第四章 分离变量法、本征函数法

由初始条件得
∑ ∑ ϕ(x,
y)
=
+∞ n=1
+∞
C nm
m=0
sin
nπx sin a
(m
+ 1)πy 2 b
从而得
∫ ∫ Cnm
=
4 ab
a 0
b
ϕ(ξ ,η) sin
0
nπξ a
sin
(m + 1 )πη 2 b
dξdη
.
例 3. （圆的狄里克雷问题）设有一个半径为 a 的无限长圆柱，
把它的对称轴取做 z 轴，假设在柱的表面上温度不随时间 t 而改变，
足初始条件，为使得到满足初始条件的混合问题的解，按照叠加原理， 将可列个驻波解叠加得到
∑ u ( x, t )
=
+∞
(Cn
n =1
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat ) sin l
nπx l
.
于是由 u(x,0) = ϕ(x) 得
-3-
∑ ϕ ( x)
=
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+∞ n=1
Cn
sin
nπx l
.
注意到本征函数系
(x)
=
+∞ n =1
nπa l
Dn
sin
nπx l
所以
∫ Dn
=
2 nπa
l
ψ (ξ ) sin
0
nπξ l
dξ ,
因此分离变量法又叫傅立叶解法.
n = 1,2,3...
分离变量法是将偏微分方程与边界条件要分离变量，所以方程
与边界条件都应是齐次的.在求解过程中会得到施斗姆-刘维尔本征
值问题，由此确定可列个本征值与相应的本征函数系，这是分离变量
T ′(t) + λa2T (t) = 0 ; （2）解本征值问题
由方程得 X (x) = C cos λ x + D sin λ x ,
由 X (0) = 0 得 C=0；由 X ′(l) + hX (l) = 0 得
D( λ cos λl + h sin λl) = 0 ,
为了得到非零解， D ≠ 0 ，得到关于 λ 的超越方程： tan λl = − λ , h
-9-
解：由于讨论的圆形区域，所以用极坐标 (r,θ ) 比用直角坐标 (x, y) 方便得多，由高等数学知道，在极坐标表示下的二维拉普拉斯方程有 形式
u rr
(r,θ )
+
1 r
ur
(r,θ
)
+
1 r2
uθθ
(r,θ )
=
0
这里仍记 u(x, y) = u(r,θ ) ，其中 x = r cosθ , y = r sinθ .这样柱面上的
Tn
(t)
=
Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat l
，
从而得到变量分离状态的解，称之为驻波：
un (x,t)
=
X n (x)Tn (t)
=
(Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat )sin l
nπx l
.
从这里可以看出，为什么我们在本征函数 X n (x) 把 D 取成 1 呢？事
实上是不失一般性的，无非是将 D 并入系数 Cn , Dn 中而已. 现在要求满足初始条件的解，一般而言，这可列个驻波解并不满
2
uxx (x, u(l , t )
t), =
0,
(0 ≤ x ≤ l,t > 0) (t ≥ 0)
⎪⎩u(x,0) = ϕ(x), ut (x,0) = ψ (x), (0 ≤ x ≤ l)
由于边界条件是齐次的，因此设问题有变量分离形式的解：
u(x,t) = X (x)T (t) ，
这里 X(x)与变量 t 无关，T(t)与变量 x 无关，将它代入方程，分离变 量得到
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎫ ⎬ ⎭ n =1, 2,3...
，在
[0,
l]
上是正交的完全的函数
系，且 sin nπx = l ,
l
2
(n = 1,2,3...) ，故而有
∫ Cn
=
2 l
l
ϕ(ξ ) sin
0
nπξ l
dξ ,
同理由 ut (x,0) = ψ (x) 有
n = 1,2,3...
∑ ψ
法的核心问题.
例 1. 长为 l 的均匀细杆，侧面是绝热的，杆的 x = 0 端保持为零 度，另一端 x = l 按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设外界温度恒
为零度，已知杆的初始温度分布是ϕ(x) ，求杆上的温度 u(x,t) .
这个问题归结为下列的混合问题：
-4-
⎪⎪⎨⎧uut((0x,,tt))==0a, 2uxx ⎪
温度表示为边界条件：
u(a,θ ) = ϕ(θ )
于是得到边值问题：
⎪⎨⎧urr
+
1 r
ur
+
1 r2
uθθ
= 0,
(0 ≤ r ≤ a,0 ≤ θ ≤ 2π )
⎪⎩ u(a,θ ) = ϕ(θ )
(0 ≤ θ ≤ 2π )
用分离变量法解此问题.
设 u(r,θ ) = R(r)Θ(θ ) ，代入方程，分离变量得
令 μ = λl ，有超越方程
tan μ
=−μ hl
.
于是得到可列个正根 μn ，上
-5-
面方程的正根是正切曲线 y = tan μ 与直线 y = − μ 交点的横坐标，显 hl
然有可列个 (n = 1,2,3...) ，因此得到本征值（可列个）
λn
=
(μn l
)2,
(n = 1,2,3...)
r 2 R′′(r) + rR′(r) − λR(r) = 0 Θ′′(θ ) + λΘ(θ ) = 0
这里，由于是圆形区域，当角度θ 从θ 变到θ + 2π 时，单值函数 u(r,θ )
应该满足周期条件 u(r,θ + 2π ) = u(r,θ ) ，由此得到
Θ(θ + 2π ) =Θ(θ ) .
unm (x, y, t) = X n (x)Ym ( y)Tnm (t)
对 n，m 叠加，有
∑ ∑ u(x,
y,t)
=
C e +∞ +∞
⎡
⎢
−
⎢ ⎢
(
⎢
⎢⎣
n a
)2
⎜⎛ +⎜
⎜ ⎜⎝
m+ b
1 2
⎟⎞2 ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
a
2π
2t
nm
n=1 m=0
sin
nπx sin a
(m + 1)πy 2 b
⎧ X ′′(x)
⎨ ⎩
X
(0)
=
+ λX (x) = 0 0, X (l) = 0
，
（1） λ < 0 不是本征值.
（2）λ = 0 ，得 X (x) = Ax + B ，A,B 为待定常数，由 X (0) = 0 得 B=0，
由 X (l) = 0 得 Al=0， l ≠ 0 ,所以 A=0，表明 λ = 0 也不是本征值. （3）当 λ > 0 时，方程的通解为
un (x,t)
=
X n (x)Tn (t)
=
−( μna )2 t
Cne l
sin
μn x l
（4）为了得到满足初始条件的解 u(x,t) ，将可列个 un (x,t) 叠
加，有
∑ u( x, t )
=
+∞
−( μna )2 t
Cne l
n=1
sin
μnx l
.
∑ 由初始条件，有
ϕ(x)
=
+∞
Cn
X (x) = C cos λ x + D sin λ x
由 X (0) = 0 得 C=0；由 X (l) = 0 得关于 λ 的方程
D sin λl = 0
由于求问题的非零解，所以 D ≠ 0 .只有 sin λl = 0 ，从而得到问题
的可列个本征值：
λn
=
nπ l
, (n = 1,2,3,...)
与
⎧ Y ′′( y) + μY ( y) = 0 ⎩⎨Y (0) = 0, Y ′(b) = 0
（2）解上述两个本征值问题，容易得到它的本征值和相应的本征
函数系.
λn
=
( nπ a
)2,
X
n
(x)
=
sin
nπx a
,
(n = 1,2,3,...)
⎜⎛ (m + 1 )π ⎟⎞2
μm
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 ⎟, b ⎟⎟⎠
-1-
T ′′(t) + λa 2T (t) = 0, , X ′′(x) + λX (x) = 0 对齐次边界条件也有, X (0)T (0) = 0, X (l)T (t) = 0 ,
由于求非零解，所以T (t) ≠ 0 ，只有， X (0) = 0, X (l) = 0 ，由此就得
到关于 X(x)的施斗姆-刘维尔本征值问题：
T ′′(t) = X ′′(x) ， a 2T (t) X (x)
这是一个恒等式，左边仅是 t 的函数，右边仅是 x 的函数，而 x,t 是 两个无关的独立变量，所以这个等式只能是常数，记为 − λ ，于是有
T ′′(t) = X ′′(x) = −λ ， a 2T (t) X (x)
从而得到两个常微分方程：
Y ( y)
这里 λ, μ 都是待定的常数，并且
T ′(t) + a2 (λ + μ)T (t) = 0
齐次边界条件分离变量后得
X (0) = X (a) = 0, Y (0) = 0, Y ′(0) = 0
于是得到两个施斗姆-刘维尔本征值问题：
⎧ X ′′(x) + λX (x) = 0 ⎩⎨X (0) = 0, X (a) = 0
n=1
sin
μn x l
.
注意到
∫ sin
μn x l
2
=
l
sin 2
0
μn xdx l
=
1 (l 2
+
1 cos 2 h
μn ) ,
-6-
因此
∫ Cn
=
l
+
2 1 cos2 h
μn
l
ϕ(ξ ) sin
0
μnξ dξ , l
(n = 1,2,3...) ,
故得此混合问题的解为
∑ u( x, t )
第四章 分离变量法、本征函数法
在讨论有界区域具有齐次边界条件的数学物理问题时可寻求变
量分离形式的解，这就是分离变量法.
§2.4.1 一维有界区域齐次方程齐次边界条件
混合问题的分离变量法
以弦的横振动为例，设弦长为 l，两端固定的一维自由振动的混
合问题是
⎧ ⎪ ⎨
utt (x, t u (0, t )
)=a = 0,
且与 z 坐标无关.则过了一段时间后，在圆柱的每一点处，温度也会
稳定下来与 t 无关，这时圆柱体内的温度 u = u(x, y) 就满足二维拉普
拉斯方程
Δu ≡ u xx + u yy = 0 .
圆柱表面的温度 u(x, y) x2 + y2 =a = ϕ ，求此问题的解. 这个问题通常称为圆的狄里克雷问题.
相应的本征函数为
X
n
(x)
=
sin
μn l
x
,
(n = 1,2,3,...)
（3）把本征值 λn
=
(μn l
)2 代入关于
T(t)的常微分方程中有
得解 就有
Tn′(t)
+
(
μn l
a
)
2
Tn
(t)
=
0,
(n = 1,2,3...)
−( μna )2 t
Tn (t) = Cne l ,
(n = 1,2,3...) ，
=
+∞
−( μna )2 t
Cne l
n=1
sin
μnx l
.
§2.4.2 二维矩形薄板的齐次方程齐次边界条件
混合问题的分离变量法
例 2．边长为 a, b 的矩形薄板，两板面不透热，它的一边 y=b
为绝热，其余三边保持零度温度.设板的初始温度分布是ϕ(x, y) ，试
求板内的温度变化.
解：以 u(x, y,t) 为此矩形板内点(x,y)处时刻 t 的温度，这时此
- 10 -
因此这里本征值问题的提法是求方程Θ′′(θ ) + λΘ(θ ) = 0 的以 2π 为
即
λn
=
( nπ )2 , (n l
= 1,2,3,...)
对应的本征函数（把非零常数 D 省去）有
-2-
X
n
(x)
=
sin
nπx l
,
(n = 1,2,3,...)
现将本征值 λn
=
( nπ l
)2 代入关于
T(t)的方程得到
Tn′′(t)
+
(
nπa l
)2
Tn
(t)
=
0
，
这是一个二阶的常系数线性齐次方程，它的通解为
混合问题为：
⎧ ⎪
ut
(x,
y, t)
=
a 2[uxx (x,
y,t)
+
u yy
(x,
y, t )], (0
≤
x
≤
a,0
≤
y
≤
b)
⎪⎩⎨uux
=0 t=0
= 0, =ϕ
(
u x,
x
y
=a
)
= 0,
u = 0, y=0
u y y=b = 0,
这是一个齐次方程、齐次边界条件的问题，可设有变量分离形式的解.
（1）设解为
u(x, y,t) = X (x)Y ( y)T (t)
代入齐次方程中，分离变量后有
T ′(t) = X ′′(x) + Y ′′( y) a 2T (t) X (x) Y ( y)
-7-
由于 x，y，t 都是独立变量，所以令
X ′′(x) = −λ ， Y ′′( y) = −μ
X (x)
( x, t ), (∂u + ∂x
(0 ≤ x
hu)
x=l
≤ =
l,t 0,
>
0)
⎪⎩ u(x,0) = ϕ(x),
这里一维热传导方程是齐次的，边界条件是齐次的，所以设
u(x,t) = X (x)T (t)
（1）代入方程和边界条件，分离变量后得到施斗姆-刘维尔本征 值问题：
⎧ X ′′(x) + λX (x) = 0 ⎩⎨X (0) = 0, X ′(l) + hX (l) = 0 和常微分方程
(m + 1)πy
Ym ( y) = sin
2, b
(m = 0,1,2,...)
（3）将本征值代入关于T (t) 的一阶方程中，得到
T (t) = C e ⎡ ⎢ −⎢⎢( ⎢ ⎢⎣
n a
)2
⎜⎛ +⎜⎜
⎜⎝
m+ b
1 2
⎟⎞2 ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
a 2π
2t
nm
nm
-8-
（4）为得到满足初始条件的混合问题的解，将