七下实数辅导讲义(一)终极版

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩

⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪

⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎧

实数第六章 实数 辅导讲义

【知识要点】

1、平方根

（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。

即：如果x 2=a ，则x 叫做a

的平方根，记作“a 称为被开方数）。

（2）平方根的性质：

① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.

（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.

（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a

（5

a ≥0。 （6）公式：

2=a （a ≥0）；

2、立方根

（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。

即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。数a 的立方根用符号

表示，读作“三次根号a ”。

（2）立方根的性质：

正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：

只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）

5、实数的分类

（1）按实数的定义分类：

（2）按实数的正负分类：

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨

⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨

⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）

零（既不是正数也不是正无理数正分数

正整数

正有理数正实数实数

（3）实数与数轴的关系

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．

（4）、绝对值

①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。

一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。 注意：

题型规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3

有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴

)2=a （a ≥0

=（a 取任何数）。 5、区分

2=a （a ≥0），与

2a =a

6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

7.一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525== 8、.识记常用平方表：（自行完成）

00

0a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>==00

00

2a a a a a a a

9.易混淆的三个数（自行分析它们）： （1）2a （2）2)(a （3）33

a 10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：

2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________ 7≈___________

【典型例题】

题型一、平方根定义的运用

例1、一个正数的平方根为a -3和32+a ，求这个数？

变式1、已知12-a 和2+-a 是m 的平方根，求m 的值？

变式2、已知某个数的平方根分别为3+a 和152-a ，求a 和这个数？

例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2 （2） 下列说法对不对？为什么？

① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根

③ 任何数都有平方根 ④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数 例3、求下列各数的平方根：

(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)

变式3、.下列语句中，正确的是（ ）

A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B ．负数没有立方根

C ．一个实数的立方根不是正数就是负数

D ．立方根是这个数本身的数共有三个 变式4. 下列说法正确的是（ ）

A ．-2是（-2）2的算术平方根

B ．3是-9的算术平方根

C ．16的平方根是±4

D ．27的立方根是±3

题型三、化简求值

例1、已知30<

1,011）（化简：

x x x +=+++

14169

a 20

≥0a ≥例2已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22

()a a b c a b c --+-+-

变式2、实数a 在数轴上的位置如图所示,化简:2

)2(1-+-a a =

变式3如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A

的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2 B. 2－5 C. 5－3 D.3

－5

例3、当a<0时，化简

的结果是( )

A 0

B -1

C 1

D ½

例4、化简下列各式： (1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3) |

-|

【变式1】化简：

题型四、利用非负数的性质求代数式

三种常见的非负数：

注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；

(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0. 例1、已知实数x ，y 满足 2x -+(y+1)2=0，则x-y 等于

【变式1】 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为

0(0)a a ≥≥