上册微专题三求二次函数的解析式人教版九年级数学全一册课件
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人教版九年级上册数学课件：用待定系数法求二次函数的解析式优秀ppt课件
y 解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3
由条件得： 点( 0,-5 )在抛物线上
x o
a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
人教版九年级上册数学课件：2用2.待1.定4 系用数待法定 求系二数次法 函求数二的次 解函析数式的 优解秀析式ppt( 共 课2件1张 PPT)
人教版九年级上册数学课件：2用2.待1.定4 系用数待法定 求系二数次法 函求数二的次 解函析数式的 优解秀析式ppt( 共 课2件1张 PPT)
人教版九年级上册数学课件：22.1.4 用待定 系数法 求二次 函数的 解析式( 共21张 PPT)
求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 析式为__y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(a_≠__0_) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， 通常设抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-_h_)2_+_k_(_a_≠_0_) 求出表达式后化为一般形式. 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(x_-_x_1_)(_x_-_x_2)_(a≠0) 求出表达式后化为一般形式.
抛物线解析式 y=2(x-1)(x-3)
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0）
y=3(x-2)(x+1)
（2，0）（-1，0）
y=-5(x+4)(x+6)
（-4，0）（-6，0）
y=a(x_-_x_1)(x_-__x_2 ) （a≠0）
(x1,0),( x2,0)
二次函数解析式求法 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
二次函数复习课
形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数
解析法、列表法、 图像法
a>0，
开 口
抛物线开口 方
向上
向
a<0
抛物线开口
向下
对
x= b
称 轴
2a
顶
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
点 坐
标
二次函数
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
当b2-4ac>0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程有两个不 等实根 当b2-4ac=0时，抛物线与X轴 有一个交点，方程有两个相 等实根
当b2-4ac<0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程无实根
对实际问题进行观察和分析，并抽象 出数量关系、建立二次函数关系，利 用的二次函数的图像及性质它解决实 际问题
a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
小结:一般地,抛物线 y = ax2与y = ±a(x-h)2+k形状相同, 位置不同。
练习：
1、y=-x², y
2x2
2 x
，y=100-5x²，
y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2.函数 y ax2 bx c（其中a、b、c为
形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数
解析法、列表法、 图像法
a>0，
开 口
抛物线开口 方
向上
向
a<0
抛物线开口
向下
对
x= b
称 轴
2a
顶
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
点 坐
标
二次函数
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
当b2-4ac>0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程有两个不 等实根 当b2-4ac=0时，抛物线与X轴 有一个交点，方程有两个相 等实根
当b2-4ac<0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程无实根
对实际问题进行观察和分析，并抽象 出数量关系、建立二次函数关系，利 用的二次函数的图像及性质它解决实 际问题
a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
小结:一般地,抛物线 y = ax2与y = ±a(x-h)2+k形状相同, 位置不同。
练习：
1、y=-x², y
2x2
2 x
，y=100-5x²，
y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2.函数 y ax2 bx c（其中a、b、c为
人教版九年级数上课件：求二次函数的解析式 (公开课课件精品21张ppt)
-16-
(4)抛物线的对称轴为直线 x＝2，且经过点(1，4)和(5，0)； 解：设所求抛物线的解析式为 y＝a(x－2)2＋k，∵抛物线过点(1，4)， (5，0)，∴aa（（15－－22））22＋＋kk＝＝40，，解得ak＝ ＝－92. 12，∴y＝－12(x－2)2＋92＝ －12x2＋2x＋52.
11)，(2，8)，(0，6)，用待定系数法求得 a＝2，b＝－3，c＝6.∴所求抛物
线的解析式为 y＝2x2－3x＋6.
(2)抛物线的顶点坐标为(3，－1)，且经过点(2，3)；
解：设所求抛物线的解析式为 y＝a(x－3)2－1，∵抛物线经过点(2，3)， ∴a(2－3)2－1＝3，∴a＝4.∴y＝4(x－3)2－1＝4x2－24x＋35.
教材感知
课关堂键能检力测
-20-
(2)若抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为点 P，求△ CPB 的面积．
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)．过 点 P 作 PH⊥y 轴于点 H，过点 B 作 BM∥y 轴交直线 PH 于点 M，过点 C 作 CN⊥y 轴交直线 BM 于点 N，如 图所示．S△ CPB＝S 矩形 CHMN－S△ CHP－S△ PMB－S△ CNB＝3×4 －12×2×4－12×1×1－12×3×3＝3，即△ CPB 的面积为 3.
3.解： 方程（组） 4.回代： （写解析式）
9a-3b+c=0，
a=-1
a-b+c=0， 解得 ，b=-4
c=-3，
， c=-3
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
第二十二章
分点训练
整合方法
综学合科素探养究
-6-
归纳总结
人教部初三九年级数学上册 用待定系数法求二次函数解析式 名师教学PPT课件
小结归纳
填写表格：
抛物线
开口方向 对称轴
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0) y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)
y= ax2 +bx+c(a>0)
顶点坐标
温故知新
回顾：用待定系数法求解析式
▪ 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
顶点式
例：2：已知抛物线的顶点是（1，2）且 过点（2，3)，求出对应的二次函数解析 式解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k
∵顶点是（1，2） ∴y=a(x-1)2+2，
已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时，
又过点（2，3）
通常设为顶点式
∴a(2-1)2+2=3，∴a=1
∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3
Байду номын сангаас
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
同步练习
1、 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
评价
∴ 所求抛物线解析式为
通过利用条件中的顶点 和过原点选用顶点式求 解，方法比较灵活
▪
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另
一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式
填写表格：
抛物线
开口方向 对称轴
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0) y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)
y= ax2 +bx+c(a>0)
顶点坐标
温故知新
回顾：用待定系数法求解析式
▪ 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
顶点式
例：2：已知抛物线的顶点是（1，2）且 过点（2，3)，求出对应的二次函数解析 式解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k
∵顶点是（1，2） ∴y=a(x-1)2+2，
已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时，
又过点（2，3）
通常设为顶点式
∴a(2-1)2+2=3，∴a=1
∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3
Байду номын сангаас
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
同步练习
1、 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
评价
∴ 所求抛物线解析式为
通过利用条件中的顶点 和过原点选用顶点式求 解，方法比较灵活
▪
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另
一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式
上册用待定系数法求二次函数的解析式人教版九年级数学全一册完美课件
上册 22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 -2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 25张PP T)
3．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线 y＝ －2x2 相同，则抛物线的解析式为( D ) A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5 C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6 【解析】 根据题意，得 y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.故选 D.
图 22－1－25
上册 22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 -2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 25张PP T)
上册 22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 -2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 25张PP T)
【解析】 根据题意，得 1－b＋c＝0， 1＋b＋c＝－2， 解得bc＝＝－－21，， ∴y＝x2－x－2.令 x2－x－2＝0， 解得 x1＝－1，x2＝2， ∴AC 长为 3.
图22－1－26
上册 22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 -2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 25张PP T)
解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
根据题意得9c＝a－3，3b＋c＝0，解得ba＝＝－－21，，
－2ba＝－1，
c＝3.
所以抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)易知直线 AB 的表达式为 y＝x＋3，设 P(m，－m2－2m＋3)，
上册 22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 -2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 25张PP T)
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.
人教版数学九年级上册二次函数解析式的确定课件
方法一：设抛物线的解析式为
y
y=ax2＋bx＋c再分别把(0,0)、(40,0)、
(20,16)三点的坐标代入。
方法二： 设抛物线的解析式为
16m
y=a(x－20)2＋16 再把(0,0)或（40，
x
0）的坐标代入。
O
40m
方法三：设抛物线的解析式为y=ax(x－40 ）再
把（20，16）的坐标代入。
由新顶点得到平移后的解析式（其中a
不变），但若上下平移直接加减。
练习：
已知二次函数图象经过（2，3）,对 称轴为x=1. 抛物线与x轴的两交点距 离为4 , 求这个二次函数的解析式。
有一个抛物线形的石拱桥，它的最大高度为16m，
跨度为40m．现把它的图形放在平面直角坐标系
里(如图所示)，求抛物线的解析式．
（2）y ax2 bx经过C（ 3，3），A（2 3，0） 抛物线的解析式为：y x2 2 3x
若水面降落1米(如图)，拱桥是抛物线形状 ，当水面在L时，拱顶离水面2米，水面宽4 米，若水面宽度将增加多少米？
Y
-2
O 2X
A
图1 B
L2
-2
4
解法一：如图1，以顶点为原点建立直角坐标系，
则A（-2，-2）， B（2，-2）设抛物线为y=ax2
二次函数解析式的确定
y
x
o
知识回顾
1、二次函数解析式常见的三种情势
（1）一般式：y ax2 bx c, (a 0)
（2）顶点式：y a( x h)2 k,(a 0)
其中,( h, k )是抛物线的顶点坐标
（3）交点式：y a( x x1 )( x x2 ),(a 0)
其中,x1和x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标
【公开课】人教版九年级数学上册求二次函数的解析式课件PPT
【 公 开 课 】 人教版 九年级 数学上 册 求 二 次函数 的解析 式（课 件）（ 共21张 ppt）
第二十二章
归纳总结
分点训练
整合方法
交点法求二次函数表达式的方法
综学合科素探养究
知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交 点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到 关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
整合方法
综学合科素探养究
-4-
探究归纳
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几
个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
【 公 开 课 】 人教版 九年级 数学上 册 求 二 次函数 的解析 式（课 件）（ 共21张 ppt）
第二十二章
分点训练
整合方法
顶点法求二次函数的表达式
综学合科素探养究
-8-
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二 次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是
y=a(x+2)2+1 把（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8 解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1
第二十二章
分点训练
整合方法
综学合科素探养究
-5-
1.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）
人教版九年级上册用待定系数法求二次函数的解析式课件
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当
x＝-2与
1 2
时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
方法1：设y a( x 2)( x 1 ),再把x 0，y 1代入其中,
2
求出a的值.
两种方法的结果一
方法2：设y ax2 bx c，由“x 0时，y样一吗个1？更，两简x 种捷方？2与法12哪时，
那有什么难的？不就和 求一次函数表达式一样 的吗？
新知探究
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一 次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，由几个点 的坐标可以确定二次函数？
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函 数的解析式.
解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5.
a=2. c=5.
新知探究
例1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
y 0”，列方程组求出a，b，c的值.
新知bx+c的图象与x轴交于A(1,0)， B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)， 求这个二次函数的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
人教版九年级上册数学二次函数课件带内容PPT课件演示
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
（1）y=3(x-1)²+1
(2)y=x+
_1_ x
(3)s=3-2t² (5)y=_x1_²-x
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
二
函数 将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的作文教学中，落实到作文教学的等各个环节，充分激发了学生写作的主动性和积极性，加强了学生间的了解与沟通，培养了良好的写作习惯，提高了学生的写作水平。 将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
否是二次函数。
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
自学探究
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
人教版九年级数学上册用待定系数法求二次函数的解析式精品ppt课件
练习3
人 教 版人九教年版级九数年学级上数册学22上.册1.用4.2待：定用系待数定法系求数二法次求函二数次的函解数析的式解精析品式pp(t第课 件2课时）
已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B
（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的
解析式？
y
x 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1） o
a(1+2)2+1=-8， 解得a=-1.
∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1=-x2-4x-3.
人 教 版人九教年版级九数年学级上数册学22上.册1.用4.2待：定用系待数定法系求数二法次求函二数次的函解数析的式解精析品式pp(t第课 件2课时）
归纳总结
人 教 版人九教年版级九数年学级上数册学22上.册1.用4.2待：定用系待数定法系求数二法次求函二数次的函解数析的式解精析品式pp(t第课 件2课时）
人 教 版 九 年 级数学 上册22 .1.4.2 ：用待 定系数 法求二 次函数 的解析 式 ( 第 2课时）
3、二次函数y= ax2+bx+c的对称轴 为x=3，最小值为－2，，且过点 （0，1），求此函数的解析式。
人 教 版 九 年 级数学 上册22 .1.4.2 ：用待 定系数 法求二 次函数 的解析 式 ( 第 2课时）
人 教 版人九教年版级九数年学级上数册学22上.册1.用4.2待：定用系待数定法系求数二法次求函二数次的函解数析的式解精析品式pp(t第课 件2课时）
归纳总结
人 教 版人九教年版级九数年学级上数册学22上.册1.用4.2待：定用系待数定法系求数二法次求函二数次的函解数析的式解精析品式pp(t第课 件2课时）
归纳总结
人教版数学九年级上册二次函数解析式课件
c=-3 沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
∴所求的抛物线解析式为 y=x2-2x-3
例3:
已知抛物线过点A（-3，0）B（1，0）
C（2，5），求该抛物线的解析式。 y
9a-3b+c=0 a+b+c=0 4a+2b+c=5
·5 ·C
·
·
·
·
A· ·
-3 –2
–1·o
B·
1
·
2
x
·
· · ·-3
知识补充：二次函数的交点式
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
设
把(3,5)与（－4，－9）分别代入上式得：
3k+b=5
代
-4k+b=-9
解方程组得 k=2
解
b=-1
∴这个一次函数的解析式为y=2x-1
写
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析 式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫 做待定系数法.
例1:
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）（－1, 0）三点，求这个函数的解 析式.
成∴这功个往一往次偏函向数于的有解准析备式的为人y=2x-1
且b=过-1点（0，－3），求抛物线的解析式？
求∴这这个个一一次次函函数数的的解解析析式式为．y=2x-1
;过bx点+c（的0图,-3象）如（图4所,5）示：
虽顶长点不 式满七尺y=，a(而x-心h)2雄+万k 丈(。a≠0)
y
解：∵抛物线与x轴两交点
·5
距离为4，对称轴为x=-1
·
·
∴点B(1，0)点C(-3，0)
·
人教版九年级上册数学课件：求二次函数的解析式
轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立
的是 （ B ）
A.b2-4ac>0
B.
-
b 2a
<0
y
C.a+b+c=0
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
再根据C点坐标求出a的值。
y
·5 ·C
·
·
·
·
··
-3 –2
–1·o
B·
1
·
2
x
·
·
A · ·-3
-4
人教版九年级上册数学课件：求二次 函数的 解析式
人教版九年级上册数学课件：求二次 函数的 解析式
交点式：y a(x x1)( x x2 )
y
例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。
人教版九年级上册数学课件：求二次 函数的 解析式
求二次函数的解析式
y
yax2 bxc 一般式
顶点式
交点式
o
x
人教版九年级上册数学课件：求二次 函数的 解析式
人教版九年级上册数学课件：求二次 函数的 解析式
一般式：
例1 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
分析：设抛物线的解析式为 交点式：y a( x 3)( x 1) ， 再根据C点坐标求出a的值。
·5 ··C
·
·
·
·
A ·· ·
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微专题三 求二次函数的解析式
一 二 三
一 设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式
(教材 P40 练习第 2 题)
一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的
解析式． 解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则ac＝－0b，＋c＝－1，解得ab＝＝45，，
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解：(1)设函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵当 t＝2 时，AD＝4，
∴点 D 的坐标是(2，4)．
将(0，0)，(2，4)，(10，0)代入得，
c＝0，
a＝－14，
41a00＋a＋2b＋ 10bc＝＋4x，＝0，解得bc＝＝052，，
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[2019·台州]已知函数 y＝x2＋bx＋c(b，c 为常数)的图象经过点(－2，4)． (1)求 b，c 满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解 析式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1 时，函数的最大值与最小值之 差为 16，求 b 的值．
[2019·丰台区模拟]如图 3，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O
点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)
满足关系式 y＝a(x－k)2＋h.已知球与 O 点的水平距离为 6 m 时，达到最高 2.6 m，球
网与 O 点的水平距离为 9 m．高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m，
∵4.88＞2.745，∴不能达到 4.88 m.
答：足球的飞行高度不能达到 4.88 m.
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ห้องสมุดไป่ตู้
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[2018·金华、丽水节选]如图 2，抛物线 y＝ax2＋bx(a≠0)过点 E(10，0)，
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二 设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式 (教材 P36 例 4) 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷 水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m， 水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？ 解：如答图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴， 水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可 设这段抛物线对应的函数解析式是 y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
二次函数 y＝x2＋bx＋1 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个
单位后对应的函数解析式为 y＝x2＋c，则( C )
A．b＝4，c＝－2
B．b＝－4，c＝0
C．b＝4，c＝－4
D．b＝－4，c＝－4
【解析】 ∵y＝x2＋c 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位可得 y＝(x＋2)2
当 y＝0 时，－610(x－6)2＋2.6＝0， 解得 x1＝6＋2 39＞18，x2＝6－2 39(舍去)， 所以球会出界．故选 C.
[2019·南岗区校级模拟]一自动喷灌设备的喷流情况如图 4 所示，设水 管 AB 在高出地面 1.5 m 的 B 处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线 状，喷头 B 与水流最高点 C 连线成 45°角，水流最高点 C 比喷头高 2 m.
c＝0，
a＝－1.22，
得a＋b＋c＝2.44，解得b＝3.66，
9a＋3b＋c＝0， c＝0，
∴抛物线的关系式为 y＝－1.22x2＋3.66x；
(2)不能．理由：抛物线 y＝－1.22x2＋3.66x 的顶点横坐标 x＝2×3.616.22＝32，
纵坐标 y＝－1.22×322＋3.66×32＝2.745，
(1)求点 C 的坐标； (2)求此抛物线解析式； (3)求水流落点 D 到 A 点的距离．
图4
解：(1)如答图，过 C 点作 CE⊥y 轴于 E，作 CF⊥x 轴于 F， ∴B(0，1.5)，∠CBE＝45°，∴EC＝EB＝2， ∵CF＝AB＋BE＝1.5＋2＝3.5，∴C(2，3.5)； (2)设抛物线解析式为 y＝a(x－2)2＋3.5， 又∵抛物线过点 B(0，1.5)， ∴1.5＝a(0－2)2＋3.5，∴a＝－12， ∴y＝－12(x－2)2＋3.5＝－12x2＋2x＋32， ∴抛物线解析式为 y＝－12x2＋2x＋32；
A．(－3，6)
B．(－3，0)
C．(－3，－5)
D．(－3，－1)
【解析】 ∵某定弦抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴该定弦抛物线过点(0，0)，(2，0)， ∴该抛物线解析式为 y＝x(x－2)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的新抛物线的解析 式为 y＝(x－1＋2)2－1－3＝(x＋1)2－4， 当 x＝－3 时，y＝(－3＋1)2－4＝0， ∴得到的新抛物线过点(－3，0)．故选 B.
教材母题答图
答：水管长应为 2.25 m. 【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小
值)，可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系
数即可．
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∴抛物线的函数解析式为 y＝－14x2＋52x；
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(2)由抛物线的对称性得 BE＝OA＝t， ∴AB＝10－2t. 当 x＝t 时，y＝－14t2＋52t，即 AD＝－14t2＋52t， ∴矩形 ABCD 的周长＝2(AB＋AD) ＝2（10－2t）＋－14t2＋52t ＝－12t2＋t＋20＝－12(t－1)2＋421. ∴当 t＝1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是421.
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∴b≥0，Δ≤0， ∴0≤b≤8，∴－4≤x＝－b2≤0， 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－5≤－b2＜－2 时，函数有最大值 1＋3b， 当－2＜－b2≤1 时，函数有最大值 25－3b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 当最大值为 1＋3b 时，1＋3b＋b42－2b＝16，
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由这段抛物线过点(3，0)可得
0＝a(3－1)2＋3，
解得 a＝－34，
∴y＝－34(x－1)2＋3(0≤x≤3)． 当 x＝0 时，y＝2.25.
a＋b＋c＝9，
c＝0，
∴该二次函数的解析式为 y＝4x2＋5x.
【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出 a，b，c 的值．
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[2019 春·利津期中]足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门 踢出，图 1 的抛物线是足球的飞行高度 y(m)关于飞行时间 x(s)的函数图象(不考虑空 气的阻力)，已知足球飞出 1 s 时，足球的飞行高度是 2.44 m，足球从飞出到落地共 用 3 s.
(1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)足球的飞行高度能否达到 4.88 m？请说明理由．
变形 2 答图
(3)∵抛物线与 x 轴相交时，y＝0， ∴0＝－12x2＋2x＋32，即 x2－4x－3＝0， 解得 x1＝2＋ 7，x2＝2－ 7(舍去)， ∴D(2＋ 7，0)， ∴水流落点 D 到 A 点的距离为(2＋ 7)m.
三 利用平移规律求二次函数的解析式
(教材 P34 思考)
抛物线 y＝－12(x＋1)2，y＝－12(x－1)2 与抛物线 y＝－12x2 有什么关系？ 解：把抛物线 y＝－12x2 向左平移 1 个单位，就得到抛物线 y＝－12(x＋1)2；把抛 物线 y＝－12x2 向右平移 1 个单位，就得到抛物线 y＝－12(x－1)2. 【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2) 平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．
矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边)，点 C，D 在抛物线上．设
A(t，0)，当 t＝2 时，AD＝4.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最
一 二 三
一 设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式
(教材 P40 练习第 2 题)
一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的
解析式． 解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则ac＝－0b，＋c＝－1，解得ab＝＝45，，
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解：(1)设函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵当 t＝2 时，AD＝4，
∴点 D 的坐标是(2，4)．
将(0，0)，(2，4)，(10，0)代入得，
c＝0，
a＝－14，
41a00＋a＋2b＋ 10bc＝＋4x，＝0，解得bc＝＝052，，
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[2019·台州]已知函数 y＝x2＋bx＋c(b，c 为常数)的图象经过点(－2，4)． (1)求 b，c 满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解 析式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1 时，函数的最大值与最小值之 差为 16，求 b 的值．
[2019·丰台区模拟]如图 3，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O
点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)
满足关系式 y＝a(x－k)2＋h.已知球与 O 点的水平距离为 6 m 时，达到最高 2.6 m，球
网与 O 点的水平距离为 9 m．高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m，
∵4.88＞2.745，∴不能达到 4.88 m.
答：足球的飞行高度不能达到 4.88 m.
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[2018·金华、丽水节选]如图 2，抛物线 y＝ax2＋bx(a≠0)过点 E(10，0)，
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二 设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式 (教材 P36 例 4) 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷 水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m， 水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？ 解：如答图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴， 水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可 设这段抛物线对应的函数解析式是 y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
二次函数 y＝x2＋bx＋1 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个
单位后对应的函数解析式为 y＝x2＋c，则( C )
A．b＝4，c＝－2
B．b＝－4，c＝0
C．b＝4，c＝－4
D．b＝－4，c＝－4
【解析】 ∵y＝x2＋c 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位可得 y＝(x＋2)2
当 y＝0 时，－610(x－6)2＋2.6＝0， 解得 x1＝6＋2 39＞18，x2＝6－2 39(舍去)， 所以球会出界．故选 C.
[2019·南岗区校级模拟]一自动喷灌设备的喷流情况如图 4 所示，设水 管 AB 在高出地面 1.5 m 的 B 处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线 状，喷头 B 与水流最高点 C 连线成 45°角，水流最高点 C 比喷头高 2 m.
c＝0，
a＝－1.22，
得a＋b＋c＝2.44，解得b＝3.66，
9a＋3b＋c＝0， c＝0，
∴抛物线的关系式为 y＝－1.22x2＋3.66x；
(2)不能．理由：抛物线 y＝－1.22x2＋3.66x 的顶点横坐标 x＝2×3.616.22＝32，
纵坐标 y＝－1.22×322＋3.66×32＝2.745，
(1)求点 C 的坐标； (2)求此抛物线解析式； (3)求水流落点 D 到 A 点的距离．
图4
解：(1)如答图，过 C 点作 CE⊥y 轴于 E，作 CF⊥x 轴于 F， ∴B(0，1.5)，∠CBE＝45°，∴EC＝EB＝2， ∵CF＝AB＋BE＝1.5＋2＝3.5，∴C(2，3.5)； (2)设抛物线解析式为 y＝a(x－2)2＋3.5， 又∵抛物线过点 B(0，1.5)， ∴1.5＝a(0－2)2＋3.5，∴a＝－12， ∴y＝－12(x－2)2＋3.5＝－12x2＋2x＋32， ∴抛物线解析式为 y＝－12x2＋2x＋32；
A．(－3，6)
B．(－3，0)
C．(－3，－5)
D．(－3，－1)
【解析】 ∵某定弦抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴该定弦抛物线过点(0，0)，(2，0)， ∴该抛物线解析式为 y＝x(x－2)＝x2－2x＝(x－1)2－1， 将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的新抛物线的解析 式为 y＝(x－1＋2)2－1－3＝(x＋1)2－4， 当 x＝－3 时，y＝(－3＋1)2－4＝0， ∴得到的新抛物线过点(－3，0)．故选 B.
教材母题答图
答：水管长应为 2.25 m. 【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小
值)，可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系
数即可．
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∴抛物线的函数解析式为 y＝－14x2＋52x；
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(2)由抛物线的对称性得 BE＝OA＝t， ∴AB＝10－2t. 当 x＝t 时，y＝－14t2＋52t，即 AD＝－14t2＋52t， ∴矩形 ABCD 的周长＝2(AB＋AD) ＝2（10－2t）＋－14t2＋52t ＝－12t2＋t＋20＝－12(t－1)2＋421. ∴当 t＝1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是421.
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∴b≥0，Δ≤0， ∴0≤b≤8，∴－4≤x＝－b2≤0， 当－5≤x≤1 时，函数有最小值－b42＋2b， 当－5≤－b2＜－2 时，函数有最大值 1＋3b， 当－2＜－b2≤1 时，函数有最大值 25－3b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 当最大值为 1＋3b 时，1＋3b＋b42－2b＝16，
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由这段抛物线过点(3，0)可得
0＝a(3－1)2＋3，
解得 a＝－34，
∴y＝－34(x－1)2＋3(0≤x≤3)． 当 x＝0 时，y＝2.25.
a＋b＋c＝9，
c＝0，
∴该二次函数的解析式为 y＝4x2＋5x.
【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出 a，b，c 的值．
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[2019 春·利津期中]足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门 踢出，图 1 的抛物线是足球的飞行高度 y(m)关于飞行时间 x(s)的函数图象(不考虑空 气的阻力)，已知足球飞出 1 s 时，足球的飞行高度是 2.44 m，足球从飞出到落地共 用 3 s.
(1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)足球的飞行高度能否达到 4.88 m？请说明理由．
变形 2 答图
(3)∵抛物线与 x 轴相交时，y＝0， ∴0＝－12x2＋2x＋32，即 x2－4x－3＝0， 解得 x1＝2＋ 7，x2＝2－ 7(舍去)， ∴D(2＋ 7，0)， ∴水流落点 D 到 A 点的距离为(2＋ 7)m.
三 利用平移规律求二次函数的解析式
(教材 P34 思考)
抛物线 y＝－12(x＋1)2，y＝－12(x－1)2 与抛物线 y＝－12x2 有什么关系？ 解：把抛物线 y＝－12x2 向左平移 1 个单位，就得到抛物线 y＝－12(x＋1)2；把抛 物线 y＝－12x2 向右平移 1 个单位，就得到抛物线 y＝－12(x－1)2. 【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2) 平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．
矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边)，点 C，D 在抛物线上．设
A(t，0)，当 t＝2 时，AD＝4.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最