概率论第五讲

量
k!
称X服从参数为λ的泊松分布,X～π(λ)
§2.3 连续型随机变量
• (一)概率密度函数
对于随机变量X,如存在非负可积函 数f(x)(-∞，+∞),使得对任意实数
a则,称b(Xa为<b连)均续有型P随a机 变X 量 b,f(xab)f为(xX)的dx概
率密度函数.
f(x)的性质:.
例1 设随机变量X的分布律为:
随
机
X
-1 2
3
变
pk
1/4 1/2 1/4
量 求X的分布函数,并求
的 P{X 1}, P{3 X 5}, P{2 X 3}P{2 X 3}
分
22
2
布 例2 求在(a,b)上服从均匀分布的
函 随机变量X的分布函数.
数
若X～N(0,1),其概率密度为
e 2 2 , x
2
随 其中μ,σ(σ>0)为常数,则称X服从
机 参数为μ,σ的正态分布.
特别地,当μ=0,σ=1时,称X服从标准正态
变 分布,概率密度为
量
(x)
1
x2
e 2 , x
2
正态分布的性质
连 续
1.曲线关于x=μ对称 2.当x=μ时取到最大值 f ()
随 机
(x)
1
x2
e2
变 分布函数为
2
量 的
(x)
x
(t)dt
1
x2 x
e 2 dx

2
分 布
命题 若X～ N(, 2 ) ,则
函 数
Z

X


～
N (0,1)
例3 测量距离时产生的随机误差X 随 服从正态分布 N (20,40 2 ) ,作三次独
0(为常数 )
随 则称X服从参0数为, xθ 的0 指数分布.
机 例3 设随机变量X具有概率密度
变
ke3x , x 0
f (x)
量
0 ,x0
试确定常数k,并求P{X>0.1}
(二)几种常见的分布
连 3.正态分布
续
随机变量X具有概率密度
型
f (x)
1
( x )2
散 是相互独立的,发生故障的概率都是 型 0.01,且一门炮的故障能由一人处理.
现考虑两种配备机械师的方法: 随 一是由四人维护,每人各负责20门,
机 二是由三人共同维护80门.
变 试比较两种方法在火炮发生故障时 量 不能及时维修的概率大小.
3.几何分布
离
进行独立重复试验,每次试验事件A出
散 现的概率均为p,事件A出现就终止试验.
离 例3 某人进行射击,每次射击的
散 命中率为0.02,独立射击400次,试求: 至少击中两次的概率.
型
Poisson定理 设λ＞0是常数,n是
随 任意正整数.设npn=λ,则对于任一
机 固定的非负整数k,有
变 量
lim
n
Cnk
pnk (1
pn )nk

k e
k!
离 例4 设有80台同类型火炮,每门
设离散型随机变量X所有可能取
的值为xk(k=1,2,···),X取各个值的概
率,即事件｛X=xk｝的概率为
P｛X=xk｝=pk ,k=1,2,···
则称上式为离散型随机变量X的概率
分布或分布律.
(1) pk 0, k 1,2,
pk满足如下两条件:

(2) pk
1
k 1
例1
设一袋中装有5只球,编号
机 立测量,求
变 (1)至少有一次误差绝对值不超过
量 30m的概率
的 (2)只有一次误差绝对值不超过30m 分 的概率.
布 例4 随机变量X服从正态分布 N (10,22 )
函 求(1) P{7<X<15}
数
(2)求d,使P{|X-10|<d}=0.9。
随机变量X为所需试验次数 型 分布律 P{X k} pqk1, k 1,2,,(q 1 p)
随 称X服从几何分布
机 4.Poisson分布
变
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,··· 分布律P{X k} k e , k 0,1,2,,( 0是常数)
变
(3)求P｛Ｘ>0.1｝
量
(二)几种常见的分布
连 1.均匀分布
续பைடு நூலகம்
随机变量X具有概率密度
型
f
(x)

b
1
a
,a

x

b
随 则称X在区间(a,0b)上, 其 服它 从均匀分布.
机
变
量
(二)几种常见的分布
连 2.指数分布
续
随机变量X具有概率密度
型
f
(x)

1

x
e
,
x

第二章 随机变量 • §2.1 随机变量
(一)随机变量的定义
设E是随机试验,它的样本空间S=｛e｝, 若对于每一个e∈S,有一个实数X(e)与之 对应,这样就得到一个定义在S上的单值 实值函数X=X(e),称为随机变量.
(二)随机变量的类型
离散型随机变量 连续型随机变量
§2.2 离散型随机变量
• (一) 概率分布
1
2
x=μ±σ处,曲线有拐点,x轴为渐近线.
型 3.若固定σ改变μ则图形沿x轴平移,不改变
随 机
形状;若固定μ改变,则σ越小,图形越尖.
4.如X服从正态分布,则
P{x1 X x2}
1
2
x2 x1
(x)2

e 2 2 dx
变 例4 设随机变量X～N(0,1)
量 求:(1)P{0.7≤X≤1.5}(2)P{X≤1.88} (3)P{X≤-0.3}
离 为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,用
散 随机变量X表示取出的3只球中的最大 号数,写出X的分布律。
型 (二)常见的概率分布
随 1.(0-1)分布
机
只有两个可能结果的随机试验
随机变量
分
变 量
布律
X (e)

1, 0,
e e

e1 e2
X pk
1 p
0 1-p
2.二项分布
离
n重贝努利试验中,设每次试验中事
随 P｛X=xk｝=pk其分布函数为
机
变 F(x) PX x PX xk pk
xk x
xk x
量 5.设连续型随机变量X的概率密度f(x),
的
其分布函数为
x
F (x) f (t)dt
分

布 注 若X为连续型随机变量,则
函
(1)F(x)是连续的.
数
(2)P{X=a}=0
§2.4 随机变量的分布函数
• (一)分布函数的概念
设X是一个随机变量，x是任意实数， 函数F(x)=P{X≤x},称为X的分布函数。
(二)分布函数的性质
1.F(x)是一个不减函数. 2.0≤F(x)≤1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1. 3.F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的.
4.设离散型随机变量X的分布律为
散 件A发生的概率为p,q=1-p 随机变量X表示n重贝努利试验中事件A
型 发生的次数.
随 分布律
P{X

k}

C
k n
pk qnk , k

0,1, , n
则称X服从二项分布,记为X～b(n,p).
机
例2 某批产品有10%的次品,进行重复
变 抽样检验,共取得10个样品,试写出样
量 品次品数X的概率分布,并求样品中次 品不多于两个的概率.
(1)非负性: f (x) 0, ( x )
(2)归一性:

f (x)dx 1

连 例1 随机变量X的概率密度为
续
Ax2ekx,0 x
型 f (x)
(k 0)
随
0 , x 0
求:(1)系数A
机
(2)随机变量X落于区间(0,1/k)内的概率.