(A)1 (B)1- (C)4 (D)4-4.4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D(A)43214321b b b b a a a a - (B)))((43432121b b a a b b a a -- (C)43214321b b b b a a a a + (D)))((41413232b b a a b b a a -- 5.如果122211211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解就是( )B(A)2221211a b a b x =,2211112b a b a x = (B)2221211a b a b x -=,2211112b a b a x = (C)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x ----=(D)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x -----=6、 三阶行列式第3行的元素为4,3,2对应的余子式分别为2,3,4,那么该行列式的值等于( )B(A)3 (B)7 (C)–3 (D)-77.如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解,则 k =( )C(A)0 (B)1 (C)－1 (D)3 四、计算题1、 计算D=100110011001aa aa---解:方法1:100110011001aa a a ---21r r ↔=aa a a 100110001011---21r ar +=aaa a a 101100100112--+-32r r ↔=aa a a a 100101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2:将行列式按第一行展开,有:1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---•a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2、 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解:12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ121125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3、 计算6427811694143211111解:6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4、 计算=n D 12111111111na a a +++L L M M M L 解:=n D 12111111111na a a +++LL M M M Lna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(121∑=+=ni in a a a a Λ 5、 解方程:22x 9132513232x 213211--=0、解:22x 9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=224000130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1.证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明:()()()()()()()()()()()()43433232212222222222222222222222221232123252122123212325212221232521221232123252122123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a bb b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 40推论2.设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=,求证:n D D D D +++=Λ21,其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。
二章行列式ppt课件
m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论1 推论2
偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次 对换改变排列的奇偶性。
任意一个n 级排列都可以经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换的次数与该 排列有相同的奇偶性.
a31 b3 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
n( n1)
1 2 a1na2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
1 a a 1 j1 2 j2 anjn
j1 jn
若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1，
它的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n 1 n
2
当a 时b ， 经对换后 a的逆序数增加1 , b的逆序数不变; 当a 时b ， 经对换后 a的逆序数不变， 的b 逆序数减少1.
因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
a1al a b1bm bb c1cn
m 次相邻对换
第二章行列式练习题
第二章 行列式 练习题在本节中，设12...12...n i i i n 是的一个排列，h(k)表示该排列中位于k 后面且比小的数的个数；q(k) 表示该排列中位于k 前面且比k 大的数的个数。
1. 求以下9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:τ(134782695) =h(1)+h(3)+h(4)+h(7)+h(8)+h(2)+h(6)+h(9)+h(5)= 0 +1+1+ 3 + 3 + 0 +1+1 = 10 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为:τ (217986354) = h(2)+h(1)+h(7)+h(9)+h(8)+h(6)+h(3)+h(5)+h(4)1+ 0 + 4 + 5 + 4 + 3 + 0 +1 = 18 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为:τ(987654321)=q(9)+q(8)+q(7)+q(6)+q(5)+q(4)+q(3)+q(2)+q(1)=0+1+2+3+4+5+6+7+8=9(91)2-=36所以此排列为偶排列. 2. 选择i 与k 使1) 1274i 56 k 9成偶排列; 2) 1i 25 k 4897成奇排列.解: 1) 当i = 8, k = 3时, 所求排列的逆序数为:τ(1274 i 56k 9)= τ(1274 8563 9)=10.当i = 3, k = 8时, 所求排列的逆序数为:τ(1274 i 56k 9)= τ(1274 3568 9)=1=3.故当i = 3, k = 8时，该排列为偶排列. 2)当i = 3, k = 6时, 所求排列的逆序数为:τ(1i 25k 4897 )= τ(132564897 )= 0+1 +0 + 1+ 1+ 0+1 +1 =5 故当i = 3, k = 6时的排列为奇排列.3.写出把排列 12345 变成排列25341 的那些对换. 解: 12435 (1,2)→21435(2,5)→25431(3,4)→25341.4.决定排列n (n −1)…21的逆序数,并讨论它的奇偶性.τ(n (n −1)…21) =q(n) +q(n-1) + …+q(3) +q(2)+q(1)=1+2+3+…+n-1=(1)2n n -. 故当n =4k ,4k +1时，排列为偶排列；当n=4k +2,4k +3时，排列为奇排列. 5.如果排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序数为k ,排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序数是多少?解法1: 因为在12n ⋅⋅⋅中，比 x 大的数有 n − x 个,而这n − x 个数会出现在这两个排列中x 的前面，所以在这两个排列中，与x 构成逆序的数一共有n − x 个，于是，两个排列的逆序总数为12(1)(12)2n n n n x n x n x n n n --+-+⋅⋅⋅+-=⋅-++⋅⋅⋅+=. 而排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序为k, 所以排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序为(1)2n n --k . 解法2：首先看第4题，排列n (n −1)…21中任意两个元都构成一个逆序，所以其逆序总数为2)1(2-=n n C n. 再同时考虑两个排列12n x x x ⋅⋅⋅和11n n x x x -⋅⋅⋅，对于任意两个元x i 和x j , 它们在这两个排列中必构成且只构成一个逆序，事实上，若 这两个数在12n x x x ⋅⋅⋅中不构成逆序，则必在11n n x x x -⋅⋅⋅中构成逆序，反之亦然，从而这两个排列的逆序数之和为2)1(2-=n n C n.6.在6 阶行列式中,233142561465324314516625,a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号?解：两者的符号均为“+”，因为τ(234516)+τ(312645)=(1+1+1+1+0+0)+(2+0+0+2+0+0)=8. τ(341562)+τ(234165)=(2+2+0+1+1)+(1+1+1+0+1+0)=10.7．写出4 阶行列式中所有带有负号并且因子a 23的项。
行列式Chap1-2
1 ... 1 1 ... 1 4 ... 1 1 ... n
1 1 1 ... 1
。
作业： 求
... ... ... ... ...
1 ... 1 n 1
§1.3 行列式的性质
1、转置行列式： 将行列式 D 的行和列互换后所得的新的行列式称为行列式 D 的转置行列式，记为 D T 或 D ，即
a11 a 21 D 若 a n1 a12 a 22 an 2 a1n a11 a 21 a 22 a n1 an 2
a2n a12 T D ，则 a nn a1n
1 1 0 0 a
... ...
... ... ... ... ... 1 1 ... a x
1 0 c i 1 c i ( i 1, 2, , n 1) ( x a ) n 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
... ... ... ...
0 0 0 ... 1
0 0 0 ... 0
0 r i ( x a) ( i 1, 2, , n 1) ( x a)
n 1
... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... x a a x ... a x
0 1 0 a ... 0 ... 0 0 0 0 1 0 0 a 1 ... 0
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj （ j 1,2, , n ，按第 j 列展开） 定理 1.5 n 阶行列式 D a ij 的某一行（列）的元素与另一行 （列）对应的元素的代数余子式的乘积之和为 0，即
ai 1 As1 ai 2 As 2 ain Asn 0 （ i s ）
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第二章行列式
第一节 二阶与三阶行列式
一、填空题 1.2315-=- _______；2
2a a b b = ______. 2.124031142--= _______；a b c
b c a c a b
=_____.
二、解答题
1.用对角线法则计算下列行列式
（1）cos sin sin cos αα
αα-=
（2）201
141183
--=-
2.解方程111
12 1.16
x x =
解：
第二节 n 阶行列式的定义及性质 & 第三节
行列式的计算
一、填空题
1．243324=--_____;1
24
031142
--=__.
2.若,a b 均为整数，而=_____;=_______0
00,10001
a b b a a b -=- ．
3.设A 为3阶方阵，若||3A =，则|2|A =____.
4.123
456789
的代数余子式21A 应表示为____． 5.ij 1
23456784A 2348
6789
若阶行列式为；为其代数余子式，13233343210412_______A A A A +++= ． 二、解答题
1.利用行列式的性质，计算下列行列式：
（1）3215332053
7228472184．
解：
（2）1111
1111
11111111
---
解：
．
（3）1324
2131
32142101
解：
．
2.利用行列式展开定理，计算下列行列式：
（1）1214
0121
10130131
-．
解：原式
．
（2）5
48723547
2856
393--------．
解：原式
．
，
（例讲）3. 设2
14211253
1335111
D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++． 解：；
．
第四节 克拉默法则
一、填空题
1． 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003332321
31323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为____. 2． 已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩
仅有零解，则参数λ满足.
3． 当时，02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
仅有零解。
二、解答题
1.用克拉默法则求解下列线性方程组．
（1）1231231
232431,5229,310.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
解：
2.试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,
3470,20
x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．
解：
4． 试问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,
0,20
x x x
x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解．
解：
6.λ取何值时，非齐次线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1
610522
321321321x x x x x x x x x λλ有惟一解；
解：
第五节 逆矩阵公式
一、填空题
1.设1234A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，则A 的逆矩阵是．
２.已知⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-=200012021B ，则=-1B __________________ ．
3.若A 为3阶方阵，且2A =，*A 为A 的伴随矩阵，则2A -=__，1A -=__，*A =___.
4. 设三阶方阵A 的行列式det()3A =，则A 的伴随矩阵*A 的行列式*det()A =_____．
5. 若,A B 都是方阵，且2,1A B ==-，则1A B -=_____．
二、解答题
1.已知3421A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求1A -．
解：
2．已知121342541A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，求1A -． 解：
3．设A 是三阶方阵，且1,27A =求1(3)18)A A -*-.
解
6.设矩阵300141203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知2AB A B =+，利用逆矩阵求B . 解：。