立体几何证明平行的方法及专题训练(学生)
专题01 平行问题的证明(原卷版)
第三篇 立体几何专题01 平行问题的证明常见考点考点一 线面平行的判定典例1．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D变式1-1．如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC 和一个直角梯形ACDE ，其中AE //CD ，AE ＝12CD ＝12AC ，∠EAC ＝90°，现将直角梯形ACDE 沿边AC 折起，使得AE ∠AB ，连接BE 、BD ，设线段BC 的中点为F ．求证：AF //平面BDE ；变式1-2．如图，四棱锥P ABCD -中，点M 、N 分别为直线,PB PD 上的点，且满足PM PN PB PD=，求证：//MN 平面ABCD .变式1-3．如图所示，已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将ADE 沿DE 折起.证明//BF 平面ADE .考点二 面面平行的判定典例2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，E ，F ，G 分别是PC ，PD ，BC 的中点，DC //AB ，求证：平面P AB //平面EFG .变式2-1．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是A 1C 1，A 1D 和B 1A 上任意一点．求证：平面1//A EF 平面1B MC .变式2-2．如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D ， D 1分别在AC ， A 1C 1上，那么当点D 在什么位置时，平面BC 1D ∠平面AB 1D 1变式2-3．如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA .考点三 线面平行的性质典例3．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，24AB PA ==，点E 在棱PA 上，//PC 平面BDE ．求证：E为PA的中点；变式3-1．四面体ABCD如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱，，于点F G H，，．证明：四边形EFGH是平行四边形．BD DC CA变式3-2．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判断直线a，b的位置关系，并证明．被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH．变式3-3．如图，三棱锥A BCD考点四 面面平行的性质典例4．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别是PA ，PB ，PC 的中点．M 是AB 上一点，连接MC ，N 是PM 与DE 的交点，连接FN ，求证：FN∠CM ．变式4-1．如图，在棱锥中，:1:3AE AB =，截面EFG ∥底面BDC ．已知BDC 的周长是18，求EFG的周长．变式4-2．如图，已知平面//α平面β，点P 是平面α，β外一点，且直线PB ，PD 分别与α，β相交于点A ，B 和点C ，D ．如果4cm PA =，5cm AB =，3cm PC =，求PD 的长．变式4-3．如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，MN平面αN分别是AB，CD的中点，求证：//巩固练习练习一线面平行的判定1．如图，四棱锥A DBCE-中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF．2．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.3．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，22PA AD CD AB ====，AB AD ⊥，CD AD ⊥，PA ⊥底面ABCD ， M 为PC 的中点。
(word完整版)立体几何中线面平行地经典方法 经典的题目(附详细解答)
DB A 1A高中立体几何证明平行的专题(基本方法）立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。
（2）利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质.（4)利用对应线段成比例。
（5）利用面面平行，等等。
（1) 通过“平移"再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G,连EG 。
，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； (Ⅱ）求证:FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH ，HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E ， F 分别为AA 1， CC 1， AB 的中点， M 为BE 的中点， AC ⊥BE. 求证：(Ⅰ）C 1D ⊥BC; （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形，证明: //EB PAD 平面; ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB ， E 为PC 的中点, 分析:：取PD 的中点F,连EF,AF 则易证ABEF是平行四边形（2） 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证：AM ∥平面EFG .分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。
立体几何中线面平行经典方法经典题附详细解答
FG GCDECDEFDEB 1A 1C 1CABM 高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线EFBACDP（第1题A BCD EF G MPEDCBA6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
高中数学专题练习20 立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版
立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.例2、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F 分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 求证：BB1⊥AC.例3、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.例4、如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE.例5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C 与BC1交于点E.求证：(1) DE∥平面ABB1A1；(2) BC1⊥平面A1B1C.例6、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：(1) 直线A1E∥平面ADC1；(2) 直线EF⊥平面ADC1.题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。
专项训练--立体几何--平行问题
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平面与平 面平行的 判定定理
一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行,则这两个平 面平行
a
b ab
P
a
b
⇒ α∥β
[例1] 如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分 别是棱B1B，D1D，DA的中点． 求证：平面AD1E∥平面BGF.
1、思想：线线平行 推出 线面平行
2、方法：平面问题 转化 空间问题
3、关键：★找线线平行★
4、线线平行的依据：
①在三角形、梯形中，中位线与底边相互平行. ②平行四边形的对边平行. ③平行线分线段成比例定理的推论. ④平行于同一条直线的两直线相互平行. ⑤垂直与同一个平面的两直线相互平行. ⑥线面平行，面面平行的性质定理.
E，F分别是AB，PD的中点， 求证：AF∥平面PCE.
②找平行四边形.证明线面平行.
1.已知P为长方形ABCD所在平面外一点，
M、N分别为AB，PD上的中点。
求证：MN∥平面PBC
P
法1：判定定理
N
（找平行四边形）
D
C
A
M
B
②找平行四边形.证明线面平行.
2、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1 中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点。 求证：EF//平面BDD1B1.
N D
M
C
A
P
QB
如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面 正方形DBCE对角线的交点，F为AE的 中点. 求证: AB//平面DCF.
A F
D
E
B
O C
①找三角形的中位线.证明线面平行.
第8章立体几何专题3 平行的证明常考题型专题练习——【含答案】
1平行的证明【方法总结】1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．3. 应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线．4. 有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，常与公理4等结合起来使用．【分题型练习】考向一 证明线面平行例1、如图，四棱锥P ABCD -中，90BAD ABC ︒∠=∠=，证明：BC ∥平面PAD1【答案】证明过程见详解；【解析】因为四棱锥P ABCD -中，90︒∠=∠=BAD ABC ，所以BC AD ∥，因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ； 例2、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，F 是AB 的中 点，E 是PD 的中点，//PB 平面AEC【答案】证明见解析【解析】连接BD ，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又因为E 为PD 的中点,所以//EO PB ，因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .1例3、如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB DC 且12DCAB =,M 是PB 的中点，证明: //MC 平面PAD【答案】证明见解析【解析】证明：取PA 中点为N ，因为,N M 分别是,PA PB 中点，所以1//2MN AB ，又因为1//2DC AB ，所以MN //DC , 所以四边形MNDC 为平行四边形，所以//MC ND ，ND ⊂平面PAD ，MC ⊄平面PAD ，所以//MC 平面PAD . 例4、如图，在四面体A BCD -中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =求证：//PQ 平面BCD .1【答案】证明见解析【解析】如下图所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接OP 、OF 、FQ .3AQ QC =，3AQ DF QC FC ∴==，//QF AD ∴，且14QF AD =. O 、P 分别为BD 、BM 的中点，//OP AD ∴，且12OP DM =. M 为AD 的中点，14OP AD ∴=. //OP QF ∴且OP QF =，四边形OPQF 是平行四边形，//PQ OF ∴. PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，//PQ ∴平面BCD .【巩固练习】11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，证明：//PA 平面BDM ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接OM ， 因为底面ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 中点. 在PAC ∆中,又M 为PC 中点，所以//OM PA .又PA ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以//PA 平面BDM .2．如图，在三棱锥A -BCD 中，点M ，N 分别在棱AC ，CD 的中点，求证：AD 平面BMN【答案】详见解析1【解析】证明：在ACD 中，因为M，N 分别为棱AC ，CD 的中点， 所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以AD平面BMN ．3．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，求证：//CD 平面PAB【答案】详见解析【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//CD AB , 又因为AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB 。
完整)高中立体几何证明平行的专题
完整)高中立体几何证明平行的专题在此文章中，存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行修改和删除。
修改后的文章如下：立体几何——平行的证明例1】如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。
求证：AF∥平面PCE。
分析：取PC的中点G，连EG，FG，则易证AEGF是平行四边形。
例2】如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC。
Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD。
分析：取DB的中点H，连GH、HC，则易证FGHC是平行四边形。
例3】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为A1A、C1C、AB的中点，M为BE的中点，AC⊥BE。
求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM。
分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA。
例4】如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点。
证明：EB//平面PAD。
分析：取PD的中点F，连EF、AF，则易证ABEF是平行四边形。
例5】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。
分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线。
例6】如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。
求证：PA∥平面BDE。
AEBGMFCD例7】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点。
求证：AB1//面BDC1.分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是△B1AC的中位线。
例8】如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90，BC//AD，BE//AF，G、H分别为FA、FD的中点。
Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；Ⅱ）C、D、F、E四点是否共面？为什么？例9】正方体ABCD-A1B1C1D1.例10：在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=DC，E为PD中点。
立体几何平行问题练习题.
专题：平行问题主要考点：线面平行面面平行线面平行的判定定理：如果一个平面内的一条直线和另平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
定理模式：, , ////a b a b a ααα⊄⊂⇒面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭1、如右图所示，已知P 、Q 是正方体的面11A B BA 和面ABCD 的中心．证明：PQ ∥平面11C B BC2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC．3、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
证明：直线EE 1//平面FCC 1；4、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。
E E 1 A B 11D _ P5、已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP6、在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//AF 平面PCE3、如图所示，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//BD CE ，且2CE CA BD ==，F 、M 是CE 、EA 的中点。
求证：（1）//DM 平面ABC ；（2）面//FDM 面ABC .10．P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。
（1）求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ；（2）S △A′B′C′∶S △ABC 的值。
高考数学专题讲解：立体几何平行证明
高考数学专题讲解：立体几何平行证明第一部分：三角形中位线平行于底边第一部分：三角形自现原则一（原创方法）例题一：已知：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点。
分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）E 为PA 的中点⇒点P 和点A 为目标三角形的两个端点；F 为PB 的中点⇒点P 和点B 为目标三角形的两个端点；中位线：EF点P 和点A ，点P 和点B ⇒目标三角形⇒PAB AB EF //⇒。
底边：AB分析：①两个中点的连线为中位线；②目标三角形的四个端点，去掉两个相同端点，两个不同端点组成的边为底边。
证明方法：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点EF ⇒为PAB ∆的中位线AB EF //⇒。
例题二：已知：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点。
分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）A 为DE 的中点⇒点D 和点E 为目标三角形的两个端点；B 为DF 的中点⇒点D 和点F 为目标三角形的两个端点；中位线：AB点D 和点E ，点D 和点F ⇒目标三角形⇒DEF EF AB //⇒。
底边：EF证明方法：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点AB ⇒为DEF ∆的中位线EF AB //⇒。
训练一：已知：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点。
训练二：已知：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点。
训练一证明：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点MN ⇒为ABC ∆的中位线BC MN //⇒。
训练二证明：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点PQ ⇒为MAB ∆的中位线AB PQ //⇒。
例题一：2012年高考数学浙江卷：如下图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为32的菱形，且0120=∠BDA ，且⊥PA 平面ABCD ，62=PA ，M 、N 分别为PB 、PD 的中点。
（Ⅰ）证明：//MN 平面ABCD 。
证明：M 为PB 的中点，N 为PD 的中点MN ⇒为PBD ∆的中位线BD MN //⇒，⊂BD 平面ABCD //MN ⇒平面ABCD 。
立体几何中线面平行经典方法经典题附详细解答
高中立体几何证明平行方法) C的专题(基本立体几何中证明线面平行或面面平行都可 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些 (1)通过“平移” 。
(2)利用三角形中位线的 四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图，四棱锥P -ABCD 勺底面是平行四边形，点 E 、F 分 转化为 方法：性质。
(3)利用平行别为棱AB PD 的中点.证：AF//平面PCE 分析：取PC 的中点G,连EG., FG贝踢证AEGF四边形 2、如图，已知直角梯形 ABCD 中, AB// CD , AB 丄BC, AB是平(第 1题 BC=2, CD= 1+ 3 , 过A 作AE± CD 垂足为E, G F 分别为AD CE 的中点，现将△ ADE 沿 AE 折叠，使得DEI EC.(I)求证：BC 丄面CDE (U)求证：FG//面 BCD 分析：取DB 的中点H,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形D E F C 3、已知直三棱柱 ABC- ABC 中，D, E, M 为BE 的中点，AC 丄BE.求证:分别为AA, CC i , AB/的 DC(I) CD 丄 BC; 分析：连EA 易证C i EAD 是平行四边形，于是4、如图所示，四棱锥P ABCD底面是直角梯形，证明:EB//平面PAD ; A B A B B 1FM. K 匚〃匚△ B 1«IVIr/ZEA w BA AD C \M AD,C D(U) C i D//平面 A gAB,E 为PC 的中点,A i F分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、 平面EFG 。
分析：连 MD 交GF 于 H,易证已日是厶AMD 勺中位线 求证：AM //是平行四边形10、在四棱锥 P-ABCD 中, AB// CD, AB=- DC2是平行四边形CD, EF//AE,FG//EC,EG//AC . AB =2EF .(I) 若M 是线段AD 的中点，求证：GM //平面ABFE6、如图，ABCD 是正方形，0是正方形的中心, 中点。
立体几何线面平行-题型全归纳(解析版)
立体几何线面平行-题型全归纳题型一利用三角形中位线例题1、如图所示，在三棱柱ABC-111C B A 中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点。
求证：1AB //平面DBC 1证明：连接C B 1，交1BC 于点Ｏ，再连接ＯＤ，平面11B BCC 是平行四边形，∴Ｏ是1BC 的中点，又Ｄ是ＡＣ的中点，∴ＯＤ是1ACB ∆的中位线，1//AB OD ∴，⊂OD 平面D BC 1，⊄1AB 平面D BC 1，//OD ∴平面D BC 1。
解题步骤（1）把直线通过平移到平面上，得到线线平行的初步形状；（2）连接平行四边形的对角线，再连接两个中点，恰好为平移所得到的线段；（3）通过延长两条线段的端点，构成一个三角形，即可得到三角形的中位线。
变式训练1、如图，在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点。
求证：1BD //平面ACE ；证明：连接ＢＤ，交ＡＣ于点Ｏ，再连接ＯＥ，在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中，Ｏ为ＢＤ的中点，且Ｅ为1DD 的中点，∴ＯＥ是1BDD ∆的中位线，1//BD OE ∴，又ＯＥ⊂平面ＡＣＥ，⊄1BD 平面ＡＣＥ，∴1BD //平面ACE 。
变式训练2、如图，在斜三棱柱ABC-111C B A 中，CA=CB ，D 、E 分别是AB ，C B 1的中点，求证：DE//平面11A ACC ；证明：连接1BC ，连接1AC ，在斜三棱柱ABC-111C B A 中，∴点Ｅ在线段1BC 上，∴点Ｅ是1BC 的中点，又点Ｄ是ＡＢ的中点，∴ＤＥ是1ABC ∆的中位线，∴ＤＥ//1AC ，⊄DE 平面11A ACC ，⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC 变式训练3、如图所示，正三棱柱ABC-111C B A 的高为2，点D 是B A 1的中点，点E 是11C B 的中点，求证：DE//平面11A ACC证明：连接1AB ，连接1AC ，在正三棱柱ABC-111C B A 中，∴点Ｄ在线段1AB 上，∴点Ｄ是1AB 的中点，又点Ｅ是11C B 的中点，∴ＤＥ是11C AB ∆的中位线，∴ＤＥ//1AC ，⊄DE 平面11A ACC ，⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC题型二利用平行四边形的对边平行例题2、如图，在多面体ABCDE 中，AEB 为等边三角形，AD//BC ，BC AD 21=，F 为EB 的中点。
专题16 立体几何中平行与垂直证明(学生版)
方法技巧专题16 立体几何中平行与垂直证明解析版一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒ 二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法 1.1 直线与直线平行的证明1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用三角形中位线性质1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
αbaabαβ ba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点 1.例题【例1】 如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD ∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaP【例2】 已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．【例3】如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ,且2====DG DE AD AB ,1==EF AC ．求证： BF ∥平面ACGD ；A BCDE G F【练习2】如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．求证：（1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ．【练习3】在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.求证： //FM 平面BDE .【二】“垂直关系”常见证明方法 2.1直线与直线垂直的证明2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。
专题08 立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题08立体几何中的平行与垂直问题【考点预测】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.,a b a b αα⊥⊂⇒⊥,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b bc P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥,a a βααβ⊥⊂⇒⊥【典型例题】例1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】①应用反证法：AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，利用线面垂直的性质及三角形的内角和得到矛盾，即可判断；②③根据线面垂直的性质判断即可.【详解】①如下图，若AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，则,αβ相交，，令l αβ=，在l 任找一点C ，连接,AC BC ，则,,A B C 为三角形，由,AC BC αβ⊂⊂，则AB AC ⊥，AB BC ⊥，即90BAC ABC ∠=∠=︒，显然,,A B C 不能构成三角形，与假设矛盾，所以,αβ平行，正确.②由线面垂直的性质定理知：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；③由线面垂直的性质知：一条直线与平面垂直，则垂直于平面内所有直线，正确； 故选：D例2．（2022·河南开封·高一期中）已知直线a ，b ，平面,αβ，则下列命题中正确的是（ ）A ．,a αβα⊥⊂，则a β⊥B ．//,//a αβα，则a β∥C ．//,a b ββ⊂，则//a bD ．a 与b 互为异面直线，//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.【详解】A 选项中，只有直线a 与两平面的交线垂直的时候结论才成立；B 选项中，还有可能a β⊂；C 选项中，两直线a ，b 平行或异面；D 选项中，过直线a 上一点做//b b '，则相交直线a ，b '确定一个平面，设为γ，易得//γα且//γβ，所以//αβ；故选：D ．（多选题）例3．（2022·河南开封·高一期中）如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为侧棱PA 、PB 的中点，O 是底面四边形ABCD 对角线的交点，下列结论正确的有（ ）A ．//PC 平面OMNB ．平面//PCD 平面OMNC ．OM PA ⊥D ．PD ⊥平面OMN【答案】ABC【解析】【分析】 A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到PA PC ⊥，从而得到OM PA ⊥.【详解】因为O 为底面四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点，由M 是PA 的中点，可得∥PC MO ，因为PC ⊄在平面OMN ，OM ⊂平面OMN ，所以//PC 平面OMN ，A 正确；同理可推得//PD 平面OMN ，⋂=，而PC PD PPCD平面OMN，B正确；所以平面//因为PD⊂平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN，D错误；设该正四棱锥的棱长为a，则,2PA PC a AC a，===⊥，所以PA PCPC MO，因为∥⊥，C正确.所以OM PA故选ABC．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知，连接DG，CD与FG交与点M，先证明四边形CFDG是平行四边形，从而得到DM＝MC．结合BH＝HC，可证明MH∥BD，再使用线面平行的判定定理即可证明；（2）先证明四边形EFCH是平行四边形，从而得到CF∥HE．因为CF⊥BC，所以HE⊥BC，再证明GH∥AB，因为AB⊥BC，所以GH⊥BC，从而利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面EGH，再使用面面垂直的判定定理即可完成证明.(1)如图所示，连接DG ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH ．在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，所以AC ＝2DF ．因为G 是AC 的中点，所以DF ∥GC ，且DF ＝GC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，所以DM ＝MC ．因为BH ＝HC ，所以MH ∥BD ． 又BD ⊄平面FGH ，MH ⊂平面FGH ，所以BD ∥平面FGH ．(2)因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB ．因为AB ⊥BC ，所以GH ⊥BC ．又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE ．因为CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC ．又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH ．又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH ．例5．（2022·全国·高一期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是AB 、AD 的中点，E 、F 、P 分别是11B C 、1BB 、1DD 的中点.(1)证明：MN ∥平面11BDD B ；(2)证明：1CA MN ⊥；(3)请判断直线EF 与平面MNP 位置关系（不需说明理由）.【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)EF ⊂平面MNP ．【解析】【分析】（1）因为MN BD ∥，根据线面平行判定即可证明；（2）先证MN ⊥平面1A AC ，根据线面垂直性质即可证明线线垂直；（3）连接11C D 中点G 如图所示即可判断结果．(1)∵MN BD ∥，MN ⊂面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，∴MN ∥平面11BDD B ；(2)1AA ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴1AA MN ⊥∵AC BD ⊥，MN BD ∥∴AC MN ⊥．又∵1AA AC A =，∴MN ⊥平面1A AC ，∴1CA MN ⊥．(3) EF ⊂平面MNP例6．（2022·河南开封·高一期中）在条件①AC BC ⊥；②1AB AC =；③平面1AB C ⊥平面11BB C C 中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，且________，求证：11BC AB ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】选条件①：将证明11BC AB ⊥转化为证明1BC ⊥平面1AB C ，再根据线面垂直的判定定理分析所需条件，将所需条件不断转化为线线垂直、线面垂直，结合已知可证；选择②：设11BC B C M ⋂=，连接AM ，利用等腰三角形的性质可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证；选择③：根据面面垂直的性质定理可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证.【详解】（情况一）补充条件①AC BC ⊥．证明：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥．因为1,⊥=AC BC BC BB B ，BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C所以AC ⊥平面11BB C C ．因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以1AC BC ⊥，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．（情况二）补充条件②1AB AC =．证明：设11BC B C M ⋂=，连接AM ．因为1AB AC =，M 为1BC 的中点，所以1AM BC ⊥．因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为AM ⊂平面11,AB C B C ⊂平面11,=AB C AMB C M ， 所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥，（情况三）补充条件③平面1AB C ⊥平面11BB C C ．证明：在棱柱111ABC A B C -中，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为平面1AB C ⊥平面11BB C C ，平面1AB C平面1111,=⊂BB C C B C BC 平面11BB C C ，所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．例7．（2022·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．(1)求证：PE BC ⊥；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到PE AD ⊥，再根据//BC AD 可得PE BC ⊥； （2）根据面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到PD ⊥平面PAB ，最后根据面面垂直的判定定理可证平面PAB ⊥平面PCD .(1)因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为底面ABCD 为矩形，所以//BC AD ，所以PE BC ⊥.(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB .因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例8．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，在四面体P ABD中，AD⊥平面P AB，PB ⊥P A(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质有AD PB⊥，再根据线面垂直的判定证结论.（2）由（1）及面面垂直的判定可得面PBD⊥面APD，再由面面垂直的性质有AG⊥面PBD，根据线面垂直的性质即可证结论.(1)由AD⊥平面P AB，PB⊂面PAB，则AD PB⊥，又PB⊥P A，PA AD A⋂=，则PB⊥平面APD；(2)由（1）及PB⊂面PBD，则面PBD⊥面APD，=，AG⊥PD，AG⊂面APD，又面PBD面APD PD所以AG⊥面PBD，而BD⊂面PBD，所以AG⊥BD．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·海安县实验中学高一期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，结合图形逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】⋂=，连接QO，对于A：如图所示，连接BC、DE，设BC DE O∕∕，因为Q、O分别为所在棱的中点，所以AB QOMNQ Q，即直线QO与平面MNQ不平行，又QO⋂平面=所以直线AB与平面MNQ不平行，故A符合题意；对于B：如图所示，取DG的中点E，连接CB、AD、EQ、NE，则////MQ CB MN AC ，，且AC CB C MNMQ M ==，，所以平面//ACBD 平面MNQE ，又AB 平面ACBD ，AB ⊄平面MNQ ， 所以AB ∕∕平面MNQ ，故B 不符合题意.对于C ：如图所示，连接DC ，则//AB DC ，因为M 、Q 为所在棱的中点，所以//MQ DC ，又MQ 平面MNQ ，DC ⊄平面MNQ ，所以//DC 平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 不符合题意；对于D ：如图所示，连接DC ，//AB DC ，因为Q 、N 为所在棱的中点，所以NQ CD ∕∕，所以//AB NQ ，又NQ ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以AB ∕∕平面MNQ ，故D 不符合题意.故选：A.2．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知平面α平面l β=，直线//,//a a αβ，则直线a 与l 的位置关系是（ ） A ．平行或异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面【答案】C【解析】【分析】过a 作平面m γα=、n ηβ=，由线面平行的性质得//m a 、//n a ，即//m n ，根据线面平行判定及性质有//m l ，最后由平行公理的推论判断直线a 与l 的位置关系.【详解】过a 作平面m γα=，//a α，则//m a ， 过a 作平面n ηβ=，//a β，则//n a所以//m n ，m β⊄，n β⊂，则//m β，而m α⊂，平面α平面l β=，则//m l ， 综上，//a l .故选：C3．（2022·广东·广州市第四十一中学高一阶段练习）已知直线m 、n 和平面αβ、，下列命题正确的是（ ）A ．若,m n n α∥∥，则m αB ．若,,m n m n ααβ⊂∥∥、，则αβ∥C ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥D ．若α∥,m ββ⊂，则m α 【答案】D【解析】【分析】本题考查平行关系的理解，常见错误有对平行线传递性的误解以及平行相关定义、定理的条件结论理解错误．【详解】A 中，可知m 与n 的位置关系：平行或相交或异面，A 不正确；B 中，根据面面平行的判定定理，前提m 与n 必须相交，B 不正确；C 中，可知m 与n 的位置关系：平行或异面，C 不正确；D 中，若α∥β，则平面α内任一条直线均平行平面β，D 正确．故选：D ．4．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥n ，m α⊄, n ⊂α则m ∥αC ．若m ∥α, n ∥α，m β⊂，n β⊂，则α∥βD ．若m ∥α，n ∥β， α∥β，则m ∥n【答案】B【解析】【分析】利用直线和平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理即可求解.【详解】对于选项A ,由直线和平面的性质定理可知，直线m 只能和过这条直线的任意平面与平面α的交线平行，则直线m 和n 不一定平行，则A 不正确；对于选项B ，利用直线与平面平行的判定定理可知选项B 正确；对于选项C ，平面α和平面β可能相交，则选项C 不正确，对于选项D ，直线m 和直线n 可能相交或异面，则D 不正确；故选：B .5．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．②③④ 【答案】A【解析】【分析】根据空间中线面的关系，可以求解.【详解】由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．故选:A6．（2022·全国·高一课时练习）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段BC 1上任意一点，则下列结论中正确的是（ ）A ．AD 1⊥DPB ．AP ⊥B 1C C ．AC 1⊥DPD ．A 1P ⊥B 1C【答案】B【解析】【分析】 由正方体的性质有B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，再根据线面垂直的性质判断B ，根据正方体性质判断A 、C 、D.【详解】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DP 与1BC 不垂直，而11//AD BC ，即DP 与1AD 也不垂直，A 错误；因为B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，BC 1∩AB ＝B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1，因为点P 是线段BC 1上任意一点，即AP 面ABC 1D 1，所以AP ⊥B 1C ，B 正确；若E 为AB 中点，则1//AC PE ，而DP 与PE 不垂直，则1AC 不与DP 垂直，C 错误；由下图知：结合正方体性质知，1A P 与1B C 不垂直，D 错误.故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）如图，正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 上的动点，则（ ）A ．存在点G ，使PG ⊥EF 成立B ．存在点G ，使FG ⊥EP 成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立【答案】C【解析】【分析】A 选项假设PG ⊥EF ，证得AC ⊥面ABD ，与题设矛盾即可判断；B 选项由PE BF ∥求出异面直线,PE FG 的夹角小于2π即可判断；C 选项取CD 中点N ，过B 作BH AN ⊥于H ，先证BH ⊥面ACD ，再由BH 与面EFG 相交即可判断；D 选项直接证明当G 与BD 中点M 重合时，面ABD ⊥面EFG 即可.【详解】在A 中，取BD 中点M ，连接,AM CM ，易得,AM BD CM BD ⊥⊥，,AM CM ⊂面ACM ，AM CM M ⋂=，故BD ⊥面ACM ，又AC ⊂面ACM ，故BD AC ⊥，若PG ⊥EF ，,PG BD ⊂面ABD ，PG BD G ⋂=，则AC ⊥面ABD ，显然不成立，故不存在点G ，使PG ⊥EF 成立，故A 错误；在B 中，连接,BF DF ，易得PE BF ∥，故BFG ∠或其补角即为异面直线,PE FG 的夹角，不妨设3AB =，在ABF 中，由余弦定理2222cos 3BF AB AF AB AF π=+-⋅⋅，即22213223272BF =+-⨯⨯⨯=，解得7BF 7DF =在BFD △中，222779cos 0227BF DF BD BFD BF DF +-+-∠==>⋅⨯，则2BFD π∠<，显然2BFG BFD π∠<∠<，故不存在点G ，使FG ⊥EP 成立，故B 错误；在C 中，取CD 中点N ，连接,AN BN ，过B 作BH AN ⊥于H ，易得,BN CD AN CD ⊥⊥，,AN BN ⊂面ABN ，AN BN N =，故CD ⊥面ABN ，又BH ⊂面ABN ，故CD BH ⊥，又,AN CD ⊂面ABN ，AN CD N ⋂=，故BH ⊥面ACD ，若平面EFG ⊥平面ACD ，则BH ⊂面EFG 或BH 面EFG ，显然BH 与面EFG 相交，故不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，当G 与BD 中点M 重合时，由A 选项知有BD ⊥面ACM ，即BD ⊥面EFG ，又BD ⊂面ABD ，故面ABD ⊥面EFG ，故存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误．故选：C ．8．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，不能证明⊥AP BC 的条件是（ ）A ．BC ⊥平面APCB ．AP PC ⊥，AP PB ⊥ C ．PC BC ⊥，平面APC ⊥平面BPCD ．BC PC ⊥，AB BC ⊥【答案】D【解析】【分析】 A 选项利用线面垂直（BC ⊥平面APC ）可推出线线垂直（⊥AP BC ），B 选项利用两组线线垂直（AP PC ⊥，AP PB ⊥）推出线面垂直（AP ⊥平面BPC ），再推出线垂直（⊥AP BC ），C 选项利用面面垂直的性质定理可推出⊥AP BC ，D 选项不能证明出⊥AP BC .【详解】BC ⊥平面APC ，AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥ ，故A 选项可以证明，因此不选.AP PC ⊥，AP PB ⊥，,,PC PB P PC PB ⋂=⊂平面BPC ，AP ∴⊥平面BPC ，BC ⊂平面BPC ，BC AP ∴⊥.故B 选项可以证明，因此不选.平面APC ⊥平面BPC ，平面APC 平面=BPC PC ，PC BC ⊥，由面面垂直的性质定理知BC ⊥平面APC .AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥，故C 选项可以证明，因此不选.由D 选项BC PC ⊥，AB BC ⊥并不能推出⊥AP BC .故选：D.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若11AP B D ⊥，则线段AP 长度的可能取值为（ ）A ．1110B 23C ．65D 5 【答案】BC【解析】【分析】利用线面垂直得线线垂直，从而确定点P 的轨迹，再根据平面几何的知识求距离的最大、最小值，判断选项即可.【详解】取11B D 中点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD =，O 是11B D 的中点，11B D AO ∴⊥，同理11B D OC ⊥，11B D ∴⊥面AOC ，又点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，11AP B D ⊥P ∴一定在线段OC 上运动在AOC △中，6AO CO ==2AC = 故cos OCA ∠=132AC OC =26sin 1cos OCA OCA ∠=-∠， 故A 到OC 的距离23sin d AC OCA =⋅∠=232AP ≤故选BC ．10．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）在三棱锥P ABC -中，从顶点P 向底面作垂线，垂足是H ，给出以下命题中正确的是（ ）A ．若,PA BC PB AC ⊥⊥，则H 是ABC 的垂心B ．若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC 的垂心C ．若PA PB PC ==，则H 是ABC 的外心D ．若H 是AC 的中点，则PA PB PC ==【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，结合选项逐项分析即可求出答案.【详解】由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故A 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA PC ⊥，PA PB ⊥，且PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故B 正确；PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以,,⊥⊥⊥PH AB PH AC PH BC ，又因为PA PB PC ==，所以≅≅Rt PAH Rt PBH Rt PCH ，因此AH BH CH ==，所以H 是ABC 的外心，故C 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以PH AC ⊥，又H 是AC 的中点，所以PA PC =，当12BH AC =时，有PA PB PC ==，当12≠BH AC ，PA PC PB =≠， 故D 不一定成立；故选：ABC.11．（2022·云南师大附中高一期中）已知m ，n 是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m α⊂，n ⊂α，m n P =，//m β，//n β，则//αβB ．若m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n βC ．若//m α，//m β，n αβ=，则//m nD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】ACD【解析】【分析】A 根据面面平行的判定判断；B 由线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断；C 过m 作平面l γα⋂=，由线面平行性质及平行公理的推论判断；D 由面面垂直的判定判断.【详解】A ：由//m β，//n β且,m n α⊂，m n P =，根据面面平行的判定知：//αβ，正确；B ：m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n β或n β⊂，错误；C ：过m 作平面l γα⋂=，而//m α，则//m l ，又//m β则l β//，n αβ=，故//l n ，所以//m n ，正确；D ：由m α⊥，m β⊂，根据面面垂直的判定知：αβ⊥，正确.故选：ACD12．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，BC CD ⊥，AB CD ∥，3BC =12AA AB AD ===，点P ，Q ，R 分别在棱1BB ，1CC ，1DD 上，若A ，P ，Q ，R 四点共面，则下列结论正确的是（ ）A ．任意点P ，都有AP QR ∥B ．存在点P ，使得四边形APQR 为平行四边形C ．存在点P ，使得BC ∥平面APQRD ．存在点P ，使得△APR 为等腰直角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据面面平行的性质，结合假设法逐一判断即可.【详解】对于A ：由直四棱柱1111ABCD A B C D -，//AB CD ，所以平面11//ABB A 平面11DCC D ，又因为平面APQR ⋂平面11ABB A AP =，平面APQR ⋂平面11DCC D QR =， 所以//AP QR ，故A 正确；对于B ：若四边形APQR 为平行四边形，则//AR QP ，而AD 与BC 不平行，即平面11ADD A 与平面11BCC B 不平行，所以平面APQR ⋂平面11BCC B PQ =，平面APQR ⋂平面11ADD A AR =，直线PQ 与直线AR 不平行，与//AR QP 矛盾，所以四边形APQR 不可能是平行四边形，故B 不正确；对于C ：当BP CQ =时，R 为D 时，满足//BC 平面APQR ，故C 正确.对于D ：假设存在点P ，使得APR △为等腰直角三角形，令BP x =，过点D 作DE AB ⊥，则3DE BC ==DR 上取一点M 使得DM BP x ==，连接,BD PM ，则四边形BDMP 为矩形，所以2MP BD ==，则()2224PR PM MR DR x =+=+- 2224AP PB AB x +=+2224AR DR AD DR =+=+显然,AR PR AP PR ≠≠，若由AP AR =，则BP DR x ==且//BP DR ⇒四边形BPDR 为平行四边BPDR ， 所以2222228282RP BC CD AP BP x +=++D 错误； 故选：AC.【点睛】关键点睛：运用假设法进行求解是解题的关键.三、填空题13．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，则线段PQ 的长为__________． 66a 【解析】【分析】过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，即可证明平面//PQM 平面SAD ，根据面面平行的性质得到//MQ SD ，再分别求出PM 、QM ，利用余弦定理求出cos ADS ∠，由此利用余弦定理能求出线段PQ 的长．【详解】 解：如图，过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上， :1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，因为//PM BC ，//AD BC ，所以//PM AD ，PM ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ， 所以//PM 平面SAD ，又PM PQ P =，,PM PQ ⊂平面PQM ，所以平面//PQM 平面SAD ，平面PQM平面SDC MQ =，平面SDC 平面SAD SD =， //MQ SD ∴，2233PM BC a ∴==， //QM SD ∴，1233QM SD a ∴==， //SD QM ，//AD MP ，PMQ ADS ∴∠=∠，222222441cos 2224AD SD SA a a a ADS AD SD a a +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， 22222244162cos 299492233a PQ PM QM PM QM PMQ a a a a =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 6PQ ∴=． ∴线段PQ 6．6 14．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形.其侧面展开图是边长为4的正方形，E 、F 分别是侧棱11,AA CC 上的动点，点P 在棱1AA 上，且1AP =，若//EF 平面PBD ，则EF 的长=___________.6【解析】【分析】连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，得到//OP QC ，再由//EF 平面PBD ，利用线面平行的性质得到//EF OP ，进而得到//EF QC 求解.【详解】解：因为长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，所以底面边长为1AD =，高为14AA =，如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，则//OP QC ，因为//EF 平面PBD ，且EF ⊂平面1A ACC ，平面11A ACC ⋂平面BPD OP =，所以//EF OP ，则//EF QC ， 又//QE CF ，所以四边形QEFC 是平行四边形，所以26EF QC OP ===615．（2022·浙江浙江·高一期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为线段AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且1PQ BD ⊥，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的的周长等于________.【答案】32【解析】【分析】分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，易证AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，从而1QE BD ⊥，同理1QF BD ⊥，由线面垂直判定定理得到1BD ⊥平面ENMGFG ，进而得到所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG 求解.【详解】如图所示：分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，则//QE AC ，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，又1DD BD D =， 所以AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，所以1QE BD ⊥，同理 1QF BD ⊥，又1QE QF Q ⋂=，所以1BD ⊥平面ENMGFG ，即所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG ，因为正方体的棱长为1，所以正六边形ENMGFG 2，所以正六边形ENMGFG 2632= 故答案为：3216．（2022·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，根据三角形面积求出DE 3求出线段B 1F 的长.【详解】设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又11AB A S =122＝221222+ ，所以h 23DE 3 在Rt △DB 1E 中，B 1E 2223623⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在Rt △DB 1F 中，由面积相等得：2216212222x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：x ＝12.即线段B 1F 的长为12.故答案为：12四、解答题17．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.(1)求证1AC B C ⊥；(2)求证：1//AC 平面1CDB .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由侧棱与底面垂直可得1CC AC ⊥，结合AC BC ⊥，可得AC ⊥平面11BCC B ，即可得证；（2）连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，利用中位线的性质可知1//DE AC ，进而即可证明结论.(1)证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1CC AC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ， 又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥.(2)证明：连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，因为点D 是AB 的中点，所以1//DE AC ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB .18．（2022·广东·广州六中高一期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)//BE 平面PAD ；(2)CD ⊥平面BEF ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明//BE 平面PAD ；(2)先根据平面与平面垂直的性质定理证明AB ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ．(1)因为E 是CD 的中点，2CD AB =，所以AB DE =，因为//AB CD ，所以//AB DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以//BE AD ，BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ；(2)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB 底面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，,AD PD ⊂平面PAD ，所以，CD AD ⊥，CD PD ⊥，因为//BE AD ，所以CD BE ⊥，因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以//EF DP ，又CD PD ⊥，所以CD EF ⊥，BE EF E =，,BE EF ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ．19．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝BC ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起、得到四锥P －DEBC ，F 为PC 的中点，M 为EB 的中点(1)证明：FM //平面PDE ；(2)证明：DE ⊥PC ；(3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，求三棱锥E －DCF 的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)12.【解析】【分析】（1）连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，在△CPG 中//FM PG ，根据线面平行的判定即可证结论.（2）H 为DE 中点，连接,PH CH ，易得DEBC 为平行四边形、△PDE 为等边三角形且60EDC ∠=︒，进而可得PH DE ⊥、CH DE ⊥，再根据线面垂直的判定、性质证明结论. （3）首先确定四棱锥P －DEBC 的体积最大时面PDE ⊥面DEBC ，再确定P －DEBC 的体高，并求得F 到面DEBC 的距离，由E DCF F DEC V V --=及棱锥的体积公式求体积.(1)连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，则G 在面PDE 内，M 为EB 的中点，则M 为CG 中点，在△CPG 中//FM PG ，又PG ⊂面PDE ，FM ⊄面PDE ，所以FM //平面PDE .(2)若H 为DE 中点，连接,PH CH ，由题设//CD EB 且2CD EB ==，即DEBC 为平行四边形，则2DE BC ==， 所以△PDE 为等边三角形，故PH DE ⊥，又ABCD 为等腰梯形，则60EBC ∠=︒ 所以60EDC ∠=︒，又1DH =，2CD =，易知：CH DE ⊥，又PHCH H =，则DE ⊥面PHC ，PC ⊂面PHC ，故DE ⊥PC . (3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，面PDE ⊥面DEBC ，则△PDE 的高PH 即为四棱锥P －DEBC 的体高，又F 为PC 的中点，所以F 到面DEBC 的距离32PH h ==，由（2）易知DEBC 为边长为2的菱形， 又132DEC DEBC S S =1132E DCF F DEC DEC V V hS --===. 20．（2022·湖南·长沙市南雅中学高一期中）已知正方体1111-ABCD A B C D ．(1)求证：AD1//平面1C BD ；(2)求证：1AD ⊥平面1A DC ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明11//AD BC ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）利用线面垂直的性质证明1CD AD ⊥，再利用线面垂直的判定推理作答.(1)在正方体1111ABCD A B C D -中，1111////C D A B AB ，1111C D A B AB ==，则有四边形11ABC D 是平行四边形，有11//AD BC ，而1BC ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ，所以1//AD 平面1C BD ．(2)在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11A ADD ，1AD ⊂平面11A ADD ，则1CD AD ⊥， 在正方形11A ADD 中，11A D AD ⊥，又1A D CD D =，1,A D CD ⊂平而1A DC ， 所以1AD ⊥平而1A DC ．21．（2022·云南昆明·高一期中）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1AA 中点，12AA AB ==.(1)求证：1AC ∥平面11B D E ；(2)求三棱锥11A B D E -的体积；(3)在1AC 上是否存在点M ，满足1AC ⊥平面11MB D ？若存在，求出AM 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析 3(3)32【解析】【分析】 （1）连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可； （2）过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由线面垂直的判定证明1B H ⊥平面11AA D D ，最后由1111113AED B AED V S B H =⋅三棱锥-△得出体积； （3）由线面垂直的性质证明111AC B D ，作1⊥FM AC ，垂足为M ，由线面垂直的判定证明1AC ⊥平面11MB D ，最后得出AM 的长.(1)证明：连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，∵1111D C B A 是菱形，∴F 是11A C 中点，∵E 是1AA 中点，∴1∥EF AC ，∵EF ⊂平面11B D E ，1AC ⊄平面11B D E ，∴1AC ∥平面11B D E .(2)解：过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由1AA ⊥底面ABCD 知1AA ⊥平面1111D C B A ，则11⊥AA B H ，又1111=⋂AA A A ，1B H ⊥平面11AA D D .由11160∠=∠=︒A B C ABC 知1160︒∠=A H B ，又112A B =，则13B H =1111111113123332AED A B D E B AED V V S B H --==⋅=⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥 (3)解：∵1AA ⊥平面ABCD ，平面1111∥A B C D 平面ABCD ，∴1AA ⊥平面1111D C B A ，∵11B D ⊂平面1111D C B A ，∴111⊥B D AA ，∵菱形1111D C B A 中1111B D A C ⊥，1111A C AA A =，11A C ，1AA ⊂平面11AA C ，∴11B D ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C ，∴111AC B D ， 过F 在11Rt AAC △中，作1⊥FM AC ，垂足为M ，则由11⋂=M B F D F ，FM ，11B D ⊂平面11MB D 知1AC ⊥平面11MB D ，∴存在M 满足条件，在11Rt AAC △中，1112AA AC ==，122AC =F 是11A C 中点， ∴12==C M FM 23222==AM 22．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，3PC =E 是线段PC 上的一点，()R PE EC λλ=∈．(1)试确定实数λ，使//PA 平面BED ，并给出证明；(2)当2λ=时，证明：PC ⊥平面BED ．【答案】(1)1λ=，证明见解析。
专题4 立体几何中平行关系的证明(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题4：立体几何中平行关系的证明（解析版）1．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号： ////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭例1．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC .【答案】证明见解析 【分析】根据图像，连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ，ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，根据中位线的性质即可得证. 【详解】如图，连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ， ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点， 又E 是PD 的中点， ∴//EO PB ，又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴//PB 平面AEC .例2．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，22PA AD CD AB ====，AB AD ⊥，CD AD ⊥，PA ⊥底面ABCD ， M 为PC 的中点。
求证：//BM 平面PAD【答案】证明见解析. 【分析】取PD 的中点E ，连接,AE ME ，由三角形的中位线定理可得ME ∥CD ,12ME CD =，而已知AB ∥CD ，12AB CD =，从而得AB ∥ME ，AB ME =，所以四边形ABME 为平行四边形，从而得//BM EA ，再利用线面平行的判定定理可证明 【详解】证明：取PD 的中点E ，连接,AE ME 因为M 为PC 的中点，所以ME ∥CD ,12ME CD =， 因为AB ∥CD ，12AB CD =，所以AB ∥ME ，AB ME =，所以四边形ABME 为平行四边形，所以//BM EA ， 又因为BM ⊄平面PAD ，EA ⊂平面PAD ，所以//BM平面PAD.注：证明线面垂直1，找中位线 2，找平行四边形 3，正两个面平行2．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
专题03 证明平行的方法-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法(原卷版)
证明平行的方法证明平行在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。
平行分为三种：线线平行、线面平行、面面平行。
下面对证明它们的方法归纳如下：一、线线平行证明线线平行的方法主要有以下几种：1．初中证明线线平行的常用方法：⑴平行四边形的对边平行，⑵三角形（梯形）的中位线， ⑶同位角相等（内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，⑷平行线截割定律逆定理。
2.直线与平面平行的性质定理（,,a a b a b αβαβ⊂=⇒）。
3.平面与平面平行的性质定理（,,a b a b αβαγβγ==⇒）。
4.直线与平面垂直的性质定理（,a b a b αα⊥⊥⇒）例1. 在如图所示的几何体中，四边形ACC 1A 1是矩形，FC 1∥BC ，EF ∥A 1C 1，点A ，B ，E ，A 1在一个平面内，求证A 1E ∥AB .变式.已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G,过点G 和AP 作一平面交平面BDM 于GH.求证:AP∥GH.二、线面平行证明线面平行的方法主要有两种：1. 利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；2. 利用面面平行的性质定理2(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)。
例2.：如图，在四面体A －BCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .变式. 如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE.三、面面平行 证明面面平行的方法主要有两种：1.利用面面平行的判定定理（,,,,a b a b P a b ααββαβ⊂⊂=⇒）2.利用面面平行的判定定理的推论（,,,,,,a b a b P c d a c b d ααββαβ⊂⊂=⊂⊂⇒）例3. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .变式. 如图，F ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1，AA 1的中点，求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H.小试牛刀证明平行练习题1．如图所示，一平面与空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD 都平行，且交空间四边形的边AB ，BC ，CD ，DA 分别于E ，F ，G ，H.求证：EFGH 为平行四边形；2．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若MN＝BC＝4，P A＝43，求异面直线P A与MN所成的角的大小．111111问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？。
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立体几何证明平行的方法及专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。
（2） 利用三角形中位线的性质。
（3） 利用平行四边形的性质。
（4） 利用对应线段成比例。
（5） 利用面面平行的性质，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
（第1题图）
D
E B 1
A 1
C 1
C
A
B
F
M 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.
分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为
PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是
平行四边形
F
G
G
C
D
E
D
E
F
(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG
6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，
2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的
中点。
7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
A
B
C
D
E
F G M
8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明:
BC1//平面A1CD;
分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结DF，则
DF//BC1
9、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一
点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面
BDM于GH.求证：AP∥GH.
利用平行四边形的性质
10．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证：D1O//平面A1BC1;
. /
P
E
D
C
B
A 11、在四棱锥P-ABCD 中，A
B ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；
12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
利用对应线段成比例
13、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别 是SA 、BD 上的点，
（1）SM AM =ND BN
， 求证：MN ∥平面SDC （2）AM DN
SM BN
=, 求证：MN ∥平面SBC
（6） 利用面面平行
15、如图，三棱锥ABC P -中， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，
且2AF FP =. 求证：//CM 平面BEF ；
16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是
AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。
分析:取A 1B 1的中点E ，连结C 1E 和AE ，易证 C 1E ∥CD,AE ∥DB 1，则平面AC 1E ∥DB 1C,于是
11CDB //平面AC
N
M
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
A
17在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===, 点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1A CD ;
(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.。