全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全

一、角平分线类辅助线作法

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．

1、角分线上点向角两边作垂线构全等：

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等

利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段

题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．

图四图三

图二

图一

Q

P

O

N

M

P

O

N

M B

A

A

B M

N

O

P P

O

N

M B

A

典型例题精讲

【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．

求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．

【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．

∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BP

PE PD =⎧⎨

=⎩

， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．

∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒． 在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．

∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．

【答案】见解析．

【例2】 如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．

【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB

的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．

【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，

∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =， 又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．

【例3】 已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两

直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．

（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论．

P

D

C

B

A A B

C

D

P

E

【解析】（1）PC PD =．

（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，

∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，

∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠， 在△CFP 和△DEP 中

12CPF DEP

PF PE

∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =． 【答案】见解析．

【例4】 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角

形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）； （2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【解析】如图①所示；

（1）FE FD =．

（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==， 在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()1

18060602

FAC FCA ∠+∠=

︒-︒=︒． 在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠， 在△EFG 和△DFH 中，

EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．

【例5】 已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．

（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；

（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得1

2

AD AB AC ==

，从而，证得结论； （2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB

后即可得到