2000级“高等代数II”试题

2000级“高等代数II”试题

一、 （20分）设实二次型

222

1231323()222f x x x x x tx x =++++x 。当t 是何整数时二次型()f x 是正定的，并在此时求可逆变换=x Py 将()f x 化成标准形。

二、 （30分）设

100111001⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭A 。 （1）求A 的特征值；

（2）求A 的一个标准正交的特征向量系； （3）求A 的Jordan 标准形。

三、 （25分）设V 是实数域上二阶矩阵构成的向量空间，规定

1

()(),2

T V

σ=+∀∈A A A A 。

（1）证明σ是V 的线性变换；

（2）证明

1112212210010000,,,00001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e e 是V 的一个基底，并求σ在此基底下对应的矩阵； （3）证明()ker V V σσ=⊕。

四、 （15分）设A ，B 是正定矩阵，证明 （1）A + B 是正定矩阵；

（2）111

()---+≠+A B A B 。

五、 （10分）设σ是U 空间的U 变换，证明 （1）σ 的特征值的模为1；

（2）设a , b 是σ 的两个不同的特征值，u , v 分别是σ 的属于a , b 的特征向量，则u , v 正交。

参考答案

1. 二次型f(x)矩阵为

1010112A t t ⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭，故f(x)正定当且仅当|A|=1- t 2 > 0,因t 为整数，故t=0. 当t=0时，

101010102A ⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭.做合同变换可得 1

011

000100101020

011

001010100

100010

01A I ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

令101010001P -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭，x = Py , 则222

123()f Py y y y =++.

2. （1）A 的特征多项式为

3

1

00

||1

1

1(1)00

1I A λλλλλ--=---=--，故特征根为1

（3重）.

（2）解方程组()0I A x -=得基础解系(1,0,1),(0,1,0)T T

αβ=-=，将其标准

正交化即得A

的一个标准正交的特征向量系：,(0,1,0)T

T

u v ==.

（3）用初等变换将A 的特征矩阵化成对角形：

21

0010011101000100(1)I A λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-=---→- ⎪ ⎪

⎪ ⎪--⎝

⎭⎝⎭. 故A 的初等因子组为21,(1)λλ--，于是A 的Jordan 标准型为

100011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.

3. （1）设A ，B ∈V , k 是数，则

111()(()())()()()(),

222

T T T A B A B A B A A B B A B σσσ+=+++=+++=+11()(())()(),

2

2

T T kA kA kA k A A k A σσ=+=+=

故σ是线性变换.

（2）设,,,a b c d 是数使得111221220ae be ce de +++=，则0a b c d ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭，从而0a b c d ====，故112

212,,,e e e e 线性无关. 又每个矩阵

a b A c d ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭可由11122122,,,e e e e 线性表示：11122122A ae be ce de =+++. 故11122122,,,e e e e 是V 的一个基底.

因为

111111

1212212211

211221222222(),

(),

(),(),e e e e e e e e e e σσσσ==+=+=

故σ在基底11122122,,,e e e e 下对应的矩阵为1122

1122

100

00000000

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭.

（3）对于任意A ∈V 有,

11

()()()ker T T A A A A A V σσ=++-∈+, 故()ker V V σσ=+. 又()ker 0V σσ⋂=，故()ker V V σσ=⊕.

4. （1）因

()T T T

A B A B A B +=+=+，故A+B 是对称矩阵. 对于非零n 维向量x ，因A ，B 正定，故

0,0T T

x Ax x Bx >>, 从而， ()0T T T x A B x x Ax x Bx +=+>，

故A+B 是正定矩阵.

（2）假设111()A B A B ---+=+，则11()()A B A B I --++=，即11

0AB BA I --++=，从而1

0AB A A B -++=. 因B 正定，故其特征根均大于0. 因111()()T T B B B ---==，

故1B -是对称矩阵. 又因1B -的特征值是B 的特征值的倒数，故全大于0. 于是1B -也是正定矩阵，设

x

是非零

n

维列向量，则有