静力学第6章 摩擦
机器人第六章-静力学与动力学
1 1
8
对 x求导得速度分量：
x2 d1cos(1)1 d2 cos(12)(1 2) y2 d1sin(1)1 d2 sin(1 2)(1 2)
v22 x22 y22 d1212 d22(12 212 22) 2d1d2 cos(2)(12 12)
动能：
K2
势能：
1 2
m2d1212
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡
所应提供的关节力或关节力矩，记作
r
i
uur ki uFuiur Nhomakorabeari，其大小为
ki M i
3
当忽略杆件自重时
ur Gi
，上式可简记为 ：
ur i Fi uur i Mi
r r
i
ur i R i 1
ur i Ri1
0 ur i R i 1
6
6.3 二杆机器人的拉格朗日方程 6.3.1 刚体系统拉格朗日方程
应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。
定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。
❖ 系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、 圆柱坐标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为：
二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器
人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 , 和 ，称为动力学正问题）。
2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力
（矩）（即已知 ,和，求 , 称为动力学逆问题 ）。 5
三、动力学研究方法：
ur i1 F i1 uur i M i1
4
理论力学复习总结(知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理 2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理 5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
静力学-摩擦
a tanα≤ l
） fs（e）
tan α ≤ fs
α ≤ φf
式中φ 为梯子与地板间的摩擦角。 式中φf 为梯子与地板间的摩擦角。
A
长为L的均质梯子靠在光滑 例：重为W长为 的均质梯子靠在光滑 重为 长为
C D
θ
的墙壁上( 的墙壁上(夹角为θ ）, 它与地面的静
F
B
W
F A
A
滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水 平力F， 平力 ，BD = a，求维持平衡时的F。 ，求维持平衡时的F 解：取梯子为研究对象, 画受力图 取梯子为研究对象, L ∑MP = 0 : − Fs Lcosθ − F(L − a) cosθ +W 2 sinθ = 0 ∑ Fy = 0, FB − W = 0
4
当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也 随之改变；在临界状态下，FR 的作用线将画出一个以接触点A 为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的 摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为 2ϕf的圆锥。
5
ϕmax
ϕ max
ϕ max
FR
ϕ
FN
P
P
Fmax
0 ≤ ϕ ≤ ϕmax
13
当物块处于向上滑动的临界平衡状态时， 当物块处于向上滑动的临界平衡状态时， 受力如图，建立如图坐标。 受力如图，建立如图坐标。
r Qmax
y
r F2 max
x
∑ X = 0 : Qmax cos α − F2 max − P sin α = 0
r P
r N2
∑ Y = 0 : −Qmax sin α + N 2 − P cos α = 0
静力学中的摩擦力与平衡条件
静力学中的摩擦力与平衡条件在我们日常生活和工程实践中，静力学的知识无处不在。
而摩擦力与平衡条件作为静力学中的重要概念，对于理解物体的静止状态和受力情况起着关键作用。
首先，咱们来聊聊什么是摩擦力。
简单来说，摩擦力就是当两个物体相互接触并试图相对运动时产生的阻碍这种相对运动的力。
摩擦力可以分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是在物体还没有开始相对运动时产生的，它的大小会随着外力的增加而增加，直到达到一个最大值，这个最大值被称为最大静摩擦力。
而动摩擦力则是在物体已经开始相对运动时产生的，它的大小通常相对稳定，与接触表面的性质以及压力有关。
想象一下，你把一个重物放在水平地面上，如果不去推它，它就会稳稳地待在那里，这就是静摩擦力在起作用。
此时的静摩擦力与物体所受到的其他水平力（比如重力的水平分力）相互平衡，使得物体保持静止。
而当你逐渐加大推力，直到超过最大静摩擦力，物体就会开始滑动，这时候的摩擦力就变成了动摩擦力。
那平衡条件又是什么呢？平衡条件指的是物体在受到多个力的作用下，保持静止或者匀速直线运动的状态所需要满足的条件。
在二维平面中，如果一个物体处于平衡状态，那么它所受到的合力在水平方向和垂直方向上都应该为零。
也就是说，水平方向上所有力的代数和为零，垂直方向上所有力的代数和也为零。
比如说，有一个悬挂在天花板上的吊灯，它受到了向下的重力和绳子向上的拉力。
在垂直方向上，重力和拉力大小相等、方向相反，合力为零，所以吊灯能够保持静止，满足平衡条件。
在实际情况中，摩擦力和平衡条件常常是同时起作用的。
举个例子，一个放在斜面上的物体，如果要保持静止，那么重力沿着斜面方向的分力就需要被摩擦力所平衡。
如果斜面的倾斜角度逐渐增大，重力沿斜面方向的分力也会增大，而摩擦力也会相应增大，直到达到最大静摩擦力。
如果斜面角度继续增大，超过了某个临界值，最大静摩擦力无法再平衡重力的分力，物体就会开始下滑。
在工程领域，摩擦力与平衡条件的应用非常广泛。
静力学：第5章：摩擦
静摩擦力（未达极限值时），可象一般约束力那样 假设其方向，而由最终结果的正负号来判定假设的 方向是否正确。
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5.3 考虑摩擦的平衡问题 例5-1 图表示颚式破碎机，已 知颚板与被破碎石料的静摩擦 系数f＝0.3，试确定正常工作的 箝制角α 的大小。（不计滚动 摩擦）
例题
解：为简化计算，将石块看成球形，并略去其自重。 根据破碎机正常工作时岩石应不被挤压滑出颚板的 条件，用几何法求解，岩石只在两处受力，此两力 使岩石维持平衡必须共线，按自锁条件它们与半径 间的最大角度应为ϕm。
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5.2 摩擦角和自锁现象
5.2.3 摩擦角在工程中应用
静摩擦系数的测定
f = tanϕm = tanα
把要测定的两个物体的材料分别做成可绕O轴转 动的平板OA和物块B，并使接触表面的情况符 合预定的要求。当α角较小时，由于存在摩擦， 物体B在斜面上保持静止，逐渐增大倾角，直到 物块刚开始下滑时为止，此时α=ϕm 。
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5.2 摩擦角和自锁现象
5.2.3 摩擦角在工程中应用
螺旋千斤顶的自锁条件
螺纹的自锁条件是使螺纹的升角α m小于或等于 摩擦角ϕ m。α≤ϕ m
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5.3 考虑摩擦的平衡问题 静摩擦力的大小在零与极限值Fmax之间变化，因而相 应地物体平衡位置或所受的力也有一个范围。 极限摩擦力（或动摩擦力、滚动摩擦力）的方向总是 与相对滑动或滚动趋势的方向相反，不可任意假定。
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西安交大工程力学01静力学基础
F
A
P B
P FNA A
B
FNB
§1-4 物体受力分析和受力图 例1-3 简易吊车的受力分析。
C FAx A FB FAy D B
D A B
FB
G
D A FA B
G
§1-4 物体受力分析和受力图
F
例1-4 三铰拱的受力分析。
C
A F C FC A B FA FC C
B
FB
§1-4 物体受力分析和受力图 例1-5 滑槽机构的受力分析。
今日作业
1-2(d) 1-3(c) 1-4(c) 1-7
§1-3 约束和约束力
b、固定铰链约束
Fx Fy
§1-3 约束和约束力
c、可动铰链约束
§1-3 约束和约束力
（4）球形铰链约束
约束结构: 由一物体的球部嵌入另一物体的球窝构成。 约束特性: 允许物体绕球心 O 转动，不能沿径向移动。 约束反力: 通过球心，方向不能预先确定，通常用三个正交 分力Fx，Fy，Fz 表示。
§1-2 静力学公理 静力学公理是人类在长期生活和生产实践中，总结 归纳出来的客观规律。 公理一、二力平衡公理
作用在一个刚体上的两个力，使刚体保持平衡的 充要条件: 二力等值、反向、共线。
F1 F 2
§1-2 静力学公理 公理二、加减平衡力系公理
在受力物体上加上或减去任 意平衡力系，不改变物体的 平衡（运动）状态。
§1-3 约束和约束力
（5）轴承约束
a、滑动轴承:
FAx
x z
FAy
A
y
b、滚动轴承: 径向轴承（向心滚子轴承） 止推轴承（向心推力轴承）
z
FAz
FAy
静力学摩擦与摩擦力
r fs
滚阻因数
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
考虑滚动临界态 M f M m M m FN
简化中 心A Ff FN Mm
简化中心B
简化中心B
F f FN
M sFN
s
Ff FN M 0
M m FN
滚阻因数量纲为长度单位
物理意义是将摩擦力简化为合力时简化中心点到 A的距离
与接触物体的性质有关
G
F
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
附加方程
Fmin cosq Fm G sinq 0 Fmin sinq FN G cosq 0 Fm fs FN
Fmin
sinq fs cosq cosq fs sinq
135.31N
Fmin q Fm
q
G
x FN
静不定?
工况2 临界态平衡问题
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
平衡态
F
Ff Mf
Ff F M f Fr
滑动临界态 F Fm
滚动临界态 F Mm r
Fm
F
Mm r
Ff Fm Fm fs FN
M f M m M m FN
滑动
G
F
O A
Ff
Mf
FN
FR
极限滚阻力偶矩
滚阻因数
Mm r
F
Fm
Fm
F
Mm r
F
纯滚动 又滚又滑
通常
q
m
临界态
FN
Fmax G tan(q m ) 400 tan(30 11.31 ) 351.53N
当 135.31N < F <351.53N 物体静止
流体流动之摩擦阻力计算讲解PPT课件
Re du
0.0531 998.2 1.005 103
5.26104
4000
因此，可判断水在管中呈湍流。
注：无单位
8
摩擦阻力
二、流动类型与雷诺准数
重点强调
流体主体为湍流，但在管壁处会形成层流称之为“层流底层” u 0.5umax
且Re越大，层流底层越薄
9
章节小结
本章章节
第一节 流体静力学 第二节 流体在管内的流动 第三节 流体在管内流动时的摩擦阻力
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
h f
1
本章章节
第三节 流体在管内流动时的摩擦阻力
一、 牛顿粘性定律与流体的粘度 二、 流动类型与雷诺准数 三、 流体在圆管内流动时的阻力计算 四、 流体在非圆形直管内流动时的摩擦阻力
（1）le和ξ均由实验测定，可查有关手册和资料得到 （2）不管突然扩大还是缩小，u均取细管中的流速
（3）在应用柏努利方程时，当截面选在出口内侧时保留动能项，选在出口外侧时
保留能量损失（ξ=1）项
19
章节小结
三、流体在圆管内流动时的阻力计算
直管阻力
hf
l
d
u2 2
λ——摩擦阻力系数
局部阻力
三、流体在圆管内流动时的阻力计算
流动阻力包括：
直管阻力 (沿程阻力），由于内摩擦产生的阻力
局部阻力：流体流经管件、阀门、等局部地方因流速大小及方向的改 变而引起的阻力。
hf
hf
h/ f
11
摩擦阻力
三、流体在圆管内流动时的阻力计算
理论力学教学PPT摩擦教学课件PPT
4
（2）临界平衡状态：
FS
Fmax
Fmax ：最大静摩擦力
静摩 擦力有一个范围：0 Fs Fmax
Fmax
有限约束力
实验表明：Fm
的大小与接触面上法向反力
ax
FN
的大小成正比，方向与物体相对滑动趋势的方向相反.
P
Fmax
A
FN
Fmax = fs FN f s ----- 静摩擦系数
静滑动摩擦定律 T
49.61N m MC 70.39 N m
40
例5-14 已知： 力 P 角 ，不计自重的 A , B 块间的
静摩擦系数为 f s ，其它接触处光滑；
求：使系统保持平衡的力 F的值.
41
解： 取整体 Fy 0 FNA P 0 FNA P
设力 F小于 F1时，楔块 A 向右运动， 取楔块 A ，F1 FNA tan( ) P tan( )
解得 Fs 866 N FN 4500 N d 0.171m
而 Fmax fs FN 1800 N
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1 Fx 0 Fs F1 cos 0 Fy 0 FN P F1 sin 0
画两杆受力图.
(a)
(b)
38
对图 (a) ， M A 0 FN1 AB M A 0
对图 (b) ， M C 0 M C1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0 又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1
解得 MC1 70.39N m
设 M C M C2 时，系统有顺时针方向转动趋势，
静力学中的摩擦力与平衡条件
静力学中的摩擦力与平衡条件在我们日常生活和工程领域中，静力学的知识无处不在。
而其中，摩擦力与平衡条件是两个至关重要的概念，它们对于理解物体的静止状态和运动趋势起着关键作用。
首先，让我们来聊聊摩擦力。
简单来说，摩擦力就是当两个物体相互接触并试图相对运动时产生的阻碍这种相对运动的力。
摩擦力的大小和方向取决于多种因素。
摩擦力分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是指物体还没有开始相对运动时所受到的摩擦力。
它的大小会随着外力的增大而增大，直到达到一个最大值，这个最大值被称为最大静摩擦力。
比如，当我们试图推动一个放在地面上的重物时，如果施加的力较小，重物不会移动，此时物体受到的就是静摩擦力，而且这个静摩擦力的大小与我们施加的力相等，方向相反，从而使物体保持静止。
只有当我们施加的力超过了最大静摩擦力，物体才会开始运动。
动摩擦力则是物体在相对运动时所受到的摩擦力，它的大小通常比最大静摩擦力要小，而且相对稳定。
例如，一个在桌面上滑动的木块，所受到的就是动摩擦力。
那么，摩擦力的大小到底是由什么决定的呢？这主要取决于接触面的粗糙程度、物体之间的压力大小以及材料的性质等。
接触面越粗糙，摩擦力往往越大；物体之间的压力越大，摩擦力也会相应增大。
接下来，我们谈谈平衡条件。
平衡条件是指物体在静止或者匀速直线运动状态下所满足的条件。
在静力学中，一个物体要处于平衡状态，必须满足两个条件：合力为零和合力矩为零。
合力为零意味着物体所受到的所有力在水平和垂直方向上的分力之和都必须为零。
比如说，一个放在水平地面上的箱子，受到重力竖直向下，地面的支持力竖直向上，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
如果还有水平方向的拉力或者推力，那么这些力在水平方向上的合力也必须为零，箱子才能保持静止。
合力矩为零则是指对于任何一个点，物体所受到的所有力产生的力矩之和为零。
力矩可以理解为力使物体绕某一点转动的效果。
如果物体受到的力矩不平衡，就会产生转动。
在实际问题中，我们经常需要综合考虑摩擦力和平衡条件来分析物体的状态。
静力学摩擦概念、性质和平衡问题
§4–1 滑动摩擦的概念
摩擦的分类
(2) 按二物体接触点（面）之间有无相对速度分类
动（滑动）摩擦：已发生相对滑动的物体间的摩擦。 静（滑动）摩擦：仅出现相对滑动趋势而未发生运动
时的摩擦。
§4–2 滑动摩擦的性质
静摩擦力的性质 静摩擦力极限摩擦定律 动摩擦定律 摩擦角、摩擦锥、自锁
向反作用力 FN 成正比。
即： Fmax=fs FN fs : 静摩擦因数
3. 动摩擦定律 动摩擦力Fd与物体对支承面的正压力或法向反作
用力FN 成正比。
即： Fd =fd FN fd : 动摩擦因数
动摩擦力的方向总是和物体的相对滑动的速度方向相反。
§4–2 滑动摩擦的性质
4. 摩擦角、摩擦锥、自锁
比较得
Ff Fmax
y
G
A
x
FN
物体不再处于平衡状态，将水平向右滑动。
作用在物体上的动摩擦力为
F d fdF N 0 .1 1 9 2 2 .2N 8
tan≤ fstan f
α ≤ f
FN F
α G
• 摩擦力的性质 • 静摩擦极限摩擦定律 • 动摩擦定律 • 摩擦角、摩擦锥、自锁
§4–3 考虑滑动摩擦时的 平衡问题
临界平衡状态分析 非临界平衡状态分析
§4–3 考虑滑动摩擦时的平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注 意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。
则有
tan
F FN
≤
Fmax FN
tanf
F FN
≤
F max FN
0≤ ≤ f
所以物体平衡范围0≤F≤Fmax也可以表示为0≤ ≤ f。
工程力学第4版(静力学)答案
第一章 习题下列习题中，凡未标出自重的物体，质量不计。
接触处都不计摩擦。
1-1试分别画出下列各物体的受力图。
1-2试分别画出下列各物体系统中的每个物体的受力图。
1-3试分别画出整个系统以及杆BD ，AD ，AB （带滑轮C ，重物E 和一段绳索）的受力图。
1-4构架如图所示，试分别画出杆HED ，杆BDC 及杆AEC 的受力图。
1-5构架如图所示，试分别画出杆BDH ，杆AB ，销钉A 及整个系统的受力图。
1-6构架如图所示，试分别画出杆AEB ，销钉A 及整个系统的受力图。
1-7构架如图所示，试分别画出杆AEB ，销钉C ，销钉A 及整个系统的受力图。
1-8结构如图所示，力P 作用在销钉C 上，试分别画出AC ，BCE 及DEH 部分的受力图。
参考答案1-1解：1-2解： 1-3解： 1-4解： 1-5解： 1-6解： 1-7解： 1-8解：第二章 习题参考答案2-1解：由解析法，23cos 80RX F X P P Nθ==+=∑故：161.2R F N==2-2解：即求此力系的合力，沿OB 建立x 坐标，由解析法，有故：3R F KN==方向沿OB 。
2-3解：所有杆件均为二力杆件，受力沿直杆轴线。
（a ） 由平衡方程有：联立上二式，解得：0.577AB F W =（拉力） 1.155AC F W =（压力） （b ） 由平衡方程有：联立上二式，解得：1.064AB F W =（拉力） 0.364AC F W =（压力） （c ） 由平衡方程有：联立上二式，解得：0.5AB F W =(拉力) 0.866AC F W =（压力）（d ） 由平衡方程有：联立上二式，解得：0.577AB F W =(拉力) 0.577AC F W =(拉力)2-4解：（a ）受力分析如图所示：由0x =∑ cos 450RA F P =由Y =∑sin 450RA RB F F P +-=(b)解：受力分析如图所示：由 联立上二式，得：2-5解：几何法：系统受力如图所示三力汇交于点D ，其封闭的力三角形如图示所以： 5RA F KN =（压力）5RB F KN =（与X 轴正向夹150度） 2-6解：受力如图所示：已知，1R F G = ，2AC F G =由x =∑ cos 0AC r F F α-=由0Y =∑ sin 0AC N F F W α+-=2-7解：受力分析如图所示，取左半部分为研究对象由cos45cos450RA CB P F F --=联立后，解得： 0.707RA F P =由二力平衡定理 0.707RB CB CB F F F P '===2-8解：杆AB ，AC 均为二力杆，取A 点平衡由x =∑ cos60cos300AC AB F F W ⋅--=联立上二式，解得： 7.32AB F KN =-（受压）27.3AC F KN =（受压）2-9解：各处全为柔索约束，故反力全为拉力，以D ，B 点分别列平衡方程（1）取D 点，列平衡方程由x =∑ sin cos 0DB T W αα-=（2）取B 点列平衡方程由0Y =∑ sin cos 0BD T T αα'-=2-10解：取B 为研究对象：由0Y =∑ sin 0BC F P α-=取C 为研究对象：由cos sin sin 0BC DC CE F F F ααα'--=由0Y =∑ sin cos cos 0BC DC CE F F F ααα--+=联立上二式，且有BC BC F F '= 解得： 取E 为研究对象：由0Y =∑ cos 0NH CE F F α'-=CECE F F '=故有：2-11解：取A 点平衡：联立后可得：2cos 75AD AB PF F ==取D 点平衡，取如图坐标系：由对称性及 AD AD F F '=2-12解：整体受力交于O 点，列O 点平衡由0x =∑cos cos300RADC FF P α+-=联立上二式得： 2.92RA F KN =1.33DC F KN =（压力） 列C 点平衡联立上二式得： 1.67AC F KN =（拉力）1.0BC F KN =-（压力） 2-13解：（1）取DEH 部分，对H 点列平衡联立方程后解得： RD F （2）取ABCE 部分，对C 点列平衡且 RE RE F F '=联立上面各式得： RA F =（3）取BCE 部分。
静力学中的摩擦力与滑动条件
静力学中的摩擦力与滑动条件在我们日常生活和工程实践中，摩擦力是一个无处不在且至关重要的力。
从我们行走时脚底与地面的相互作用，到机器中零部件的运转，摩擦力都在默默地发挥着它的作用。
而要深入理解摩擦力，就不得不提到静力学中的摩擦力以及滑动条件。
首先，让我们来认识一下什么是摩擦力。
简单来说，摩擦力是当两个物体表面相互接触并相对运动或有相对运动趋势时产生的阻碍相对运动的力。
它的方向总是与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。
摩擦力可以分为静摩擦力、滑动摩擦力和滚动摩擦力。
在静力学中，我们重点关注的是静摩擦力和滑动摩擦力。
静摩擦力是指当两个物体有相对运动趋势但尚未发生相对运动时产生的摩擦力。
比如说，一个放在水平地面上的箱子，你用很小的力去推它，箱子没有动，这时候地面给箱子的摩擦力就是静摩擦力。
静摩擦力的大小不是固定不变的，它会随着你施加的推力的增大而增大，直到达到一个最大值，这个最大值被称为最大静摩擦力。
那么，最大静摩擦力的大小由什么决定呢？它取决于两个物体接触面之间的粗糙程度以及正压力的大小。
接触面越粗糙，最大静摩擦力就越大；正压力越大，最大静摩擦力也越大。
这可以用一个简单的公式来表示：最大静摩擦力＝静摩擦系数 ×正压力。
当你施加在物体上的力超过最大静摩擦力时，物体就会开始滑动，这时产生的摩擦力就是滑动摩擦力。
滑动摩擦力的大小相对稳定，它只与接触面的粗糙程度、正压力有关，其大小可以用公式：滑动摩擦力＝滑动摩擦系数 ×正压力来计算。
需要注意的是，一般情况下，同一对接触面，静摩擦系数略大于滑动摩擦系数。
这也是为什么物体在开始滑动之前需要更大的力去克服最大静摩擦力。
接下来，我们探讨一下滑动条件。
滑动条件可以简单地理解为当施加在物体上的外力大于最大静摩擦力时，物体就会发生滑动。
但在实际情况中，判断物体是否滑动并不是这么简单。
例如，在一个倾斜的平面上放置一个物体，物体可能会因为重力的分量而有下滑的趋势。
第六章 静力学专题-桁架、摩擦、中心
2、截面法：应用平面任意力系的平衡条件，研究桁 架由截面切出的部分的平衡。
§6-1 桁架
一、节点法：
例题 已知P=10kN，试求各杆内力。
解：1) 研究整体，求支座 约束力：
FAy
FBy
Fx 0 : FBx 0
FBx
MA(F) 0:
4FBy 2P 0
M B (F ) 0 : 2P 4FAy 0
第六章 静力学专题
• §1 桁架 • §2 摩擦 • §3 重心
§6-1 桁架
建筑
通讯
桥梁
输电
§6-1 桁架
桁 架:
由一些细长直杆 按适当方式分别在两 端连接而成的几何形 状不变的结构。
§6-1 桁架 桁架是工程中常见的一种结构。
桁架的优点： 结构“轻”； 能充分发挥材 料的力学性能。
§6-1 桁架
Q F1' F1 F4 10kN （受压）
F’1
F4
F’3
注意：节点法的理论基础是平面汇交力系的平 衡理论。在应用节点法时,所选取节点的 未知量一般不应超过两个。
§6-1 桁架
二、截面法：
例题 已知h，a，P。求：4，5，6杆内力。
解：首先求支座约束力： FAy
I
Fx 0 : FAx 0
二力杆
A
FA
A
FC
C
B
FB
B
轴向力
FB
B
§6-1 桁架 平面简单静定桁架模型：基本三角形
总杆数：3 节点数：3
总杆数：5 节点数：4
总杆数：7 节点数：5
若设总杆件数目为m ，而对应的总节点数目为n， 则有：m-3 = 2(n – 3 )，即m=2n-3 。 因此有下面的结论：
静力学中的摩擦力与平衡条件
静力学中的摩擦力与平衡条件在我们日常生活和工程实践中，静力学的知识无处不在。
而其中摩擦力与平衡条件更是起着至关重要的作用。
当我们推动一个重物，或者让一个物体在斜面上保持静止，这些看似简单的现象背后，都隐藏着静力学中摩擦力与平衡条件的原理。
首先，让我们来认识一下什么是摩擦力。
简单来说，摩擦力就是当两个物体相互接触并相对运动或有相对运动趋势时，在接触面上产生的阻碍相对运动的力。
摩擦力分为静摩擦力、滑动摩擦力和滚动摩擦力。
静摩擦力是在物体尚未发生相对运动，但有运动趋势时产生的。
比如说，当我们试图水平推动一个放在地面上的箱子，但还没有推动时，箱子与地面之间的摩擦力就是静摩擦力。
静摩擦力的大小不是固定的，它会随着我们施加的推力的增大而增大，直到达到一个最大值。
这个最大值被称为最大静摩擦力。
一旦我们施加的推力超过了最大静摩擦力，物体就会开始滑动，此时的摩擦力就变成了滑动摩擦力。
滑动摩擦力的大小与接触面的粗糙程度、正压力的大小有关。
接触面越粗糙，滑动摩擦力越大；正压力越大，滑动摩擦力也越大。
这可以用一个简单的公式来表示：f ＝μN，其中 f 是滑动摩擦力，μ 是滑动摩擦系数，N 是正压力。
而滚动摩擦力相对较小，这也是为什么在很多情况下，我们会使用轮子来运输重物，因为滚动可以大大减小摩擦力。
接下来，我们再谈谈平衡条件。
平衡条件简单来说就是物体在受到多个力的作用下，保持静止或者匀速直线运动的状态。
在静力学中，平衡条件可以分为两种：共点力平衡和力矩平衡。
共点力平衡指的是物体受到的多个力作用在同一点上，或者它们的作用线相交于一点。
在这种情况下，如果物体要保持平衡，那么这些力的合力必须为零。
也就是说，在水平方向和垂直方向上，所有力的分力之和都必须为零。
力矩平衡则是指物体受到的力对于某个点产生的力矩之和为零。
力矩可以理解为力使物体绕着某个点转动的效果。
当物体受到多个力的作用，且这些力对于某个点产生的力矩之和为零，物体才能保持平衡。
静力学中的摩擦力与平衡条件
静力学中的摩擦力与平衡条件在我们日常生活和工程实践中，静力学的知识无处不在。
其中，摩擦力和平衡条件是两个至关重要的概念，它们对于理解物体的静止状态和受力情况起着关键作用。
首先，让我们来认识一下摩擦力。
简单来说，摩擦力就是当两个物体相互接触并相对运动或有相对运动趋势时产生的阻碍作用。
摩擦力可以分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是在物体尚未开始运动时存在的摩擦力。
比如说，你把一个重物放在水平地面上，想要推动它但还没推动的时候，地面给物体的摩擦力就是静摩擦力。
静摩擦力有一个很有趣的特点，它的大小会随着你施加的外力而变化，但有一个最大值，我们称之为最大静摩擦力。
只要你施加的外力小于最大静摩擦力，物体就会保持静止；一旦外力超过了这个最大值，物体就会开始运动，此时的摩擦力就变成了动摩擦力。
动摩擦力相对来说就比较“稳定”，它的大小只取决于接触面的材料和压力等因素。
动摩擦力的大小通常小于最大静摩擦力。
那摩擦力是怎么产生的呢？这和接触面的粗糙程度、物体间的压力以及接触的材料性质都有关系。
接触面越粗糙，压力越大，摩擦力往往就越大。
接下来，我们再谈谈平衡条件。
平衡条件指的是物体在静止或者做匀速直线运动时，所受到的合力为零。
这就好比一个天平，如果两边的重量相等，天平就会保持平衡；如果不平衡，天平就会倾斜。
在静力学中，一个物体要保持平衡，不仅合力要为零，在各个方向上的分力也都要为零。
比如说，一个放在斜面上静止的物体，它受到重力、斜面的支持力以及摩擦力的作用。
重力可以分解为沿着斜面方向向下的分力和垂直于斜面方向向下的分力。
在这种情况下，斜面的支持力与重力垂直于斜面方向的分力大小相等、方向相反；而摩擦力则与重力沿着斜面方向向下的分力大小相等、方向相反，这样物体才能保持静止，满足平衡条件。
为了更深入地理解摩擦力和平衡条件，我们来看几个实际的例子。
想象一下，一辆停在斜坡上的汽车。
如果没有手刹或者其他制动装置，汽车很可能会滑下来。
这是因为重力沿着斜坡方向有一个分力，试图让汽车下滑。
第五章 摩擦(静力学专题)
FAN FA
FW
FR
解得：FR=20kN
B
(3) 假设A、B点处于极限状态
F F
FBN
FB
iy ix
0 : FAN FW FBN 0 0 : FR FA FB 0 FB f s FBN
FA f s FNA ,
解得：FR=27kN
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
A
FAN FA
FW
FR FB
B
FBN
假设平衡：∑MB= FR · r – FA · 2r = 0 ， （25- FA ×2）r=0 FA=12.5 > FAL ＝12 可见 A点有相对滑动。
假设平衡：∑MA= FR · r – FB · 2r = 0 ， （25- FB × 2）r=0 FB=12.5 < FBL＝15 可见B点无相对滑动。
FN2 - FPmax sin - FQ cos = 0 补充 FL2 = f · FN2
sinα+ f cosα FPmax = cosα- f sinα
FPmax
FN1 FL1
FQ
= FQ tan(α+φm )
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
30
FQ FP
∵ F Pmin = FQ tan(α-φm )
解：∵ m ∴ FP 太小，物块有下滑趋势。 FP 太大，物块有上滑趋势。
★理论力学电子教案
第4章 摩擦专题
28
1°求FPmin 由 F ix = 0， FPmincos + FL1 - FQ sin = 0 由 F iy = 0， FN1 – FPminsin - FQ cos = 0 补充 FL1 = f · FN1
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假设D处先达到临界滑动状态，分别取杆、轮为研究对象
北京交通大学力学系
考虑摩擦时的平衡问题
假设D处先达到临界滑动状态，分别取杆、轮为研究对象
第6章 摩擦
M A (F ) 0
FNC
M O (F ) 0
FC' r FD r 0
l FB l 0 2
FNC 100 N
0.15FND FD FC
F2 fs FN2
sin f s cos G cos f s sin
y
补充方程
Fmax
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考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
例2 鼓轮B重500N，放在墙角里。已知鼓轮与水平地板间的 摩擦系数为0.25，而铅直墙壁假定是绝对光滑的，鼓轮上的绳 索下端挂着重物。设半径R=200mm，r=100mm。求平衡时重 物A的最大重量P。
补充方程
Fmin
sin f s cos G cos f s sin
北京交通大学力学系
考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
例1 已知 、f、块重G。求平衡时F力的作用范围。
解： (2)F 较大时,物块有上滑趋势,摩擦力向下
F F
x
0 Fmax cos G sin F2 0 0 Fmax sin G cos FN2 0
静摩擦与滑动摩擦
第6章 摩擦
2、静滑动摩擦定律
静滑动摩擦力与接触面积无关； 静滑动摩擦力由平衡方程给出 (摩擦定律仅给出极限数值的大小)
FSmax FN fs
滑动摩擦力的极值 静止状态 临界状态 运动状态 FS＝F F max；大小由平衡方程确定
FS Fmax f s FN
FS Fd fFN
' ' F sin 60 F cos 60 Fmin FD 0 Fx 0 NC C
F 0 F P F cos60 F sin 60 0 y ND NC C
Fmin 47.8N
FND 25.86N
0.15 25.86 3.879N FC
FC 40 N
M O (F ) 0
FC' r FD r 0
FD FC' 40N
' FNC sin 60 FC' cos 60 Fmin FD 0
Fmin 26.6 N
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考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
FNC 100 N
FD FC 40N
因为滚轮相对于地面和相对于重物均为 顺时针滚动，所以 A 、 B 处的滚动摩阻 力偶均为逆时针转向。
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滚动摩阻
第6章 摩擦
例2 如例题图(a)所示，一个半径为R、重为P的轮静止在 水平面上，在轮上半径为r的轴上缠有细绳，绳端受一个 拉力F作用。设轮与地面的静摩擦系数为fa，滚动摩阻系 数为δ，求只滚不滑时轴半径所应满足的条件。
a hF cos P FN d 0 2
d 0.17 m
木箱不会翻倒
故木箱保持平衡
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考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
木箱重P=5kN，=300，fs=0.4。(2)保持木箱平衡的最大拉力。 木箱将滑动的条件为
FS Fmax fs FN FN P F sin fs P F1 1876 N cos fs sin
小
结
1、静滑动摩擦是在两物体相互接触的表面之间产生的 阻碍其相对滑动（趋势）的切向力。
0 FS Fmax fs FN
2、动滑动摩擦是在两物体相互接触的表面之间产生的 阻碍其相对滑动的切向力 Fd f FN
3、滚动摩阻力偶
0 M M max FN
4、摩擦角为全约束反力与接触面法线间夹角的最大值, 当主动力合力作用线在摩擦角之内时，发生自锁现象。
M max FN
－滚动摩阻系数 mm
圆盘受到水平推力F的作用时是会发生滚动还是滑动？ 如果先滑动 F≥FS=fs∙FN
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滚动摩阻
第6章 摩擦
例1 为轻便拉动重物P，将其放在滚轮O上，如图所示。考虑 接触处A、B的滚动摩阻，则作用在滚轮上的滚动阻力偶的转 向是 。
（A）MA为顺时针转向，MB为逆时针转向； （B）MA为逆时针转向，MB为顺时针转向； （C）MA、MB均为逆时针转向； （D）MA、MB均为顺时针转向。
第6章 摩擦
关于摩擦角的两点结论： 摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示。 三维受力状态下，摩擦角变为摩擦锥。
tg max
Fmax f s FN fs FN FN
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摩擦角和自锁现象
第6章 摩擦
2. 摩擦自锁
主动力合力作用线位于摩擦角范围内时,不管该合力多大,物体都保持平衡, 这种现象称为自锁。 主动力合力作用线位于摩擦角范围以外时，不管主动力多小，物体都将 发生运动。 主动力合力作用线与法线之间的夹角等于摩擦角时物体处于临界状态。
木箱将绕A点翻倒的条件为
P 1443 N 4 cos 则保持木箱平衡的最大拉力 F2
FS F cos
d 0
M
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2 F cos 0.5P
Fmax 1443N
当拉力F逐渐增大时，木箱将先翻倒而失去平衡。
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考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
AC CB l 2
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摩擦角和自锁现象
第6章 摩擦
2. 摩擦自锁
f
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考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
§6-3 考虑摩擦时的平衡问题 1. 受力图中多了摩擦力 2. 除静力学平衡方程外 当摩擦力达到极值时还有补充方程
Fs fs FN
3. 所得结果是一个范围
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解：取套钩和踏板整体为研究对象
注意到将要下滑时A、B处必然均为 临界状态故两处的全反力方向如图。 由三力平衡汇交的几何条件有
(d
D D ) tan m ( d ) tan m l 2 2
l d 2 fs
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考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
例4 均质木箱重P=5kN，其与地面间的静摩擦系数fs=0.4。求 (1) 当 =300， F=1kN时，木箱是否平衡？ (2) 保持木箱平衡的 最大拉力。 解：欲保持木箱平衡，必须满足两个条 件 FS Fmax fs FN (1)不发生滑动； (2)不绕A点翻倒，则法向约束力的 作用线距点A的距离 d 0
第6章 摩擦
第 6章 摩 擦
§ 6-1 § 6-2 § 6-3 § 6-4
静摩擦和滑动摩擦 摩擦角和自锁现象 考虑滑动摩擦时的平衡问题 滚动摩阻的概念
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静摩擦与滑动摩擦
第6章 摩擦
§6-1 静摩擦与滑动摩擦
1、摩擦的概念
摩擦力作用于相互接触处，方向与两接触 物体相对滑动趋势相反;
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考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
Fx 0
FS F cos 0
FS 866 N
FN 4500 N
Fy 0 FN P F sin 0
木箱与地面间的最大摩擦力
Fmax fs FN 1800 N
FS Fmax
木箱不会滑动
M A (F) 0
Fmin 26.6 N
F
y
0
C cos60 FC sin 60 0 FND P FN
FD max 0.3184.6 55.39N FD 40N
FD max 0.15 184.6 27.7N
FND 184.6N
D处无滑动，假设正确
此时D处先于C处滑动，与假设不符
考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
例1 已知 、f、块重G。求平衡时F力的作用范围。
解：(1) F 较小时，物块有下滑趋势，摩擦力向上。
F F
x y
0
Fmin cos G sin F1 0
0 Fmin sin G cos FN1 0
F1 fs FN1
解：临界状态时有
FS fs FN1
Fy 0
M
O
FN1 PB P
FN2
(F ) 0
FS R P r
FS
FN1
PB
P 500N
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P
考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
例3 已知套钩的尺寸l、电线杆直径D、摩擦系数fS.试求套钩不 致下滑时脚踏力FP的作用线与电线杆中心线的距离d。
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滚动摩阻
第6章 摩擦
取滚轮，受力如图(b)所示
M
A
0
M max FN P Rr Rr Rr
取整体，由平衡方程
F
x
0
F滑 Fmax fs FN fs P
欲使滚子只滚不滑，应有 F滚＜F滑
于是有
Rr
fs
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第6章 摩擦
例5 已知 P 100 N FB 50 N f sC 0.4 60 当D处静摩擦系数分别为0.3和0.15时。求维持系统平衡需作用 于轮心的最小水平推力。
解：假设C处先达到临界滑动状态，取AB杆