江苏省高三数学高考模拟试题苏教版

2010年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1. 已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =_________。

2. 已知向量,a b 满足||3,||5,||7a b a b ==-=，则,a b 的夹角为3. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。

4. 已知点(1,2)P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+-＝5. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是6. .在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为7. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 8. 某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是9. .已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________. 10. 在直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -的三个侧棱SB SC SA 、、两两垂直，且长分别为a b 、、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 .11. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面命题中，正确命题的个数是 个。

12. 由线性约束条件0,,2,1y y x y x t x t ⎧⎪≥⎪⎪≤⎨⎪≤-⎪≤≤+⎪⎩所确定的区域面积为S,记()(01)S f t t =≤≤，则1()2f 等于13. 已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相离，则以三条边长分别为|||,||,|c b a 所构成的三角形的形状是14. 曲线1:=+y x C 上的点到原点的距离的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. （本小题满分14分）已知函数321()33f x x x x a =-+++． （1）求()f x 的单调减区间；（2）若()f x 在区间[]3,4-上的最小值为73，求a 的值．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．17. （本小题满分14分）已知,A B 是△ABC 的两个内角，2cossin 22A B A Ba i j +-=+（其中,i j 是互相垂直的单位向量），若6||a =。

（1）试问tanB tanA ⋅是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由； （2）求tan C 的最大值，并判断此时三角形的形状。

18. （本小题满分16分）已知圆O ：822=+y x 交x 轴于B A ,两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线：4-=x 为准线的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M 是直线上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于Q P ,两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标； （3）如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于H G ,两点，且3=，试求此时弦PQ 的长．ABDC1A1B1C1DEF已知*)4(2N n n n ∈≥且个正数排成一个n 行n 列的数阵：第1列第2列 第3列 … 第n 列第1行 1,1a 2,1a 3,1a … n a ,1 第2行 1,2a 2,2a 3,2a … n a ,2 第3行 1,3a2,3a3,3a…n a ,3… 第n 行1,n a 2,n a 3,n a…n n a ,其中)1,1*,,(,n k n i N k i a k i ≤≤≤≤∈且表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a 2,3=8，a 3,4=20.（1）求1,1a 2,2a ；（2）设n A a a a a A n n n n n n +++++=--:1,2,31,2,1求证 能被3整除.20. （本小题满分16分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=．（1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．2010年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（江苏卷）参考答案一、 填空题1. i2.23π3. 0.754. 55. 22cos y x =6. (-2,1)7. 13.8.2121xx y x x ⎧≤=⎨->⎩ 9.3 10.22221111h a b c =++ 11.2 12. 3/4 13. 钝角三角形 14.42二、解答题15.解：（1）2()23,f x x x '=-++ 令()0f x '<，则2230.x x -++<解得1x <-或 3.x > ∴函数()f x 的单调减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞. …………6分∴()f x 在(3,1)--和(3,4)上分别是减函数，在(1,3)-上是增函数. …………8分又520(1),(4),(1)(4).33f a f a f f -=-=+∴-<(1)f ∴-是()f x 在[3,4]-上的最小值.57.33a ∴-=解得 4.a = ………………14分16. 解：（Ⅰ）证明：⊥BC 侧面11C CDD ，⊂DE 侧面11C CDD ，BC DE ⊥∴，………3分在CDE ∆中，a DE CE a CD 2,2===，则有222DE CE CD +=，︒=∠∴90DEC ，EC DE ⊥∴， ………………………………………6分 又C EC BC = ⊥∴DE 平面BDE ． ……………………………………7分（Ⅱ）证明：连EF 、11C A ，连AC 交BD 于O ，1121//C A EF ，1121//C A AO ，∴四边形AOEF 是平行四边形，……………10分 OE AF //∴ ………………………11分 又⊂OE 平面BDE ，⊄AF 平面BDE ，//AF ∴平面BDE ． ………………………14分17. 解：（1）：2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 1cos()31cos()22A B A B --+++=02sin sin cos cos sin sin cos cos =+--BA B A B A B A ……………………5分13tan tan 022A B -= 1tan tan 3A B =（定值） ………………………………8分（2）由（1）可知A 、B为锐角tan tan 3(tan tan )tan tan()1tan tan 2A B A B C B A A B ++=-+=-=-≤--所以tan C的最大值为ABC 为钝角三角形。

…………………14分18. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则：24a ac ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而：2a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故2b =,所以椭圆的标准方程为22184x y +=。

…………4分（Ⅱ）设(4,)M m -，则圆K 方程为()2222424m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭ 与圆22:8O x y +=联立消去22,x y 得PQ 的方程为480x my -+=， 过定点()2,0E -。

…………………8分（Ⅲ）解法一：设()()1122,,,G x y H x y ，则221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,………① 3EG HE =，()()11222,32,x y x y ∴+=---，即：1212833x x y y =--⎧⎨=-⎩代入①解得：228323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩（舍去正值）， 1PQ k ∴=，所以:20PQ x y -+=，从而圆心()0,0O 到直线PQ的距离d ==从而PQ == …………………16分解法二：过点,G H 分别作直线l 的垂线，垂足分别为,G H ''，设PQ 的倾斜角为α，则：GE EH e e GG HH ===='',GG HH ''=， 由3EG HE =得：3EG HE =，cos GG HH GE EH α''-∴==+4πα=， 由此直线PQ 的方程为20x y -+=，以下同解法一。

解法三：将:PQ 480x my -+=与椭圆方程22184x y +=联立成方程组消去x 得：()223216640my my +--=,设()()1122,,,G x y H x y ，则1212221664,3232m y y y y m m +==-++。

3FG HF =，()()11222,32,x y x y ∴+=---，所以123y y =-代入韦达定理得：22222864,33232m y y m m =-=++， 消去2y 得：216m =，4m ∴=±，由图得：4m =， 所以:20PQ x y -+=，以下同解法一。

19. 解：（1）由题意，5,3,20,84,13,14,33,2====a a a a 所以，故第1行公差d=1，所以.62,3,22,12,22,11,1====a a a a 得………………6分（2）同（1）可得，11,22,122,31,2,122,23,),1(2,2,1-----⨯=⨯=-==+=n n n n n n n a a n a n a n a所以1,2,31,2,1n n n n n a a a a A ++++=--1321222)2(2)1(2)1(-⨯++⨯-+⨯-+⨯++=n n n n nn n n n n n A 22232)1(22)1(21321⨯+⨯++⨯-+⨯+⨯+=-两式相减，得n n n n A 222222)1(1321⨯+++++++-=-n n n 2221)21(2)1(1⨯+--++-=-n n n 2222)1(⨯+-++-=n n --⨯=323所以n A n A n n n +-⨯=-故),12(3能被3整除. ………………16分20. 解：（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=； 又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a =………3分m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x mf x x x x==++， 设(),o o P x y ，则202020202)()2(||x m x x y x PQ ++=-+= m m m m m x m x 2||2222222220220+=+≥++=………6分当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m ………8分当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m ………9分 （2）由()()120m y f x kx k x x =-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()*当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，若0m >，11k m>-， 函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ；………12分若0m <，11k m<-， 函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ；………14分当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=, 11k m=-, 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11………15分综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； 当11k m >-(0m >)，或11k m<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=k k m x ；当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11.………16分。